專(zhuān)題4-1等差數(shù)列性質(zhì)技巧歸類(lèi)（原卷版）

專(zhuān)題4.1等差數(shù)列性質(zhì)技巧歸類(lèi)一、知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】等差數(shù)列定義判定【題型二】等差中項(xiàng)【題型三】等差數(shù)列的“高斯計(jì)巧”【題型四】高斯計(jì)巧：函數(shù)型求和【題型五】雙等差數(shù)列an與sn比值型【題型六】正負(fù)型【題型七】sn最值型【題型八】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型【題型九】等差數(shù)列單調(diào)性【題型十】等差數(shù)列與三角函數(shù)【題型十一】等差數(shù)列應(yīng)用題三、高考真題對(duì)點(diǎn)練四、最新?？碱}組練知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．2.等差中項(xiàng)的概念若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．注意：在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；二、等差數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．1.通項(xiàng)公式的推廣：．在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；2.在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).3.在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；，…仍是等差數(shù)列，公差為．4.，…也成等差數(shù)列，公差為．等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列5.若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．即：兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①；②；若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①(中間項(xiàng))；②.7.等差數(shù)列中，,則,.8.如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．9.若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.10.等差數(shù)列的增減性：時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最小值．時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最大值．四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．五、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值1.公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．2.在等差數(shù)列中（1）若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；（2）若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．即若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．熱點(diǎn)考題歸納【題型一】等差數(shù)列定義判定【典例分析】1.（2023春·河南鄭州·高二河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?shù)列中，，（為正整數(shù)），則（

）A． B． C． D．2.（2022秋·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】方法解讀適合題型定義法為同一常數(shù)?是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法成立?是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前項(xiàng)和公式法驗(yàn)證為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列等差數(shù)列的判定與證明的方法【變式演練】1.（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二阜陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）2.（2022·廣東廣州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3.（2022春·河南鄭州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿(mǎn)足，，，若，則k=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型二】等差中項(xiàng)【典例分析】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差d均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則，，的公差為（

）A． B． C． D．2.（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，使,成等比數(shù)列，則公差的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5提分秘籍】.等差中項(xiàng)的概念若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．【變式演練】1.（2021·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．且，是公差為的等差數(shù)列，則．2.（2019秋·河南漯河·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，若是數(shù)列中的項(xiàng)，則所有m的取值集合為.3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是公差為3的等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，設(shè)甲：的首項(xiàng)為零；乙：是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【題型三】等差數(shù)列的“高斯技巧”【典例分析】1.．（2023春·黑龍江雙鴨山·高二?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．1 C． D．2.（2017·全國(guó)·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，則的值是．【提分秘籍】等差數(shù)列“高斯計(jì)巧”若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，…仍是等差數(shù)列，公差為．4.，…也成等差數(shù)列，公差為．【變式演練】1.（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，且，則．2.（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前2023項(xiàng)的和.【題型四】高斯技巧：函數(shù)型求和【典例分析】1.（2018春·湖北隨州·高一隨州二高階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，函數(shù)，則的值為A． B． C． D．與有關(guān)2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝A．22019 B．22020 C．22017 D．22018【變式演練】1.（2017·云南紅河·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．12.（2019秋·江蘇南通·高三江蘇省南通中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且滿(mǎn)足則.3.（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，等差數(shù)列的公差為，若，則.【題型五】雙等差數(shù)列an與sn比值型【典例分析】1.（2023春·黑龍江大慶·高三?？迹┑炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，如果，的值是（

）A． B． C． D．2.（2023春·河北唐山·高三模擬）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【提分秘籍】若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.【變式演練】1.（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．2.（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊八一中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若對(duì)任意的，都有，則的值為（

）A． B． C． D．3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)和都是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為和，若，，則（

）A． B． C． D．【題型六】正負(fù)型【典例分析】1.（2021·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2.（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．【提分秘籍】在處理等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為判定的符號(hào)變化：①若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最大；②若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最??；③若最大，則.【變式演練】1.（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，且其前項(xiàng)和為，若，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2.．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④3.（2022·高二單元測(cè)試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．若，，則， B．若，，則，C．若，，則， D．若，，則，【題型七】sn最值型【典例分析】1.（2019秋·河北石家莊·高三辛集中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，且，為其前項(xiàng)和，則使的最大正整數(shù)為（

）A． B． C． D．2.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為有最小值，且，則使成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．9 B．10 C．17 D．18【提分秘籍】在等差數(shù)列中（1）若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；（2）若，則滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．即若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．【變式演練】1.（2023春·上?！じ叨谥校┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．212.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則中，最大的項(xiàng)為（

）．A． B． C． D．3.（2023秋·山西呂梁·高三聯(lián)考）公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．時(shí)，n的最大值為2022C．有最大值 D．時(shí)，n的最大值為4044【題型八】奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和型【典例分析】1.（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．272.（2022秋·高三單元測(cè)試）設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，1.若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①；②；2.若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①(中間項(xiàng))；②.【變式演練】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．2.（2021·高三課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)（為偶數(shù)）和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為69，且，則數(shù)列公差為（

）A． B．4 C．6 D．3.（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，且，則（

）A． B． C． D．【題型九】等差數(shù)列的單調(diào)性【典例分析】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)2.（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】等差數(shù)列的增減性：時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最小值．時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最大值．【變式演練】1.（2023秋·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是2.（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，則的取值范圍為.（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型十】等差數(shù)列與三角函數(shù)【典例分析】1.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則數(shù)列前36項(xiàng)和為（

）A．174 B．672 C．1494 D．59042.已知等差數(shù)列的公差，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，則首項(xiàng)的取值范圍是A． B．C． D．【變式演練】1.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，且，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．2.等差數(shù)列滿(mǎn)足：，,且公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列前項(xiàng)和取得最大值，則的取值范圍是____________．3.列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_________．【題型十一】等差數(shù)列應(yīng)用題【典例分析】1.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼，耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，全書(shū)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)，秦，漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為：“今有5人分5錢(qián)，各人所得錢(qián)數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問(wèn)各得多少錢(qián)？”.則第4人所得錢(qián)數(shù)為（

）A．錢(qián) B．錢(qián) C．錢(qián) D．1錢(qián)2.如圖，一個(gè)粒子從原點(diǎn)出發(fā)，在第一象限和兩坐標(biāo)軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒時(shí)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，接著它按圖所示在軸?軸的垂直方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么，在2022秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置在點(diǎn)___________.【變式演練】1.《九章算術(shù)類(lèi)比大全》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中許多數(shù)學(xué)問(wèn)題是以詩(shī)歌的形式呈現(xiàn)的.某老師根據(jù)其中的“寶塔裝燈”編寫(xiě)了一道數(shù)學(xué)題目：一座塔共有層，從第層起，每層懸掛的燈數(shù)都比前一層少盞，已知塔上總共懸掛盞燈，則第層懸掛的燈數(shù)為（

）A． B． C． D．2.隨著我國(guó)新冠疫情防控形勢(shì)的逐漸好轉(zhuǎn)，某企業(yè)開(kāi)始復(fù)工復(fù)產(chǎn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，年月份到月份的月產(chǎn)量（單位：噸）逐月增加，且各月的產(chǎn)量成等差數(shù)列，其中月份的產(chǎn)量為噸，月份的產(chǎn)量為噸，則月到月這四個(gè)月的產(chǎn)量之和為（

）A．噸 B．噸 C．噸 D．噸3.某運(yùn)輸卡車(chē)從材料工地運(yùn)送電線(xiàn)桿到500m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m埋一根電線(xiàn)桿，又知每次最多只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)載20根電線(xiàn)桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸卡車(chē)運(yùn)行()A．11700m B．14600mC．14500m D．14000m高考真題對(duì)點(diǎn)練1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為，則（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．127．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．8．（湖北·高考真題）已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．5 D．49．（2020·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為．最新模考真題1.（2022秋·福建漳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．1432.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（

）A．1460 B．1472C．1666 D．16783.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？迹?/p>