圣維南原理的概念及應用

高等巖石力學第二講：特殊邊界處理與網(wǎng)格劃分問題1平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.幾何方程（2-9）3.物理方程（平面應力問題）（2-15）4.邊界條件位移：（2-17）應力：（2-18）例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)說明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結果：例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側面：由應力邊界條件公式，有右側面：例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點A處無應力存在。解：——平面應力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應力邊界條件公式，有（2）∵A點同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點處無應力作用2024/7/31ZSZS為什么要用圣維南原理？如何應用圣維南原理？圣維南原理中主矩的方向是如何定義的？圣維南原理中主矩是對那個點取矩？圣維南原理中邊界的面力和應力的關系？什么是主要邊界？什么是次要邊界？為什么正應力對中心點取矩不為零？ZS問題的提出：PPP

求解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。

如圖所示，其力的作用點處的邊界條件無法列寫。1.、靜力等效的概念

兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。2.、圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/23.、圣維南原理的應用(1)對復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界2024/7/31ZSZS例7圖示矩形截面水壩，其右側受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。左側面：代入應力邊界條件公式右側面：代入應力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對O點的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設！xy上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結果相同。注意：必須按正向假設！由微元體的平衡求得，例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計體力。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎曲應力和剪應力的表達式，并取擠壓應力=0，然后說明這些表達式是否代表正確解。解材料力學解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？代入平衡微分方程：（2-2）顯然，平衡微分方程滿足。式（a）滿足相容方程。再驗證，式（a）是否滿足邊界條件？——滿足——滿足——近似滿足近似滿足結論：式（a）為正確解代入相容方程：上、下側邊界：右側邊界：左側邊界：2024/7/31ZSZS可編輯1.孔邊應力集中概念

由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔稍遠處的應力。稱為孔邊的應力集中。應力集中系數(shù)：與孔的形狀有關，是局部現(xiàn)象；與孔的大小幾乎無關。（圓孔為最小，其它形狀較大）2.孔邊應力集中問題的求解（1）問題：

帶有圓孔的無限大板（B>>a），圓孔半徑為a，在無限遠處受有均勻拉應力

q作用。求：孔邊附近的應力。ZS可編輯（2）問題的求解

問題分析坐標系：就外邊界（直線），宜用直角坐標；就內邊界（圓孔），宜用極坐標。A

取一半徑為r=b(b>>a），在其上取一點A的應力：OxybAArA由應力轉換公式：原問題轉化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。bZS2024/7/3122可編輯新問題的邊界條件可表示為：xyba內邊界外邊界（a）問題1（b）（c）baba問題2將外邊界條件（a）分解為兩部分：ZS可編輯問題1ba

問題1的解：內邊界外邊界（b）

該問題為軸對稱問題，其解為

當b>>a時，有（d）ZS可編輯

問題2的解：ba問題2（非軸對稱問題）內邊界外邊界（c）

由邊界條件（c），可假設：為r的某一函數(shù)乘以；為r的某一函數(shù)乘以。

又由極坐標下的應力分量表達式：

可假設應力函數(shù)為：

將其代入相容方程：ZS可編輯

與前面類似，令：有

該方程的特征方程：特征根為：方程的解為：ZS可編輯ba問題2

相應的應力分量：

對上述應力分量應用邊界條件（c）,有內邊界外邊界（c）

（e）ZS可編輯求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba問題2代入應力分量式（e）,有

（f）ZS可編輯將問題1和問題2的解相加,得全解：

（4-17）討論：（1）沿孔邊，r=a，環(huán)向正應力：

（4-18）3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y軸，θ=90°，環(huán)向正應力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——齊爾西（G.Kirsch）解ZS可編輯（3）沿x軸，θ=0°，環(huán)向正應力：（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2ZS可編輯（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應力：

（4-19）（5）任意形狀薄板（或長柱）受面力

作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：ZS可編輯（5）任意形狀薄板（或長柱）受面力

作用，在距邊界較遠處有一小孔。只要知道無孔的應力，就可計算孔邊的應力，如：45°ZS應力集中是在機械制造、航空航天、造船和建筑等工程應用領域中最常見的問題，指構件中應力分布不均在局部增高的現(xiàn)象。開有圓孔或切口的板條受拉時，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域，應力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠處，應力就迅速降低而趨于均勻。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應力急劇增大的現(xiàn)象稱為應力集中。各種材料對應力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段，當局部應力達到屈服極限時，該處材料可繼續(xù)增長，而應力卻不增加。如果外力繼續(xù)增加，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低，也限制了最大應力值）ZS脆性材料沒有屈服階段，一直領先，首先達到強度極限，產生斷裂。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時，不論塑性材料還是脆性材料，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。（以上內容來自材料力學）ZS高人的見解：應力集中是指的在某一個區(qū)域內應力梯度較大，如果網(wǎng)格稀疏的話，就不會捕捉到梯度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應力集中。但是應力并不是無窮，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中。應力奇異是modelling過程造成的。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的。ZS應力奇異可以來自與很多因素，比如荷載，邊界條件，邊界的光滑性，材料系數(shù)的光滑性，等等。奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢，尤其對于均勻劃分的網(wǎng)格。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網(wǎng)格情況下應變能的變化。使用局部細化或hp方法的原因是因為這兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的。你的模型固定了，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解），精確解本身帶有奇異點，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的。如果想消除應力奇異點，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元，在某一節(jié)點處加集中力，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上，奇異點就沒有了。ZS奇異點的定義就是在某一個點處導數(shù)無窮。舉一個L形區(qū)域的平面問題，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點?，F(xiàn)在問題來了，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點處的應力不可能是無窮的。問題出在什么地方呢？ZS首先數(shù)學模型都是建立在一些假設上的，比如對于一個二維平面問題，平衡方程為div(sigma)=f。這個平衡方程是怎么定義的呢？它是指在平面內（不包括邊界）任取一點，這個點的鄰域內的任意點都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）。從平衡方程中可以看出，我們是要求位移的二階倒數(shù)是連續(xù)的，這個要求有的時候很強。因為說不定某處的二階倒數(shù)根本不存在。對于L形區(qū)域問題，我們只知道區(qū)域內的位移的二階倒數(shù)是存在的，連續(xù)的。角點在邊界上，我們不知道二階導數(shù)的情況。有可能該點處的二階倒數(shù)，或一階倒數(shù)根本不存在。通過實際推導發(fā)現(xiàn)，角點處的一階導數(shù)無窮。有限元是用來解偏微分方程的工具。偏微分方程對導數(shù)的連續(xù)性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導數(shù)的要求，比如有限元要求一階導數(shù)平方可積就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映實際要解決的問題.ZSTonnw：這個問題單元并不奇異，是幾何結構奇異，在角點有高應力，但不一定無窮大，應力值取決于載何大?。ú煌猓屈c處應力無窮，角點附近的應力與載荷大小無關。）1.應力理論趨于無窮大不代表實際應力值無窮大.最大實際應力不會超過材料的屈服應力,當線性應力超過屈服應力時,應起動塑性應力分析.（假設載荷無窮小，但是奇異點處的應力還是無窮大，難道還要啟動塑性應力分析。）3.在單元形態(tài)不奇異下