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文檔簡(jiǎn)介
高考教學(xué)復(fù)習(xí)易做易錯(cuò)題選
破列部令
一、選擇題:
1.(石莊中學(xué))設(shè)s“是等差數(shù)列{a“}的前n項(xiàng)和,已知S6=36,s?=324,s?_6=144(n>6),
則n=()
A15B16C17D18
36+324-144
準(zhǔn)確答案:D錯(cuò)因:學(xué)生不能使用數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算a1+a“=
6
2.(石莊中學(xué))已知s“是等差數(shù)列{a“}的前n項(xiàng)和,若az+a4+a6是一個(gè)確定的常數(shù),
則數(shù)列{s“}中是常數(shù)的項(xiàng)是()
As7Bs8CsHDsI3
準(zhǔn)確答案:D錯(cuò)因:學(xué)生對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的逆向使用和等差數(shù)列的性質(zhì)不能
靈活應(yīng)用。
3.(石莊中學(xué))設(shè){a.}是等差數(shù)列,{b“}為等比數(shù)列,其公比qWl,且bj>0(i=l、2、
3,?,n)若a]=b],a”=b”則()
Aa6=b6Ba6>b6Ca6<b6Da6>b6^a6<b6
準(zhǔn)確答案B錯(cuò)因:學(xué)生不能靈活使用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義及基本不等式。
4.(石莊中學(xué))已知非常數(shù)數(shù)列{a.),滿(mǎn)足a著-a,a*+a”。且a-產(chǎn)a-,i=l、2、3、…
n,對(duì)于給定的正整數(shù)n,a|=aj+|頰ij£/等于()
<=1
A2B-1C1D0
準(zhǔn)確答案:D錯(cuò)因:學(xué)生看不懂題目,不能挖掘題目的隱含條件,{a“}的項(xiàng)具有
周期性。
5.(石莊中學(xué))某人為了觀(guān)看2008年奧運(yùn)會(huì),從2001年起每年5月10日到銀行存入a元
定期儲(chǔ)蓄,若年利率為p且保持不變,并且每年到期的存款及利息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年定
期,到2008年將所有的存款和利息全部取回,則可取回的錢(qián)的總數(shù)(元)為().
Aa(l+p)7Ba(1+p)sC—f(l+p)7-(1+p)]D一[(1+p)8-(1+/7)1
PP
準(zhǔn)確答案:D錯(cuò)因:學(xué)生對(duì)存款利息的計(jì)算方法沒(méi)掌握。
6.(搬中)一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列,它的前5項(xiàng)的和為34,最后5項(xiàng)的和為146,所有
項(xiàng)的和為234,則它的第七項(xiàng)等于()
A.22B.21C.19D.18
解:設(shè)該數(shù)列有項(xiàng)
且首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,公差為
則依題意有
可得
代入(3)有
從而有
又所求項(xiàng)恰為該數(shù)列的中間項(xiàng),
故選D
說(shuō)明:雖然依題意只能列出3個(gè)方程,而方程所涉及的未知數(shù)有4個(gè),但將
作為一個(gè)整體,問(wèn)題即可迎刃而解。在求時(shí),巧用等差中項(xiàng)
的性質(zhì)也值得注重。知識(shí)的靈活應(yīng)用,來(lái)源于對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的深刻理解。
7.(搬中)是成等比數(shù)列的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解:不一定等比
如
若成等比數(shù)列
則
選D
說(shuō)明:此題易錯(cuò)選為A或B或C,原因是等比數(shù)列中要求每一項(xiàng)及公
比都不為零。
8.(磨中)已知Sk表示{an}的前K項(xiàng)和,Sn—Sn+l=an(nGN+),則{an}一定是_____。
A、等差數(shù)列B、等比數(shù)列C、常數(shù)列D、以上都不準(zhǔn)確
準(zhǔn)確答案:D
錯(cuò)誤原因:忽略a0=0這個(gè)特殊性
Z7—Z7
9.(磨中)已知數(shù)列-1,ai,aj,—4成等差數(shù)列,一1,bibM,—4成等比數(shù)列,則=-1■的
b2
值為=
A.1
B、一一1C、1一1或一1一D、一1
22224
準(zhǔn)確答案:A
錯(cuò)誤原因:忽略b2為等比數(shù)列的第三項(xiàng),b2符號(hào)與一1、一4同號(hào)
10.(磨中)等比數(shù)列{&J的公比為q,則q>l是“對(duì)于任意n^N+”都有am>an的
條件。
A、必要不充分條件B、充分不必要條件
C、充要條件D、既不充分也不必要條件
準(zhǔn)確答案:D
錯(cuò)誤原因:忽略為與q共同限制單調(diào)性這個(gè)特性
11.(城西中學(xué))數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為s,=n2+2n-l,
貝ija1+a:!+a5+...+a?5=()
A350B351C337D338
準(zhǔn)確答案:A
錯(cuò)因:不理解該數(shù)列從第二項(xiàng)起向后成等差數(shù)列。
12.(城西中學(xué))在等差數(shù)列{%}中>°,且則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為
()
A.Si?B.SisC.SigD.Szo
答案:C
錯(cuò)因:等差數(shù)列求和公式應(yīng)用以及數(shù)列性質(zhì)分析錯(cuò)誤。
13.(城西中學(xué))已知三個(gè)互不相等實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,那么關(guān)于x的方程
ax2+2bx+c-0
A,一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B,一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C,一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根D,一定有實(shí)數(shù)根
正確答案:D
錯(cuò)因:不注意a=0的情況。
14.(城西中學(xué))從集合{1,2,3,10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù),使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)
列,這樣的等比數(shù)列個(gè)數(shù)為()
A.3B.4C.6D.8
正確答案:D
錯(cuò)因:誤認(rèn)為公比一定為整數(shù)。
15.(城西中學(xué))若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱(chēng)為該數(shù)列的“基本量”,設(shè){%}是公比
為q的無(wú)窮等比數(shù)列,下列四組量中,一定能成為數(shù)列{凡}“基本量”的是()
(1)S-S2,⑵(3)%,an,(4)<7,an
A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)
正確答案(B)
錯(cuò)因:題意理解不清
16.(城西中學(xué))已知等差數(shù)列{4,}的前n項(xiàng)和為s“,且S2=10,Ss=55,則過(guò)點(diǎn)P(n,包),
n
Q(n+2,9詈)(ndN+*)的直線(xiàn)的斜率為
A、4B>3C,2D、1
正確答案:D
錯(cuò)因:不注意對(duì)和式進(jìn)行化簡(jiǎn)。
17.(城西中學(xué))在,和〃+1之間插入〃個(gè)正數(shù),使這加2個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列,則插入的〃
n
個(gè)正數(shù)之積為..
〃+1-
正確答案:(——)2
n
錯(cuò)因:無(wú)法探求問(wèn)題實(shí)質(zhì),致使找不到解題的切入點(diǎn)。
2an,0<an6
18.(城西中學(xué))數(shù)列僅“}滿(mǎn)足4+i={2,若卬=?,則々期的值為
7
2an-\,-<an<]
()
正確答案:c
錯(cuò)因:缺研究性學(xué)習(xí)能力
19.(一中)已知數(shù)列僅“}的前〃項(xiàng)和為5“=;〃(5〃-1),neN+,現(xiàn)從前小項(xiàng):a1,a2,…,
中抽出一項(xiàng)(不是外,也不是%,),余下各項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為37,則抽出的是
A.第6項(xiàng)B.第8項(xiàng)C.第12項(xiàng)D.第15項(xiàng)
正確答案:B
20.(一中)某種細(xì)菌M在細(xì)菌N的作用下完成培養(yǎng)過(guò)程,假設(shè)一個(gè)細(xì)菌M與一個(gè)細(xì)菌
N可繁殖為2個(gè)細(xì)菌M與0個(gè)細(xì)菌N,今有1個(gè)細(xì)菌M和512個(gè)細(xì)菌N,則細(xì)菌M最
多可繁殖的個(gè)數(shù)為
A.511B.512C.513D.514
正確答案:C
21.(一中)等比數(shù)列{4}中,a,=512,公比g=—工,用口“表示它前n項(xiàng)的積:
口“則Hi口?…口”中最大的是()
AnHBnl()cn9Dn8
正確答案:c14-r
22.(一中)已知f(x)=,—,對(duì)于xwN,定義工(x)=/(x),<+G)=/(工(%))假
2-x
設(shè)/3(X)=%(X),那么工6。解析式是()
XXx+1x-1
正確答案:B
23.(一中)如圖①,②,③,……是由花盆擺成的圖案,
根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律,猜想第〃個(gè)圖形中花盆的盆數(shù).
正確答案:3鹿2—3〃+1
24.(一中){七}是實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,S“是其前n項(xiàng)和,則數(shù)列{S“}中
()
A、任一項(xiàng)均不為0B、必有一項(xiàng)為0
C、至多有有限項(xiàng)為0D、或無(wú)一項(xiàng)為0,或無(wú)窮多項(xiàng)為0
正確答案:D
25.(蒲中)x=是a,x,b成等比數(shù)列的()
A、充分非必要條件B、必要非充分條件
C、充要條件D、既不充分又不必要條件
答案:D
點(diǎn)評(píng):易錯(cuò)選A或B。
26.(蒲中)數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2。各項(xiàng)和為()
A、2n+l-2-nB、2n-n-l
C,2n+2-n-3D、2n+2-n-2
答案:C
點(diǎn)評(píng):誤把1+2+4+…+2”當(dāng)成通項(xiàng),而忽略特值法排除,錯(cuò)選A。
27.(蒲中)已知數(shù)列⑶}的通項(xiàng)公式為an=6n—4,數(shù)列{bj的通項(xiàng)公式為b產(chǎn)的,則在數(shù)列
{aj的前100項(xiàng)中與數(shù)列{悅}中各項(xiàng)中相同的項(xiàng)有()
A、50項(xiàng)B、34項(xiàng)C、6項(xiàng)D、5項(xiàng)
點(diǎn)評(píng):列出兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng),找規(guī)律。
28.(江安中學(xué))已知數(shù)列僅,}中,若2%=41+%+1(〃eN*,〃》2),則下列各不等式
中一定成立的是()。
A.Wa;
B.a2a4<al
C.a2a42
D.a2a4>a;
正解:A
由于2an=an_}+a?+l(n&N*,n22),/.{an}為等差數(shù)列。
i
a2a4=(%+d)(6+3d)=a:+4a]d+3do
而4=(a,+2d)-=q+44d+4d~a2a4-%=-d'WOa^a4Wa3
誤解:判斷不出等差數(shù)列,判斷后,是否選用作差法.
29.(江安中學(xué))某工廠(chǎng)第一年年產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為a,第三年的增長(zhǎng)率為b,這
兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則()。
2
a+h
G.x>-----
2
、Q+Z?
H.---------
2
正解:B
設(shè)平均增長(zhǎng)率為x,
A(1+x)2=A(1+a)(l+b)(1+x)2=(1+a)(l+b)
I+Q+1+Z?a+b
x—J(1+a)(l+b)-1W------------1=-----
22
誤解:&")("一1+ab+a+b-laha+b
----------------------=一十--------
2A222
30.(江安中學(xué))計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的,二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”,如(1101)
2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式,是1x23+1x2?+0x2i+lx2°=13,那么二
進(jìn)制數(shù)(1L..l)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是()
'~~'
I.217-2
J.216-2
K.216-1
L.215-1
正解:C
1_7,6
(11...1),=2”+214+...+2°=------=216-1
<~41-2
16個(gè)
誤解:①?zèng)]有弄清題意;②(11…1)2=216+215+…+21=2”—2
'~16^~'
31.(江安中學(xué))在數(shù)列{勺}中,q=-2,2?!?]=2%+3,則即等于()。
27
M.——
2
N.10
O.13
P.19
3
正解:C。由22%=2J得%-35,???{%}是等差數(shù)列
3
?/a}=—2,d=—,6Zn=13
誤解:A、B、D被式子26用=2a〃+3的表面所迷惑,未發(fā)現(xiàn){%}是等差數(shù)列這
個(gè)本質(zhì)特征,而只由表面的遞推關(guān)系得到,從而計(jì)算繁瑣,導(dǎo)致有誤。
32.(江安中學(xué))已知等比數(shù)列{%}的首項(xiàng)為卬,公比為q,且有--qn)=-,則
]+g2
首項(xiàng)外的取值范圍是()。
Q.0<a,<1且a〕W—
112
R.0<a1<3或4=—3
S.0<a〕V—
12
T.0</<1且/wg或a1=3
正解:Do①q=l時(shí),lim(——1)=—,=3;
〃一°°22
②同<1且#0時(shí)則(言)=3."L?
E1
???一1<9<1且<7工0,.?.0<4<1且4。5。廠(chǎng).選£)。
誤解:①?zèng)]有考慮9=1,忽略了4=3;
②對(duì)4,只討論了0<4<1或一l<qv。,或—而得到了錯(cuò)誤解答。
33.(江安中學(xué))在A(yíng)ABC中,a,b,c為ZA,ZB,ZC的對(duì)邊,且
cos2B+cosB+cos(A-C)=1,則()。
U.Q,"C成等差數(shù)列
V.Q,c/成等差數(shù)列
W.Q,C/成等比數(shù)列
X.Q,"C成等比數(shù)列
正解:Do
vB=yr-(A+C)/.cosB=-cos(A+C)
即cos2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1
2sinAsinc=l-cos2B,2sinAsinC=2sin2B
sin2B=sinAsinC=>/?2=ac
注意:切入點(diǎn)是將cos5恒等變形,若找不準(zhǔn),將事倍功半。
34.(丁中)x=J茄是a、x、b成等比數(shù)列的(
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.既非充分又非必要條件
錯(cuò)解:C或A
錯(cuò)因:①誤認(rèn)為x=而與/=出,。②忽視X,帥為零的情況。
正解:D
35.(丁中)若a,b,c,d成等比數(shù)列,則下列三個(gè)數(shù):@a+b,b+c,c+d
②ab,bc,cd③。一。力一c,c—d,必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()
A、3B、2C、1D、0
錯(cuò)解:A.
錯(cuò)因:沒(méi)有考慮公比q=1和q=-l的情形,將①③也錯(cuò)認(rèn)為是正確的.
正解:C.
36.(丁中)己知{凡}是遞增數(shù)列,且對(duì)任意〃wN*都有%=〃2+而恒成立,則實(shí)數(shù)幾的
取值范圍(D)
7八
A、(---,+8)B、(0,+oo)C、(-2,+oo)D、(-3,+co)
2
錯(cuò)解:C
錯(cuò)因:從二次函數(shù)的角度思考,用-二<1
2
正解:Dj
37.(丁中)等比數(shù)列{凡}中,若q=-9,%=-1,則%的值
(A)是3或一3(B)是3(C)是一3(D)不存在
錯(cuò)解:A
錯(cuò)因:直接的=-9,/,%=T成等比數(shù)列,is?=(-9)(一1),忽視這三項(xiàng)要同號(hào)。
正解:C
38.(薛中)數(shù)列{a“}的前n項(xiàng)和s“=/+2〃一1,則為+生+牝+…+。25=.
A、350B、351C、337D,338
答案:A
錯(cuò)解:B
錯(cuò)因:首項(xiàng)不滿(mǎn)足通項(xiàng)。
39.(薛中)在等差數(shù)列{4}中,叫"<-1,若它的前n項(xiàng)和Sn有最大值,那么{SJ中的
aw
最小正數(shù)是()
A、Si?B、SisC、S19D^S20
答案:C
錯(cuò)解:D
錯(cuò)因:上<-1化簡(jiǎn)時(shí)沒(méi)有考慮am的正負(fù)。
a\o
40.(薛中)若a,b,a+b成等差數(shù)列,a,b,ab成等比數(shù)列,且0<log,“(a/?)<1,則m的取值
范圍是()
A、(l,+oo)B、(1,8)C、(8,+co)D、(0,1)U(8,+oo)
答案:C
錯(cuò)解:B
錯(cuò)因:對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不熟。
項(xiàng),敘述正確的是()
A、最大項(xiàng)為ai,最小項(xiàng)為a3B、最大項(xiàng)為ai,最小項(xiàng)不存在
C、最大項(xiàng)不存在,最小項(xiàng)為a3D、最大項(xiàng)為ai,最小項(xiàng)為制
答案:A
錯(cuò)解:C
錯(cuò)因:沒(méi)有考慮到時(shí),0<(1丫1?1
42.(案中)等比數(shù)列{《,沖,已知%=1,公比4=2,則%和網(wǎng)的等比中項(xiàng)為()
A、16B、±16C、32D、±32
正確答案:(B)
錯(cuò)誤原因:審題不清易選(A),誤認(rèn)為是知,實(shí)質(zhì)為土a§。
43.(案中)已知{%}的前n項(xiàng)之和S“=〃2一4〃+1,則同+同+…離|的值為()
A、67B、65C、61D、55
正確答案:A
,1[-2(〃=1)
錯(cuò)誤原因:認(rèn)為{4}為等差數(shù)列,實(shí)質(zhì)為「—
2/1-5(〃>2)
1.(如中)在等比數(shù)列{6,}中,若%=-9,%=-1,則%的值為
[錯(cuò)解]3或-3
[錯(cuò)解分析]沒(méi)有意識(shí)到所給條件隱含公比為正
[正解]-3
2.(如中)實(shí)數(shù)項(xiàng)等比數(shù)列{《,}的前〃項(xiàng)的和為S“,若要=萼,則公比q等于.
[錯(cuò)解已
8
[錯(cuò)解分析]用前〃項(xiàng)的和公式求解本題,計(jì)算量大,出錯(cuò),應(yīng)活用性質(zhì)
[jEWj--
2
3.(如中)從集合{1,2,3,4,…,20}中任取三個(gè)不同的數(shù),使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,這樣的
等差數(shù)列最多有
[錯(cuò)解]90個(gè)
[錯(cuò)解分析]沒(méi)有考慮公差為負(fù)的情況,思考欠全面
[正解]180個(gè)
4.(如中)設(shè)數(shù)歹(]{??},也}(">0),〃eN*滿(mǎn)足an=愴4+1的2+…,則{&}為
n
等差數(shù)列是{2}為等比數(shù)列的條件
[錯(cuò)解]充分
[錯(cuò)解分析]對(duì)數(shù)運(yùn)算不清,判別方法沒(méi)尋求到或半途而廢
[正解]充要
q
5.(如中)若數(shù)列{4}是等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)的和為S“,則d=',〃eN*,也}也是等
n
差數(shù)列,類(lèi)比以上性質(zhì),等比數(shù)列{C,},C”>0,〃GN*,則d,,=,也是等比
數(shù)列
q
[錯(cuò)解]d
n
q
[錯(cuò)解分析]沒(méi)有對(duì)出仔細(xì)分析,其為算術(shù)平均數(shù),
n
[正解…%
6.(如中)已知數(shù)列{a'}中,4=3,4=6,=??+|-an,則/岫等于
[錯(cuò)解]6或3或-3
[錯(cuò)解分析]盲目下結(jié)論,沒(méi)能歸納出該數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)
[正解]-6
2
7.(如中)已知數(shù)列{q}中,an=n+An(X是與〃無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)常數(shù)),且滿(mǎn)足
a[<a2<a3(…<an+l<■■■,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是
[錯(cuò)解](-oo,-3)
[錯(cuò)解分析]審題不清,若能結(jié)合函數(shù)分析會(huì)較好
[正解](-3,+oo)
8.(如中)一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量第一年為。件,第二年比第一年增長(zhǎng)P1%,第三年比第二年
增長(zhǎng)P2%,且Pl>0,p2>0,p,+p2=2p,若年平均增長(zhǎng)x%,則有x—p(填4或2或=)
[錯(cuò)解]i
[錯(cuò)解分析]實(shí)際問(wèn)題的處理較生疏,基本不等式的使用不嫻熟
[正解]V
9.(城西中學(xué))給定勺=log,M(〃+2)(〃eN+),定義使q…4為整數(shù)的攵,eN,)
叫做“企盼數(shù)”,則在區(qū)間(1,62)內(nèi)的所有企盼數(shù)的和是.
正確答案:52
錯(cuò)因:大部分學(xué)生難以讀懂題意,也就難以建立解題數(shù)學(xué)模型。
2
10.(蒲中)數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和Sn=n+1,則an=
Mg[2n=1
n案:期=1
[2n-1n>2
點(diǎn)評(píng):誤填2n-l,忽略“a產(chǎn)Sn—Sn-i”成立的條件:“n22”。
11.(蒲中)已知{aj為遞增數(shù)列,且對(duì)于任意正整數(shù)n,an=—Y+入n恒成立,則入的取值
范圍是____________
答案:人>3
點(diǎn)評(píng):利用二次函數(shù)單調(diào)性討論較繁,且易錯(cuò),利用am>an恒成立較方便。
12.(江安中學(xué))關(guān)于數(shù)列有下列四個(gè)判斷:
1)若成等比數(shù)列,則a+Zj力+c,c+d也成等比數(shù)列;
2)若數(shù)列{%}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列,則{6}為常數(shù)列:
3)數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為S“,且S”=,—l(aeR),則{凡}為等差或等
比數(shù)列;
4)數(shù)列{?!埃秊榈炔顢?shù)列,且公差不為零,則數(shù)列{。,}中不會(huì)有
4“=/。〃工”),其中正確判斷的序號(hào)是(注:把你認(rèn)為正確判
斷的序號(hào)都填上)
正解:(2)(4).
誤解:(1)(3)。對(duì)于(l)a、b、c>d成等比數(shù)列。b~=acc'=bd
bc=ad^>(b+c)2=(a+"c+cl)
:.a+b,b+c,c+d也成等比數(shù)列,這時(shí)誤解。因?yàn)樘亓校?/p>
。=一1,。=l,c=-l,d=1時(shí),a,b,c,d成等比數(shù)列,但a+b=0,b+c=0,
c+d=0,即0,0,0不成等比。
對(duì)于(3)可證當(dāng)a=l時(shí),為等差數(shù)列,awl時(shí)為等比數(shù)列。a=0時(shí)既不是
等差也不是等比數(shù)列,故(3)是錯(cuò)的。
13.(江安中學(xué))關(guān)于x的方程Y一(3〃+2)x+3〃2-74=0(〃eZ)的所有實(shí)根之和為
____O
正解:168
方程有實(shí)根,
△=(3〃+2)2-4(31-74)
解得:2-而了WnW2+
,/X1+x2=3n+2
:.所有實(shí)根之和為3[(-8)+(-7)+...+12]+2x21=168
誤解:沒(méi)能根據(jù)條件具體確定n的取值,只得出一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式結(jié)果。
14.(江安中學(xué))有四個(gè)命題:
1)一個(gè)等差數(shù)列{。“}中,若存在4+1>%>0(keN),則對(duì)于任意自然
數(shù)〃〉上,都有%>0;
2)一個(gè)等比數(shù)列{即}中,若存在知<0,4用<0伏eN),則對(duì)于任意
nek,都有an<0;
3)一個(gè)等差數(shù)列{%}中,若存在4<0,知+1<0(&wN),則對(duì)于任意
nsk,都有an<0;
4)一個(gè)等比數(shù)列{6}中,若存在自然數(shù)左,使%-知+,<0,則對(duì)于任意
nek,都有a,「a“+i<0,其中正確命題的序號(hào)是。
正解:由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得①②④。
誤解:“對(duì)于等比數(shù)列,若q>0,各項(xiàng)同號(hào)(同正或同負(fù)),若q<0,各項(xiàng)正,
負(fù)相間”,學(xué)生對(duì)此性質(zhì)把握不清,故認(rèn)為②④錯(cuò)。
15.(丁中)已知數(shù)列{a“}的前n項(xiàng)和Sn=an—l(aeR,awO),則數(shù)列{an}
A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列
C.或者是等差數(shù)列或者是等比數(shù)列D.既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列
錯(cuò)解:B
錯(cuò)因:通項(xiàng)%=#i(a-1)中忽視a=1的情況。
正解:C
16.(丁中)設(shè)等差數(shù)列{6}中,4=-3,且從第5項(xiàng)開(kāi)始是正數(shù),則公差的范圍是
(r1]
錯(cuò)解:(—9+00)
4
錯(cuò)因:忽視&W0,即第4項(xiàng)可為0。
正解:
4_
17.(丁中)方程(Y+儂+號(hào)>+〃x+號(hào))=0的四個(gè)實(shí)數(shù)根組成一個(gè)首項(xiàng)為]的等比
數(shù)列,則|m-n|=
7
正解:—.
18
錯(cuò)因:設(shè)方程/+如+與=0的解為士,跖;方程/+依+號(hào)=o的解為X3,%,則
X/2=工3%4=4,不能依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)準(zhǔn)確搞清再,々,七,%4的排列順序.
18.(丁中)等差數(shù)列{所}中,ai=25,Si7=S8,則該數(shù)列的前項(xiàng)之和最大,其最大
值為。
錯(cuò)解:12
錯(cuò)因:忽視。[3=。
325
正解:12或13,—
2
19.(薛中)若。“=1+2+3+…+〃,則數(shù)列{—}的前n項(xiàng)和Sn=°
*
2n
答案:
〃+1
n
錯(cuò)解:
〃+1
錯(cuò)因:裂項(xiàng)求和時(shí)系數(shù)2丟掉。
20.(薛中)已知數(shù)列{?!ǎ欠橇愕炔顢?shù)列,又山再3再9組成一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng),則
4十%±的值是
()
a2+4+。1
答案:1-或二13
16
13
錯(cuò)解:—
16
錯(cuò)因:忘考慮公差為零的情況。
21.(薛中)對(duì)任意正整數(shù)n,a"=/+助滿(mǎn)足數(shù)列是遞增數(shù)列,則%的取值范圍
是。
答案:由知+|>。“得/1>3
錯(cuò)解:A,>—2
錯(cuò)因:利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,忽視其與4=±3的關(guān)系。
2
22.(案中)數(shù)列{%}的前n項(xiàng)之和為S“=2〃2+3〃,若將此數(shù)列按如下規(guī)律編組:(4)、
(。2,。3)、(。4,a5,。6)、...,則第n組的n個(gè)數(shù)之和為。
正確答案:2/+3〃
錯(cuò)誤原因:未能明確第n組各項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,尤其是首項(xiàng)和最后一項(xiàng),從而找不到合適的解
法,應(yīng)轉(zhuǎn)化為:S--------S-------
22
,、
23.(案中)若即=1+2+3+…+〃,則數(shù)列<二->的前n項(xiàng)之和S〃二。
2〃
正確答案:s?=—
n+\
錯(cuò)誤原因:未能將為先求和得4=g〃(〃+1),另有部分學(xué)生對(duì)數(shù)歹U白鍛項(xiàng)求和意識(shí)性
不強(qiáng)。
24.(案中)若數(shù)列{4}為等差數(shù)列且bn=4+0-+…,則數(shù)列例池是等差數(shù)列,
n
類(lèi)比上述性質(zhì),相應(yīng)地若數(shù)列{c“提等比數(shù)列,且c“>0,d“=,則有
{4}也是等比數(shù)列(以上”wN)
正確答案:dn=c2,?,cn
錯(cuò)誤原因:類(lèi)比意識(shí)不強(qiáng)
三、解答題:
1.(如中)設(shè)數(shù)歹!J的前〃項(xiàng)和為S“=〃2+2〃+4(〃eN+),求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公公式
a“=S"-S,i,
[錯(cuò)解]
an=2n+\(nwN*)
[錯(cuò)解分析]此題錯(cuò)在沒(méi)有分析〃=1的情況,以偏概全.誤認(rèn)為任何情況下都有
4,=S「S,i(ncN”
n=1時(shí),4=S[=7,
[正解];11
n>2時(shí),an=S“一S“_i=2〃-1
7(〃=1)
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式是q=<
2n+1(/?>2)
2.(如中)已知一個(gè)等比數(shù)列{%}前四項(xiàng)之積為第二、三項(xiàng)的和為0,求這個(gè)等比
數(shù)列的公比.
[錯(cuò)解]:四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)其分別為工,且,。4,。二,
1
16,解得q-V2±1或q=-V2±1,
則有<
a
—+aq=&
19,
故原數(shù)列的公比為=3+2&或d=3-2血
[錯(cuò)解分析]按上述設(shè)法,等比數(shù)列公比/>0,各項(xiàng)一定同號(hào),而原題中無(wú)此條件
[正解]設(shè)四個(gè)數(shù)分別為。,。夕,〃/,。/,
1
優(yōu)q6
則《16
aq+aq=V2
?.(1+<7)4=64^
由q>0時(shí),可得4,一69+1=0,=3±2\/2;
當(dāng)9<0時(shí),可得/+10q+l=0,/.q=—5—4#
3.(石莊中學(xué))已知正項(xiàng)數(shù){aj滿(mǎn)足ai=a(0<a<l),且%W,求證:
1+。”
(I)an<—‘%——;(II)
"1+(〃-1必£k+l
解析:⑴將條件。,向4二J變形,得二——->1.
1+an/+1%
『日右1111111
十是,有------->1,----------->1,----------->1,..................
CIQ。3。2。4。3CI門(mén)Cl
將這n-l個(gè)不等式疊加,得」故%W一4一
ana1+(〃-1)(2
(II)注意到0<a<l,于是由⑴得%4一4?—=」一<-,
1+(”1)“1+?-1〃
從而'有藍(lán)M玄吊下一木卜一-^―<1.
〃+1
4.(搬中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足
,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解:
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
的通項(xiàng)公式為
說(shuō)明:此題易忽略的情況。應(yīng)滿(mǎn)足條件
5.(搬中)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,求公比
解:若
則
矛盾
說(shuō)明:此題易忽略的情況,在等比數(shù)列求和時(shí)要分公比
兩種情況進(jìn)行討論。
6.(搬中)求和
解:若
則
花
則
若
且
令
則
兩式相減得
說(shuō)明:此題易忽略前兩種情況。數(shù)列求和時(shí),若含有字母,一定要考慮相應(yīng)的特殊情況。
2
7.(磨中)已知數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和Sn=n—16n—6,求數(shù)列{|aj}的前n項(xiàng)和
正確答案:Sn'=j—n2+16n+6nW8時(shí)
1_n2—16n+134n>8時(shí)
錯(cuò)誤原因:運(yùn)用或推導(dǎo)公式時(shí),只考慮一般情況,忽視特殊情況,導(dǎo)致錯(cuò)解。
8.(磨中)已知函數(shù)f(x)=—Sin2x—aSinx+b+1的最大值為0,最小值一4,若實(shí)數(shù)a>0,
求a、b的值。
正確答案:a=2b=—2
錯(cuò)誤原因:忽略對(duì)區(qū)間的討論。
2
9.(磨中)數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和Sn=n—7n—8求數(shù)列通項(xiàng)公式
正確答案:an=j—14n=l
,2n—8n,2
錯(cuò)誤原因:n22時(shí),an=Sn一Sn一1但n=l時(shí),不能用此式求出a1
10.(磨中)求和(X+')2+(x?+,_)2+..(xn+—)2
Xxn
正確答案:當(dāng)x2=l時(shí)Sn=4n
當(dāng)24葉<(一一1)(/+2—1)
3xW時(shí)S產(chǎn)----:——:--------+2n
x2),(x2-l)
錯(cuò)誤原因:應(yīng)用等比數(shù)列求和時(shí)未考慮公比q是否為1
11.(城西中學(xué))學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐,每星期一有A、B兩樣特色菜可供選擇(每
個(gè)學(xué)生都將從二者中選一),調(diào)查資料表明,凡是在本周星期一選A菜的,下周星期一會(huì)有20%
改選B,而選B菜的,下周星期一則有30%改選A,若用A,,、B“分別表示在第n個(gè)星期一選A、
B菜的人數(shù)。(1)試以A.表示A.;(2)若A1=200,求{A,J的通項(xiàng)公式;(3)問(wèn)第n個(gè)星期
一時(shí),選A與選B的人數(shù)相等?
正確答案:(1)由題可知,An+1.(1-0.2)+0.3-B,,,又A”+紇=1000;
所以整理得:A?+]=-Arl+300?(2)若A1=200,且4用+300,則設(shè)
4用+%=g(A“+x)則x=-600,
AA?+1-600=^(A?-600)即{A「600}可以看成是首項(xiàng)為-400,公比為;的等比數(shù)列。
A”=(—400)-(g)"T+600;(3)又A"+”=1000則A“=500,由
(-400)《gyi+600=500得〃=3。即第3個(gè)星期一時(shí),選A與選B的人數(shù)相等。
錯(cuò)因:不會(huì)處理非等差非等比數(shù)列。
12.(城西中學(xué))設(shè)二次函數(shù)f(x)=x、x,當(dāng)xw[n,n+l](neN,)時(shí),f(x)的所有整數(shù)值的個(gè)
數(shù)為g(n).
(1)求g(n)的表達(dá)式;
2〃3+3”2
>l
(2)設(shè)an=---------(neN),Sn=ai-a2+a3-a.i+**+(-l)"a,?求Sn;
g(〃)
(3)設(shè)b產(chǎn)電D,Tn=b,+bz+…+b“若Tn<L(LeZ),求L的最小值。
2"
正確答案:(1)當(dāng)XG[n,n+l](neN.)時(shí),函數(shù)f(x)=x、x的值隨x的增大而增大,則f(x)
的值域?yàn)?n,n2+3〃+21(neN-)g(〃)=2〃+3(neN-)
2/+3〃2
(2)an------------=n
g(〃)
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
sn=%—a?+%—u4+v+—cin=(1~-2-)+(3--4-~)+v+[(〃-1)~—〃?]
=_[3+7+v+(2〃_l)]=_3+(;T).g=_〃(?)
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
s“=(a,-a2)+(a3-a4)+v+(an_2-an_,)+=s”1+an
n(n-1)2〃("+1)
=-----------+〃=----------
22
尸誓2
(3)由2=幽,得7,=*+4+N+v+生乎+0±3①
"2"'222232"-'2"
c1ZB572H+12?+3?
①X5得:/=道+歹+v+-幣-②
乙乙乙乙乙乙
~~_2〃+7
①-②得T.=7-------
2
則由7;=7—等工<L(LeZ),L的最小值為7。
錯(cuò)因:1、①中整數(shù)解的問(wèn)題
2、②運(yùn)算的技巧
3、運(yùn)算的能力
12.(薛中)已知數(shù)列伍〃}中,ai=8,如=2且滿(mǎn)足?!?2-2?!?]+?!?0(〃eN*)(1)求數(shù)
列■“}的
通項(xiàng)公
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