教案：高中數學人教B版 必修 第一冊 集合及其表示方法

第一章集合與常用邏輯用語

1.1.1集合及其表示方法

第2課時

教學目標

1.掌握用列舉法和描述法表示集合；

2.能夠用區(qū)間表示集合.

3.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區(qū)間可以用數軸形象地表示，

提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的直觀想象素養(yǎng)；對描述法的理解，提

升學生的數學抽象素養(yǎng).對給出的集合進行化簡運算后用區(qū)間表示，提升學生的數學運

算素養(yǎng).

教學重難點

教學重點：集合的表示、區(qū)間.

教學難點：對集合的特征性質的理解及運用特征性質描述法來表示集合.

教學過程

【新課導入】

前面提到的集合都是用自然語言描述的，但在數學中，我們經常要使用符號來表示

集合.

設計意圖：承上啟下，自然過渡到本節(jié)課的內容.

【探究新知】

知識點1列舉法

問題1：（1）由兩個元素0,1組成的集合如何用符號語言表示？

（2）24的所有正因數1,2,3,4,6,8,12,24組成的集合如何用符號語言表示？

（3）中國古典長篇小說四大名著組成的集合如何用符號語言表示？

師生活動：閱讀教科書第5頁，給出列舉法的定義：把集合中的元素一一列舉出來（相

鄰元素之間用逗號要隔），并寫在大括號內，以此來表示集合的方法稱為列舉法.根據

列舉法的定義，學生回答，教師分析指導.

預設的答案：（1）｛0,1｝；（2）｛1,2,3,4,6,8,12,24｝；（3）｛《紅樓夢》，《三

國演義》，《水滸傳》，《西游記》｝.

設計意圖：從學生熟悉的具體實例出發(fā)，說明可用列舉法表示一類集合.

追問1：用列舉法表示集合時，要考慮元素的順序嗎？（一般不考慮元素的順序）

追問2：如何用列舉法表示:“不大于100的自然數組成的集合”?（｛0,1,2,3,...,

100））

教師點評：口，2｝與｛2,1｝表示同一個集合.但是，如果一個集合的元素較多，且能

夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個元素作

為代表，其他元素用省略號表示.例如，不大于100的自然數組成的集合，可表示為｛0,

1,2,3,...,100｝.

追問3：是不是只有有限集才可以用列舉法表示呢？（不是）

教師點評:無限集有時也可用列舉法表示.例如，自然數集N可表示為｛0,1,2,3,,

n,...｝.

追問4：｛a｝與a相同嗎？（不同）

教師點評：｛目是只含一個元素的集合，這一個元素是a,要將｛a｝與它的元素a加以

區(qū)別，事實上，ae｛a｝.

知識點2描述法

問題2：以下集合用列舉法表示方便嗎？如果不萬便，你覺得可以怎樣表示？

(1)滿足x>3的所有數組成的集合外

(2)所有有理數組成的集合。.

師生活動：與學生一起探討：顯然，用列舉法表示上述集合并不方便，但因為集合N

中的元素x都具有性質“x是大于3的數”，而不屬于集合N的元素都不具有這個性質，

因此可以把集合A表示為U|x是大于3的數｝或k1x>3),

即A=U|x是大于3的數｝或A=k|x>3｝.類似地，Q中的每一個元素都具有性質“是兩

個整數的商”，而不屬于0的元素都不具有這個性質，因此可以把。表示為?｛x|x是兩

個整數的商｝或。=｛x|x=一,neZ,meZ,n0).

一n

教師總結：上述表示集合的方法中，大括號內豎線的左邊是元素的形式，豎線的右邊

是只有這個集合中的元素才滿足的性質.

一般地，如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質p(x),而不屬于集合A的元

素都不具有這個性質，則性質p(x)稱為集合/的一個特征性質.此時，集合/可以用

它的特征性質p(x)表示為｛x10(x)｝.這種表示集合的方法，稱為特征性質描述法，

簡稱為描述法.

設計意圖：以問題為切入口，通過解決問題來引入新知，有助于培養(yǎng)學生的學習興趣，

提高分析問題解決問題的能力.

追問1：集合｛x>3｝與｛x|x〉3｝是相同的集合嗎？(不是)

教師點評：根據集合的表示方法，集合｛x>3｝與｛x|x〉3｝是有區(qū)別的：前者表示的

是由不等式x>3組成的集合，其只包含一個元素，它是有限集；后者是滿足不等式X〉

3的所有數組成的集合，包含無窮多個元素，它是無限集.

【做一做】試用描述法表示下列集合：

（1）所有平行四邊形組成的集合（｛x1x是一組對邊平行且相等的四邊形｝）

（2）所有能被3整除的整數組成的集合（｛X1A=3〃，77EZ｝）

（3）所有被3除余1的自然數組成的集合（｛x1尸3加1,77EN｝）

【想一想】集合｛X?N1A=3加1,77EZ）是不是表示“所有被3除余1的自然數組成的

集合”？

教師點評：集合｛x）（x）｝中所有在另一個集合/中的元素組成的集合，可以表示為

1/p（x）｝.

知識點3區(qū)間及其表示

閱讀教科書第7、8頁：區(qū)間及其表示

師生活動：學生閱讀后總結用區(qū)間表示集合：如果a〈6,則集合可簡寫為

［a,b\,并稱為閉區(qū)間；集合｛x1a〈x〈6｝可簡寫為（a,b）,并稱為開區(qū)間；集合｛x|a

可簡寫為［a,b）,集合｛x|a〈xW6｝可簡寫為（a,b\,并都稱為半開半閉區(qū)間.

【想一想】我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，那么區(qū)間可以用數軸形象地

表示嗎？

師生活動：學生探討，教師總結：區(qū)間中，a,8分別稱為區(qū)間的左、右端點，從a稱

為區(qū)間的長度.區(qū)間可以用數軸形象地表示.例如，區(qū)間［-2,1）可用下圖表示，注意圖

中一2處的點是實心點，而1處的點是空心點.在用數軸表示區(qū)間時，實心點代表取得

到，空心點代表取不到.

-3-2-1O123x

【做一做】如果用“+8”表示“正無窮大”，用“一8”表示“負無窮大”，則:

實數集R可表示為區(qū)間；

集合k|xNa｝可表示為區(qū)間；

集合｛x|x>a｝可表示為區(qū)間；集合｛x|xWa｝可表示為區(qū)間；

集合｛x|x〈a｝可表示為區(qū)間；將區(qū)間［7,+8)用數軸表示為

預設的答案：(-8,+8)+8)(&+8)(—8,司(—8,己)

?，一

7x

【鞏固練習】

例1用適當的方法表示下列集合，并指出它是有限集還是無限集.

(1)方程x(x—l)=0的所有解組成的集合A；

(2)平面直角坐標系中，第一象限內所有點組成的集合B.

(3)由直線尸-x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數的點組成的集合.

(4)不等式3x+4Nx的解集.

師生活動：學生完成，教師點評，并思考選用哪種表示方法合適.

預設的答案：(1)因為。和1是方程x(x-1)=0的解，而且這個方程只有兩個解，所

A={0,1).

(2)因為集合6的特征性質是橫坐標與縱坐標都大于零，因此

B={(x,y)|x>0,y>0}.

(3)用描述法表示該集合為滬{(x,y)|尸-x+4,x?N,4},或用列舉法表示該集合

為{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.有限集.

(4)由3x+4>x得2x>-4,所以x>-2,所以不等式3x+4>為的解集是［-2,+8).無

限集.

設計意圖：鍛煉學生分析問題、解決問題的能力.在這里可以引導學生總結和歸納集

合的兩種不同的表示方法的優(yōu)缺點。事實上，列舉法表示的集合，其所包含的元素大多

都是能直接看出來的；描述法雖然更加簡潔，但是判斷一個對象是否是個集合的元素，

有時候并不容易。

例2用區(qū)間表示不等式的所有解組成的集合4

2

師生活動：學生完成，教師點評.

預設的答案：由2x-L>x可知,所以力=d,+oo).

222

設計意圖：本題是為了讓學生熟悉區(qū)間的記號而設置的.教學過程中可以讓學生畫出

對應解集的數軸表示，這樣可以讓學生鞏固區(qū)間與數軸的關系。另外，本例的講解也是

為后續(xù)不等式解集的呈現做好鋪墊.

【課堂小結】

1.板書設計：

LL1集合及其表示方法(2)

「列舉法

(1)集合的表示方法(2)區(qū)間及其表示

描述法

例1例2

如果a〈兒則

隹入

果口區(qū)間名稱

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

{x\a<x<b}

隹A

果口區(qū)間數軸

{x\x>a}

{x\x>a}

{x\x<b}

{x\x<b]

練習：教科書第9頁練習A3,4,5題.

作業(yè)：

1.（2020?章丘區(qū)校級模擬）用列舉法可表示集合A={xeZ|-3<2x-l<3},則人=

2.教科書第9頁