河南省南陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中質(zhì)量評(píng)估試題理含解析

PAGE17-河南省南陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中質(zhì)量評(píng)估試題理（含解析）留意事項(xiàng):1．本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分．考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無(wú)效．2．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．選擇題答案運(yùn)用2B鉛筆填涂，非選擇題答案運(yùn)用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清晰．4．請(qǐng)依據(jù)題號(hào)在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效．5．保持卷面清潔，不折疊、不破損．第I卷選擇題一、選擇題1.已知，為虛數(shù)單位，則的值為（）A.-1 B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和加減運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列值等于的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用微積分基本定理逐個(gè)計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的定積分，可得出正確選項(xiàng).【詳解】由微積分基本定理可得，，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下面推斷正確的是(

)A.在區(qū)間（-2,1）上是增函數(shù)B.在區(qū)間（1,3）上是減函數(shù)C.在區(qū)間（4,5）上是增函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，取極大值【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)推斷原函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行推斷即得答案.【詳解】選項(xiàng)A,區(qū)間（-2,1）導(dǎo)函數(shù)先是負(fù)后是正,所以原函數(shù)先減后增,A錯(cuò)誤選項(xiàng)B,區(qū)間（1,3）導(dǎo)函數(shù)先是正后是負(fù),所以原函數(shù)先增后減,B錯(cuò)誤選項(xiàng)C,區(qū)間（4,5）導(dǎo)函數(shù)恒大于0，原函數(shù)單調(diào)遞增，C正確選項(xiàng)D，當(dāng)處，左邊減右邊增，取微小值，D錯(cuò)誤答案是C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，以及極大值微小值的推斷，考查同學(xué)們對(duì)于圖像的理解和推斷.4.如圖，第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，(n=1、2、3、…)則在第n個(gè)圖形中共有（）個(gè)頂點(diǎn).A.(n+1)(n+2) B.(n+2)(n+3) C. D.n【答案】B【解析】【分析】分別由圖形得到當(dāng),,,時(shí)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),進(jìn)而歸納推理即可【詳解】由圖形可知,當(dāng)時(shí)頂點(diǎn)共有（個(gè)）；當(dāng)時(shí),頂點(diǎn)共有（個(gè)）；當(dāng)時(shí),頂點(diǎn)共有（個(gè)）；當(dāng)時(shí),頂點(diǎn)共有（個(gè)）；則歸納推理可得,第個(gè)圖形,頂點(diǎn)共有個(gè),故選:B【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理,屬于基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則()．A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因?yàn)橐罁?jù)已知函數(shù)的圖像可知x=0,x=1，x=2是函數(shù)的零點(diǎn)，∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0解得b=-3，c=2又由圖可知，x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)∴f′（x）=3x2-6x+2=0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2=2，x1x2="2"3∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4-=故選C6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意關(guān)系式，則的值等于（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：，，所以，解得，故選D.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算7.若等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，則肯定有成立．若等比數(shù)列的前項(xiàng)之積為，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，則有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果，在運(yùn)用類比推理時(shí)，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積．【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)積.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查類比推理、等差和等比數(shù)列的類比，搞清等差和等比數(shù)列的聯(lián)系和區(qū)分是解決本題的關(guān)鍵．8.已知是函數(shù)就函數(shù)的微小值點(diǎn)，那么函數(shù)的極大值為（）A.-2 B.6 C.17 D.18【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意得，，解出，再由單調(diào)性，推斷極大值點(diǎn)，求出即可．【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得，，即，．，，令，得或；，得，所以當(dāng)時(shí)取極大值，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求極值，同時(shí)考查運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．9.由曲線y＝x2和曲線y圍成的一個(gè)葉形圖如圖所示，則圖中陰影部分面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出曲線與的交點(diǎn)為,,則,求解即可【詳解】由題,曲線與的交點(diǎn)為,,則故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分求面積,考查微積分基本定理的應(yīng)用10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，先求函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為子區(qū)間的問(wèn)題，得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，解不等式，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或推斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)留意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要留意分類探討和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.11.已知復(fù)數(shù)，，，滿意，則點(diǎn)的軌跡是（）A.線段 B.圓 C.雙曲線 D.橢圓【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在某一橢圓上．【詳解】復(fù)平面上，復(fù)數(shù)滿意，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離和為，即，∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與模長(zhǎng)幾何意義應(yīng)用問(wèn)題，也考查了橢圓的定義應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．12.已知定義在上的函數(shù)，滿意且，則函數(shù)的最大值為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，可解得，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性，求得最大值即可．【詳解】，令，則，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，邏輯性較強(qiáng)，屬于中檔題．第II卷非選擇題二、填空題13.設(shè)為純虛數(shù)(為虛數(shù)單位),則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)純虛數(shù)定義,即可求得答案.【詳解】,為純虛數(shù)即實(shí)部為,虛部不為解得:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù),解題關(guān)鍵是駕馭純虛數(shù)定義,考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)，則________．【答案】6.【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可得，將代入計(jì)算，即可求出結(jié)果．【詳解】令，所以，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.定義在上的函數(shù)，滿意，且對(duì)隨意都有，則不等式的解集為________．【答案】.【解析】【分析】設(shè)，由于，得到小于，得到為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用為減函數(shù)求出的范圍，即為所求不等式的解集．【詳解】設(shè)，，，∴為減函數(shù)，又，所以即，又∴∴．又為底數(shù)是10的增函數(shù)，∴，故不等式的解集為.故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了其他不等式的解法，涉及的學(xué)問(wèn)有：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的增減性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特別點(diǎn)，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．16.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦．曼德爾布羅在20世紀(jì)70年頭創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題供應(yīng)了全新的思路．依據(jù)如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個(gè)樹形圖．若記圖(2)中第行黑圈的個(gè)數(shù)為，則________．【答案】(364也對(duì)）.【解析】【分析】依據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，依據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的“坐標(biāo)”；再依據(jù)前五行的白圈數(shù)乘以2，分別是，即，可歸納第行的白圈數(shù)，黑圈數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】依據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，個(gè)白圈分形為個(gè)白圈1個(gè)黑圈，個(gè)黑圈分形為個(gè)白圈個(gè)黑圈，第一行記為，其次行記為，第三行記為，第四行的白圈數(shù)為；黑圈數(shù)為，第四行的“坐標(biāo)”為；第五行的“坐標(biāo)”為，各行白圈數(shù)乘以，分別是，即，∴第行的白圈數(shù)為，黑圈數(shù)為，所以，即.故答案為：（）【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理的應(yīng)用，多視察幾組數(shù)據(jù)是發(fā)覺(jué)規(guī)律的有效方法，依據(jù)歸納推理得出一般規(guī)律．三、解答題17.設(shè)均為正數(shù)，且．證明：（1）；（2）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將不等式相加得出，再將兩邊平方，即可得出結(jié)論；（2）對(duì)兩邊平方，可得；又因?yàn)?，，，可證，即可證明結(jié)果.【詳解】(1)由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）所以．由題設(shè)得，即，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.(2)因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的證明，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值;（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上最大值．【答案】（1）有極大值，無(wú)微小值；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．（2）結(jié)合（1）通過(guò)與的大小探討函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最大值．【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，由得；由得所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以，有極大值，無(wú)微小值；(2)①當(dāng)，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．19.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，為虛數(shù)單位，，，且．【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，留意三角函數(shù)兩角和差公式的應(yīng)用．【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，所以，時(shí)，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即那么，當(dāng)時(shí)，所以：當(dāng)時(shí)，等式也成立.綜上可知，要證明的等式，當(dāng)時(shí)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．20.某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)而成，如圖2.已知圓O的半徑為，設(shè)，，圓錐的側(cè)面積為（S圓錐的側(cè)面積（R-底面圓半徑，I-母線長(zhǎng)））（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了達(dá)到最佳欣賞效果，要求圓錐側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度【答案】（1），（）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，分析可得，，由圓錐的側(cè)面積公式可得的表達(dá)式，即可得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式可得，設(shè)，，求導(dǎo)求出其在區(qū)間上的最大值，求出的值，即可得當(dāng)，即時(shí)，側(cè)面積取得最大值，計(jì)算即可得答案．【詳解】解：（1）依據(jù)題意，設(shè)交于點(diǎn)D，過(guò)O作，垂足為E，在中，，，在中，，所以，（）.（2）由（1）得：，設(shè)，（），則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，也是最大值；所以當(dāng)，即時(shí)，側(cè)面積S取得最大值，此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)；答：側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，還涉及圓錐的側(cè)面積公式和三角函數(shù)的恒等變形，關(guān)鍵是求出的表達(dá)式．21.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）切線方程是（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．（2）當(dāng)時(shí)，,令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是．（2）當(dāng)時(shí)，．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以．因此．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，其次問(wèn)構(gòu)造很關(guān)鍵，本題有難度．22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，推斷