2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十章 第一節(jié) 隨機抽樣含答案

11版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十章第一節(jié)隨機抽樣第一節(jié)隨機抽樣【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑.2.了解總體、樣本、樣本量的概念,了解數(shù)據(jù)的隨機性.3.通過實例,了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程,掌握兩種簡單隨機抽樣方法:抽簽法和隨機數(shù)法,會計算樣本均值和樣本方差,了解樣本與總體的關(guān)系.4.通過實例,了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍,了解分層隨機抽樣的必要性,掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實例,掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.5.在簡單的實際情境中,能根據(jù)實際問題的特點,設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.【考情分析】考點考法:高考命題常以抽樣為載體,考查抽樣方法.簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣以及分層隨機抽樣中的抽樣數(shù)值、均值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.總體、個體、樣本調(diào)查對象的全體(或調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體)稱為總體,組成總體的每一個調(diào)查對象(或每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo))稱為個體,在抽樣調(diào)查中,從總體中抽取的那部分個體稱為樣本,樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量,簡稱樣本量.2.簡單隨機抽樣抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種簡單隨機抽樣的方法.3.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)(1)總體平均數(shù)①總體中有N個個體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱Y=Y1+Y2②如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)=.(2)樣本平均數(shù)如果從總體中抽取一個容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱y=y1+y24.分層隨機抽樣(1)定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.(2)比例分配:在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.在簡單隨機抽樣中,每個個體被抽到的機會與先后順序有關(guān)B.抽簽法和隨機數(shù)法都是簡單隨機抽樣C.在比例分配的分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)D.不論哪種抽樣方法,總體中的每一個個體入樣的概率是相同的【解析】選BD.由簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣的概念可知:選項A錯誤,選項C錯誤,選項D正確;由抽簽法和隨機數(shù)法的概念可知:選項B正確.2.(必修第二冊P189習(xí)題6改編)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為5,則數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均數(shù)為 ()A.3 B.5 C.10 D.11【解析】選D.每個數(shù)據(jù)都變成原數(shù)據(jù)的2倍再加1的形式,所以平均數(shù)也變成原來平均數(shù)的2倍再加1,即11.3.(必修第二冊P189習(xí)題5改編)某單位有200名職工,其中女職工有60名,男職工有140名,現(xiàn)要從中抽取30名進行調(diào)研座談,如果用比例分配的分層隨機抽樣的方法進行抽樣,則應(yīng)抽女職工________名.

【解析】設(shè)應(yīng)抽女職工x名,則60200=x30,解得x答案:94.(不會讀數(shù)導(dǎo)致錯誤)假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)用隨機數(shù)法從500支疫苗中抽取50支進行檢驗,利用隨機數(shù)表抽取樣本時,先將500支疫苗按000,001,…,499進行編號,若從隨機數(shù)表第7行第7列的數(shù)開始向右讀,則抽取的第3支疫苗的編號為__________.(下面摘取了利用R統(tǒng)計軟件生成的隨機數(shù)表的第7行至第11行)

844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【解析】由題意,從隨機數(shù)表第7行第7列的數(shù)開始向右讀,對應(yīng)的編號依次為533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重復(fù)的都不符合條件,故符合條件的前三個編號依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的編號是217.答案:217【核心考點·分類突破】考點一簡單隨機抽樣[例1](1)(多選題)下列抽取樣本的方式,是簡單隨機抽樣的是 ()A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B.盒子里共有80個零件,從中逐個不放回地選出5個零件進行質(zhì)量檢驗C.從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢查D.某班有56名同學(xué),指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽【解析】選BC.A不是簡單隨機抽樣,因為被抽取樣本的總體的個體數(shù)是無限的,而不是有限的;B是簡單隨機抽樣;C是簡單隨機抽樣,因為“一次性”抽取與“逐個”抽取是等價的;D不是簡單隨機抽樣,因為指定個子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特指的,不具有隨機性,不是等可能的抽樣.(2)(2023·聊城模擬)國家高度重視青少年視力健康問題,指出要“共同呵護好孩子的眼睛,讓他們擁有一個光明的未來”.某校為了調(diào)查學(xué)生的視力健康狀況,決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查.若某班有50名學(xué)生,將每名學(xué)生從01到50編號,從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始,每次從左向右選取兩個數(shù)字,則選取的第三個號碼為 ()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A.13 B.24 C.33 D.36【解析】選D.根據(jù)隨機數(shù)表的讀取方法,第2行第4列的數(shù)為3,每次從左向右選取兩個數(shù)字,所以第一組數(shù)字為32,即為第一個號碼;第二組數(shù)字58,舍去;第三組數(shù)字65,舍去;第四組數(shù)字74,舍去;第五組數(shù)字13,即為第二個號碼;第六組數(shù)字36,即為第三個號碼,所以選取的第三個號碼為36.(3)某中學(xué)開學(xué)后從高一年級的學(xué)生中隨機抽取90名學(xué)生進行家庭情況調(diào)查,經(jīng)過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學(xué)生進行學(xué)情調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過,估計這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為 ()A.180 B.400 C.450 D.2000【解析】選C.設(shè)這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為x,則90x=20100,所以x【解題技法】抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個數(shù)較少的情況,隨機數(shù)法適用于總體中個數(shù)較多的情況.(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?關(guān)鍵看兩點:一是抽簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.【對點訓(xùn)練】1.有一批計算機,其編號分別為001,002,003,…,112,為了調(diào)查這批計算機的質(zhì)量問題,打算抽取4臺入樣.現(xiàn)在利用隨機數(shù)法抽樣,在下面隨機數(shù)表中選第1行第6個數(shù)“0”作為開始,向右讀,那么抽取的第4臺計算機的編號為 ()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B.021 C.077 D.058【解析】選B.依次可得到需要的編號是076,068,072,021,故抽取的第4臺計算機的編號為021.2.某市在創(chuàng)建文明城市期間,對某小區(qū)的居民按分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本進行問卷調(diào)查.在這n個個體的樣本中,任取1人,抽取到未成年人的概率為0.2,成年人共80人,則n=________(用數(shù)字作答).

【解析】由題可得,n·(1-0.2)=80,n=100.答案:100考點二樣本的均值[例2](1)某工廠抽取50個機械零件檢驗其直徑大小,得到如表數(shù)據(jù):直徑(單位:cm)121314頻數(shù)12344估計這50個零件的直徑為__________cm.

【解析】12×12+13×34+14×450=12.84(cm)答案:12.84(2)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,x200的平均數(shù)是6,數(shù)據(jù)y1,y2,y3,…,y300的平均數(shù)是20,則∑xi+∑yA.13 B.14.4 C.15 D.15.4【解析】選B.由已知得∑xi+∑yi500=【解題技法】數(shù)據(jù)平均數(shù)的求法(1)觀察所給數(shù)據(jù),選擇計算公式.(2)代入公式進行計算,注意數(shù)據(jù)的個數(shù).【對點訓(xùn)練】1.(2020·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是______.

【解析】由4+2a+(3答案:22.一組5個數(shù)據(jù)中,前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20,全部5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19,則第5個數(shù)據(jù)是__________.

【解析】設(shè)5個數(shù)據(jù)分別為a,b,c,d,e,因為前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20,所以a+b+c+d4=20,則a+b全部5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19,所以a+所以a+b+c+d+e=95②,②-①得,e=15.答案:15【加練備選】現(xiàn)有某地一年的GDP(億元)數(shù)據(jù),第一季度GDP為232億元,第四季度GDP為241億元,四個季度的GDP逐季度增長,且中位數(shù)與平均數(shù)相同,則該地一年的GDP為________億元.

【解析】設(shè)第二季度GDP為x億元,第三季度GDP為y億元,則232<x<y<241,因為中位數(shù)與平均數(shù)相同,所以x+y2=232+x+所以該地一年的GDP為232+x+y+241=946(億元).答案:946考點三抽樣比的應(yīng)用[例3](1)某學(xué)校高一年級1800人,高二年級1600人,高三年級1500人,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取98名學(xué)生參加全國中學(xué)生禁毒知識競賽,則在高一、高二、高三三個年級中抽取的人數(shù)分別為 ()A.35,33,30 B.36,32,30C.36,33,29 D.35,32,31【解析】選B.因為高一年級1800人,高二年級1600人,高三年級1500人,所以三個年級的人數(shù)所占比例分別為1849,1649,1549,因此,各年級抽取人數(shù)分別為98×1849=36,98×16(2)(多選題)杭州亞運會共設(shè)40個競賽大項,其中31個奧運項目,9個非奧運項目.為了調(diào)查高中生對各個項目的了解情況,在某高中3000名學(xué)生中,按照高一、高二、高三學(xué)生人數(shù)的比例用分層隨機抽樣的方法,抽取一個容量為150的樣本,所得數(shù)據(jù)如表:項目高一高二高三只對31個奧運項目全部了解50444540個項目全部了解0110則下列判斷正確的是 ()A.該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為10∶9∶11B.該校高三學(xué)生的人數(shù)比高一人數(shù)多50C.估計該校高三學(xué)生對40個項目全部了解的人數(shù)為200D.估計該校學(xué)生中對40個項目全部了解的人數(shù)不足8%【解析】選ACD.由題表可知,50+44+1+45+10=150,所以該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為50∶45∶55,即10∶9∶11,A正確;高三學(xué)生人數(shù)為3000×55150=1100(人),高一學(xué)生人數(shù)為3000×50高三學(xué)生對40個項目全部了解的人數(shù)約為3000×10150該校學(xué)生中對40個項目全部了解的人數(shù)約為11150≈7.33%,D正確【解題技法】1.按比例分配的分層隨機抽樣的步驟(1)將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層.(2)計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)的比,按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本量.(3)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣).2.在比例分配的分層隨機抽樣中的抽樣比抽樣比=樣本容量總體容量=各層樣本容量【對點訓(xùn)練】(多選題)某學(xué)校有體育特長生25人,美術(shù)特長生35人,音樂特長生40人,用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取40人,則 ()A.抽取的體育特長生為10人B.抽取的美術(shù)特長生為15人C.抽取的音樂特長生為16人D.抽取的體育特長生和美術(shù)特長生共25人【解析】選AC.抽取的體育特長生、美術(shù)特長生、音樂特長生分別為2525+35+40×40=10(人),3525+35+40×40=14(人),40【加練備選】某市6月1日起正式實施的《生活垃圾分類管理條例》將城市生活垃圾分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”四大類.某社區(qū)為了分析不同年齡段的人群對垃圾分類知識的了解情況,對轄區(qū)內(nèi)的居民進行比例分配的分層隨機抽樣調(diào)查.已知該社區(qū)的青年人、中年人和老年人分別有800人、900人、700人,若在老年人中的抽樣人數(shù)是35,則在青年人中的抽樣人數(shù)是 ()A.20 B.40 C.60 D.80【解析】選B.由題可知抽取的比例為k=35700=120,故青年人應(yīng)該抽取的人數(shù)為800×1考點四分層抽樣樣本均值的計算[例4]某高中的高一、高二、高三這三個年級學(xué)生的平均身高分別為x,y,z,若按年級采用分層抽樣的方法抽取了一個600人的樣本,抽到高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為100,200,300,則估計該高中學(xué)生的平均身高為 ()A.16x+13y+12z C.12x+13y+16z 【解析】選A.設(shè)該高中的總?cè)藬?shù)為m,由題意知,高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為m6,m3,m2,所以估計該高中學(xué)生的平均身高為m6·x+【解題技法】分層抽樣樣本均值的求法在比例分配的分層隨機抽樣中,如果層數(shù)分為兩層,第一層的樣本量為m,均值為x;第二層的樣本量為n,均值為y,則樣本的均值為mx【對點訓(xùn)練】在調(diào)查某中學(xué)的學(xué)生身高時,利用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取男生20人,女生15人,得到了男生身高的均值為170cm,女生身高的均值為165cm,估計該中學(xué)所有學(xué)生的平均身高為________cm(結(jié)果精確到0.1).

【解析】20×170+15×16520+15≈167.9(cm),即該中學(xué)所有學(xué)生的平均身高約為167.9cm答案:167.9【加練備選】在比例分配的分層隨機抽樣中,總體共分為2層,第1層的樣本量為20,樣本平均數(shù)為3,第2層的樣本量為30,樣本平均數(shù)為8,則該樣本的平均數(shù)為________.

【解析】2020+30×3+3020+30答案:6第十章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析【高考研究·備考導(dǎo)航】【三年考情】角度考查內(nèi)容課程標(biāo)準(zhǔn)高考真題考題統(tǒng)計隨機抽樣1.學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法;2.通過解題實例,感悟在實際生活中進行科學(xué)決策的必要性和可能性.用樣本估計總體1.學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)直觀表示的方法,學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的刻畫方法;2.體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推理與演繹推理的差異,通過實際操作,積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗.2023年:新高考Ⅰ卷·T92023年:新高考Ⅱ卷·T192022年:新高考Ⅱ卷·T192021年:新高考Ⅰ卷·T92021年:新高考Ⅱ卷·T9變量的相關(guān)性與一元線性回歸分析1.了解相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義;2.了解一元線性回歸模型,并會利用其解決簡單的實際問題.列聯(lián)表與獨立性檢驗了解2×2列聯(lián)表,并會利用其解決簡單的實際問題.2022年:新高考Ⅰ卷·T20命題趨勢1.題型設(shè)置:常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn);2.內(nèi)容考查:本章高考考查的頻率較高.常考查樣本頻率分布直方圖、列聯(lián)表與獨立性檢驗、變量的相關(guān)性與一元線性回歸分析;3.能力考查:高考題凸顯對統(tǒng)計思維、歸納推理、數(shù)學(xué)運算能力的考查.【備考策略】根據(jù)近3年新高考卷命題特點和規(guī)律,復(fù)習(xí)本章時,要注意以下幾個方面:1.全面系統(tǒng)復(fù)習(xí),深刻理解知識本質(zhì)隨機抽樣分簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣,是數(shù)據(jù)統(tǒng)計的前提;建立頻率分布直方圖是對抽取樣本數(shù)據(jù)可視化描述的處理方法,在此基礎(chǔ)上進一步計算樣本的數(shù)字特征;統(tǒng)計方法和統(tǒng)計思想是最切合實際生活的數(shù)學(xué)體驗,也是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要體現(xiàn);成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析主要有變量間的相關(guān)關(guān)系、一元線性回歸模型、獨立性檢驗,這不僅是統(tǒng)計知識的深入應(yīng)用,也充分體現(xiàn)了統(tǒng)計數(shù)據(jù)對問題預(yù)測、評價等的決定作用.2.熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律(1)簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣的思想和方法;(2)頻率分布直方圖的制作方法、利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征.(3)利用最小二乘法求經(jīng)驗回歸方程,利用回歸直線估計變量的取值,利用相關(guān)系數(shù)判斷兩個變量相關(guān)性的大小.(4)利用統(tǒng)計思想對現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象、圖表、數(shù)據(jù)等進行分析和判斷.3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用重視數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模在解題中的應(yīng)用,統(tǒng)計是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體,學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到“函數(shù)與方程”“分類與整合”“數(shù)形結(jié)合”“數(shù)學(xué)建?！钡人枷?(1)函數(shù)與方程思想在回歸直線方程的應(yīng)用中,需要利用函數(shù)與方程的思想對相關(guān)變量進行估計.(2)分類與整合思想統(tǒng)計中計算中位數(shù)時,要分?jǐn)?shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況,含有參數(shù)時對數(shù)據(jù)進行排序要分類與整合.(3)數(shù)形結(jié)合思想統(tǒng)計中有一類題主要考查讀圖能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力及處理數(shù)據(jù)作出決策的能力,充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的作用.(4)數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)建模思想的實質(zhì)是將實際問題數(shù)學(xué)化,進而用數(shù)學(xué)的方法解決統(tǒng)計在實際問題中的應(yīng)用,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用.第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合實例,借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).【考情分析】考點考法:高考命題常以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系為主,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或已知函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)求函數(shù)解析式中的參數(shù)范圍.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系前提條件結(jié)論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減f'(x)=0f(x)在區(qū)間(a,b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步,確定函數(shù)的定義域;第2步,求出導(dǎo)數(shù)f'(x)的零點;第3步,用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間,列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù),由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是()A.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f'(x)>0B.若函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)恒有f'(x)≥0,則y=f(x)在(a,b)上一定單調(diào)遞增C.若函數(shù)f(x)在定義域上都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增D.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性【解析】選ABC.A有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,但f'(x)=3x2≥0.×B若y=f(x)為常數(shù)函數(shù),則f'(x)=0,滿足條件,但不具備單調(diào)性.×C反例,f(x)=-1x,雖然f'(x)=1x2>0,但f(x)=-1x×D如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,則此函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù),則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.√2.(選修二P97T2·變形式)函數(shù)f(x)=x3+2x2-4x的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(23,+∞)【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>23故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(23,+∞)3.(2022·浙江高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x+lnx(x>0).則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e2),單調(diào)遞增區(qū)間為(【解析】f'(x)=-e2x2+1當(dāng)0<x<e2時,f'(x當(dāng)x>e2時,f'(x)>0故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e2),單調(diào)遞增區(qū)間為(e24.(單調(diào)性與充要條件的關(guān)系把握不準(zhǔn))若函數(shù)f(x)=sinx+kx在(0,π)上單調(diào)遞增,則實數(shù)k的取值范圍為[1,+∞).

【解析】因為f'(x)=cosx+k≥0,所以k≥-cosx,x∈(0,π)恒成立.當(dāng)x∈(0,π)時,-1<-cosx<1,所以k≥1.【巧記結(jié)論·速算】1.若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則x∈(a,b)時,f'(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則x∈(a,b)時,f'(x)≤0恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則x∈(a,b)時,f'(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則x∈(a,b)時,f'(x)<0有解.【即時練】1.若函數(shù)h(x)=lnx-12ax2-2x在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為(A.[-716,+∞) B.C.[-1,+∞) D.(-716【解析】選B.因為h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,由結(jié)論2,h'(x)=1x-ax所以當(dāng)x∈[1,4]時,a>1x2-而當(dāng)x∈[1,4]時,1x2-2x=(1(1x2-2x)min所以a>-1,所以a的取值范圍是(-1,+∞).2.若函數(shù)f(x)=13x3-32x2+ax+4的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,4],則實數(shù)a的值為【解析】f'(x)=x2-3x+a,且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,4],由結(jié)論1,f'(x)=x2-3x+a≤0的解集為[-1,4],所以-1,4是方程f'(x)=0的兩根,則a=(-1)×4=-4.【核心考點·分類突破】考點一不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性[例1](1)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx【解析】選B.對于A,f'(x)=2cos2x,f'(π3對于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合題意;對于C,f'(x)=3x2-1,f'(13)=-2對于D,f'(x)=-1+1x,f'(2)=-12(2)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.①f(x)=4x2+1x;②f(x)=x③f(x)=sinx2+cosx;④f(x)=(x-1)ex-【解析】①定義域為{x|x≠0},f'(x)=8x-1x令f'(x)>0,得8x-1x2>0,即x3>所以x>12.令f'(x)<0,得x<12且x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(12單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,12)②定義域為(0,1)∪(1,+∞).f'(x)=lnx-x由f'(x)>0,解得x>e.由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(1,e).③f'(x)=(2+cosx)令f'(x)>0,得cosx>-12,即2kπ-2π3<x<2kπ+2π3(k令f'(x)<0,得cosx<-12即2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈Z因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ+2π3,2kπ+4π3)(k④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化如表:x(-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(ln2,+∞).【解題技法】單調(diào)區(qū)間的求法(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意先求定義域.(2)使f'(x)>0的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,使f'(x)<0的區(qū)間為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,要用“逗號”或“和”隔開.【對點訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)【解析】選A.因為f'(x)=2x-2x=2(x令f'(x)=0,得x=1,所以當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).2.已知函數(shù)f(x)=x-lnx-exx.判斷函數(shù)f(x【解析】因為f(x)=x-lnx-ex所以f'(x)=1-1x-=(x-1)(令g(x)=x-ex,則g'(x)=1-ex,可得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=-1<0.所以當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.考點二含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性[例2]已知函數(shù)g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.【解析】因為g(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,所以g'(x)=2ax2由題意知函數(shù)g(x)的定義域為(0,+∞),若12a<1,即a>由g'(x)>0得x>1或0<x<12由g'(x)<0得12a<所以函數(shù)g(x)在(0,12a),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(若12a>1,即0<a<由g'(x)>0得x>12a或0<由g'(x)<0得1<x<12所以函數(shù)g(x)在(0,1),(12a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,若12a=1,即a=12,則在(0,+∞)上恒有g(shù)'所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.綜上可得,當(dāng)0<a<12時,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,12a當(dāng)a=12時,函數(shù)g(x當(dāng)a>12時,函數(shù)g(x)在(0,12a)上單調(diào)遞增,在(【解題技法】利用分類討論思想解決含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,基本策略是分類討論,注意以下幾點:(1)注意確定函數(shù)的定義域,在定義域的限制條件下研究單調(diào)區(qū)間.(2)注意觀察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某個因式等)的取值是否恒為正(或恒為負(fù)),這往往是分類討論的出發(fā)點.(3)注意結(jié)合解含參數(shù)不等式中分類討論的一些常用方法,例如:對二次項系數(shù)正負(fù)的討論,對判別式Δ的討論,對根的大小比較的討論等.(4)分類討論要做到不重不漏,同時還要注意對結(jié)果進行綜述.【對點訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x-2x+a(2-lnx),a>0,討論f(x)的單調(diào)性【解析】由題知,f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.設(shè)g(x)=x2-ax+2,則二次方程g①當(dāng)Δ<0,即0<a<22時,對一切x>0都有f'(x)>0.此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)Δ=0,即a=22時,僅對x=2有f'(x)=0,對其余的x>0都有f'(x)>0.此時f(x)也在(0,+∞)上單調(diào)遞增.③當(dāng)Δ>0,即a>22時,方程g(x)=0有兩個不同的實根x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,且0<x1<x2x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時f(x)在(0,a-a2-82)上單調(diào)遞增,在(a考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較大小[例3](1)已知函數(shù)f(x)=lnx-xex,設(shè)a=f(32),b=f(2),c=f(7A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【解析】選C.易知f'(x)=ex+x又x∈(0,+∞)時,ex>1,(x-12)2-14≥-所以f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(73)>f(2)>f(32),即c>b(2)(2023·衡陽模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,則f(35),f(0),f(-12)的大小關(guān)系為f(0)<f(-12)<f(3【解析】因為f(x)的定義域為R,且函數(shù)f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以f(12)=f(-12),f'(x)=2x+sin當(dāng)0<x<π2時,f'(x)=2x+sinx所以函數(shù)在(0,π2所以f(0)<f(12)<f(3即f(0)<f(-12)<f(35角度2解不等式[例4](1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=20,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>6x2+2,則不等式f(x)>2x3+2x的解集為()A.{x|x>-2} B.{x|x>2}C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}【解析】選B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,則g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.因為g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等價于g(x)>g(2),所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集為{x|x>2}.(2)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x+1,則不等式f(2x-3)>1的解集為(32,+∞)【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定義域為R,f'(x)=ex+e-x-2≥2ex當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取“=”,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(0)=1,所以原不等式可化為f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>32所以原不等式的解集為(32,+∞)角度3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍[例5](1)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰已知g(x)=2x+lnx-ax①若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為[-3,+∞).

②若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為(-10,+∞).

【解析】①g'(x)=2+1x+ax2(所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2+1x+a所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.所以實數(shù)a的取值范圍是[-3,+∞).②g(x)在[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則g'(x)>0在[1,2]上有解,即a