高中數(shù)學(xué)講義微90 取球問(wèn)題

微專(zhuān)題90取球問(wèn)題

一、基礎(chǔ)知識(shí):

在很多隨機(jī)變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過(guò)對(duì)“取球”提出不同的要求，來(lái)

考察不同的模型，常見(jiàn)的模型及處理方式如下：

1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取“，即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同。

2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取“

3、與條件概率相關(guān)：此類(lèi)問(wèn)題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的

結(jié)果對(duì)后一步抽球的影響

4、古典概型：要注意雖然題目中會(huì)說(shuō)明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型(保證基本

事件為等可能事件)，通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識(shí)進(jìn)行分

子分母的計(jì)數(shù)。

5、數(shù)字問(wèn)題：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問(wèn)題與數(shù)字相關(guān)(奇，偶，最大，最小等)，在

解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球'’的問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類(lèi)型進(jìn)行求解。

二、典型例題：

例1：一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球

(1)不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(2)有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(3)有放回的依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)X的分布列，期望和方差

(1)思路：因?yàn)槭遣环呕氐娜∏?，所以后面取球的情況受到前面的影響，要使用條件概率相

關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算。第一次已經(jīng)取到白球，所以剩下6個(gè)黑球，3個(gè)白球；若第二次取到黑球，

AvaA

則第三次取到黑球的概率為——，若第二次取到白球，則第三次取到黑球的概率為——，從

9898

而能夠得到第三次取到黑球的概率

解：設(shè)事件A為“不放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”

c/八6536482

/.P(A)=-----+------=—=—

9898723

(2)思路：因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏颍悦看稳∏虻慕Y(jié)果互不影響，屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?

所以第三次取球時(shí)依然是6個(gè)黑球，3個(gè)白球，取得黑球的概率為g

9

解：設(shè)事件B為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”

???P（5）=|

(3)思路：本問(wèn)依然屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，X的取值為0,1,2,3,則X符合二項(xiàng)分布，即

,所以可通過(guò)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求得概率，得到分布列

X~83,|

解：X的取值為0,1,2,3,依題意可得:

P(X=0)=Cfi3327

5)~125

2

叱2)=咱回唱

X0123

2754368

P

125125125125

???X~83,|

EX=32=9￡)X=3---=—

555525

例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑

球，現(xiàn)從甲，乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球

(1)求取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率

(2)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率

(3)設(shè)自為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望

思路：本題這三問(wèn)的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個(gè)數(shù)，考慮紅球個(gè)數(shù)來(lái)自于兩個(gè)盒內(nèi)拿出紅球

個(gè)數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進(jìn)行分配，從而得到每個(gè)盒中出紅球的情況，進(jìn)而計(jì)算出^

率

(1)設(shè)事件A,為“甲盒中取出，個(gè)紅球”，事件與為“乙盒中取出/個(gè)紅球”

則p(a)=%，p(B/)=3

設(shè)事件A為“4個(gè)球中沒(méi)有紅球”

則尸(小尸("闖=等?等=抬4

（2）設(shè)事件B為“4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”

z^?0z^?2

.?.P（3）=P（44）+/W°）=巖?巖+巖償=32_2_3__2

615615-5

（3）自可取的值為0,1,2,3

12

??/偌=。）=64）=歷P（4=l）=P（B）=g

Z^r2?"'Oz"?lx~?l0

P（舁2）=P（4A）+P（44）=巖.巖+巖

P（4=3）=P（48J=普.安一3?—3=—1

C4C661510

???自的分布列為:

0123

1221

PioTo

12213

.-.E^^Ox—+lx-+2x-+3x—=-

1055102

例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分

別為2、3、4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3,某人用左右手分別從甲、乙兩

袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

（2）若左右手依次各取兩球，稱(chēng)同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)

為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：（1）設(shè)事件A為“兩只手中所取的球顏色不同”，則A為“兩只手中所取的球顏色相同”

2333432

P（A）=1-P（A----1-----1-—?—

9999993

（2）X可取的值為0,1,2

Cl+C1+C；_5

左手取球成功的概率《

~18

右手取球成功的概率P2=G+Q-+G=-

C94

'7118J41814）18

p（x=2）=』,=a

'718472

X的分布列為

X012

1375

P

241872

“c13,7c519

EX=0x---F1x---F2x—=—

24187236

例4：袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從

袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì)3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸

球后結(jié)束

（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率

（2）記摸到紅球的次數(shù)為求隨機(jī)變量J的分布列及其期望

（1）思路：本題為有放回摸球，可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果摸球四次就停止，說(shuō)明在這四

次中一共摸到3次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球。通過(guò)紅白球數(shù)量關(guān)

系可知一次摸球中摸到紅球的概率為l，然后可按照分析列式并求出概率。

3

解：設(shè)事件4為“摸球四次即停止摸球“

解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的概率為！

3

/\

(^-

\/

（2）思路：可知〈可取的值為0,1,2,3,當(dāng)占=0,1,2時(shí)，摸球是通過(guò)完成5次后停止，所以

可利用獨(dú)立重復(fù)試臉模型計(jì)算概率；當(dāng)自=3時(shí)，按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束，所以要按摸

球的次數(shù)（3次，4次，5次）分類(lèi)討論后再匯總

解：J可取的值為0,1,2,3

P楂=2）=C；削Ij嗡

3222

5117

%=3)=

拼唱?jiǎng)〖釉豕拢?

724381

??.4的分布列為:

r0123

32808017

p

24324324381

埼=0x衛(wèi)+lx幽+2x幽+3X?131

2432432438117

例5：某商場(chǎng)在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)箱中有大

小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面

的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，

則停止取球.獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到

標(biāo)有“生”“意”"興”"隆”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意”“興”三個(gè)字的球?yàn)?/p>

三等獎(jiǎng).

（1）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)摸球次數(shù)為求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：（1）設(shè)a為“獲得i等獎(jiǎng)”

P(A)=—x—x—x—=-^―

v74444256

P(A>)=—x—x—x--1)=^—

'"4444、7256

P(AA=C[--X—X—X—-A^=—

V3734444464

（2）摸球次數(shù)4可取的值為1,2,3,4

?'P（-）=5g）亮;3

16

33327

P（一）VmP信=4)=

44464

g的分布列為:

1234

￡3927

P

4166464

L-1c3c9,2711

EJ=lx—+2x——i-3x——+4x—=—

41664644

例6：學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙箱子里面裝

有1個(gè)白球，2個(gè)黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2

個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲后將球放回原箱)

(1)求在一次游戲中

①摸出3個(gè)白球的概率

②獲獎(jiǎng)的概率

(2)求在三次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列與期望

(1)思路：本題的結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一個(gè)“拼球”的過(guò)程，即兩個(gè)箱子各自拿球，然后統(tǒng)計(jì)白球的

個(gè)數(shù)。則①：若摸出3個(gè)白球，則情況為甲2乙1。②：若獲獎(jiǎng)，則白球個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，可

分成白球有3個(gè)或有2個(gè)兩種情況，分別求出概率再求和即可

解：設(shè)4為“甲箱子里取出，個(gè)白球”，鳥(niǎo)為“乙箱子里取出/個(gè)白球”

①設(shè)事件A為“摸出3個(gè)白球”

②設(shè)事件8為“獲獎(jiǎng)”(即白球不少于2個(gè))

..?喇=網(wǎng)的)+3)+3)=警?斷mm

(2)思路：三次游戲可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以獲獎(jiǎng)次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，由(1)可得

X?8(3,焉)，從而可利用公式計(jì)算概率，列出分布列

解：X可取的值為0,1,2,3,依題意可得：X?^。，彳)

????—。)=心儒］=益尸—1)=4款高、蒜

P(X=2)=C；［落信卜焉唳=3)=《圖=器

.?.X的分布列為：

X0123

27189441343

P

1000100010001000

-/X3,—

I10

?“721

EX=3—=—

1010

例7：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。

(1)從袋子中任意摸出3個(gè)球，求摸出的球均為白球的概率;

(2)一次從袋子中任意摸出3個(gè)球，若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù)，則稱(chēng)“摸球成功”(每

次操作完成后將球放回)，某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為求4的分布列和數(shù)

學(xué)期望。

(1)思路：此間可用古典概型解決，事件Q為“10個(gè)球中任意摸出3個(gè)球“，則〃(C)=C3

所求事件A為“均是白球”，則〃(A)=C，從而P(A)=4d=-!-

J4\)〃g)30

解：設(shè)事件A為“3個(gè)球均為白球“

n/八亡41

尸(A)=-F=----=—

、)對(duì)12030

(2)思路：按題目敘述可知對(duì)于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),

結(jié)合J的含義可知J服從二項(xiàng)分布。但“摸球成功'’的概率還未知，所以先根據(jù)“摸球成功'’的要

求利用古典概型計(jì)算出一次成功的^率，再通過(guò)二項(xiàng)分布的公式計(jì)算J的分布列即可

解：設(shè)事件8為“一次摸球成功”

...p(5)=c；y+gc=歿二

\)C：o1203

J的取值為0,1,2,3,依題意可得：

—2)=需閭?cè)綦?3)=嗚'吟

.?.4的分布列為：

0123

1248

P

279927

例8：袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可

能性都相等.

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

(2)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(1)思路：本題的特點(diǎn)在于每個(gè)編號(hào)都有3個(gè)球，若將這12個(gè)球視為不同元素，則可利用

古典概型進(jìn)行計(jì)算，設(shè)。為“12個(gè)球中任取3個(gè)“，則”(。)=品，事件A為“三個(gè)球數(shù)字各

不相同”，則計(jì)數(shù)時(shí)第一步要先選出不同的三個(gè)編號(hào)，即C：,然后每個(gè)編號(hào)中都有3個(gè)小球可

供選擇，即所以〃(A)=C](C；y。進(jìn)而可計(jì)算出尸(A)

解：設(shè)事件A為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”

.P⑷=業(yè)L受立衛(wèi)

-i，〃⑼a55

(2)思路：依題意可知X的取值為1,2,3,4,依然用古典概型解決，但要明確X取每個(gè)值時(shí)

所代表的情況：當(dāng)X=1時(shí)，只能3個(gè)球均為1號(hào)球；當(dāng)X=2時(shí)，說(shuō)明至少有一個(gè)2號(hào)球，

其余的用1號(hào)球組成，即+C；C；+C；C；,或者使用間接法：從1,2號(hào)共6個(gè)球中先隨意

取三個(gè)，再減去不含2號(hào)球的情況，即(C；—C；)個(gè)，同理可得：X=3時(shí)，至少有一個(gè)3號(hào)

球，其余的球?yàn)?,2號(hào)球，所以由—個(gè)，X=4時(shí)，至少有一個(gè)4號(hào)球，其余的球?yàn)?/p>

1,2,3號(hào)球，所以由(C；2—C；)個(gè)，進(jìn)而求得概率得到分布列

解：X的取值為1,2,3,4

=19

.P（X=1）;-G=_LP(X=2)：

C，220C；2220

Cl-Cl=64

P（X=3）=P（X=

%—220'3220

的分布列為：

X1234

1191634

p

2202205555

,1c19+3x3,34_775_155

=lx----+2x----_i_A\z__—

EX=十V人--2-20--

220220555544

例9：一個(gè)盒子中裝有大小相同的小球〃個(gè)，在小球上分別標(biāo)有1,2,3,…，〃的號(hào)碼，已知從盒

子中隨機(jī)的取出兩個(gè)球，兩球的號(hào)碼最大值為"的概率為‘，

4

(1)盒子中裝有幾個(gè)小球？

(2)現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個(gè)球，記所取4個(gè)球的號(hào)碼中，連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值為

隨機(jī)變量自(如取2468時(shí);。=1；取1246時(shí)，4=2,取1235時(shí)，J=3)

(1)思路：以?xún)汕蛱?hào)碼最大值為拉的概率為入手點(diǎn)，則該敘述等價(jià)于“取出一個(gè)〃號(hào)球和一個(gè)

其它號(hào)碼球的概率為從而利用古典概型列出關(guān)于”的方程并解出n

4

解：設(shè)事件A為“兩球號(hào)碼最大值為〃”

111

得

角

即8

=-c,=---=

cr44

(2)思路：由(1)可得小球的編號(hào)為1—8,結(jié)合所給的例子可知自的取值為1,2,3,4,其概

率可用古典概型計(jì)算。4=1代表所取得數(shù)兩兩不相鄰，可能的情況有{1,3,5,7},

{1,3,5,8},{1,3,6,8},{1,4,6,8},{2,4,6,8}共5種；4=2表示只有一對(duì)相鄰的數(shù)或兩對(duì)相鄰的

數(shù)(兩隊(duì)相鄰的數(shù)之間不再相鄰)；4=3表示有三個(gè)相鄰的數(shù)，與另一個(gè)數(shù)不相鄰；J=4表

示四個(gè)數(shù)均相鄰，共5個(gè)。由于4=2包含情況較復(fù)雜，所以可以考慮算出其他情況的概率再

用1減即可。

解：J的取值為1,2,3,4

P（4=1）=W202

C814707

P（4=4）=--7=—-=—

’1C：7014

4

???P（&=2）=l—P4=l）—P（4=3）—P《=4）=,

J的分布列為:

1234

1421

P

147714

i,1c4c2,133

二.EJ=lx----l-2x—+3x—+4x—=——

14771414

例10：袋中裝有35個(gè)球，每個(gè)球上分別標(biāo)有1-35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為〃的球重

n~

-—5〃+15克，這些球等可能的從袋中被取出

2

(1)如果任取1球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率

(2)如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率

(3)如果取出一球，當(dāng)它的重量大于號(hào)碼數(shù)，則放回，將拌均勻后重取；當(dāng)它的重量小于號(hào)

碼數(shù)時(shí)，則停止取球，按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為求J的分布

列和期望

思路：(1)本題的球重與編號(hào)存在函數(shù)關(guān)系，要解得重量大于號(hào)碼數(shù)的概率，先要判斷出在

35個(gè)球中，那些球的重量大于號(hào)碼數(shù)，即解不等式°-5"+15>〃，可解出〃>6+指或

2

〃<6—6，所以〃的解集為｛1,2,3,9,10,11,…35｝共30個(gè)數(shù)，所以取出球重量大于號(hào)碼數(shù)

以*,,306

的概率為——=-

357

解：設(shè)事件A為“取I球其重量大于號(hào)碼數(shù)”

r\~

若球重量大于號(hào)碼數(shù)，則上5〃+15>〃

2

/.n2—12/2+30>0,解得：n>6+V6<6-V6

v1<n<35,nGN*

.?.〃的取值集合為{1,2,3,9,10,11,…35},共30個(gè)元素

22

〃JYT

（2）思路：不妨設(shè)取出的球的編號(hào)為機(jī),九，從而----5〃+15=-------5機(jī)+15,可推得:

22

4

根+〃=10,從而取出球的組合為{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}共4組，所以概率為一了

。35

解：設(shè)所取球的編號(hào)為加,〃，依題意可得:

22

-----5〃+15=-------5/7t+15

22

n2-nr=10(/?-m)=>(A:-m-10)=0

'：m^n/.根+〃=10

取出球的組合為{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}

設(shè)事件B為“取出2球重量相等”

???尸⑻技嗡

（3）思路：依題意可知：J可取的值為1,2,3,由（1）可知球重量大于號(hào)碼的概率為與，因

為是可放回的抽取，所以每次抽取為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)彳=1時(shí)，可知取出的球重量小于號(hào)碼

數(shù)；當(dāng)4=2時(shí)，則第一次取出的球比號(hào)碼數(shù)大，第二次取出的球比號(hào)碼數(shù)??；當(dāng)J=3時(shí),

則前兩次取出的球比號(hào)碼數(shù)大（無(wú)論第三次如何都終止取球），從而求出概率得到分布列

解：J可取的值為1,2,3,由（1）可知取出球重量大于號(hào)碼的概率尸（A）=。

.-.P（^=1）=P（A）=1-^=1

p傳=2）=g[=cP（。=3）=9.9=迎

''7749'/7749

4的分布列為:

4123

636

P

74949

三、歷年好題精選

1、(2014,福建)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行

獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)

球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求:

①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；

②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.

(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值

10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客

得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)

袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.

2、(2014,重慶)一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)

字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.

(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(注：若三個(gè)數(shù)。，"c,滿(mǎn)足aW力Wc,則稱(chēng)沙為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))

3、袋中共有10個(gè)大小相同的編號(hào)為1,2,3的球，其中1號(hào)球有1個(gè)，2號(hào)球有3個(gè)，3號(hào)球

有6個(gè)

(1)從袋中任意摸出2個(gè)球，求恰好是一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球的概率

(2)從袋中任意摸出2個(gè)球，記得到小球的編號(hào)數(shù)之和為求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)

期望

4、袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,345的小球各2個(gè)，現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)小球，假設(shè)每個(gè)小球被

取出的可能性都相等

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字分別是1,2,3的概率

(2)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同的概率

(3)用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求X的分布列

習(xí)題答案:

1、解析：(1)①設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X

，P(X=60)=卷弓

(2)X可取的值為20,60

1C21

P（X=60）*心…。）=才萬(wàn)

」.X的分布列為

X2060

P0.50.5

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為歐=40.

(2)每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額為竺吧=60元，可知期望有可能達(dá)到60的只有方案

1000

(10,10,50,50)或(20,20,40,40),分別分析以下兩種方案：

方案一：(10,10,50,50),則毛的取值為20,60,100

「(乂=2。)咱年360)=登彩尸”口。。)咱V

EX=20--+60-+100-=60

i636

1600

DX（20-60）2--+（60-60）2--+（100-60）2--

}6363

方案二：(20,20,40,40),則X?的取值為40,60,80

P(Xz=40)=W唳2=60)=詈=：網(wǎng)匕=80)=擊=；

。46C436

:.EX,=40-+60--+80--=60

2636

,1,291400

DX}=(40-60)'--+(60-60)---+(80-60)--=——