高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (十)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（10）

一、單項選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.設(shè)a是給定的平面，48是不在a內(nèi)的任意兩點.有下列四個命題:

①在a內(nèi)存在直線與直線AB異面;②在a內(nèi)存在直線與直線AB相交;

③存在過直線AB的平面與a垂直;④存在過直線AB的平面與a平行.

其中，一定正確的是（）

A.①②③B.①③C.①④D.③④

2.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典仇章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長

方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為

鱉席.如圖為一個陽馬與一個鱉席的組合體，已知PA_L平面4BCE,四邊形4BC0為正方形,4。=

2,ED=1,若鱉席P"E的外接球的體積為手,則陽馬P-4BCD的外接球的表面積等于

()

A.18nB.17nC.16nD.15n

3.如圖，兩個同心球的球心均為點O,其中大球與小球的表面積之比為

3:1,4,C為小球球面上的兩點，B,力為大球球面上的兩點，線段

AB,CD均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)三棱錐A-BCD的體積達到最大值時，

異面直線4。與BC所成的角為。，則sing=（）

A.在

6

B..

4

c.回

6

D.迎

33

4.如圖所示，在正方體48C。一41當(dāng)6。1中，點E是棱CCi上的一個

動點，平面BE5交棱于點F.則下列結(jié)論中錯漫的是（）

A.存在點E,使得&G〃平面BEDIF

B.存在點E,使得B]D1平面BED/

C.對于任意的點E,平面_L平面BED/

D.對于任意的點E,四棱錐為-BEDiF的體積均不變

5.棱長為2的正方體4BCD-&B1GD1的所有頂點均在球0的球面上，E、F、G分別為AB、AD、

的中點，則平面EFG截球。所得圓的半徑為（）

A.運B.V2C.辿D.V3

33

，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三

，則該幾何體的體積為

A.64—8X/2TT

3

B.64-4V27T

3

C.64-871

3

64—47r

二、填空題（本大題共11小題，共55.0分）

7.已知乙4cB=90°,DAL平面ABC,AE1DB交OB于E,AF1DC交0c于F,且40=AB=2,

則三棱錐D-4EF體積的最大值為.

8.棱長為2的正四面體，它的高=；它的外接球半徑=；它的內(nèi)切球的半徑

9.已知直三棱柱4BC-4181cl中，Z.ABC=120°,AB=2,BC=CCX=1,則異面直線4%與BQ

所成角的余弦值為.

10.已知A,8,C,。是同一球面上的四個點，其中A4BC是正三角形,401平面ABC,40=2AB=6,

則該球的體積為.

11.過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且4B=BC=a4=3,則球的

體積為________

12.體積為式的三棱錐P-ABC的頂點都在球O的球面上，PAJ_平面ABC,PA=2,ZzlDCf,

6

則球。的表面積的最小值為

13.已知在矩形ABC。中，AB=2V2，BC=a,尸41平面48C。，若在

8c上存在點Q滿足PQ1DQ,則a的最小值是.

14.在四面體ABC。中，AB=AD=2,/.BAD=60。，/BCD=90。，二面角4-BD-C的大小為150°,

則四面體ABCD外接球的半徑為.

15.如圖所示，在正方體4BCD-&B1GD1中，M是的中點，則

直線與平面A/CCi的位置關(guān)系是.

16.設(shè)/，機是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，且1ua,mc給出下列三個論斷:①，1m；

②11年③a_L四以其中一個論斷作為條件，余下兩個論斷作為結(jié)論，寫出一個真命題：

.(用論斷序號和推出符號作答)

17.已知圓錐的頂點為S,O為底面中心，A,B,C為底面圓周上不重合的三點，AB為底面的直徑，

S4=4B,M為SA的中點.設(shè)直線MC與平面SAB所成角為a,則s譏a的最大值為.

三、解答題(本大題共13小題，共156.0分)

18.如圖，在直四棱柱力BCD-AiBiGDi中，底面ABCD是矩形，&D與45交

于點E,AAt=AD=2AB=4.

(1)證明：AE_L平面ECD

(2)求直線4C與平面E4C所成角的正弦值.

19.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,求這個幾何體的體積。

20.已知直四棱柱A8C。一AiBiC/i中,KA1=2,底面ABCC是直角梯形，

〃為直角，AB//CD,AB=4,AD=2,DC=1,求異面直線BC】與￡>C

所成角的余弦值.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC1.底面ABCD,AD//BC,AD=2BC=2,PC=2,4ABC是

以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是尸。的中點.

(1)求證：平面E4C1平面PCD；

(2)求直線PA與平面E4C所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD是邊長為2次的菱形，^BAD=60°,PD1平面ABCD,

PD=2V3,E是棱PD上的一個點，DE=當(dāng),尸為PC的中點.

⑴證明：BF//平面ACE；(2)求三棱錐F-E4C的體積.

23.在三棱柱4BC-&B1C1中，已知4B=AC=441=遍，BC=4,。為BC的中點，&。_L平面

ABC.

(1)證明四邊形BBiGC為矩形；

(2)求直線44與平面4/C所成角的余弦值.

24.如圖，在四棱錐P-4BCD中，P4ABCD,AD//BC,^DAB^,AB=BC=PA=\AD=

(1)若EF〃平面尸AD,證明：產(chǎn)為PC的中點.

(2)求點C到平面PBD的距離.

25.如圖，在三棱柱48。一48￡中，4公=248=2,^BAAr=p。為A4的中點，點C在平面

ABB14內(nèi)的射影在線段BD上.

(1)求證：當(dāng)。JL平面CBD；

(2)若團CBD是正三角形，求三棱柱力BC-4/16的體積.

26.如圖，三棱錐P-4BC中，平面PAB_L平面ABC,PA=PB,N4PB=乙4cB=90。，點E,尸分

別是棱AB,PB的中點，點G是ABCE的重心.

(1)證明：GF〃平面PAC；

(2)若GF與平面ABC所成的角為60。，求二面角B-AP-C的余弦值.

27.如圖，三棱錐D-ABC中，AB=AC=2，BC=2遮,DB=DC=3,

E,尸分別為。8,AB的中點，且NEFC=90。.

(1)求證：平面1平面ABC；

(2)求二面角。-CE-F的余弦值.

28.如圖，PAL平面ABC,AB1BC,AB=PA=2BC=2,M為PB的中點.

(1)求二面角4-PC-B的余弦值：

(2)證明：在線段PC上存在點。，使得BD并求會的值.

29.如圖，在直角梯形44當(dāng)8中，441AB=90。，=2&Bi=2.直角梯形

44GC通過直角梯形44B1B以直線力必為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面A&C1CJ■平面44避道.M

為線段2c的中點，P為線段BB］上的動點.

(1)求證：ACLAB

(2)當(dāng)點P是線段8當(dāng)中點時，求二面角P-AM-B的余弦值;

(3)是否存在點P,使得直線4C〃平面4MP?請說明理由.

30.如圖，在四面體A-BCD中，AD1平面BCD,BCLCD,AD=2,BD=2VlM是AD的中點,

P是的中點，點。在線段AC上，且4Q=3QC.

(1)證明：P(?//￥ffiBCD；

(2)若二面角C-BM-D的大小為60。，求NBDC的大小.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查

空間想象能力，是中檔題.

在①中，直線AB與a相交或平行，從而在a內(nèi)一定存在直線與直線AB異面；在②中，當(dāng)直線4B〃a

時，在a內(nèi)不存在直線與直線A5相交；在③中，直線A8與a相交或平行，從而存在過直線A3的平

面與平面a垂直；在④中，當(dāng)直線A8與平面a相交時，不存在過直線AB的平面與平面a平行.

解：由a是給定的平面，A,B是不在a內(nèi)的任意兩點，知：

在①中，:48是不在a內(nèi)的任意兩點，

???直線AB與a相交或平行，

.?.在a內(nèi)一定存在直線與直線A8異面，故①正確；

在②中，當(dāng)直線ZB〃a時，在a內(nèi)不存在直線與直線AB相交，故②錯誤；

在③中，:48是不在a內(nèi)的任意兩點，

???直線A3與a相交或平行，

二存在過直線A8的平面與平面a垂直，故③正確；

在④中，當(dāng)直線AB與平面a相交時，

不存在過直線AB的平面與平面a平行.故④錯誤.

綜上其中正確的命題是①③.

故選：B.

2.答案：B

解析：

本題考查幾何體的外接球，幾何體的表面積的求法，直線與平面的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象

能力以及計算能力，利用已知條件畫出圖形，在三棱錐P—4DE（鱉腌）中，2r=PE,四棱錐P—ABC。

中2R=PC,設(shè)PA=/i,求出外接球的高和半徑，然后求解球的表面積.

解：由題意，在三棱錐P1（鱉席）中，ED1DA,PA_L平面ABCE,

所以其外接球的直徑2r=PE.

設(shè)PA=h,則2r=y/PA2+AD2+DE2=V/i2+22+l2=y/h2+5，

所以其外接球的體積了=咽=%）3=①，解得九=3.

設(shè)四棱錐P-48co（陽馬）的外接球半徑為R,

則2R=PC=>JPA2+AD2+AB2=V32+22+22=V17，

所以該球的表面積S=4nR2=17n.

故選B.

3.答案：A

解析：

本題考查了幾何體與球的外切和內(nèi)接的問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬中檔題.

首先判斷出正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為1；V3,內(nèi)切球和外接球的表面積之比為1：3,符合

題意中的小球和大球的比例.判斷當(dāng)四面體ABCD體積最大時，AB,8的位置關(guān)系，作出異面直

線A。，BC所成的角0,解直角三角形求得sin/

解：設(shè)正方體的邊長為2,則其內(nèi)切球半徑為1,外接球的半徑為丐叵=%，

???內(nèi)切球和外接球的表面積之比為1：3,符合題意中的小球和大球的比例，

依題意CD,A8最長為J（舊）2_〃=&,AC最長為小球的直徑2.

???三角形的面積S=之?ab?s譏C,若a,6為定值，則C=］時面積取得最大值.

畫出圖象如下圖所示，其中A,C分別是所在正方形的中心，

*tB

n//I'

。是正方體內(nèi)切球與外接球的球心，CD//ADlfCD=ADi，CBJ/AB,CBX=AB.

'''^A-BCD=3^ABDi-CBiD=鼠SAAB。1?4C,故此時四面體4—BCD的體積最大.

vCE//AB,CE=4B,.?.四邊形A8CE為平行四邊形,

BC〃4E,二N04E是異面直線BC和AO所成角，NDAE=6,

■：AD=AE,設(shè)G是DE的中點，則4G10E,

eGE11V6

-9=Z,.rGAAcB,si-n-=—

22AEV22+l2+l2=而=了

故選：A.

4.答案:B

解析：

本題考查了空間中直線與平面的平行，垂直關(guān)系及棱錐的體積計算，解答的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂

直的性質(zhì)定理與判定定理.

當(dāng)E為CG的中點時，則F也為的中點，可證4G〃平面BED/,判斷A是真命題；

用反證法證明不存在點E,使得當(dāng)0_L平面BEDiF,判斷2是假命題；

根據(jù)對于任意的點E,都有BO1，平面&Ci。，判斷C是真命題；

根據(jù)/I-BEaF=限-84口+%-BBMJ而兩個三棱錐的體積為定值，判斷力是真命題.

解：對A,當(dāng)E為CCi的中點時，則F也為4公的中點，???&G〃平面BED/；故A為

真命題；

對8，假設(shè)當(dāng)。_L平面BE。/,則在平面BCCiBi和平面上的射影BiC,占4分別與8E,

B尸垂直，

可得E與Q重合，尸與公重合，而B,41，Ci，劣四點不共面，.??不存在這樣的點E,故B為假命題

你；

對C,rBO】_L平面&Ci。，BAu平面BED/,.?.平面4G。_1平面BEDiF,故C是真命題；

對D,VB1-BED1F=VE-BB.D,+/-B/D，，???CC"/A4i〃平面2為。1，.??四棱錐&-BEDiF的體積為

定值，故。是真命題；

故選B.

5.答案：A

解析：解：由題意，正方體ZBCD-4/GD1的外接球球心。為對角線AG的中點，正方體對角線

長為26，

所以球半徑R=H，

因為A到平面EFG的距離為多

所以球心。到平面EFG的距離為百一g=等，

所以小圓半徑r=JRZ_（竽）2=誓，

故選力.

正方體43。。一48住1。1的外接球球心0為對角線AC1的中點，球半徑R=g,球心。到平面EFG

的距離為出，利用勾股定理求出小圓半徑.

3

本題考查平面EFG截球。所得圓的半徑及球的內(nèi)接多面體問題，找準(zhǔn)量化關(guān)系是關(guān)鍵.

6.答案：A

解析：

本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的體積，設(shè)計組合體，包括棱錐的體積，球的體積，屬中檔題，關(guān)鍵

是觀察出幾何體這是一個有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐內(nèi)部挖去了一個八分之一的球，然后根據(jù)

圖中尺寸計算即可

解：這是一個有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐內(nèi)部挖去了一個八分之一的球，

四棱錐的底面邊長和高都等于4,八分之一球的半徑為2世，

..I...I4后、364-8V^TT

V=-X1-1-1——X-7TX2v2]=---------------，

383\/3

故選4.

7.答案：?

解析：

本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

推導(dǎo)出AD1BC,DE=V2,平面BCD_L平面AC。，BDLnAEF.AF2+EF2=AE2=

2>2AF-EF,得到又曲<[.由此能求出三棱錐。-力EF體積的最大值.

解：:ZMl平面4BC,

D

DA1AB,AD1BC.

AELBD,又AD=AB=2,DE=V2.

又BC1AC,ACHADA,

BCJL平面ACD,

因為BCu平面BCD,

???平面BC。_L平面ACD,

■■■AF1CD,平面BCD。平面ACC=CD,

AF1平面BCD,

???AF1BD,AF1EF,

因為4E10B,又=

???BDJ"平面AEF,

由AF2+EF2=AE2=2N24F-EF,當(dāng)且僅當(dāng)AF=EF時，等號成立,

???AF-EF<1,

SA.EFW3X1=3,

???三棱錐D-4EF體積的最大值為U=ixV2xl=^

故答案沏?

82n.底。>/6

?0?3'2’6

解析：

本題考查正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑的求法，是中檔題，解題時要注意合理地化空間問題

為平面問題.

如圖，ABC。是棱長為2的正四面體作40i，平面BCD于Oi，則01為△BCD的中心，求出力01=乎.

在平面A8O1內(nèi)作A8的垂直平分線交也于O,求出A0=當(dāng)由。5=也一4。=.正四面體的高為

4。1，外接球半徑R=4。，內(nèi)切球半徑r=00「

解：如圖，

ABC。是棱長為2的正四面體，作AO11平面8CD于則01為ABC0的中心,

則BO】=-x—x2=—?

1323

??高AO1=）一律）=耳=平.

在平面4B01內(nèi)作AB的垂直平分線交AO1于O,則A。=B。=C。=。0,且O到平面BC￡＞、ABC、

ACD.ABO的距離相等,

。是△4C0的內(nèi)切球心，外接球球心取A8中點￡,連結(jié)0E,

由△AEOsAAOiB,得，籌=券,

2X1_V6

A0—

辿-2,

??,。0]=A。]—4。2V6_V6漁

326

.??棱長為2的正四面體，它的高=壁；它的外接球半徑=在；它的內(nèi)切球的半徑=在,

326

故答案為辿；更；理.

326

9.答案：包

5

解析：

本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中

檔題.

【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiG的中點，得出人當(dāng)、BC】夾角為MN和NP夾角或其

補角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ,MP和NMNP的余弦值即可.

【解法二】通過補形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔.

解：【解法一】如圖所示，

設(shè)例、N、P分別為A8,SB1和BiG的中點，

則AB】、BCi夾角為MN和NP夾角或其補角

（因異面直線所成角為（0,自），

可知MN=工4%=-.

212

NP=-BC.=—;

212

作8c中點Q,則4PQM為直角三角形；

PQ=1,MQ=^AC,

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-COSNABC

1

=4+l-2x2xlx（--）

=7,

???AC=V7.

???MQ=*

在4MQP中，MP=VMQ2+PQ2=號；

在APMN中，由余弦定理得

MN2+NP2-PM2

cos乙MNP

2-MN?NP

（匏+（苧）2-（亨）2_國

---石

22

又異面直線所成角的范圍是（0,§,

AB1與BC1所成角的余弦值為唱.

【解法二】如圖所示，

補成四棱柱4BCD-&B1GD1，求NBGD即可；

=伍BD=\/22+l2-2x2xlxct?60°=\：小

CrD=V5>

：.BCl+BD2=6。2,

乙DBG=90°,

cos乙BC1D=親=半.

10.答案：32A/5TT

解析：

本題考查球內(nèi)接多面體，考查球的體積，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

由題意把A、B、C、￡＞擴展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑,

然后求出球的體積.

解：由題意畫出兒何體的圖形如圖，

把A、B、C、。擴展為三棱柱，

上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑,

AD=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形，

所以4E=|JAB2-(^AB)2=V3.

AO=2V3)可得球的體積為32b兀.

故答案為：32痘n.

11.答案：等

解析：

本題主要考查球的體積，涉及到截面圓圓心與球心的連線垂直于截面，這是求得相關(guān)量的關(guān)鍵.

設(shè)回ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理，可得r=b，再由R2=CR)2+",求得球的半徑尺再

求體積即可.

解：設(shè)124BC的外接圓半徑為r,

則由正弦定理得：丁為=2r,r=V3,

設(shè)球的半徑為R,截面和球心的距離等于球半徑的一半，

則：R2=Q?)2+r2,解得R=2,

所以球的體積為1/=這=3,

33

故答案為等.

12.答案：8兀

解析：

本題考查空間幾何得體積與面積問題，屬于中檔題.

根據(jù)體積先求出三角形面積，然后在利用余弦定理和基本不等式求出AC,再利用正弦定理求出外接

圓半徑，從而可求出圓。的半徑，帶入圓表面積公式求解即可.

解：PAJ_平面ABC,PA=2,

Vp-ABC-,PA=今

得SfBC=與

又S&IBC—ZJC*-AB-sin()O，

在△ABC中由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-21ABi田務(wù)?總

?J

>2ABBC-^ABBC=3,

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=1時取等號，AC=V3,

又正弦定理AABC外接圓直徑的最小值為.27r

sin一

3

故r=1.則三棱錐外接球的半徑為R=佰丫+產(chǎn)=魚,

所以球。的表面積的最小值是反足8萬，

故選C.

13.答案：4企

解析:

此題考查線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

由PAJ■平面ABC。和PQ1DQ可得4QJ.DQ,可得△力BQQCC,設(shè)BQ=x,則x(x-a)=8,

當(dāng)a24位時，在BC上存在點。滿足PQJLDQ,由此能求出a的最小值.

解：如圖，連接AQ,???P4!平面ABC。，二P41DQ,

vPQLDQ,PAHPQ=P,：.DQ1平面PAQ,

■?■DQLAQ,^AQD=90°.

由題意得△ABQyQCD.

設(shè)BQ=x,則QC=a-x,

由職=黑，得％(a-x)=8,即/-ax+8=0(*),

由題意知/=a2-32>0,解得a>4也

故a的最小值為4VL

14.答案：亨

解析:

本題考查球的內(nèi)接體，二面角的平面角的應(yīng)用，球與平面相交的性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力以

及計算能力.

利用已知條件畫出圖形，判斷球心的位置，轉(zhuǎn)化求解球的半徑即可.

解:在四面體ABCD中=AD=2,/.BAD=60°,^BCD=90。,二面角4-BO-C的大小為150。，

四面體A8C。外接球，如圖：

則△BCD在球一個小圓上，8。的中點為圓心M△4BD是正三角形，也在球的一個小圓上，圓心為

M,

作。M_L平面ABO,ONI5]2?BCD,。為球心，二面角4一B。一C的大小為150。，作NP1BO,

貝此ANP=150°,可得乙ONM=60°,MN=—.則ON=—,BN=1,

33

外接球的半徑為：[（竽）2+12=亨.

故答案為：叵.

3

15.答案：相交

解析：

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，難度較小.

解：由于M是41cl的中點，延長OM,

則它與的延長線相交，于是。仞與平面力p4CCi有一個公共點，即。M與平面4ACG相交.

故答案為相交.

16.答案：②=①③

解析：

本題考查線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的判斷定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理判斷即可.

解：觀察發(fā)現(xiàn)，②=①③是正確的命題，

證明如下：

因為Ica,muB，I工

根據(jù)線垂直面的性質(zhì)定理得即②n①，

根據(jù)面面垂直的判定定理得a10,即②=③；

所以一個真命題為②=①③.

故答案為②=①③.

17.答案：V3—1

解析：

本題考查線面角的求法及基本不等式在求最值方面的應(yīng)用，屬于較難題.

解：以。為坐標(biāo)原點，OS所在直線為z軸，08所在直線為y軸，底面上垂直于AB的直線為X軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)48=2,0(。斕?.sin仇())，

則4(0,-1,0),5(0,0,V3),M(0,-|,y)，

63/：(―co?0.-：—siiW,g)，面SA2的一個法向量為k=(1,0,0),

.9cotrO1—sin%

smxa------------：-----------了=-------

co?204-(―-—sin0)2+12+si，

設(shè)2+siiW=t.te[1.3j,

i_&_2產(chǎn)3

sin%-------------=4-(f+/W4-2\/*3=(—1尸>

當(dāng)且僅當(dāng)t=g時取等號，

則sina的最大值為百-1.

故答案為W-L

18.答案：(1)證明：因為四棱柱ABCD-&8由。1是直四棱柱,所以ABCD,則1CD.

又CDLAD,AA1C\AD=A,

所以CD1平面所以CD1AE.

因為AaimAAi=AD,所以是正方形，所以4E_LED.

又CDCED=D,所以4E平面ECD

(2)解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，與力劣交于點E,AAi=AD=2AB=4.

4(0,0,0),必(0,0,4),C(2,4,0),0(0,4,0)所以E(0,2,2),砧=(2,4,-4),

設(shè)平面E4C的法向量為元=(x,y,z),可得［嚏］;，即￡二器二;，不妨記=(一2,1,1),

直線京與平面E色所成角的正弦值：|襦|=|.|=康=祭

解析：(1)證明4411CD.CD1AD,推出CD1平面441。山，得到CD14E.證明4E1ED.即可證明

AE_L平面ECD.

(2)建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線4C與平面E4C所成角的正弦

值.

本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用；

19.答案：解：由三視圖可得該幾何體為四棱錐如圖：

底面為邊長為20c”?的正方形，PBC1ABCD,高為20cro,

Vs-ABCD=?SE=等CUl3.

解析：此題考查由三視圖求空間幾何體的體積，關(guān)鍵是由四棱錐還原四棱錐的直觀圖及幾何量.

20.答案：解：由題意4B〃CD,---------SL

NGB4是異面直線BG與OC所成的角.-------~^|B1

連接AG與4C,在RtAADC中，可得4c=隗.：：\

又在RtAACCi中，可得4c1=3.7W'、、、\

在梯形ABC。中，過C作CH〃/W交4B于H,H3

得乙CHB=90°,CH=2,HB=3,

CB=V13.

又在RtACBG中，可得BCI="7,

在△ABC1中，cos/.C1BA=

即異面直線BC］與OC所成角的余弦值為過.

17

解析：本題考查點到直線的距離，考查異面直線所成角的余弦值的求法.考查空間想象能力、運算

能力和推理論證能力.

由4B〃CD,得ZC1B4就是BQ與CZ）所成的角，由此能求出異面直線BQ與。C所成角的余弦值.

21.答案：（1）證明：PC1底面ABC。，ACABCD,

???PC1AC,

由題意可知，4D〃8C,且4D=28c=2,△ABC是等腰直角三角形，

AC=v/2BC=v笈，CD=近,

CD2+AC2=AD2,即AC1CD,

又；PCCCD=C,PC、CD都在平面PCD內(nèi)，

AC_L平面PCD,

"ACu平面EAC,

???平面E4C_L平面PCD；

（2）解：vPC1JR?ABCD,則建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

z.

E

則P(0,0,2),C(0,0,0)M(0,V2,0),D(V2,0,0),E《,0,l)，

CA=(0,72,0).CE=(y,0,l).PA=(0,V2,-2).

設(shè)平面EAC的法向量為記=(%)，，z),

n-CA=y/2y=0

則

n-CE=^x+z=0,

令z=l,解得==(一企,0,1),

記直線PA與平面E4C所成角為。,

.lir-PAIy/2

則nlS譏0n=-——上r=—

I可■PX|3

所以直線PA與平面EAC所成角的正弦值釁

解析：本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(1)推導(dǎo)出PC14C,AC1CD,從而AC1平面PC￡>,由此能證明平面EAC1平面PC￡>；

(2)由PCJL底面4BCD,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能出直線PA與平面E4C所成角的正弦值.

22.答案：解：(1)連接BO,設(shè)BDCAC=。，

取PE的中點G,連接8G,0E,FG,

在△BOG中，因為0,E分別為BD,OG的中點,

所以O(shè)E//BG.

又BGC平面AEC,OEu平面AEC,

所以BG〃平面AEC.

同理，在APEC中，F(xiàn)G〃CE,

FGC平面AEC,CEc平?，

FG〃平面AEC.

又GBnGF=G,(；B.GFC平面BFG,

所以平面BFG〃平面AEC.

因為BFu平面BFG,

所以8F〃平面ACE.

(2):由⑴知BF〃平面ACE,

所以%-E4C=^B-EAC>又0-EAC=^E-ABC'

所以%-E4C=^E-ABC-

因為6,

OB=V3.DE=—，

3

=X

所以，VF-EAC—^E-ABC|竽X?=2?

解析：本題主要考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，與棱錐的體積，屬于一般題.

(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，結(jié)合相關(guān)定理即可推出結(jié)論.

(2)利用(1)中的結(jié)論，結(jié)合題中所給信息，即可推出結(jié)論.

23.答案：解：(1)證明：連接A。，因為。為BC的中點,

可得1A0,

???4。1平面ABC,BC在平面ABC內(nèi)，

&01BC,

又???a。n&o=。，

BCJ_平面4410,

BC1AAX,

???BB\"AA\,

BC1BB1,

又?.?四邊形BBiGC為平行四邊形，

???四邊形BBiQC為矩形.

(2)如圖，分別以O(shè)A,OB,。&所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,0),8(0,2,

0),C(0,-2,0),

在中，AO=>/AB2-BO2=1.Rt△4公。中，J4外-4。2=2,4(0,0,2),

.，.痂=(-1,0,2)，A^C=(0,-2,-2).=(-1,2,0)，

設(shè)平面A/iC的法向量是n=(x,y,z),

由卜亞=仇得曰；2；=_。即比2/可取n=

(n-4C=0,(-2丫-2z=0(z=-y,

設(shè)直線44]與平面力道住所成角為。，則。e[0,^\,sin9=|cos<麗<,n>|=爵力="而=^V30.

???ee[0,5,

???cos0=V1-sin20=V'

即直線441與平面4當(dāng)。所成角的余弦值為馨.

解析：(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得BC_L44,進而得到BCJL8B1，由此容易得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量及平面4B1C的法向量，利用向量公式得解.

本題考查線面垂直的性質(zhì)及利用空間向量求解線面角問題，考查運算求解能力，屬于常規(guī)題目.

24.答案：解：（1）證明?.YD〃BC,BC仁平面PAD,ADu平面PAD,

■.BC〃平面PAD,

■：P6平面PBC,Pe平面PAD,

故設(shè)平面PBCn平面PAD=PM,

又?；BCu平面PBC,：.BC〃PM,

???EF〃平面PAD,EFu平面PBC,

EF//PM,

從而得到EF〃BC,

??,E為PB的中點，

??.F為尸C的中點.

（2）???PA，底面ABCD,Z.DAB=90°,AB=BC=PA=^AD=2,

PB=y/PA2+AB2=2近,PD=>/PA2+AD2=2遙，

BD=y/BA2+AD2=2遍,

.??5?=劍4中一（通）2=6,

設(shè)點C到平面PBD的距離為d,

由%-PB。=KP-BCD，得

§SADPB,d]S&BCD,P4=§x5xXABxPA,

解得d=|.

故點C到平面PBD的距離為|.

解析：本題考查線面平行的性質(zhì)與判定，考查點到平面的距離的求法，涉及三棱錐等體積法的應(yīng)用,

屬于中檔題.

(1)根據(jù)由已知條件得到BC〃平面PAD,設(shè)平面PBC0平面24。=PM得到EF〃PM且BC〃PM,從

而得到EF〃BC即可證明.

(2)由PAJjg!EABCD,^DAB=90°,結(jié)合已知棱長，利用勾股定理求得PB,PD,BD,根據(jù)三角

形面積公式求得SADPB=6,設(shè)點C到平面PBD的距離為d,由%_PBD=/_BC。和三棱錐體積公式

求得”即可.

25.答案：證明：⑴設(shè)點C在平面ABBMi內(nèi)的射影

為E,

則E6BD,CEu平面CBD.且CEJ?平面

&Du平面力BBia,ACE1ByD,

在△ABD中，AB=AD=1,^BAD=p

7T

則Z_ABD=乙ADB=口=巴

23

在A&B1。中，4出=&。=1,48遇1。=拳

27r

則44181。=Z.Aj^DBy=----=+

故/BIDB=7T_(_(=],故BDLBiD,

???CECBD=E,BrD_L平面CBD.

(2)方法一:VABC-A1B1C1—3匕1-4BC=3%_4送8，

由(1)得CE，平面ABB1&,故CE是三棱錐C-&AB的高,

團CBD是正三角形，BD^AB=AD=1,CE=—，

2

SA1AB=^\AB\■|A4/sin4BA4i=|x1x2xsin^=y,

Vc-A^AB=1SA1AB-CF=|xyXy=i,

故以BC-ABC==%故三棱柱ABC-48傳1的體積為*

方法二：將三棱柱補成四棱柱如圖，因SPAC=SBAC且高一樣，

故以BC-i4]8[C]=^APC-A^QCy，

故KlBCTiBiQ=^APC-A1QC1=鼻匕SB"一?。，

由(1)得CE，平面4BB1公,故CE是四棱柱力BB14-PC^Q的高，

故匕-PCQQ=^ABB1A1"CE=ABxAA^siwZ-BADxCE=1x2xsin—x

故匕8C-&B?=：匕BB遇LPCQQ=故三棱柱ABC-&B1G的體積為

解析：本題考查線面垂直的證明，考查三棱柱的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

⑴設(shè)點C在平面4BB14內(nèi)的射影為E,推導(dǎo)出CE1B1D,BD1BrD,由此能證明當(dāng)。，平面CBD；

(2)方法一:二棱柱4BC-&B1C1的體積匕8C-4TBic1=3l^i]_4BC=3%_4送8，由此能求出結(jié)果.方

法二：將三棱柱補成四棱柱，進而求解.

26.答案：(1)證明：連接EF,連接EG并延長交8c于點￡>,則點。為BC的中點，

從而點。，E,F分別是棱CB,AB,P8的中點，:0E〃/IC,EF//AP.

又OE,EFU平面PAC,AC.APc^p?PAC.

DE〃平面PAC,EF〃平面PAC.

乂DE,EFu平面EFG,DECEF=E,

二平面EFG〃平面PAC.

又GFu平面EFG,

GF〃平面PAC.

(2)解：連接尸E,?.?「/!=PB,E是AB的中點，PEJ.4B,

?.?平面P481平面ABC,平面PA8n平面力BC=AB,PEu平面PAB,

PE_L平面ABC.

連接CG并延長交BE于點O,則。為BE的中點，連接OF,則OF〃PE,

OF1平面ABC.

"GO為G/7與平面ABC所成的角，即“GO=60°.

在RtAFGO中，設(shè)GF=2,則OG=1,OF=娼,

???OC=3,PE=2V3.

AB=4V3,CE=2V3，OE=V3,

OE2+OC2=CE2,即。C_LAB.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,則4(0,-375,0)，C(3,0,0),P(0,-V3,2A/3)，

AC=(3,3V3,0),AP=(0,2祗2回

設(shè)平面PAC的一個法向量為元=(x,y,z),

則由《，一「r-，可取瓦=(遮，一Ll)?

又平面PAB的一個法向量可取式=(1,0,0).

則8S＜用由=黯=得=誓，

所以二面角B-AP-C的余弦值為卓.

解析：本題考查線面平行的判定，面面平行的判定和性質(zhì)，利用空間向量求二面角，屬于中檔題.

(1)由題意得到平面EFG〃平面PAC,又GFu平面EFG,即可證明GF〃平面P4c.

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可.

27.答案：解：(1)如右圖取BC的中點G,連接AG,DG,

因為AB=4C=2,所以BC_L4G,

因為BD=BC,所以BC1DG,

又因為AGCDG=G,所以BC1平面D4G,

所以BC1DA.

因為E,P分別為OB,A8的中點，所以￡M〃EF.

因為ZEFC=90°,即EF1CF,

則ZM1CF.

又因為BCCCF=C,

所以ZM1平面ABC,

又因為DAu平面DAB,

所以平面ZMB_L平面ABC.

(2)因為_L平面ABC,則以4為坐標(biāo)原點，

過點4與4c垂直的直線為x軸，AC為y軸，AD為z軸,

建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為AB=AC=2BC=2V3，DB=DC=3,

在△ABC中，cos/BAC=

所以4BAC=120°.

在RtAZMB中，DA=V32-22=V5>

所以點4(0,0,0),D(0,0,回C(0,2,0),B(祗一1,0),E(y,-|,y).喈，心,0)，

設(shè)平面OCE的法向量為元=(x1(yltzx),

因為方=(0,2,-V5)，~DE=

2yl—VSzj—0

所以x/31V5

(TX1~2yi~TZ1=o'

可取元=(g,逐,2).

設(shè)平面FCE的法向量為芯=(x2,y2,Z2)'

而=(一當(dāng)1,0)，F(xiàn)E=(0,0,1),

fV35

I-yx2+尸2=0n

t—,

VsA

l—2z?N—0

可取而=(5,8,0),

5代+氏向+2x0_3>/70

貝"cos<n^,n^>=

V15+5+4XV25+3-28

因為二面角。-CE-F為鈍二面角,所以二面角D-CE-F的余弦值為-噤.

解析：(1)結(jié)合面面垂直的判斷定理，結(jié)合已知可轉(zhuǎn)化為證ZM1平面ABC,結(jié)合線面垂直的判斷定

理即可；

(2)結(jié)合空間向量二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求解法向量的夾角，即可求解.

本題主要考查了平面垂直的判定定理及利用空間向量求解二面角的平面角，考查了計算能力.

28.答案：(/)解：如圖，在平面ABC內(nèi)，作

AZ//BC,

則AP、AB、AZ兩兩互相垂直，建立空間直

角坐標(biāo)系4-xyz.

則4(0,0,0),P(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,

1),M(l,l,0).

AP=(2,0,0),AC=(0,2,1),AM=(1,1,

0).

設(shè)平面4PC的法向量為沆=(x,y,z),

則巴?亞=。,即此zO,

(m-AC=0(2y+z-0.

令z=-2,則z=-2,二沆=(0,1,—2).

又祠=(1,1,0)為平面尸8c的法向量，

?\cos(記，祠〉=康=管

?二面角力一PC-B為銳角，

.?.二面角力-PC-B的余弦值為理；

10

(〃)證明：設(shè)DQ),W)是線段PC上一點，且麗=2定(04aw1).

即Q-2科iv)=2(-2,2,1).

u=2—2A,v=2Afw=A,

■■.BD=(2-21,2/1-2,71).

由前.而=0，得a=

4

-G

5[O,

???在線段PC上存在點D,使得BD1AC,

此時箕=A=i.

解析：⑴作AZ〃BC,建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz.所求值即為平面APC的一個法向量與平面PBC

的一個法向量的夾角的余弦值；

(〃)設(shè)w)是線段PC上一點，且而=4定(044W1)，利用前?而=0計算即可.

本題考查二面角，空