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文檔簡介
專題05分式一、單選題1.下列各式①;②;③;④;⑤中,分式有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.化簡的結果是()A.m+n B.n﹣m C.m﹣n D.﹣m﹣n3.下列運算結果為x-1的是()A. B. C. D.4.下列分式中,最簡分式是(
)A. B. C. D.5.若分式的值為0,則x的值為()A.1 B.0 C.-1 D.0或-16.下列計算正確的是()A.a(chǎn)-1+a-2=a-3 B.a(chǎn)-5·a-2=a10 C.(-2a-4)4=16a-8 D.(a-1)2=a-27.甲、乙兩人同時從A地出發(fā)到B地,如果甲的速度v保持不變,而乙先用v的速度到達中點,再用2v的速度到達B地,則下列結論中正確的是(
)A.甲、乙同時到達B地 B.甲先到達B地C.乙先到達B地 D.誰先到達B地與v有關8.計算÷-的結果為(
)A. B. C. D.a(chǎn)9.已知關于的方程有增根,則的值是(
)A.4 B. C.2 D.10.關于的分式方程的解是正數(shù),則字母的取值范圍是(
).A. B. C. D.二、填空題11.如果分式無意義,那么分式的值為______.12.新型冠狀病毒(2019﹣nCoV)的平均直徑是100納米.1米=109納米,100納米可以表示為_____米.(用科學記數(shù)法表示)13.,和的最簡公分母是__.14.計算:_____________
=_____________=_____________
=_________________15.若關于x的分式方程﹣3=有增根,那么m=_____.16.若關于x的方程無解,則_________.17.若,則________.18.計算:________________.三、解答題19.通分:(1),,;(2),,.20.計算:(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)21.計算:22.計算:.23.解方程:(1)(2).(3)(4)24.先化簡,再求值:,其中.25.化簡:26.化簡求值:,其中,滿足.27.已知,求下列各式的值.(1);(2).28.某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時,為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯,全區(qū)3600名學生的成績數(shù)據(jù)分別由李某、王某兩位同志進行操作,兩人各自獨立地輸入一遍,然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知李某的輸入速度是王某的2倍,結果李某比王某少用2小時輸完.問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學生的成績?29.2022年北京冬奧會開幕在即,參加女子1500米短道速滑的運動員在教練員的指導下努力訓練提高競技水平.在經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是原來的1.1倍,時間縮短了15秒,那么經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是多少?30.分式中,在分子、分母都是整式的情況下,如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù),稱這樣的分式為真分式,例如,是真分式,如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù),稱這樣的分式為假分式.例如,分式,假分式,一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和.例如:(1)將假分式為一個整數(shù)與一個真分式的和(2)利用上述方法解決問題:若x是整數(shù),且分式的值為正整數(shù),求x的值31.請仿照例子解題:恒成立,求M、N的值.解:∵,∴則,即故,解得:請你按照.上面的方法解題:若恒成立,求M、N的值.32.閱讀下面材料:一個含有多個字母的式子中,如果任意交換兩個字母的位置,式子的值都不變,這樣的式子就叫做對稱式,例如:,,,…含有兩個字母,的對稱式的基本對稱式是和,像,等對稱式都可以用,表示,例如:.請根據(jù)以上材料解決下列問題:(1)式子:①,②,③,④中,屬于對稱式的是(填序號)(2)已知.①若,求對稱式的值②若,求對稱式的最大值專題05分式一、單選題1.下列各式①;②;③;④;⑤中,分式有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】根據(jù)分式的定義:一般地,如果表示兩個整式,且B中含有字母,那么式子就叫做分式,其中A稱為分子,B稱為分母;據(jù)此判斷即可.【解析】解:①,分母中含有字母,是分式;②,分母中沒有字母,不是分式;③,分母中沒有字母,不是分式;④,是常數(shù)不是未知數(shù),分母中沒有字母,不是分式;⑤,分母中含有字母,是分式;是分式的有①③⑤共個,故選:C.【點睛】本題考查了分式的定義,熟記定義是解本題的關鍵,注意判斷是不是分式是在化簡前判斷.2.化簡的結果是()A.m+n B.n﹣m C.m﹣n D.﹣m﹣n【答案】A【解析】試題分析:====m+n.故選A.考點:分式的加減法.3.下列運算結果為x-1的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)和運算法則分別計算即可判斷.【解析】A.=,故此選項錯誤;B.原式=,故此選項g正確;C.原式=,故此選項錯誤;D.原式=,故此選項錯誤.故答案選B.【點睛】本題主要考查分式的混合運算,熟練掌握分式的運算順序和運算法則是解題的關鍵.4.下列分式中,最簡分式是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可求出答案.【解析】解:(A)原式=,故A不是最簡分式;(B)原式==x-y,故B不是最簡分式;(C)原式==x-y,故C不是最簡分式;(D)的分子分母都不能再進行因式分解、也沒有公因式.故選D.【點睛】本題考查最簡分式,解題關鍵是正確理解最簡分式的定義,本題屬于基礎題型.5.若分式的值為0,則x的值為()A.1 B.0 C.-1 D.0或-1【答案】A【分析】根據(jù)分式等于零的條件“分子為零,分母不為零”,進行計算即可.【解析】∵=0,∴x2﹣1=0,解得:x=±1,又∵當x=﹣1時,x2+x=0,∴x=1.故選A.【點睛】本題考查分式的值為零需要滿足的條件:(1)分子的值為零;(2)分母的值不為零;兩個條件必須同時具備,缺一不可.6.下列計算正確的是()A.a(chǎn)-1+a-2=a-3 B.a(chǎn)-5·a-2=a10 C.(-2a-4)4=16a-8 D.(a-1)2=a-2【答案】D【分析】根據(jù)冪的混合運算法則進行判斷即可.【解析】A.a-1+a-2≠a-3,故本選項錯誤;B.a-5·a-2=a﹣7,故本選項錯誤;C.(-2a-4)4=16a-16,故本選項錯誤;D.(a-1)2=a-2,正確.故選D.【點睛】本題主要考查冪的混合運算,解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.7.甲、乙兩人同時從A地出發(fā)到B地,如果甲的速度v保持不變,而乙先用v的速度到達中點,再用2v的速度到達B地,則下列結論中正確的是(
)A.甲、乙同時到達B地 B.甲先到達B地C.乙先到達B地 D.誰先到達B地與v有關【答案】B【解析】設從A地到B地的距離為2s,而甲的速度v保持不變,∴甲所用時間為,又乙先用v的速度到達中點,再用2v的速度到達B地,∴乙所用時間為,∴甲先到達B地,故選:B.8.計算÷-的結果為(
)A. B. C. D.a(chǎn)【答案】C【分析】由分式的加減乘除的運算法則進行計算,即可求出答案.【解析】解:====故選:C【點睛】本題考查了分式的加減乘除混合運算,解題的關鍵是掌握運算法則,正確的進行化簡.9.已知關于的方程有增根,則的值是(
)A.4 B. C.2 D.【答案】D【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程,然后根據(jù)分式方程有增根,得到x?4=0,據(jù)此求出x的值,代入整式方程求出m的值即可.【解析】解:原方程去分母,得:,∴,由分式方程有增根,得到x?4=0,即x=4,把x=4代入整式方程,可得:m=-2.故選D.【點睛】此題主要考查了分式方程的增根,解答此題的關鍵是要明確:(1)化分式方程為整式方程;(2)把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.10.關于的分式方程的解是正數(shù),則字母的取值范圍是(
).A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析:分式方程去分母得:2x-m=3x+3,解得:x=-m-3,由分式方程的解為正數(shù),得到-m-3>0,且-m-3≠-1,解得:m<-3,故選D.點睛:此題考查了分式方程的解,要注意分式方程分母不為0這個條件.二、填空題11.如果分式無意義,那么分式的值為______.【答案】7【分析】根據(jù)分式無意義的條件:分母為0,即可求出,再將代入求值即可.【解析】∵分式無意義,∴,解得:.將代入,得:.故答案為:7.【點睛】本題考查分式無意義的條件,分式的求值.掌握分式無意義的條件:分母為0,是解題關鍵.12.新型冠狀病毒(2019﹣nCoV)的平均直徑是100納米.1米=109納米,100納米可以表示為_____米.(用科學記數(shù)法表示)【答案】1×10-7【分析】小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示,一般形式為a×10-n,與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.【解析】∵1米=109納米,∴100納米=100÷109米=1×10-7米,故答案為:1×10-7【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10-n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.13.,和的最簡公分母是__.【答案】【分析】根據(jù)求最簡公分母的方法求解即可,確定最簡公分母的一般方法:①如果各分母都是單項式,那么最簡公分母就是各項系數(shù)的最小公倍數(shù)和所有字母的最高次冪的積,②如果各分母都是多項式,先把它們分解因式,然后把每個因式當做一個字母,再從系數(shù)、相同字母求最簡公分母.【解析】解:三個分式的分母分別為、、,且3、1、2的最小公倍數(shù)為6,三個分式的最簡公分母為.故答案為:.【點睛】本題考查了求最簡公分母,掌握確定最簡公分母的方法是解題的關鍵.14.計算:_____________
=_____________=_____________
=_________________【答案】
【分析】①根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可;②根據(jù)分式的加法運算法則和平方差公式計算即可;③根據(jù)分式的四則混合運算法則計算即可;④根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可.【解析】解:①.②.③.④.【點睛】本題考查了分式的性質(zhì),分式的四則混合運算,平方差公式,負整數(shù)指數(shù)冪等知識.解題的關鍵在于正確的化簡計算.15.若關于x的分式方程﹣3=有增根,那么m=_____.【答案】1【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根,把增根代入化為整式方程的方程,即可求出m的值.【解析】解:方程兩邊同乘(x﹣2),得x﹣1﹣3(x﹣2)=m,∵原方程增根為x=2,∴把x=2代入整式方程,得m=1.故答案為:1.【點睛】本題考查了分式方程的增根,增根確定后可按如下步驟進行:①化分式方程為整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.16.若關于x的方程無解,則_________.【答案】【分析】先去分母得到整式方程,由于關于x的方程無解,則x-3=0,即x=3,然后把x=3代入即可求出m的值.【解析】解:去分母得,解得,∵關于x的方程無解.∴x=3,∴∴m=.故答案為.【點睛】此題考查分式方程的解,解題關鍵在于利用方程無解進行解答.17.若,則________.【答案】【分析】根據(jù),得出,;根據(jù),得出,;故有,代入所求分式化簡即可.【解析】解:由,得,解得,;由,得,解得,;故有,.故答案是:.【點睛】本題考查了分式的化簡求值.解題的關鍵是根據(jù)已知等式求出使所有等式成立的條件.18.計算:________________.【答案】【分析】利用裂項法先將每個分式化簡,再將結果相加即可.【解析】∵,……∴原式===.【點睛】此題考察分式的混合運算,運用裂項法將每個分式化簡是解題的關鍵.三、解答題19.通分:(1),,;(2),,.【答案】(1),,(2),,【分析】(1)先找出最簡公分母,然后通分即可;(2)先找出最簡公分母,然后通分即可.(1)解:∵,,∴,,的最簡公分母為:,∴三個分式通分為:,,.(2)解:∵,,,∴分式,,的最簡公分母為:,三個分式通分為:,,.【點睛】本題主要考查了通分,解題的關鍵是熟記最簡公分母的定義,找出各個分母數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母以及指數(shù)的最高次冪,即可寫出各分式的最簡公分母.20.計算:(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)【答案】(1);(2);(3);(4);(5)(6);(7);(8);(9)【分析】(1)根據(jù)積的乘方法則、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則把原式變形,再根據(jù)分式的乘除法法則計算,得到答案;(2)先因式分解再根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可;(3)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法,然后利用分式乘法法則進行計算即可;(4)先尋找2個分式分母的最小公倍式,將最小公倍式作為的公分母;然后在進行減法計算,最后進行化簡;(5)找出最簡公分母,先通分,再相加減,最后化簡即可;(6)有分式的加減乘除運算進行化簡,即可得到答案;(7)先通分,然后根據(jù)分式除法的運算法則計算即可;(8)先分別對所有分子、分母因式分解,然后再化除為乘,最后約分計算即可;(9)先將減號后面兩個分式的分子和分母因式分解,同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法,再計算乘法,繼而通分、計算減法即可.(1)原式;(2)原式;(3)原式===;(4)原式=====;(5)=====;(6)原式;(7),,,,,;(8)原式;(9)原式,,,,,.【點睛】本題主要考查了分式的混合運算,屬于基礎題型,掌握分式的混合運算法則以及因式分解的知識是解答本題的關鍵.21.計算:【答案】【分析】先計算乘方,再將除法轉(zhuǎn)換成乘法進行計算.【解析】解:===.【點睛】本題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪和分式的乘除法,解題關鍵是熟記其計算法則和運算順序.22.計算:.【答案】【分析】根據(jù)負指數(shù)冪意義變形,再根據(jù)分式加減乘除法則進行計算.【解析】解:原式=[]÷()=÷=×=.【點睛】本題考查分式運算,掌握基本運算法則,特別是理解負指數(shù)冪意義是關鍵.23.解方程:(1)(2).(3)(4)【答案】(1)x=-5(2)x=1(3)(4)原方程無解【分析】(1)方程兩邊同時乘以x-2,化分式方程為整式方程求解,最后進行檢驗即可;(2)方程兩邊同時乘以,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進行求解,再將所求整式方程的解代入公分母進行檢驗即可;(3)方程兩邊同時乘以,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進行求解,最后將所求整式方程的解代入公分母進行檢驗即可;(4)方程兩邊同乘以將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然后求解,最后檢驗即可.(1)解:,去分母得:3=-4-(x-2),去括號得:3=-4-x+2,移項合并同類項得x=-5,檢驗:把x=-5代入x-2得:,∴原方程的解為x=-5.(2)解:去分母得,(1-x)(1+x)+x2+x=2,去括號得,1-x2+x2+x=2,解得:x=1,檢驗:把x=1代入得:,∴原分式方程的解為:x=1.(3)解:去分母得:,去括號得:,移項合并得:,系數(shù)化為1得:,檢驗:把代入得:,∴分式方程的解是.(4)解:,方程的兩邊同乘(x+1)(x1),得:,去括號得:,移項合并同類項得:,解得:x=1,檢驗:把x=1代入(x+1)(x1)得:,∴x=1是原方程的增根,∴原方程無解.【點睛】本題主要考查了解分式方程,注意解分式方程時,最后要對方程的解進行檢驗.24.先化簡,再求值:,其中.【答案】-;-【分析】先根據(jù)分式的四則運算法則進行化簡,再把代入求解即可.【解析】解:原式====,當時,原式==.【點睛】本題考查分式的化簡求值,明確分式化簡求值的方法是解題的關鍵.25.化簡:【答案】-x.【分析】先分別將分子和分母分解因式,除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算,再約分即可.【解析】解:=-x.【點睛】本題考查的是分式的乘除法,熟知分式的乘法及除法法則是解答此題的關鍵.26.化簡求值:,其中,滿足.【答案】,【分析】先利用完全平方公式和平方的非負性得到,再將原式化簡,然后代入,即可求解.【解析】解:∵,∴,即,∴,解得:,,當時,原式.【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值,完全平方公式和平方的非負性,熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.27.已知,求下列各式的值.(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)求出,,即可得到答案;(2)求出,即可得到的值.【解析】(1),等式兩邊同除,得,則,,;(2)∵,,.【點睛】此題考查等式的性質(zhì),完全平方公式的變形應用,熟記完全平方公式是解題的關鍵.28.某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時,為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯,全區(qū)3600名學生的成績數(shù)據(jù)分別由李某、王某兩位同志進行操作,兩人各自獨立地輸入一遍,然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.已知李某的輸入速度是王某的2倍,結果李某比王某少用2小時輸完.問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學生的成績?【答案】李某每分鐘能輸入30名學生的成績,王某每分鐘能輸入15名學生的成績.【分析】有工作總量3600,求的是工作效率,那么一定是根據(jù)工作時間來列等量關系的.關鍵描述語是:“李某比王某少用2小時輸完”,等量關系為:王某用的時間-2=李某用的時間,據(jù)此列出方程并解方程即可.【解析】解:設王某每分鐘能輸入名學生的成績,則李某每分鐘能輸入名學生的成績,根據(jù)題意得:,解得,經(jīng)檢驗,是原方程的解,且符合題意,所以,答:李某每分鐘能輸入30名學生的成績,王某每分鐘能輸入15名學生的成績.【點睛】本題主要考查分式方程,應用題中一般有三個量,求一個量,明顯的有一個量,一定是根據(jù)另一量來列等量關系的,注意:解分式方程一定要檢驗且要符合題意.找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.29.2022年北京冬奧會開幕在即,參加女子1500米短道速滑的運動員在教練員的指導下努力訓練提高競技水平.在經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是原來的1.1倍,時間縮短了15秒,那么經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是多少?【答案】經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是10米/秒.【分析】設甲運動員原來的速度是x米/秒,則經(jīng)過指導后的速度是1.1x米/秒,利用“時間=路程÷速度”以及“經(jīng)過指導后時間縮短了15秒”的等量關系列分式方程求解即可.【解析】解:設甲運動員原來的速度是x米/秒,則經(jīng)過指導后的速度是1.1x米/秒,依題意得:﹣=15,解得:x=,經(jīng)檢驗,x=是原方程的解,且符合題意,∴1.1x=1.1×=10.答:經(jīng)過指導后,甲運動員的速度是10米/秒.【點睛】本題主要考查了分式方程的應用,解題的關鍵是審清題意、舍出未知數(shù)、根據(jù)等量關系列出分式方程.30.分式中,在分子、分母都是整式的情況下,如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù),稱這樣的分式為真分式,例如,是真分式,如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù),稱這樣的分式為假分式.例如,分式,假分式,一個假分式可以
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