四川省樂山十校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

PAGE17-四川省樂山十校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題（含解析）本試題卷分第一部分（選擇題）和其次部分（非選擇題）兩部分.第一部分1至2頁，其次部分3至4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷.草稿紙上答題無效.滿分150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共60分）留意事項(xiàng)：1.選擇題必需用鉛筆將答案標(biāo)號填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上.2.第一部分共12小題，每小題5分，共60分.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量的垂直條件，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，可得，解?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的垂直條件的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查計(jì)算實(shí)力.2.已知是等比數(shù)列，，則公比=（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解方程即可確定公比的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：，解得：.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)非零向量，滿意，則（）A. B. C.// D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)與的幾何意義可以推斷.【詳解】由的幾何意義知，以向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減法的幾何意義,同時，本題也可以兩邊平方，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算推出結(jié)論.4.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)余弦定理解三角形即可．【詳解】解：∵，，，∴由余弦定理，得，化簡得，，即，解得，或（舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．5.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，邊a，b，c依次成等比數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由角A，B，C依次成等差數(shù)列結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，可求出；又因?yàn)檫卆，b，c依次成等比數(shù)列，可求出，從而可求出三角形的面積.【詳解】解：因?yàn)榻茿，B，C依次成等差數(shù)列，所以，解得；又因?yàn)檫卆，b，c依次成等比數(shù)列，所以，則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等比中項(xiàng)，考查了三角形的面積公式.本題的關(guān)鍵是利用兩個中項(xiàng)求出角和邊長之積.6.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】結(jié)合正弦定理可求出，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求出，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出的值.【詳解】解：由正弦定理知，，即，因?yàn)椋?，則，，所以，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了兩角和的正弦公式.本題的關(guān)鍵是由正弦定理求出的值.本題的易錯點(diǎn)是未能正確應(yīng)用兩角和的正弦公式.7.數(shù)列中，若，則＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件進(jìn)行變形可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義，從而可求出，進(jìn)而可求的值.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，又，則是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，則，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解.本題的關(guān)鍵是對已知條件進(jìn)行變形得出通項(xiàng)公式.8.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則角B的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式可求出，進(jìn)而可求出角B的大小.【詳解】解：由正弦定理可知，，因?yàn)?，所以，即，解得，則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了兩角和的正弦公式.本題的關(guān)鍵是進(jìn)行邊角互化.9.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.6 B.5 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，再由，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解實(shí)力.10.已知在中，點(diǎn)M在邊BC上，且，點(diǎn)E在邊AC上，且，則向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)平面對量的線性運(yùn)算得，由此可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞 C.盞 D.盞【答案】C【解析】【分析】設(shè)塔的頂層共有盞燈，第層的燈有盞，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求得的值，進(jìn)而可求得塔的底層的燈的盞數(shù).【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，第層的燈有盞，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由題意可知，一座層塔所掛的燈的盞數(shù)為，解得.因此，塔的底層的燈的盞數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列及其前項(xiàng)和基本量的計(jì)算，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.12.數(shù)列中，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對已知條件進(jìn)行化簡得：，令即有，利用累加法可以求出，從而可得出，即可求出數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)?，所以，化簡可得，令即有，由累加法可得：，即，所以，所以?shù)列的前2024項(xiàng)和故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)求數(shù)列的和，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于一般題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）留意事項(xiàng)：1.考生須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆畫線，確認(rèn)后用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清晰，答在試題卷上無效.2.本部分共10小題，共90分.二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.13.已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】由題意得，，再依據(jù)相等向量求得答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)，∵，，，∴，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則該三角形的形態(tài)是________.（不要運(yùn)用“”符號表示三角形）【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理和正弦的倍角公式，化簡得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得或，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理，可得，即，所以，又因?yàn)?，則，可得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形.故答案為：等腰三角形或直角三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形形態(tài)的判定，其中解答中嫻熟應(yīng)用正弦定理和正弦的倍角公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【解析】分析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，得到答案.【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，合理利用公式是解題的關(guān)鍵.16.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為和，假如這時氣球的高是米，則河流的寬度BC為________米.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可求得，再結(jié)合圖象即可求出答案．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，∴，，∴由正弦定理，得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.17.在中，角的對邊分別為，且滿意.（1）求角的大小；（2）若，且邊BC上的高為，求的周長.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式化簡即得；（2）解三角形求出再利用余弦定理求出即得解.【詳解】解：（1）由題得,所以,所以，所以，因?yàn)?，所以?，因?yàn)?所以.（2）由（1）易得.所以，即所以.所以周長為6.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.18.設(shè)為兩個不共線的向量，若，.（1）若共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是夾角為的單位向量，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，依據(jù)向量的共線條件，列出方程組，即可求解.（2）由是夾角為的單位向量，求得，依據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，向量，，可得，因?yàn)椋瑒t即，所以，解得.（2）由是夾角為的單位向量，所以，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對量的共線、垂直的運(yùn)算，以及平面對量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中嫻熟平面對量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由即可求出答案；（2）由題意可得數(shù)列等差數(shù)列，由此可求出其通項(xiàng)公式，再依據(jù)分組求和法即可求出答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時，得：，當(dāng)時，由，得，則，∴，檢驗(yàn)得，也符合上式，∴，；（2）由（1）知：，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，考查分組法求數(shù)列的和，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．20.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其中：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，設(shè)的前項(xiàng)和為，求最小的正整數(shù)，使得.【答案】（1），；（2）正整數(shù)的最小值為.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)已知條件得出關(guān)于和的方程組，求出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求得，然后解不等式可求得滿意該不等式的最小的正整數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意有，得，從而，；（2）因?yàn)?，所以，令，解得，因此，滿意不等式的最小正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，同時也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.21.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意.（1）求角B的大??；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量數(shù)量積定義及正弦定理化簡等式，再利用兩角和的正弦公式進(jìn)一步化簡等式可得即可求得角B；（2）依據(jù)已知條件由正弦定理可求得2R，再次利用正弦定理將面積S化簡為關(guān)于A的函數(shù)，利用兩角和的正弦公式及降冪公式進(jìn)一步將S轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，求出的范圍，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得面積的范圍.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?，，所以依?jù)正弦定理得，，即，，所以，，又，所以.（2）因?yàn)?，所以，取值范圍?【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積、正弦定理、三角恒等變換化簡求值、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面積公式，屬于中檔題.22.已知是遞增的等差數(shù)列，、是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（