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文檔簡(jiǎn)介
§8.5空間向量及其應(yīng)用
考綱解讀
浙江省五年高考統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)考綱內(nèi)容要求
20162017
18(文
10,517,4
8,5分)
分分9,4
7(文)(2),7
1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表20(2)20(2)分
分
示點(diǎn)的位置.19(
了解、5分14(文
1.空間角2.了解空間兩點(diǎn)間的距離公式.9分8分2),
掌握18(文),
3.會(huì)用向量方法解決兩異面直線所成角、直20(文20(文約
)4分
線與平面所成角、二面角的計(jì)算問(wèn)題.))8
(2),817(2)
(2),5(2),8分
分
分分
8分
L了解空間向量的概念,了解空間向量的基本
定逑及芳意義,掌握空間向量的正交分解及其
坐標(biāo)表示.
2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.
3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)
用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.15,6
4.掌握向量的長(zhǎng)度公式、兩向量夾角公式、分19,
2.綜合應(yīng)20,1520,1514,4
空間兩點(diǎn)間的距離公式,并會(huì)解決簡(jiǎn)單的立體掌握17(2)15
用分分分
幾何問(wèn)題.分
5.理解直線的方向向量與平面的法向量.8分
6.會(huì)用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平
面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.
7.會(huì)用晌量方法證明直線和平面位置關(guān)系的
有關(guān)命題,了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的
作用.
分析解讀1.空間角是立體幾何中的一個(gè)突出的量化指標(biāo),是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn),因此,空間角是
IWJ考的必考內(nèi)容.
2.考查空間角的計(jì)算,既可能以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),也可能以解答題的形式出現(xiàn).以探索題、最值
問(wèn)題考查空間角的計(jì)算,常以解答題的形式出現(xiàn),空間角的計(jì)算主要是傳統(tǒng)法和向量法.
3.在立體幾何解答題中,建立空間直角坐標(biāo)系(或取基底向量),利用空間向量的數(shù)量積解決直線、平面間的
位置關(guān)系、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題越來(lái)越受到青睞,特別是處理存在性問(wèn)題、探索性問(wèn)題、開放性問(wèn)題等,比用傳統(tǒng)
方法簡(jiǎn)便快捷,一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).
4.預(yù)計(jì)2019年高考試題中,空間角的計(jì)算,空間向量在立體幾何中的應(yīng)用必是高考熱點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起高度
重視.
五年高考
考點(diǎn)一空間角
1.(2017浙江,9,4分)如圖,已知正四面體D-ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐),P,Q,R分別為AB,BC,CA上的
BQCR
點(diǎn),AP=PB,QC=R4=2.分別記二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角為a,B,丫,則()
A.y<a<PB.a<y<0C.a<0<yD.0<y<a
答案B
2.(2014廣東,5,5分)已知向量a=(l,0,T),則下列向量中與a成60°夾角的是()
A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)
答案B
3.(2014課標(biāo)H,11,5分)直三棱柱ABC-A1BG中,ZBCA=90°,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),BC=CA=CCi,則BM與
AN所成角的余弦值為()
12頓也
A.10B.5C.10D.2
答案C
4.(2016浙江文,14,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=擊,ZADC=90".沿直線AC將4ACD翻
折成AACD',直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是_______.
冊(cè)
答案了
5.(2016浙江,17,15分)如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFEJL平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
⑴求證:BF_L平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
解析(1)證明:延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.
因?yàn)槠矫鍮CFE_L平面ABC,且AC±BC,所以,AC_L平面BCK,因此,BF1AC.
又因?yàn)镋F〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以ABCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF±CK.
又ACCCK=C,
所以BF_L平面ACFD.
⑵解法一:過(guò)點(diǎn)F作FQ_LAK于Q,連接BQ.
因?yàn)锽F_L平面ACK,所以BF1AK,則AK_L平面BQF,所以BQ1AK.
所以,ZBQF是二面角B-AD-F的平面角.
3.
在RtAACK中,AC=3,CK=2,得FQ=13.
37134739小
在RtZXBQF中,FQ=13,BF=悔,BQ=13,得cos/BQF=4.
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為4.
解法二:如圖,延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,則易知ABCK為等邊三角形.取BC的中點(diǎn)0,則K01BC,又平面
BCFE_L平面ABC,所以,K0_L平面ABC.以點(diǎn)0為原點(diǎn),分別以射線OB,0K的方向?yàn)閤,z的正方向,建立空間直角坐
標(biāo)系0-xyz.
[1,0,5(-1,0,^
由題意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,窗),A(-1,-3,0),E[221卜22)
因此,(0,3,0),(1,3,憫,'^=(2>3,0).
設(shè)平面ACK的法向量為m=(xi,yi,zj,平面ABK的法向量為n=(x2,y2,z2).
(AC?m=0,3yl=o,
由'5一°得
?…x+啊=
;AB_-n0,
,2X2+3y2=0,
x+3%+A/3Z=0,廠
;AK-n。得22?2
由-取n=(3,-2,憫.
m,n小
于是,cos〈m,n〉=|m"n=4.
所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為4.
6.(2017課標(biāo)全國(guó)II理,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面
1
ABCD,AB=BC=2AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).
⑴證明:直線CE〃平面PAB;
(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
解析本題考查了線面平行的證明和線面角、二面角的計(jì)算.
1
⑴取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF//AD,EF=2AD.
1
由NBAD=NABC=90。得BC〃AD,又BC=5AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE〃BF,又BFu平面
PAB,CEC平面PAB,故CE〃平面PAB.
⑵由已知得BA1AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),4B的方向?yàn)閤軸正方向,|4B|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
A-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,窗),'Pel(1,0,-筋),"=(1,0)0).
PM
設(shè)M.(x,y,z)(0<x<l),則BM=(x-l,y,z),=(x,y-1,z-柩).
因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,
而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,
)22.
所以|cos〈BM,n〉|=sin45°,_I)2+y2+z?=2,
即(x-l)2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,設(shè)嬴二人PC則
x=入,y=l,z=木-小人.②
由①②解得(舍去),或
所以J2~21,從而兒U2-21.
設(shè)m=(xo,y0,z0)是平面ABM的法向量,
p?空二0,z(2-位居+2y0+A/6Z0=0,
則"=。,即t…
所以可取m=(0,2).
m?n^/10
于是cos〈m,n>=巾?l=5.
易知所求二面角為銳角.
炳
因此二面角M-AB-D的余弦值為5.
7.(2017北京理,16,14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD_L平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB
上,PD〃平面MAC,PA=PD=而,AB=4.
⑴求證:M為PB的中點(diǎn);
(2)求二面角B-PD-A的大??;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
解析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理,二面角,直線與平面所成的角等知識(shí).考查用空間向
量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.
⑴設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.
因?yàn)镻D〃平面MAC,平面MACn平面PDB=ME,
所以PD/7ME.
因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).
所以M為PB的中點(diǎn).
(2)取AD的中點(diǎn)0,連接OP,0E.
因?yàn)镻A=PD,所以0P_LAD.
又因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,且OPc平面PAD,
所以O(shè)P_L平面ABCD.
因?yàn)镺Ec平面ABCD,所以O(shè)P±OE.
因?yàn)锳BCD是正方形,所以0E1AD.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,返),D⑵0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),⑵0,-g).
設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),
n?BD:0,
j4x-4y=0,
n-PD=0[x-=0.
即2
令x=l,則y=l,z=也.
于是n=(l,1,詢.
平面PAD的一個(gè)法向量為p=(0,1,0).
n?p1
所以cos〈n,p>=nIp1=2.
由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為3.
II3.2,
⑶由題意知,爪2,4,0),MC』
設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,
n?MC|
2A/6
則sina|cos<n,MC>|二nMC|
所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為9.
8.(2017天津理,17,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA_L底面ABC,NBAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的
中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA二AC=4,AB=2.
⑴求證:MN〃平面BDE;
⑵求二面角C-EM-N的正弦值;
⑶已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為21,求線段AH的長(zhǎng).
解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾
何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.
如圖,以A為原點(diǎn),分別以IX,1c,如1方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
,I
(n?DE=0,
II\n?DB=0,?!97、n
⑴證明:DE=(0,2,0)二⑵0,-2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,貝八即設(shè)”2z一。不妨設(shè)
z=l,可得n=(l,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN?n=0.
因?yàn)镸NC平面BDE,所以MN〃平面BDE.
I
伊2?EM=0,
ln2?MN=0.
(2)易知m=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n產(chǎn)(x,y,z)為平面EMN的法向量,則
?r-2y-z=0,
因?yàn)椤辍?(0,-2,-1),“'=(1,2,-1),所以口+2y-z=0.
不妨設(shè)y=l,可得n2=(-4,1,-2).
%?電4
nn
因此有cos<ni,n2>=i2=一
V105
于是sinVm,ri2>=21.
7105
所以,二面角C-EM-N的正弦值為k.
⑶依題意,設(shè)AH二h(0WhW4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得二(-1,-2,h),謁二(-2,2,2).由已知,得
一"㈣J…豆81
|COS&H,£〉|=N*BE|#+5X2顯五,整理得10*26+8=0,解得h工或h=5.
所以,線段AH的長(zhǎng)為M或5.
9.(2016課標(biāo)全國(guó)II,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD
5
上,AE=CF=4,EF交BD于點(diǎn)H.將ADEF沿EF折到△□'EF的位置,0D'=廊.
(1)證明:D'H_L平面ABCD;
(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
解析(1)證明:由己知得AC_LBD,AD=CD.
AECF
又由AE=CF得AD=CD,故AC〃EF.
因此EF_LHD,從而EFID'H.(2分)
由AB=5,AC=6得DO=BO=7xfi2-A°2=4.
OHAE
由EF〃AC得。。=4。=4.
所以O(shè)H-1,D'H=DH=3.
于是D,H2+0H2=32+l2=10=D'02,故D'H±OH.(4分)
又D'H_LEF,而OHPEF=H,所以D'H_L平面ABCD.(5分)
(2)如圖,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則H(0,0,0),A(-3,-
,
l,0),B(0,-5)0),C(31-l)0),D(0,0,3),
4B=(3,-4,0),4C=(6,0,0),4。'=(3,1,3).(6分)
設(shè)m=(xi,ybzi)是平面ABD)的法向量,
m?AB3X]-4yl=0,
1
m?AD3X]+%+3z1=0,
所以可取m=(4,3,-5).(8分)
設(shè)n=(x2,y2,Z2)是平面ACD'的法向量,
所以可取n=(0,-3,1).(10分)
XV10=-25
sin<m,n>=25.
2項(xiàng)
因此二面角B-D'A-C的正弦值是25.(12分)
10.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NBAD=2,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),0是AC
與BE的交點(diǎn).將4ABE沿BE折起到AAiBE的位置,如圖2.
⑴證明:CDJ_平面AiOC;
(2)若平面AiBE_L平面BCDE,求平面AiBC與平面A£D夾角的余弦值.
解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),ZBAD=2,
所以BE±AC.
即在題圖2中,BE±0Ai,BE10C,
從而BE_L平面AiOC,
又CD〃BE,
所以CD_L平面AQC.
(2)因?yàn)槠矫鍭iBE_L平面BCDE,
又由(1)知,BElOAi,BE±0C,
所以NAQC為二面角A-BE-C的平面角,
7T
所以NAQC=5.
如圖,以o為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)锳iB=AiE=BC=ED=l,BC〃ED,
所以B’
f.f.o'
Illil
,CD=BE=(—小,0,0).
設(shè)平面AiBC的法向量ni=(xi,ybzi),平面AiCD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面AiBC與平面AiCD夾角為。,
II
(n?BC=0,
-1(-X1+V1=°.
(ni,A]C=0,jy-z.=0,
則得(11HZn,=(1,1,1);
(n2?CD=0,
AjC=0,
從而cos0-1cos<ni,n:
即平面A,BC與平面A£D夾角的余弦值為3.
11.(2014福建,17,13分)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB±BD,CD1BD.將4ABD沿BD折起,使得平面
ABD_L平面BCD,如圖.
⑴求證:AB_LCD;
(2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
解析(1)證明:I?平面ABD_L平面BCD,平面ABDCI平面BCD=BD,ABc平面ABD,AB±BD,
,AB_L平面BCD.
又CDc平面BCD,.1.ABICD.
⑵過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE1BD,如圖.
由(1)知AB_L平面BCD,BEc平面BCD,BDc平面BCD,
.\AB±BE,AB±BD.
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以裾,'叱K的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
(0.H,
依題意,得B(O,O,O),C(1,1,O),D(O,1,O),A(O,O,1),M、22,
則bcL(1,1,0),嬴=(°,5,3,AD=(0,1,-1).
設(shè)平面MBC的法向量為n=(xo,yo,z0),
/II
(n,BC=0,
,\n?=0,
則
/%+%=°,
11
2y°*/=°,
即
取z0=l,得平面MBC的一個(gè)法向量為n=(l,-l,1).
設(shè)直線AD與平面MBC所成角為0,
_^AD'
I,,,I,—
則sin0=|cos<n,AD>\=n,AD|=3,
季
即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為萬(wàn)
教師用書專用(12—27)
12.(2015四川,14,5分)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ
上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為。,則cos。的最大值為
2
答案5
13.(2017課標(biāo)全國(guó)I理,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90°.
⑴證明:平面PAB_L平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,NAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
解析本題考查了立體幾何中面面垂直的證明和二面角問(wèn)題.
(1)由已知NBAP=NCDP=90°,得AB±AP,CD±PD.
由于AB〃CD,故AB_LPD,
又APClPD=P,從而AB_L平面PAD.
又ABc平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.
(2)在平面PAD內(nèi)作PF_LAD,垂足為F.
由⑴可知,AB_L平面PAD,故AB1PF,
又ADAAB=A,可得PF_L平面ABCD.
以F為坐標(biāo)原點(diǎn),工,的方向?yàn)閤軸正方向,|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.
由(1)及已知可得A'5°'°
/142,,2),小慮0,0)13{2,,2),定(0,1,0).
設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,則
(也嶇
「?普=。,一萬(wàn)x+y-萬(wàn)z=0,
In-CB=0,I圾=0.
即
可取n=兩.
設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的法向量,則
I(也也
(m-PA=0,萬(wàn)x-yz=0,
[m?加=0Iy=0.
即
可取m=(l,0,1).
n?m
則cos〈n,ni>="m\=-3,
易知二面角A-PB-C為鈍二面角,
g
所以二面角A-PB-C的余弦值為-了.
14.(2015課標(biāo)H,19,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=16,BC=10,AAi=8,點(diǎn)E,F分別在AB,DC
上,AiE=DiF=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.
£2
⑴在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由)
⑵求直線AF與平面a所成角的正弦值.
解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:
MH
(2)作EM1AB,垂足為M,貝!JAM=AiE=4,EM=AAi=8.
因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH二而"2_EM?=6>所以AH=10.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),bl的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則
II
A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),眸(10,0,0),HE=(o,-6,8).
設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,
n?FE
n-ffilOx=0,
-6y+8z=0,
所以可取n=(0,4,3).
又AF二(-10,4,8),故|cos<n,”〉|=InAF|=15.
4而
所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為記
TT
15.(2015重慶,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PC_L平面ABC,PC=3,ZACB=2.D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn),
且CD=DE=M,CE=2EB=2.
⑴證明:DEL平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
解析(1)證明:由PC_L平面ABC,DEc平面ABC,得PC±DE.由CE=2,為等腰直角三角形,故
CDIDE.
由PCnCD=C,DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線,
故DE_L平面PCD.
(2)由(1)知,ACDE為等腰直角三角形,ZDCE=4.如圖,過(guò)D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,
故FB=2.
TTDFFB233
由NACB=5得DF^AC,AC=BC=3I故AC=2DF=2.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以MM炭的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則
b,O,III-1>0
C(0,0,0),P(0,0,3),A、2<E(0,2,0),D(1,1,0),(1,-1,0),DP=(T,-1,3),加=\2
設(shè)平面PAD的法向量為m=(xi,ybzi),
xi-yx+3z1=o,
1
-x.一y1二o,
21
由m?DP=0,ni,D4=0,得故可取ni=(2,1,1).
由⑴可知DE,平面PCD,故平面PCD的法向量3可取為ED,即3二(1,T,0).
從而法向量nb3的夾角的余弦值為
nn
cos<ni,n2>=?i??21=6,
又二面角為銳角,
故所求二面角A-PD-C的余弦值為6.
16.(2014安徽,20,13分)如圖,四棱柱ABCD-ABCD中,AiA_L底面ABCD.四邊形ABCD為梯形,AD〃BC,且AD=2BjC.
過(guò)Ai,C,D三點(diǎn)的平面記為a,BB,.與a的交點(diǎn)為Q.
(1)證明:Q為BBi的中點(diǎn);
(2)求此四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積之比;
(3)若AAi=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,求平面a與底面ABCD所成二面角的大小.
BC
解析⑴證明:因?yàn)锽Q〃AA“BC〃AD,BCClBQ=B,ADClAAi=A,
所以平面QBC〃平面AiAD.
從而平面AiCD與這兩個(gè)平面的交線相互平行,即QC〃AD
故△QBC與AAiAD的對(duì)應(yīng)邊相互平行,于是△QBCS/XAIAD.
BQBQBCI
所以BBI=44=而旦即Q為BBl的中點(diǎn).
(2)如圖1,連接QA,QD.設(shè)AA,=h,梯形ABCD的高為d,四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積分別為V上和V
T,BC=a,則AD=2a.
圖1
111
%-4AD=3X2?2a?h?d二3ahd,
1a+2a11
VQ-ABCD=3?2?d?2h=4ahd,
7
所以V下二%-xiAD+Vo-ABCD=12ahd,
3
17~
又”-ABCD=2ahd,
3711
所以V上=〃品?「ABCD-VT=2ahd-12ahd=12ahd,
LLH
故人=7
(3)解法一:如圖1,在ZkADC中,作AE±DC,垂足為E,連接AEAC.
又DE_LAAi,且AAiAAE=A,
所以DE_L平面AEAi,于是DE±AiE.
所以NAEAi為平面a與底面ABCD所成二面角的平面角.
因?yàn)锽C/7AD,AD=2BC,所以SAAI>C=2SABCA.
又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6,DO2,所以SAADC=4,AE=4.
44]IT
于是tanNAEAi="E=1,NAEAi=4.
IT
故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為4
解法二:如圖2,以D為原點(diǎn),0%的方向分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
圖2
設(shè)NCDA=0.
a+2a
因?yàn)閟四邊形ABCD=2?2sin0=6,
2
所以a二sin。.
從而C(2cos9,2sin0,0),
,4
—0,4
Ai
,4
----,0,4
所以DC=(2cos9,2sin。,0),叫」
設(shè)平面AiDC的一個(gè)法向量為n=(x,y,1),
,I__I4
DAn=x+4=0,
1sm9
DC-n=2xcos0+2ysin0=0,,
由得x=-sin0,y=cos9,
所以n=(-sin0,cos0,1).
又因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為m二(0,0,1),
n?m也
所以cos<n,m>=lnl1^1=2,
由圖知平面a與底面ABCD所成二面角的平面角為銳角,
1T
故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為4.
17.(2014廣東,18,13分)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD_L平面ABCD,NDPC=30°,AF±PC于點(diǎn)F,FE//CD,交PD
于點(diǎn)E.
⑴證明:CF_L平面ADF;
⑵求二面角D-AF-E的余弦值.
AB
解析(1)證明::PD,平面ABCD,
.\PD±AD,
又CD_LAD,PDACD=D,
???AD_L平面PCD,,??AD_LPC,
又AFI.PC,AFGAD二A,
???PC_L平面ADF,即CF_L平面ADF.
(2)設(shè)AB=1,則RtAPDC中,CD=1,???NDPO30
???PC=2,PD二瓶由(1)知CF±DF,
?
;.DF=2,
1
;.CF=5,又FE〃CD,
DECF1書
;.PD=PC=4t,-.DE=4,
33
同理EF=4CD=4,
如圖所示,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),
小3\
—,一,0J
E,440),C(0,1,0).
設(shè)m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,
柒=(,,o,-1)
EF=(0,|,0),
m_1_AE,
m±S,
則又
二V3
Tn-AE=_X_z=0,
4
3
m-EF=-y=0,
令x=4,得z=也故m=(4,0,”),
由⑴知平面ADF的一個(gè)法向量為1Pel(-啊1,0),設(shè)二面角D-AF-E的平面角為0,可知。為銳角,
I..:G城2^572^57
cos0=|cos<m,pC>|=m-PC|=4歷X2=19,故二面角D-AF-E的余弦值為19.
18.(2014北京,17,14分)如圖,正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱
PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.
⑴求證:AB〃FG;
(2)若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長(zhǎng).
解析(1)證明:在正方形AMDE中,因?yàn)锽是AM的中點(diǎn),所以AB〃DE.
又因?yàn)锳B。平面PDE,
所以AB〃平面PDE.
因?yàn)锳Bc平面ABF,且平面ABFC1平面PDE=FG,
所以AB〃FG.
⑵因?yàn)镻A_L底面ABCDE,所以PA±AB,PA±AE.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(O,0,0),B(l,0,0),C⑵1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),&1=(1,1,0).
設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),
/I
(n?AB=0,
即
令z=l,則y=-l.所以n=(0,-1,1).
設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,
n?BC
-------1
則sina=|cos〈n,BC>|二?MlBCI=2.
Tt
因此直線BC與平面ABF所成角的大小為W.
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u,v,w).
因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上,所以可設(shè)二xW(0<x<1),
即(u,v,w-2)=A(2,1,-2).
所以u(píng)=2入,v=入,w=2-2人.
因?yàn)閚是平面ABF的法向量,所以n-1川二0,
即(0,T,1)?(2入,X,2-2X)=0.
2(半
解得入=3,所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為口3'隊(duì)
所以PH=
19.(2014陜西,17,12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD,BC的平面分別交四
面體的棱BD,DC,CA于點(diǎn)F,G,H.
⑴證明:四邊形EFGH是矩形;
(2)求直線AB與平面EFGH夾角e的正弦值.
解析(1)證明:由該四面體的三視圖可知,
BD1DC,BD1AD,AD1DC,BD=DC=2,AD=1.
由題設(shè)知,BC〃平面EFGH,
平面EFGHn平面BDC=FG,
平面EFGHP平面ABC=EH,
,BC〃FG,BC〃EH,,F(xiàn)G〃EH.
同理,EF〃AD,HG〃AD,;.EF〃叫
四邊形EFGH是平行四邊形.
又YAD^DC,AD_LBD,;.AD_L平面BDC,
;.AD_LBC,;.EF_LFG,
四邊形EFGH是矩形.
(2)解法一:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),
/廿二y
X
必(0,0,1),盛二(-2,2,0),必(-2,0,1).
設(shè)平面EFGH的法向量n=(x,y,z),
VEF/7AD,FG/7BC,
IIII
An?。4=0,n,BC=0,
(z=0,
得iTx+Z"。坂.,],。),
I
BA?n
I2炳
/.sin8=|cos〈B4,n〉|=出川H=加X也=5.
解法二:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),
VE是AB的中點(diǎn),,F(xiàn),G分別為BD,DC的中點(diǎn),
(1,0,1)
得N2<F(l,0,0),G(0,1,0).
I(°?°>I)IIII
???*\2),FG=(-1,1,0),BA=(-2,0,1).
設(shè)平面EFGH的法向量n=(x,y,z),
貝ljn?=0,n?FG=0,
(1
I?-0,
,I-x+y=0,
得取n=(l,1,0),
I
BA?n
―?----2炳
/.sin8=|cos〈B4n>|=仍""宿=而X例=5.
20.(2014四川,18,12分)三棱錐A-BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)M,N分別為線段AD,AB的中點(diǎn),P為線
段BC上的點(diǎn),且MN_LNP.
⑴證明:P是線段BC的中點(diǎn);
(2)求二面角A-NP-M的余弦值.
俯視圖
解析(1)證明:如圖,取BD中點(diǎn)0,連接AO,CO.
由側(cè)視圖及俯視圖知,AABD,ABCD為正三角形,
因此AO_LBD,0C1BD.
因?yàn)锳O,OCu平面AOC內(nèi),且AOC0C=0,
所以BD_L平面AOC.
又因?yàn)锳Cc平面AOC,所以BD±AC.
取B0的中點(diǎn)H,連接NH,PH.
又M,N分別為線段AD,AB的中點(diǎn),
所以NH〃AO,MN〃BD.
因?yàn)锳O_LBD,所以NH_LBD.
因?yàn)镸N_LNP,所以NP_LBD.
因?yàn)镹H,NPc平面NHP,且NHCNP=N,
所以BD_L平面NHP.
又因?yàn)镠Pc平面NHP,所以BD±HP.
又0C1BD,HPc平面BCD,OCc平面BCD,所以HP〃OC.
因?yàn)镠為B0中點(diǎn),故P為BC中點(diǎn).
⑵如圖,作NQ1,AC于Q,連接MQ.
由(1)知,NP〃AC,所以NQ_LNP.
因?yàn)镸N±NP,所以NMNQ為二面角A-NP-M的一個(gè)平面角.
由(1)知,AABD,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以A0=0C=\5.
由俯視圖可知,AO_L平面BCD.
因?yàn)镺Cc平面BCD,所以AO±OC.
因此在等腰RtAAOC中,AC=
作BR_LAC于R
AB2-(-V迎
在4ABC中,AB=BC,所以BR=J=2.
因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi),NQ_LAC,BR±AC,所以NQ〃BR.
又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn),所以Q為AR的中點(diǎn),
BR順
因此NQ=2=4.
炳
同理,可得MQ=V,
MNBD
24曬
所以在等腰AHNQ中,cosZMNQ=W^=V.
Vio
故二面角A-NP-M的余弦值是5.
21.(2014天津,17,13分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA_L底面ABCD,AD±AB,AB/ZDC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為
棱PC的中點(diǎn).
⑴證明BE1DC;
⑵求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF±AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
解析依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E
為棱PC的中點(diǎn),得E(l,1,1).
(1)證明:向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0),故BE-DC=Q_
所以BE1DC.
⑵向量加=(T,2,0),‘PB=(1,0,-2).設(shè)n=(xi,ybz)為平面PBD的法向量,
[n?BD=0,
j□_(-x+2y=Q,
則二°,即iX_2z=0.不妨令y=i,可得n=(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.于是有
?-產(chǎn)2?
cos<n,BEy=\n\?|BE|=的X也=3.
也
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為了.
⑶向量b3(l,2,0),CPL(-2,-2,2),1C=(2,2,0),定(1,0,0).由點(diǎn)F在棱PC上,
IIII
設(shè)CF二人牝0W入WL
3
i^BF=BC+CF=BC+XCP=(1-2入,2-2入,2入).由BFJ_AC,得BF.AC=0,因止匕,2入)+2(2-2入)=0,解得人二4.故
儼]?些=0,(1;‘3
L.BF=0,
BF4222”設(shè)m=(xi,y?zj為平面FAB的法向量,貝『即一
不妨令Z1=1,可得ni=(0,-3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),則
二1°-2-33710
nn
cos<ni,n2>=li?l2l=V10X1二一10.
易知,二面角F-AB-P是銳角,
3匹
所以其余弦值為工鼠.
22.(2013遼寧,18,12分)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
⑴求證:平面PAC_L平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
解析(1)證明:由AB是圓的直徑,得AC±BC,由PA_L平面ABC,BCc平面ABC,得PA±BC.
又PAnAC=A,PAc平面PAC,ACc平面PAC,所以BC_L平面PAC.
因?yàn)锽Cu平面PBC,
所以平面PBC_L平面PAC.(6分)
⑵解法一:過(guò)C作CM//AP,則CM_L平面ABC.
如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn).分別以直線CB,CA,CM為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)锳B=2,AC=1,所以BC=<3.
因?yàn)镻A=L所以A(0,l,0),B(避,0,0),P(0,1,1),
故屋(啊0,0),/L(0,1,1).
設(shè)平面BCP的法向量為m=(x,y,z),
(CB,n1=0,
CP?%=0,
則
fV3x=0,
所以”二。,
不妨令y=l,則ni=(0,1,-1).
因?yàn)?1(0,0,1),^(A-1,0),
設(shè)平面ABP的法向量為n2=(xi,ybzi),
I
(AP,n2=0,
jAB?n9=0,
則
(4=0,
所以向f=°'
不妨令X1=1,則n2=(l,小,0).
■V6
于是cos<ni,n2>=2^=4,
<6
由題圖可知二面角C-PB-A為銳二面角,故其余弦值為了.(J2分)
解法二:過(guò)C作CM_LAB于M,
因?yàn)镻A_L平面ABC,CMc平面ABC,
所以PA±CM,
故CMJ_平面PAB.
過(guò)M作MN1PB于N,連接NC,
易知CN_LPB.
所以NCNM為二面角C-PB-A的平面角.
小3
在RtAABC中,由AB=2,AC=1,得BC=/,CM=2,BM=2.在RtAPAB中,由AB=2,PA=1,得PB=A/5.
因?yàn)镽tABNM^RtABAP,
3
MN23擊
所以1=而,故MN=10.
A/30<6
又在RtACNM中,CN=5,故cosNCNM=4.
<6
所以二面角C-PB-A的余弦值為了.
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