高中數(shù)學(xué) 4-3向量與實數(shù)相乘課后訓(xùn)練 湘教版必修2

4.3向量與實數(shù)相乘雙基達標(biāo)(限時20分鐘)1．2(3a－2b)－3(a－b)等于 A．3a－b B．－b C．9a－7b D．9解析2(3a－2b)－3(a－b)＝6a－4b－3a＋3b＝3答案A2．四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD是 ()．A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－2b，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形．答案B3．若O是平行四邊形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\f(3,2)e2－e1等于()．A.eq\o(BO,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→)) C.eq\o(CO,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))解析因為eq\f(3,2)e2－e1＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，故選A.答案A4．已知|a|＝3，|b|＝2，a與b方向相反，則a＝________b.答案－eq\f(3,2)5．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則k＝________.解析∵m與n共線，∴m＝λn(λ∈R)，即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝－2λ,k＝λ))，解答k＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).解在題圖中，連接CN，∵N為AB的中點，∴AN綉DC，∴四邊形ANCD是平行四邊形．eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b，又eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.綜合提高限時25分鐘7．如圖，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))等于()．A.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).答案B8．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的三個點，一動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則直線AP一定通過△ABC的()．A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心解析由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴△ABC中BC的中線在直線AP上，故直線AP一定通過△ABC的重心．答案C9．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量y＝________．解析2y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)y＋b＝0，即eq\f(7,2)y－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b＝0，∴y＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.答案eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c10．在四邊形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BC的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝________．(用a、b表示)解析∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＋(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝－b＋a.∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.答案eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b11．(1)設(shè)a、b是兩個不共線向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a－2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋4b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a－4b，試判斷A、C、D(2)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，證明這個四邊形為梯形．(1)解∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，從而向量eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線．又∵有公共點C，故A、C、D三點共線．(2)證明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|.∵這兩個向量所在直線不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四邊形ABCD是以AD、BC為兩條底邊的梯形．12．(創(chuàng)新拓展)如右圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是CD、BC上的點且DM＝eq\f(1,4)DC，BN＝eq\f(1,3)BC，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝a，eq\o(AN,\s\up6(→))＝b，試以a、b為基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).解∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，而eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a. ①又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，而eq\o(BN,\s\up6(→))＝