2021屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)關(guān)學(xué)案(文理)模塊一三角函數(shù)與解三角形(原卷版)_第1頁(yè)
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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課程

模塊一三角函數(shù)與解三角形基礎(chǔ)知識(shí)丹描

[高中通用版(學(xué)生版)]

目錄

第一講、角的概念及弧度制.....................................................1

【知識(shí)點(diǎn)1】任意角..............................................................1

【知識(shí)點(diǎn)2】象限角.........................................................1

【知識(shí)點(diǎn)3]終邊相同的角的表示.............................................2

【知識(shí)點(diǎn)4】角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化...........................................4

【知識(shí)點(diǎn)5】弧長(zhǎng)公式.......................................................5

第二講、任意角的三角函數(shù)......................................................5

【知識(shí)點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義.................................................5

【知識(shí)點(diǎn)2】三角函數(shù)值的符號(hào)...............................................6

【知識(shí)點(diǎn)3】三角函數(shù)線.....................................................7

第三講、三角函數(shù)同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式............................................8

【知識(shí)點(diǎn)1】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.......................................8

【知識(shí)點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式......................................................11

第四講、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像與性質(zhì)...............................15

【知識(shí)點(diǎn)1】五點(diǎn)作圖法................................................16

【知識(shí)點(diǎn)2]定義域、值域及取值范圍問(wèn)題....................................19

【知識(shí)點(diǎn)3】函數(shù)的周期性..................................................22

【知識(shí)點(diǎn)4]三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心....................................24

【知識(shí)點(diǎn)5]奇偶性........................................................25

【知識(shí)點(diǎn)6】單調(diào)性........................................................26

第五講/(%)=Asin(3¥+。)圖像與性質(zhì)........................................29

【知識(shí)點(diǎn)1】伸縮變化問(wèn)題..................................................29

【知識(shí)點(diǎn)2]/(%)=Asin(@x+。)圖像與性質(zhì)................................31

第六講三角恒等變換..........................................................34

【知識(shí)點(diǎn)1]三角恒等變換及輔助公式........................................34

【知識(shí)點(diǎn)2】正切兩角和差公式變形..........................................36

【知識(shí)點(diǎn)3】二倍角公式....................................................37

【知識(shí)點(diǎn)4】輔助角公式....................................................41

第七講、解三角形.............................................................44

【知識(shí)點(diǎn)1】正弦定理......................................................44

【知識(shí)點(diǎn)2】余弦定理......................................................46

【知識(shí)點(diǎn)3]三角形的面積公式..............................................49

【知識(shí)點(diǎn)4]解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例........................................52

第一講、角的概念及弧度制

【知識(shí)點(diǎn)1】任意角

平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。(射線的起始位置稱為始邊,終止

位置稱為終邊。

正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角

負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角

零角:射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)所形成的角

例1.將射線0M繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。所得的角的大小為()

A.1200B.-1200C.6O0D.24O0

變式1.在直角坐標(biāo)系中,以x軸為始邊,繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)720。所得的角的大小為.

變式2.寫(xiě)出圖(1)、(2)中的角a、P、丫的度數(shù).

【溫你一馨】任意角問(wèn)題,帶有旋轉(zhuǎn)方向。

【知識(shí)點(diǎn)2】象限角

在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合,角的

終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角.

如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限,稱為

軸上角:終點(diǎn)與坐標(biāo)軸重合的角,例如:0=90,180,…

例2.角a=105°是哪個(gè)象限角?o

變式1.角a=—215°是哪個(gè)象限角?。

變式2.下列命題正確的是()

A.第一象限角是銳角B.鈍角是第二象限角

1

C.終邊相同的角一定相等D.不相等的角,它們終邊必不相同

變式3.若一30°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,現(xiàn)將一30°角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周,則所得角

是.

歸結(jié);

TT

第一象限角的集合為P={x|2Z萬(wàn)<x<2%乃+,,keZ}

TT

第二象限角的集合為P={%|2七7"+鼻<%<2左乃+",kwZ\

第三象限角的集合為P={x\2k7r+7r<x<2k^+^3萬(wàn)-,%eZ}

37r

第四象限角的集合為P={x|2Qr+/<x<2Rr+2%,E]

【知識(shí)點(diǎn)3]終邊相同的角的表示

。終邊與。終邊相同(。的終邊在,終邊所在射線上)oa=6+2版■/eZ),

注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.

A組

例3.下列與150。角終邊相同的角是()

A.30°B,-1500C.390°D,-2100

變式1.下列各角中,與一1110°的角終邊相同的角是()

A.60°B.-60°C.30°D.-30°

變式2.與210°角的終邊相同的角(包括210°角)組成的角的集合是,

例4.若角a的終邊在函數(shù)y=-x的圖象上,試寫(xiě)出角a的集合.

變式1.若角a的終邊在函數(shù)y=岳,(xN0)的圖象上,試寫(xiě)出角a的集合.

2

變式2.已知集合4={0^=無(wú)」80?!?5。,左GZ},集合8={緲=,90°+45°,左GZ},則A與8的關(guān)系是()

A.QBB.8二MC.A=BD.且BZA

H工

B組

例5.已知角a=2016°.

(I)把a(bǔ)改寫(xiě)成左360。+川^^乙0。3?<360。)的形式,并指出它是第幾象限角;

(2)求仇使。與a終邊相同,且一360°二。<7與。.

反思與感悟:求適合某種條件且與已知角終邊相同的南,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般

形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.

變式1.與角-1825°的終邊相同,且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是,弧度表示為—

變式2.已知角£=心180。+45。,交Z,則角/?屬于第幾象限角?

例6.已知a為第二象限角,求]的終邊所在的象限.

變式1.若角a是第一象限角,問(wèn)一a、2a、]是第幾象限角?

技巧與方法:此時(shí)此地你有什么領(lǐng)悟嗎?若討論a亍c所c屬象限,你能get到嗎?

3

【知識(shí)點(diǎn)4】角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化

弧度制:半徑為r的圓,其圓弧等于半徑所對(duì)的圓心角即為1弧度,記作:lrad.

角度制與弧度制的關(guān)系:

360°=2兀

常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7171兀7127r345434

07127

~67~37T~6T

例7.(1)將角度制轉(zhuǎn)換成弧度制:

①175。=rad.②—300°=rad.(3)2°—rad

(2)將弧度制轉(zhuǎn)換成角度制:

①2=。需=。③普。.

變式1.角度制與弧度制間的互化:

①°;②-75"=rad,5400=rad

變式2.a=-2rad,則a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4

【知識(shí)點(diǎn)5】弧長(zhǎng)公式

l=\a\R,扇形面積公式:S=^lR=^\a\R2(e為弧度制).

例8.已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積。

變式1.已知半徑為10cm的圓上,有一條弧的長(zhǎng)是40cm,則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是.

變式2.已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大?最大面積

是多少?

第二講、任意角的三角函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義

①如圖,設(shè)a是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么:

y叫做。的正弦,記作sina,即sina=y;

x叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=x;

即U做a的正切,記作tana,即tana=*xW0).

正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為閑數(shù)值的閑數(shù).

【補(bǔ)充延申】三角函數(shù)也可定義為:設(shè)a是任意一個(gè)角,P(x,y)是a的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),

它與原點(diǎn)的距離是7=J〉+V>0,那么sina=2,cosa=2,tana00)。

rrx

三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。

例1.若角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)(乎,一冬,則Sina的值為.

例2.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,-12),則sina+cosa的值為.

4

變式1.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(〃八-3),且cosa=一亍則相等于.

變式2.已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P(—3m,m)(m和),則sina=.

5

變式3.已知角的終邊落在直線y=2x上,求sina、cosa、tana的值.

【知識(shí)點(diǎn)2】三角函數(shù)值的符號(hào)

sina、cosa、tana在各個(gè)象限的符號(hào)如下:

【口訣記憶】

“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.

x

其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正,O0

在第二象限只有正弦值為正,在第三象限

只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為」sinacosatana

例3.判斷下列各式的符號(hào):

①sin3-cos4-tan5;②a是第二象限角,sina-cosa.

⑵若cos6k0且sin6>0,貝碌是第()象限角

A.~B.三C.一或三D.任意象限角

變式1.已知點(diǎn)尸(tana,cosa)在第三象限,則a是第象限角.

變式2.設(shè)a是第三、四象限角,5山。=竽三,則形的取值范圍是_______

4-m

變式3.若應(yīng)回+與幺=0,試判斷sinecos。的符號(hào)__________.

sina|cosa|

6

記一記.特殊角的三角函數(shù)值:

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

717171712萬(wàn)3萬(wàn)5〃3萬(wàn)

07C

67T7-3~TTT

sinaj_V2V3V2

0皇10-1

2V2222

cosa5/3V2j_\__V2_V3

10-10

TV2'2F

tanaV3/_V3

01V3-V3-10

T/

例4.作出一苓的正弦線、余弦線和正切線.

O

變式1.在單位圓中畫(huà)出滿足sina=:的角a的終邊,并求角a的取值集合.

7

B組

例5.利用三角函數(shù)線比較sin段和sin季cos與和cos尊tan與和tan,的大小.

反思與感悟:利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時(shí),一般分三步:(1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座”;(2)

比較三角函數(shù)線的長(zhǎng)度;(3)確定有向線段的正負(fù).

變式1.比較sin1155。與sin(-l654。)的大小.

第三講、三角函數(shù)同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式

【知識(shí)點(diǎn)1】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

知識(shí)9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

win(y

(1)平方關(guān)系:sin2?+cos2a-1(2)商數(shù)關(guān)系:tantz=--------

cosa

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是,己知一個(gè)角的三角函數(shù)值,求此角的其它三角函數(shù)值.

在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí),要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進(jìn)行

定號(hào);在具體求三角函數(shù)值時(shí),一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,而是先根據(jù)角的范圍確定三

角函數(shù)值的符號(hào),再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。

例1.(1)若sina=—/,且a為第四象限角,則tana的值為()

12c5r5

A.yB.■yC.^2D.n

兀1

(2)已知一sina+cos0=亍則lana的值為()

4334

A.—B.—C'D.2

反思與感悟:

(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系,其常用的用途是“知一求二”,即在sina,

cosa,tana三個(gè)值之間,知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè).解題時(shí)要注意角a的象限,從而判斷三角函數(shù)

值的正負(fù).

8

(2)已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問(wèn)題,我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解,其關(guān)

鍵在于運(yùn)用方程的思想及(sinaicosa)2=l±2sinacosa的等價(jià)轉(zhuǎn)化,分析解決問(wèn)題的突破口.

4

變式1.已知tan且a是第三象限角,求sina,cosa的值.

8

變式2.已知cosQ=-F,求sina,tana的值.

反思與感悟利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時(shí),若沒(méi)有給出角a是第幾象限角,則應(yīng)分類討論,先由已知

三角函數(shù)的值推出a的終邊可能在的象限,再分類求解.

例2.已知tana=2,求下列代數(shù)式的值.

4sina—2cosa(2)^sin2?+^sinacosa+gcos%.

(1)5cosa+3sina;

反思與感悟:

(1)關(guān)于sina,cosa的齊次式,可以通過(guò)分子、分母同除以cosa或CQV?。轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的式子后再求

值.

(2)假如代數(shù)式中不含分母,可以視分母為1,靈活地進(jìn)行“1”的代換,由1=sin?。+cad。代換后,再

同除以cas^a,構(gòu)造出關(guān)于tana的代數(shù)式.

9

sina+cosa、|田—一八

變式1.已知而二嬴a=2,計(jì)算下列各式的值.

3sina-cosa

(1)―;---------------?(2)sin2a—2sinacosa+1.

2sina+3cosa

cos2a

例3.(1)化簡(jiǎn):sin2atana+.+2sinacosa.

131M1(X

tanasinatana+sina

(2)求證:

tana—sinatanasina

反思與感悟:

(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧

①化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

②對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造1=sin?。+CQS)。,以降低函數(shù)次數(shù),

達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

(2)證明三角恒等式的過(guò)程,實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程,證明恒等式常用以下方法:

①證明一邊等于另一邊,一般是由繁到簡(jiǎn).

②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一).

左邊

③比較法:即證左邊一右邊=0或手彳=1(右邊和).

石現(xiàn)

④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立,從而推出原式成立.

10

變式1.化簡(jiǎn)tana念一1,其中a是第二象限角.

【知識(shí)點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式I:sin(a+^-27i)=sina,cos(a+Q2?=cosa,tan(a+Z,2兀)=tana,其中

誘導(dǎo)公式2:sin(jc+a)=-sina,cos(7c+a)=—cosa,tan(兀+a)=tana.

誘導(dǎo)公式3:sin(—a)=-sina,cos(—a)=cosa,tan(—a)=-tana.

誘導(dǎo)公式4:sin(兀一a)=sina,cos(兀一a)=-cosa,tan(7i—a)=-tana.

誘導(dǎo)公式5:sin(匹-a)=cosa,cos^--a)-sina.

22

JIJI

誘導(dǎo)公式6:sin(—+a)=cosa,cos6+a)=-sina

22

口訣:

k

(乙萬(wàn)+a)的本質(zhì)是:奇變偶不變(對(duì)左而言,指k取奇數(shù)或偶數(shù)),符號(hào)看象限(看原函數(shù),同時(shí)

2

可把a(bǔ)看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:

(1)負(fù)角變正角,再寫(xiě)成2k乃+g),0We<2不;(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

例4.求下列各三角函數(shù)式的值:

(l)cos210°:(2)sin^

(3)cos(—1920°);(4)sin(—'^)+cos^|^tan4兀.

反思與感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步躲

11

(1)“負(fù)化正”:用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.

(2)“大化小”:用公式一將角化為0。到360。間的角.

(3)“角化銳”:用公式二或四將大于90。的角轉(zhuǎn)化為銳角.

(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.

變式1.求下列各三角函數(shù)式的值:

(l)sin1320°;(2)cos(-吉);

(3)tan(-945°);(4)sin810°+tan765°—cos3600.

tan(2兀-a)sin(—2?!猘)cos(6兀-a)

例5.化簡(jiǎn)⑴

cos(a—兀)sin(5兀-a)

1+2sin290Ocos430°

sin250°+cos790°

反思與感悟:三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法

⑴利用誘導(dǎo)公式,將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).

(2)常用“切化弦”法,即表達(dá)式中的切函數(shù)通?;癁橄液瘮?shù).

(3)注意“1”的變式應(yīng)用:如l=sin2a+cos2a=tan7.

變式1.化簡(jiǎn)下列各式:

cos(o+sin(2兀+a)cos1900-sin(-210°)

^^sin(-a-7t)-cos(_a)*(2)cos(-350°)-tan(-585°),

12

例6.(給值求值或給值求角問(wèn)題)

(1)己知sin(兀+。)=—,5cos(2兀一夕),|。|《,則夕等于()

7t_717T_7T

A.一dB.-3D.3

(2)已知cos《一a)=坐,

(3)已知cos(a+^)=],和aW普,求sin(a+引的值.

反思與感悟:(1)解決條件求值問(wèn)題的策略

①解決條件求值問(wèn)題,首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.

②可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.

(2)對(duì)于給值求角問(wèn)題,先通過(guò)化簡(jiǎn)已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值,再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)

值逆向求角.

(3)注意觀察互余、互補(bǔ)關(guān)系:如胃一a與聿+a,g+a與襲一a,彳-a與彳+a等互余,1+8與專一仇彳+

。與牛一。等互補(bǔ),遇到此類問(wèn)題,不妨考慮兩個(gè)角的和,要善于利用角的變換來(lái)解決問(wèn)題.

13

變式1.已知sin£=;,cos(a+4)=—1,則sin(a+2份的值為()

A.1B.-1C.;D.一;

變式2.已知5皿(點(diǎn)+6()=坐,求cos停一a)的值.

tan(2兀-a)sin(—2兀-a)cos(67t—a)

例7.求證:tana.

反思與感悟利用誘導(dǎo)公式證明等式問(wèn)題,關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用,其證明的常用方法:

(1)從一邊開(kāi)始,使得它等于另一邊,一般由繁到簡(jiǎn).

(2)左右歸一法:即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子.

(3)湊合法:即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對(duì)性地進(jìn)行變形,以消除其差異,簡(jiǎn)言之,即化異為同.

sin8+cosj_2sin(6-騫4嗚)—1

變式1.求證:

sincos01—2sin2(n+0)

B組:應(yīng)用:

14

sin(7t—a)cos(—a)sin^j+a]

例8.已知./(a)=cos(7t+?)sin(-ct)'

⑴化簡(jiǎn)加);

(2)若角4是△ABC的內(nèi)角,且火A)=|,求tanA-sinA的值.

反思與感悟:解決此類問(wèn)題時(shí),可先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形,將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)

系式,這樣可避免公式交錯(cuò)使用而導(dǎo)致的混亂.

變式1.已知sina是方程5*—7x—6=0的根,a是第三象限角,求心1?(兀一a)的值.

第四講、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

,y

yy

17T

圖象乙、帝一2元'I

3J(-

0IT0

■--1■~2""----2-1r

定義域RR{x|x£R且冗#也+與左£2}

值域L1J1|T』1R

TT對(duì)稱中心:管,0)(%ez),

對(duì)稱軸:x=E+](kGZ);對(duì)稱軸:x=E(%GZ);

對(duì)稱性

對(duì)稱中心:

對(duì)稱中心:(E,0)伏GZ)無(wú)對(duì)稱軸

15

(%〃+—,O)McZ

2

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

周期性最小正周期:27r最小正周期:2n最小正周期:匹

在-5+2E,,+2E

在[一兀+2E,2E](ZGZ)

上單調(diào)遞增;

在開(kāi)區(qū)間(航一號(hào)

*EZ)上單調(diào)遞增;

單調(diào)性

E+?(kez)上遞增

與竽+也

在+2ht,2在[2E,兀+2E]也CZ)上單

調(diào)遞減

(kEZ)

上單調(diào)遞減

在x=1+2kli(keZ)時(shí),ymax

在冗=2E/£Z)時(shí),ymax=

=1;1;

最值無(wú)最值

jr在X=7t+2E(%£Z)時(shí),ymin

在彳=一爹+2&兀(&62)時(shí),

=一1

ymin1

【知識(shí)點(diǎn)1】五點(diǎn)作圖法

16

“五點(diǎn)法''作正弦函數(shù)y=sinx(xG[0,27r])、余弦函數(shù)〉=85%,xG[0,2用圖象的步驟

⑴列表

7U3兀

X0兀2兀

2T

sinx010-10

cosX10-101

(2)描點(diǎn)

畫(huà)正弦函數(shù)y=sinx,xG[0,2句的圖象,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),(多1),(兀,0),(苧,-1),(2兀,0);

畫(huà)余弦函數(shù)尸cosx,何0,2句的圖象,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),俘0),(兀,-1),停0),(2兀,1).

(3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn),得到正弦函數(shù)y=sinx(xG[0,2M)、余弦函數(shù)y=cosx(xG[0,2用)的簡(jiǎn)

圖.

例1.利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l-sinx(OWxW27t)的簡(jiǎn)圖.

反思與感悟:作正弦曲線要理解幾何法作圖,掌握五點(diǎn)法作圖.“五點(diǎn)”即),=$皿》或>=3$》的圖象

在[0,2兀]內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn).“五點(diǎn)法”是作簡(jiǎn)圖的常用方法.

例2.能作函數(shù)產(chǎn)tanx,x《一看習(xí)的簡(jiǎn)圖嗎?怎樣畫(huà)?

反思與感悟:正切函數(shù)的圖象特征:正切曲線是被相互平行的直線x=^l■航,kGZ所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲

線組成的.

17

變式1.用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l-cosM0〈xW27r)的簡(jiǎn)圖.

變式2.利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出),=卜也口+自)|的圖象.

B組題

例3.作出函數(shù)式x)=sinx+2|sinx|,xG[0,4句的圖象.

變式1.畫(huà)出函數(shù)y=|taar|+tairv的圖象,

18

例4.求方程sinx+2|sinx|—|log2x|=0解的個(gè)數(shù).

反思與感悟:判斷方程解的個(gè)數(shù)的關(guān)注點(diǎn)

(1)確定方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,常借助函數(shù)圖象用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

(2)當(dāng)在同一坐標(biāo)系中作兩個(gè)函數(shù)的圖象時(shí),要注意其相對(duì)位置,常借助于函數(shù)值的大小來(lái)確定.

變式1.方程W—cosx=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是.

【知識(shí)點(diǎn)2]定義域'值域及取值范圍問(wèn)題

知識(shí)12;定義域、值域及取值范圍問(wèn)題

例5.利用正弦曲線,求滿足£<sinxW乎的x的集合.

反思與感悟:用三角函數(shù)圖象解三角不等式的方法

(1)作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2何上的圖象;(2)寫(xiě)出適合不等式在區(qū)間[0,2句上的解集;(3)根據(jù)公式

一寫(xiě)出不等式的解集.

19

變式L使不等式6一2sin尤NO成立的x的取值集合是()

2E+f?2E+季kQZ1B."2E+:?E+季kQZ

C.,2E—竽kGZ]D."2E+苧WxW2E+季kGZ

變式2.當(dāng)[0,4兀]時(shí),解不等式sinx>0.

例6.求函數(shù)段)=lgsin16—x2的定義域.

變式1.函數(shù)尸lg(sin2x)+39—f的定義域?yàn)?

變式2.函數(shù)y=1的定義域?yàn)開(kāi)__________________.

[-(6+3tanx)

7F

例7.(1)函數(shù)y=2sinx(0Wx《j)的值域是.

(2)函數(shù)y=,cosQx-2),xel-e,生]的值域是.

2444

TTTT

變式1.函數(shù)式x)=sin(2x—R在區(qū)間[0,引上的最小值為.

TTTT

變式2,函數(shù)y=2tan(—x——),XG(——,兀)的值域?yàn)?/p>

20

B組

例8.(1)求函數(shù)段)=2sin2x+2sinL4,蚩毯的值域.

7TJT

(2)已知一qWxWz,J(x)=tan2x+2tairv+2,求?r)的最值及相應(yīng)的x值.

變式1,函數(shù)y=3-sinx-2cos2工,光c[生,2]的值域?yàn)?/p>

66

變式2.求函數(shù)產(chǎn)tan2(3x+W)+tan(3x+1)+1的定義域和值域.

反思與感悟:一般函數(shù)的值域求法有:觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)

的特殊形式,一般方法也適用,但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì).

常見(jiàn)的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種:

⑴形如y=sin(cox+9)的三角函數(shù),令t=a)x+s,根據(jù)題中x的取值范圍,求出1的取值范圍,再利用三

角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sint的最值(值域).

(2)形如y=asin%+bsinx+c(a#0)的三角函數(shù),可先設(shè)r=sinx,將函數(shù)yuqsirPx+Ain工+。3#0)化為關(guān)

于t的二次函數(shù)丁=〃戶+初+c(〃W0),根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).

(3)對(duì)于形如y=〃sinx(或y=acosx)的函數(shù)的最值還要注意對(duì)a的討論.

21

延申思考3.已知函數(shù)式x)=2asinx+b的定義域?yàn)椋垡?;,用,函?shù)的最大值為1,最小值為一5,求。和

。的值.

【知識(shí)點(diǎn)3】函數(shù)的周期性

(1)對(duì)于函數(shù)凡丫),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有/k+T)=/U),

那么函數(shù),大x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)/U)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)叫做/U)的最小正周期.

【求三角函數(shù)周期的方法】

(1)定義法,即利用周期函數(shù)的定義求解.

(2)公式法,對(duì)形如y=Asin((ox+9^y=Acos(ft>x+0)(A,co,。是常數(shù),A#),co/))的函數(shù),T=言.

7T

y=Atan{cox+(p)的最小正周期為T(mén)=——.

\o)\

T

?般的,若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為T(mén),則y=的最小正周期為——.

1切

⑶觀察法,即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期.

22

例9.(l)y=sin(2x+§(xGR);

(2)y=|sinx|(x^R).

反思與感悟:對(duì)于形如函數(shù)4口聲0時(shí)的最小正周期的求法常直接利用7=而來(lái)求解,

對(duì)于v=\Asin5|的周期情況常結(jié)合圖象法來(lái)求解.

!了一總的最小正周期是,

變式1.函數(shù)y=3cos|

變式2.下列函數(shù)是以兀為周期的函數(shù)是()

.X..

A.y=sin2B.y=sinx+2C.y=cos2X~T2D.y=cos3x—1

變式3.函數(shù)y=sin(ox+:)的最小正周期為2,則3的值為.

B組

例10.(1)函數(shù)兀v)是周期函數(shù),10是7U)的一個(gè)周期,且式2)=啦,則122)=.

TT

(2)已知函數(shù)7U)=cosy,求*1)+,?2)+13)+…+八2020)的值.

反思與感悟:函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí),可以首先斫究它在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況,

再給予推廣求值.

23

jr

變式1.設(shè)函數(shù)式x)=sinqx,則火1)+/(2)+x3)+…+共2018)=.

【知識(shí)點(diǎn)4】三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

yy

_7T11

不宣21T

圖象-27r-iXJy由廣[j

。.豆丁7-/-X一臼IL

■"-i2

11

1■

對(duì)稱中心:(

對(duì)稱軸:x=E(%£Z);

對(duì)稱對(duì)稱軸:x=E+貨AWZ);等。)

性對(duì)稱中心:(2"+工,0),女GZ(ASZ),

對(duì)稱中心:(E,0)(4GZ)2

無(wú)對(duì)稱軸

x=,+2fat(%GZ)時(shí),ymax=l;X=2E(k£Z)時(shí),ymax=1;

最值x=n+2kn(k£Z)時(shí)jmin=一無(wú)最值

X=—Z)時(shí),Mnin=-I1

【三角函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解方法】

正(余)弦函數(shù)的對(duì)稱軸是過(guò)函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于X軸的直線,

定義法

對(duì)稱中心.是圖象與X軸的交點(diǎn),即函數(shù)的零點(diǎn).

函數(shù)y=4sin(s+e)的對(duì)稱軸為》=辭一\+券對(duì)稱中心為得一舄0):

函數(shù)y—4cos(3x+°)的對(duì)稱軸為x—八號(hào),對(duì)稱中心為>0);

公式法

cjj(jj\ci/vjj/

函數(shù)y—4an(s:+0)的對(duì)稱中心為£。)上述kGZ

例11.函數(shù)y=—2sin(2x—乙71)對(duì)稱軸是;對(duì)稱中心是.

例12.如果函數(shù)y=3cos(2x+(p)的圖像關(guān)于點(diǎn)(工-,。)中心對(duì)稱,那么|中|的最小值為()

7171

A.—D.—

62

24

1JI

變式1.函數(shù)y=2cos(-x一一)-2對(duì)稱軸是________________;對(duì)稱中心是_________________.

24

971TC

變式2.函數(shù)y=-sin(2x-y),在xw[-y,0]時(shí)的對(duì)稱軸是;對(duì)稱中心是.

nw

延申變式:設(shè)函數(shù)/(x)=2sin(-x+y),若對(duì)任意X&R都有)</(x)<f(x2)成立,則|再一/I

的最小值為—

【知識(shí)點(diǎn)5】奇偶性

三角函數(shù)中,判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,奇函數(shù)一般可化為y=/si〃cox或

的形式,而偶函數(shù)一般可化為)u/cossx+6的形式.常見(jiàn)的結(jié)論有:

77

(1)若)=4加(5+夕)為偶函數(shù),則有夕二版+萬(wàn)伏6⑷;若為奇函數(shù),則有e=E#GZ).

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