高中數(shù)學(xué)解題模板20 平面向量共線定理高中數(shù)學(xué)黃金解題模板

專題20平面向量共線定理

【高考地位】

隨-著向量在科學(xué)研究中的工具性應(yīng)用，與它在社會生產(chǎn)生活中所起的巨大作用，所以近年來數(shù)學(xué)高考

題中，命入了共線向量內(nèi)容考題.在今后的高考試題中，共線向量必將增長態(tài)勢.其在高考題型多以選擇題、

填空題出現(xiàn)，其試題難度屬低中檔題.

【方法點評】

類型一在幾何問題中的應(yīng)用

使用情景：平面幾何證明、求值等問題中的應(yīng)用

解題模板：第一步將已知條件進行向量處理；

第二步利用平面向量的運算法則和線性運算等性質(zhì)進行求解：

第三步得出結(jié)論.

例1、平面內(nèi)有一個A4BC和一點。，線段。4、OB、OC的中點分別為E、F、G,BC、C4、AB的中

點分別為L、M、N,設(shè)礪=工礪=及覺=2.

(1)試用￡石,2表示向量互，麗衣;

(2)證明線段EL、FM、GN交于一點且互相平分.

【答案】(1)OE=^a,OL=^(b+c),EL=OL-OE=^(b+c-a),FM=^(a+c-b),

GN=^(a+b-c)；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(D根據(jù)向蚩的加法、數(shù)乘的幾何意義，以及向量加法的平行四邊形法則，并進行向量的數(shù)乘

運算便可得到OE=~a;OL=^ib+c]:EL=OL-OE=^b+c-a),從而同理可以用a,b,c分別表示

22X27

出用7、衣；(2)設(shè)線段成、EZ、尸M、GN的中點分別為幾心號用工31分別表示出函誣，砒,

從而可得麗=漉=麗，即證得線段成、FM、GN交于一點且互相平分.

試題解析：(1)GE=^a:dZ=^(i+c|:￡￡=dZ-dE=l(i+c-a)

2-72?

第一步，將已知條件進行向量處理;

證明：設(shè)線段灰的中點為耳，則。2=彳(。石+?！?=點。+方+0，

/*T

設(shè)EM、GV中點分別為鳥,月，

IfI，?*\

同理：0P2=—|a+6+c),OP?=—Ia+6+c|,

第二步，利用平面向量的運算法則和線性運算等性質(zhì)進行求解

.,.西=漉=就，

第三步，得出結(jié)論.

即其交于一點且互相平分.

考點：1、向量的三角形法則；2、向量的線性運算.

【方法點睛】本題考查向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量的數(shù)乘運算，

三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行四邊形的對角線相交于一點且互相平分，考查學(xué)生邏輯推

理能力，屬于中檔題.另一種解法：(D應(yīng)=的+應(yīng)=一:a+；(無+反)=；(一￡+5+3；同理,

EW=±(a+c-6),GV=2(a+6-c)；(2)證明：如圖，連接EN,NL,LG,GE,則EN//0B,目

2、，2-

EN=-OBrGL!/OB,且GL、OB,：.EN!iGL,且EN=GZ,.?.四邊形EWG為平行四邊形,

22

.?.線段ELGV交于一點且互相平分，同理，線段交于一點且互相平分，二線段這、FM、GN交

于一點且互相平分.

【變式演練1】【河北省唐山市2016-2017學(xué)年度高三年級第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題】

平行四邊形A8CO中，AB^AAC+/ADB,則丸+〃=.

【答案】1

【解析】在平行四邊形ABC。中，荏=2而+〃詼,

RAC^AB+AD,DB^AB-AD.

則麗=丸（而+而）+〃（麗一而）=（/+〃）而+（%_〃）而，

所以4+〃=1,4-〃=0；故填1.

【變式演練2】如圖，四邊形。/記C是邊長為，1的正方形，QD=3,點P為ABCD內(nèi)（含邊界）的動點,

設(shè)赤=。區(qū)+月歷（a,尸cH）,則a+￡的最大值等于（）

433

【答案】D

【解析】以。為原點，以。。所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點尸（乂切，?.?麗=々反+萬歷，則

Y

（xj）=a（（U）+尸（3=0）=（3旦a）,所以，x=3^,y=afa+^=y+-f由于點尸為A5C。內(nèi)（包

yy

合邊界），目標(biāo)函數(shù)為a+j3=y+-＞如圖（2）所示，當(dāng)點尸為點3（1,1）時，々+尸=），+^取得最大

144

值，其最大值為1+；=?,故答案為：

333

【高考再現(xiàn)】

1.【2017北京理，6】設(shè)孫〃為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)4,使得加=/1〃''是"山?〃＜（）''的

（A）充分而不必要條件（B）必要-而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

【答案】A

t解析】

試題分析:若^<0,使而=而，即兩向量反向，夾角是180°,那么癡3=網(wǎng)同8sl800=-同向<0T,

若而行<0,那么兩向量的夾角為(90°1801,并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù);I,使得，所

以是充分不必要條件，故選A.

2.【2017全國HI卷理，12】在矩形A3。中，AB=\,AO=2,動點尸在以點C為圓心且與8。相切的圓

上.若而=4通+〃而，則兀+〃的最大值為。

A.3B.272C.75D.2

【答，案】A

【解析】由題意，畫出右圖.

設(shè)BO與口C切于點E,連接CE.

以A為原點，4。為x軸正半一軸，

AB為>軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,

則C點坐標(biāo)為(2,1).

VICD|=1,|BC|=2

,,BD=Vr+22=亞■

'：80切DC于點E.

:.CELBD.

：.CE是RtABCD中斜邊BD上的高.

留|=空3=_2----------=義=2石

\BD\|BD|V55

即口C的半徑為|石.

在0c上.

..?P點的軌跡方程為口-2）工+。，-1）：=|.

設(shè)P點坐標(biāo)（毛，兒），

x0=2+1心cos^

可以設(shè)出P點坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：,

%=1+1島"

而而=(%,%),^5=(0,1),AO=(2,0).

VAP=AAB+"AD=2(0,1)+〃(2,0)=(2〃,2)

/.7/=；/=1+^^cos。,2=%=1+.

兩式相加得：

2R

2+//=1+—V5sin0+1+-^-cos0

25/5、2v5./c\

=2+—^一)~+(z—)~sin(6+(p)

=2+sin(e+°)W3

(其中sine=#,80夕二與^)

當(dāng)且僅當(dāng)，=5+2E-夕，&eZ時，4+〃取得最大值3.

3.【2015高考新課標(biāo)1,理7】設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點看心=3而，則（）

--1-.4--—?1—.4—■

(A)AD=——AB+-AC⑻A￡>=-AB——AC

3333

—.4―-1—?4--1

(C)AD^-AB+-AC(D)4D=—4B——AC

3333

【答案】A

__._1._11_A

［解析］由題知茄=”+麗=就+士工=就+士（萬一石）==一±萬+—就，故選A.

3333

【考點定位】平面向量的線性運算

【名師點睛】本題以三角形為載體考查了平面向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的法則與運算性質(zhì)，是

基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形會利用向量加法將向量而表示為AC+CD，再用已知條件和向量減

法將函用血，而表示出來.

4.12017山東文，11】已知向量。=(2,6)力=(一1,團，若a|我則4=:

【答案】-3

【解析】

試題分析：由叫6可得-lx6=2/n；i=-3.

【考點】向蚩共線與向量的坐標(biāo)運算

【名師點睛】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略

(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時:利用..若a=(x】ji)?=(X2j。則a11b

的充要條件是x》=x4『解題比較方便.

(2)利用兩向蚩共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為

ER),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于2的方程，求出2的值后代人加即可得到所求的向量.

(3)三點共線問題..4/C三點共線等價于公與公共線.

5.【2017江蘇，12］如圖，在同一個平面內(nèi)，向量麗，礪,反的模分別為1,1,血，刀與灰的夾角為a,

且tana=7,而與元的夾角為45。.若OC=mOA+nOB(〃?,〃€R),則〃?+〃=▲.

【解析】住|tana=7可得sina=WI，cosa=顯，根據(jù)向量的分解，

1010

在〃+注昨夜

0,〃cos45°+mcosa=V2210anI5/7+777=1057

易得＜，即《V27夜'H,即得加=一,〃=一

7?sin45°-msin6Z=05n-lm=044

—n---------"7=0

所以機+〃=3.

6.12015高考北京，理13】在△A8C中，點M,N滿足麗/=2祝，BN=NC-若麗=x福+

則戶；尸

【答案】

26

【解析】特殊化，不妨設(shè)恕_LAB,AB=^,AC=3,利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為x軸，北為y

軸，建立直角坐標(biāo)系，X0,0),M0,2),C(0,3),成4,0),M2,

2

麗=(2,-AB=(4,0),AC=(0,3),則(2,--)=式4,0)+認(rèn)0,3),

22

4x=2,3y=—ix=—,y-—L

226

【考點定位】本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.

【名師點睛】本題考查平,面向量的有關(guān)知識及及向量運算，利用向量相等條件求值，本題屬于基礎(chǔ)題.利用

坐標(biāo)運算要建立適當(dāng)?shù)闹g坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，利用向量相等，列方程組，解

出未知-數(shù)的值.

7.12015高考新課標(biāo)2,理13】-設(shè)向量￡,B不平行，向量九￡+石與Z+2B平行，則實數(shù)2=.

【答案】!

2

【解析】因為向量;12+人與Z+%平行、所以/1￡+石=左(￡+說)，則〈所，以，=%.

1=2k,2

【考點定位】向量共線.

【名師點睛】本題考查向量共線，明確平面向量共線定理、利用待定系數(shù)法得參數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬

于基礎(chǔ)題

8.12015江蘇高考，6】已知向量a=(2,1),*=(1,-2),若，樹+就=(9,-8)(加,〃eR),則加一〃的值為______.

【答案】-3

【解析】由題意得：2/n+n=9,w-2n=-8=i>w=2,?=5,zn-n=-3.

-【考點定位】向量相等

【名師點晴】明確兩向量相等的充要條件，它們的對應(yīng)坐標(biāo)相等.其實質(zhì)為平面向量基本定理應(yīng)用.向量共

線的充要條件的坐標(biāo)表示：若。=(不，)，1),辦=(七，%)，則辦，2一%2乂=°?向量垂直的充要條件的

坐標(biāo)表示：若。=(不，乂)“=(%2，y2))則=毛/+X%=。.

9.【2017江蘇，16】已知向量<z=(cosx,sinx),5=(3,-G),xe[0,n].

(1)若a〃"求x的值：

(2)，記/(X)=a/,求/”)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值；

【答案4(1)%=多(2)x=0時，f(x)取得最大值，為3；x=當(dāng)時，f(x)取得最小值，為—26.

【解析】解：(1)因為a=(cosx,sinx),5=(3,—g)，a//b,

所以一有cosx=3sinx-

若cosx=0,則sinx=0,與sin：x+cos：x=l矛盾,故COSXHO.

工曰+力

TTAEtanx=-——.

3

、5TT

又XW[O，F(xiàn)，所以

(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)?(3,-6)=3cosx-Gsinx=26cos(x+—).

6

因為尤6[0,n],所以x+二e[二,—]，

66o

從而一1<cos(x+^-)

TTTT

于是，當(dāng)x+w=w，即X=O時，f(x)取到最大值3；

66

TTSTT

當(dāng)3+:=兀，即％=蕓時，，r(x)取到最小值一26.

66

【考點】向量共線，數(shù)量積

【反饋練習(xí)】

1.【北京市順義區(qū)2018屆高三第二次統(tǒng)練(二模)數(shù)學(xué)理試題】已，知。是正△ABC的中心.若

①/低+4/,其中人〃eR，則:的值為

111

A.---B.---C.---D.2

432

【答案】c

【解析】由題。是正△ABC的中心延長C。交AB與D則

汐號妒+西中小立利界|記

,12Z1

即，=5'〃=一37=-5故選仁

2.【東北三省三校2018屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題】己知向量白=(1/)，5=(-1,2),若

他一5)//(2打+加)，則￡=()

A.0B.-C.-2D.-3

2

【答案】C

【解析】因為?！?=(2,-1),27+萬=(2—7,2+2。，

又因為但一方)//(2a+醫(yī))，所以2(2+2。=—(2—/”/=—2,選C.

3.【吉林省長春五校2018屆高三1月聯(lián)合模擬考數(shù)學(xué)(文)試題】已知向量&=(；,tana>6=(cosa,l),

二￡(萬,1)，且口//5,則sin(a-萬)=()

,_1R1r2>/2n2夜

3333

【答案】C

【解析】向量萬=；；』anaj,i=(cosa;l),且萬/石,則

1

-=tanacosa=sina,因為aw

3

則Sin；a-g；=-《?&=羋.故答案為：(：.

4.【安徽省宣城市三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知向量a=(4,-2),5=(x,l).若M石共線，則》的值是()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【解析】.)=(4,—2),5=(訓(xùn),且到5共線,

：.-2X=4,解得x=—2.選B.

5.【江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)2018學(xué)年數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且滿足

）=4麗+%107祝，若麗=彳祝（4€/?）,點。為直線8c?外一點，則《009=（）

A.3B.2C.1D.-

2

【答案】D

【解析】:.數(shù)列⑶｝為等差數(shù)列，滿足與=可礪+歷，

其中A,B,C在一條直線上，O為直線AB外一點，

.*.ai+aion-b

?數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列,

.3、1

..⑶｝的2al償=。1+%0「=1,AKXB=—

故答案為：D.

6.【福建省四校2018屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】已知向量了=（1,百），b=（-2,A）,且

1與5共線，則歸+同的值為.

【答案】2

【解析】由萬=（1，百），B=（-2,入），且萬與B共線，

得；1+26=0，^=-273.

貝||汗+6=（1，g）+（-2,-2石）=（-1,-73）?

'>\a+b\=7（-l）2+（-V3）2=2.

故答案為：2.

7.【湖南省張家界市2018屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題】已知向量a=（2,1）,5=（l-x,x）,

c=（-3x,3x）,滿足口//5,則5,。夾角的余弦值為.

【答案】一典

10

【解析】由萬〃5,得2*—（1T）=0,解得X=；,則5=停；），c=（-l,l）,

|x(T)+；xl

所以cos5,e=

10

,J(T>+F

8.【江西省2018屆高三畢業(yè)班新課程教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)(文)試題】設(shè)x,yeR,向量4=(x,l),5=(2,y),

c=(-2,2),且乙b//c，則|&+同=

【答案】曬

【解析】

a-Lc=>-2x4-2=0=>x=l=>a=(l:l)5i/2=4+2y=0=y=—2=?=(2,-2)=

石+5=(3「1戶|萬+同=附+/=屈.

故答案為：而

9.【四川省2018屆高三“聯(lián)測促改”活動數(shù)學(xué)(文科)試題】在平面向量中有如下定理：設(shè)點。、P、Q、

R為同一平面內(nèi)的點，則P、Q、R三點共線的充要條件是,：存在實數(shù)上使加=(1一。迎+f礪.試?yán)?/p>

用該定理解答下列問題：如圖，在A48C中，點E為AB邊的中點，點尸在AC邊上，且CT=2FA,BF

交CE于點M,設(shè)麗=1通+)通，則x+y=

7

【答案】y

【解析】:5,M,1三點共線,

.存在實數(shù)/,使得麗7=(1—/)通+「通,

又而=2正次」痔

3

:.AM=2(l-t)AE+^tAC,

又瓦M,C三點共線，

i3

：.2(\-t)+-t=l,解得f=g.

：.AM=2(l-t)AE+tAF=^AE+^AF

437

/.x——,y——中=二

55

答?案：y7

22

10.【2018年高考數(shù)學(xué)練酷專題】已知點A在橢圓上+工=1上，點P滿足麗=（4-1）函（/leR）（。

259''

是坐標(biāo)原點），且次?麗=72,則線段?！冈凇份S上的設(shè)影長度的最大值為

【答案】15

【解析】?.?萬=（2-1）與，

'.OP=WA,故。，月，尸三點共線.

'：OAOP=12,

厲聲=網(wǎng)閉=72,

22

設(shè)點*坐標(biāo)為（X,V）,則三+21=1.

259

令。/與x軸正方向的夾角為仇

則線段OP在x軸上的投影長度為

J±2L.±L72IXI

網(wǎng)=網(wǎng)閏=w

72國_72

=1516??915

2_,當(dāng)且僅當(dāng)行因=岡，即國=：時等號成立.

???線段”在x軸上的投影長度的最大值為15.

答案：15

11.【河南省鄭州市2018屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測（模擬）理科數(shù)學(xué)試題】

已知雙曲線C：二-5=1的右焦點為F,過點尸向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為M,交另一

a2b2

條漸近線于N,若7兩=3而，則雙曲線的漸近線方程為

【答案】y=±---x

2

【解析】由題意得雙曲線的右焦點尸GO）,設(shè)一漸近線。M的方程為y=±x,則另一漸近線QV的方程為

a

bmbn

y=--x.設(shè)A/；m,—IAHn.

aaa

7兩=3衣,

=3；…「如

Ia

2c

7(w—c)=3(w-c)m=—

,解得｛:.

(Ibm3bn

丁一丁n------

3

（2c2bc\

???點M的坐標(biāo)為|亍:萬i\>

又0M,

2bc

5

k0M-kjryf=-XJ。—=-1,整理得紇=—,

a--c/2

7

二雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±.

a2

答案：…當(dāng)

x-

點睛:

（1）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中‘丁’為"0”就得到兩漸近

x2222

線方程，即方程二J0就是雙曲線與一馬■=l（a>0,?！?）的兩條漸近線方程.