2021-2022學(xué)年重慶市開州區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年重慶市開州區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分)在每個(gè)小題的下面，都給出了代

號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案

所對應(yīng)的方框涂黑.

1.下列方程中是一元二次方程的是()

22

A.5x+l=0B.A-1=0C.—+x=lD./+x=1

x

2.下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能

與原圖形完全重合的是()

3.拋物線y=-改+3向右平移3個(gè)單位后，再向上平移2個(gè)單位后解析式是()

A.y=-(2x+3)2+5B.尸-2(x+3)2+5

C.y=-2(%-3)2+5D.y=-2x2-3x+5

4.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)尸(7,-9)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-9,7)B.(-7,9)C.(7,9)D.(-1,-9)

5.如圖，PA,P8是。。的切線，A、B為切點(diǎn)，連接08、AB,若/ABO=25°,貝！1NAPB

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

7.下列命題中，假命題是()

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若AB=8C,則點(diǎn)8是線段AC的中點(diǎn)

D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心

8.若一元二次方程以2+2大-+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

A.a<\B.aWlC.oWl且D.a<\且

9.

10.一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運(yùn)往乙地，其中快車送達(dá)后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）與慢車行駛時(shí)間r（單位：/?）

的函數(shù)關(guān)系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是（)

4

D.—h

3

11.且關(guān)于無的分式方程

ax3x+2

3有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是（）

x-22-x

A.-14B.-5C.-9D.-6

12.如圖，已知拋物線加+c的對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）

和點(diǎn)8,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,且。8=2OC,則下列結(jié)論：①生旦VO；?4ac+2b

C

=-1；③。=-1；④當(dāng)％>1時(shí)，在X軸上方的拋物線上一定存在關(guān)于對稱軸對稱的兩

4

點(diǎn)N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得AN,8M.其中正確的有（)

二、填空題（本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應(yīng)的橫線上.

13.將2本藝術(shù)類、4本文學(xué)類、6本科技類的書籍混在一起.若小陳從中隨機(jī)抽取一本，

則抽中文學(xué)類的概率為.

14.已知a是方程2/-x-3=0的一個(gè)解，則6a2-3〃的值為.

15.如圖，的半徑是3,點(diǎn)P是弦AB延長線上的一點(diǎn)，連接OP,若OP=4,ZAPO

=30°,則弦48的長為.

16.如圖，從--塊直徑為6面?的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積

17.如圖，在正方形ABCD中，AB=9,M是AO邊上的一點(diǎn)，AM：MD=1：2.將△BMA

沿8W對折至連接ON,則ON的長是.

3/

D

18.2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診.當(dāng)疫情出現(xiàn)

后，各級(jí)政府及有關(guān)部門高度重視，堅(jiān)決阻斷疫情傳播.開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營

公司為了防疫需要，引進(jìn)一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，該產(chǎn)品有三種型號(hào)，通過市場調(diào)研

后，按三種型號(hào)受消費(fèi)者喜愛的程度分別對A型、B型、C型產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別

加價(jià)20%,30%,45%出售（三種型號(hào)的成本相同）.經(jīng)過一個(gè)月的經(jīng)營后，發(fā)現(xiàn)C型

產(chǎn)品的銷量占總銷量的目，且市三種型號(hào)的總利潤率為35%.第二個(gè)月，公司決定對A

型產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)，升級(jí)后A型產(chǎn)品的成本提高了25%,銷量提高了20%；B型、C型產(chǎn)

品的銷量和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個(gè)月成本基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,50%

出售，則第二個(gè)月的總利潤率為.

三、解答題（本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程收或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對

應(yīng)的位置上.

19.解方程與化簡：

（1）解方程：x2-10x=-9；

a2-1

（2）化簡：（1-W-）+一?—―?

a+aa+2a+l

20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一

個(gè)引理.如圖，已知第，C是弦上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過

程.

（I）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

①作線段AC的垂直平分線。E,交俞于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,連接AD,CD；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長為半徑作弧，交益于點(diǎn)F（F,A兩點(diǎn)不重合），連接。凡BD,

BF.

（2）猜想線段BC,8尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

21.2021年8月，國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管理”

督導(dǎo)的通知》（簡稱通知），要求各?。▍^(qū)、市）教育督導(dǎo)部門，組織當(dāng)?shù)刂行W(xué)校責(zé)

任督學(xué)開展''五項(xiàng)管理”督導(dǎo)工作.為貫徹《通知》精神，開州區(qū)某學(xué)校團(tuán)委組織了“手

機(jī)管理”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的

統(tǒng)計(jì)圖（其中A表示“一等獎(jiǎng)”，B表示“二等獎(jiǎng)”，C表示“三等獎(jiǎng)”，。表示“優(yōu)

秀獎(jiǎng)”）.

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖獲獎(jiǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為人，"?=;

（2）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校將從獲得一等獎(jiǎng)的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參

加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

22.閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.他/er,1550-1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人.他

發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Ev/er,1707-1783年）

才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.對數(shù)的定義：一般地，若爐=N">0且aWl）,那么

x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=k>g“M比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=咋216,

對數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log.,（M-N）=log“M+log“N（a>0,

M>0,N>0）,理由如下：

設(shè)\og,aM—m,log“N=〃，則M—a"',N—a",

：,M-N=a"-a"=an>+",由對數(shù)的定義得用+"=log“(M?N).

又m+n—]ogaM+]ogaN,

.?.log”(M*N)=log"M+log“N.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：

(1)填空：0log264=,②Iog327=,@log71=；

(2)求證：log?—=log?M-log?A^(?>0,M>0,N>0)；

N

(3)拓展運(yùn)用：ilMIog464+logs7-logs35.

23.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出

函數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.請結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫

Ox

(2)觀察函數(shù)—的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題：

①當(dāng)-2Wx<2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線)，=x對稱；

②x=2時(shí);函數(shù)有最小值，最小值為-2；

③-1VX<1時(shí)，函數(shù))，的值隨x的增大而減小，其中正確的是.(請寫出所有

正確命題的番號(hào))

(3)結(jié)合圖象，請直接寫出不等式一衿>x的解集

24.“思路創(chuàng)新，黃土成金”，在“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”總體安排下，我區(qū)某鎮(zhèn)開創(chuàng)性引

進(jìn)新品種經(jīng)濟(jì)作物一翠冠桃，并打造了集桃花觀賞、愛心認(rèn)購、入園采摘于一體的“大

寶寨”翠冠桃基地.去年、今年翠冠桃產(chǎn)量連續(xù)喜獲豐收，該基地翠冠桃銷售采用入園

采摘和園外銷售兩種模式.

（1）去年該基地翠冠桃產(chǎn)量為60噸，全部售出，其中入園采摘銷售量不超過園外銷售

量的3倍，求該基地入園采摘銷售量至多多少噸？

（2）該種植基地去年翠冠桃入園采摘銷售均價(jià)為8元/千克，園外銷售均價(jià)為5元/千克，

入園采摘銷售量正好為（1）中的最大值，今年由于加大宣傳、新苗掛果等原因入園采摘

銷售均價(jià)在去年的基礎(chǔ)上上漲"％,園外銷售均價(jià)也上漲看。％,入園采摘量在去年的基

礎(chǔ)上增加了15噸，園外銷售量在去年的基礎(chǔ)上上升了仔4%,今年銷售完畢后，基地決

定從銷售總額中投入114004元引進(jìn)晚熟青脆李，打造“桃李滿園，果香留仙”特色品牌

基地，這樣投資后的剩余總銷售額正好與去年銷售總額持平，求。的值（其中“<50）.

25.如圖，拋物線y=ox2+bx+c（“W0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊，與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,AO：CO：BO=1：2：3.

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)￡>在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)8、C）,連接。C、DB,

當(dāng)四邊形ABAC面積最大時(shí)，求出面積最大值和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,將（1）中的拋物線向右平移，當(dāng)它恰好經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)原拋物線與平移后

的拋物線交于點(diǎn)E,連接BE.點(diǎn)M為原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，以B、

E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

四、解答題（本大題1個(gè)小題，共8分）解答時(shí)必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫

出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上.

26.如圖，在RtZVIBC中，AB=AC,NBAC=90°,點(diǎn)E是C4延長線上一點(diǎn)，連接BE,

點(diǎn)。是AB邊，上一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4D,過點(diǎn)。作。FJ_8C,垂足為點(diǎn)F.

(1)如圖1,若。尸=3,BE=6,求C尸的長;

(2)如圖2,連接A凡求證：BE=小F；

(3)如圖3,過點(diǎn)A作AMJ_C￡>,連接并延長交AC于點(diǎn)N,若8c=4,當(dāng)最

小時(shí)，直接寫出△ACM的面積.

E

圖1圖2

參考答案

一、選擇題（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代

號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案

所對應(yīng)的方框涂黑.

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.5x+l=0B.x2-1=0C.—+x^~1D.y^+x—1

x

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解可得答案.

解：4.5x+l=0未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.1=0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

C.等式左邊不是整式，此方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.y+x=l含有兩個(gè)未知數(shù)，此方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能

與原圖形完全重合的是（）

【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷.

解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度=嗎一=120。；

B、最小旋轉(zhuǎn)角度=蚪一=90°；

C、最小旋轉(zhuǎn)角度=%一=180°；

D、最小旋轉(zhuǎn)角度=典一=72°；

5

綜上可得：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后，能與原圖形完全重合的是A.

故選:A.

3.拋物線y=-2x2+3向右平移3個(gè)單位后，再向上平移2個(gè)單位后解析式是（）

2

A.y--(2x+3)+5B.y=-2(JC+3)2+5

C.y=-2(x-3)2+5D.y=-2x2-3x+5

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.

解：由“左加右減”的原則可知，拋物線y=-2x2+3向右平移3個(gè)單位所得拋物線的解

析式為：y--2(x-3)2+3,

由“上加下減”的原則可知，拋物線y=-2(x-3)2+3向上平移2個(gè)單位所得拋物線

的解析式為：尸-2(%-3)2+5；

故選：C.

4.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)尸(7,-9)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-9,7)B.(-7,9)C.(7,9)D.(-7,-9)

【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.

解：點(diǎn)P(7,-9)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-7,9),

故選：B.

5.如圖，PA、PB是。0的切線，A、8為切點(diǎn)，連接08、AB,若NABO=25°,則NAP8

的度數(shù)為()

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】連接OP交AB于點(diǎn)、C,根據(jù)切線長定理得尸4=尸8,NOPA=NOPB甘NAPB,

再由等腰三角形的“三線合一”得NPC8=90°,然后根據(jù)同角的余角相等可求得NOPB

=90°-NPBC=NABO=25°,由/AP8=2NOP8,即可求得問題的答案.

解：如圖，連接。尸交48于點(diǎn)C,

???PA、P3是。。的切線，A、B為切點(diǎn)，

：.PA=PB,ZOPB=ZOPA=—ZAPB

2f

JOP_LAB,

：.ZPCB=90°,

:.PB1.OB,

：.ZPBO=90°,

：.ZOPB=90°-ZPBC=ZABO=25°,

：.NAPB=2NOPB=2X25°=50°,

6.估計(jì)6+1吉+>而的值應(yīng)在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【分析】化簡原式等于3泥，因?yàn)?泥=腐，所以雇〈腐語，即可求解；

解：&+恭+旄=&^娓=2旄+娓=3娓,

,**3-/5—V36<V45<V49>

.,-6<V45<7,

故選：B.

7.下列命題中，假命題是（）

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若AB=8C,則點(diǎn)2是線段AC的中點(diǎn)

D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對4進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對B

進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的中點(diǎn)定義對C進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對。進(jìn)行判斷.

解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以A選項(xiàng)不符合題意；

8、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以B選項(xiàng)不符合

題意：

C、若點(diǎn)B在線段AC上，且AB=BC,則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，所以C選項(xiàng)符合題意；

。、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心，所以。選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

8.若一元二次方程謂+2%+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<\B.aWlC.且aWOD.aVl且a#0

【分析】由一元二次方程以2+級(jí)+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式A>0,a

W0,繼而可求得a的范圍.

解：；一元二次方程ax2+2x+i=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

.?.“W0,△=〃-4ac=22-4XaX1=4-4a>0,

解得：“<1且aWO,

故選：D.

9.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第〃個(gè)圖中的g=168,則p的值為（）

A.121B.144C.169D.196

【分析】每個(gè)圖形中，左邊三角形上的數(shù)字即為圖形的序數(shù)小右邊三角形上的數(shù)字為p

=/，下面三角形上的數(shù)字q=（n+1）2-1,先把《=168代入求出"的值，再進(jìn)一步求

出p的值.

解：通過觀察可得規(guī)律：p=n2,q—（n+1）2-1,

,.,q=168,

（H+1）2-1=168,

解得”=12或-14（舍去），

/.p=n2=122=144,

故選：B.

10.一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運(yùn)往乙地，其中快車送達(dá)后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）與慢車行駛時(shí)間f（單位：力）

的函數(shù)關(guān)系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是（）

9他

C.3h

【分析】根據(jù)圖象得出，慢車的速度為為捺5必，快車的速度為速度亮km/h.從而得出

93

快車和慢車對應(yīng)的y與f的函數(shù)關(guān)系式.聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求解出圖象對應(yīng)兩個(gè)交點(diǎn)

的坐標(biāo)，即可得出間隔時(shí)間.

解：根據(jù)圖象可知，慢車的速度為左km/h,

9

對于快車，由于往返速度大小不變，總共行駛時(shí)間是6〃,

因此單程所花時(shí)間為3/2,故其速度1

所以對于慢車，y與f的函數(shù)表達(dá)式為丫=5r(O0W9)①.

1'（七-3)(3<t<6)(2)

對于快車，y與r的函數(shù)表達(dá)式為°

a(t-6)(6<t<9)(D

a至

聯(lián)立①②，可解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為上微，

聯(lián)立①③，可解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t=烏,

因此，兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是4-—(〃)，

424

故選：A.

H.若關(guān)于%的一元一次不等式組2yx+3的解集為xW-a,且關(guān)于x的分式方程

1x4一a

有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是（

【分析】先根據(jù)不等式組的解集，求出a的范圍,再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)

整數(shù)解，確定。的值即可解答.

解J*+3①，

1x4-a②

解不等式①得：xW5,

解不等式②得：xW-“，

???一元一次不等式組的解集為：xW-a,

???心-5,

ax_3x+2

x-2=2不，

ax=2(x-2)-(3x+2)，

解得:f,

??,分式方程有非負(fù)整數(shù)解,

.??x20且xW2,

._6

》0且

a+1a+1

解得：〃V-1且〃W-4,

:.--1且ar-4,

???所以滿足條件的整數(shù)”的值為：-3,-2,

所有滿足條件的整數(shù)。的值之和：-5,

故選：B.

12.如圖，己知拋物線y=ax2+%x+c,的對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)

和點(diǎn)8,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,且。8=2OC,則下列結(jié)論：①生旦VO；?4ac+2b

C

=-1；③a=-1；④當(dāng)〃>1時(shí)，在x軸上方的拋物線上一定存在關(guān)于對稱軸對稱的兩

4

使得其中正確的有()

C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象可判斷a,b,c的符號(hào)，?<0,b>0,c>0,從而可判斷①

錯(cuò)誤：由。8=2OC可推出點(diǎn)8(2c,0)代入解析式化簡即可判斷②正確；由拋物線與

x軸的交點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(2c,0),再結(jié)合韋達(dá)定理可得加?尤2=￡=(-2)X(2c)

a

=4c,可得。=-2，即可判斷③正確；根據(jù)a=-1,2b+4ac--1,可得c=26+l,從

44

而可得拋物線解析式為丫=-g2+云+(26+1),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2b,加+28+1),所以對

4

稱軸為直線x=2b.要使由對稱性可知，N4PB=90°,且點(diǎn)P一定在對稱軸

上，則△4PB為等腰直角三角形，PQ=PQ=^AB=2+2b,得P(2b,26+2),且28+2

<^+2b+\,解得6>1或b〈-l,故可判斷④正確.

解：VA(-2,0),OB=2OC,

：.C(0,c),B(2c,0).

由圖象可知，a<0,b>0,c>0,

①'..aVO,b>0,

-Z?<0,

<0.故①正確；

c

②把B(2c,0)代入解析式，得：

2

4ac+2hc+c=0f又cNO,

.?.4ac+26+l=0,

即28+4改=-1,故②正確；

③???拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)8(2c,0),

Axi=-2和X2=2C為相應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理可得：xi*X2=—=(-2)X(2c)=-4c,

a

>>a—--y.故③正確；

4

a=---,2b+4ac--1,

4

.*.c=2Z?+l.

故原拋物線解析式為y=-(2b+l),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2b,/?2+2/?+l).

4

???對稱軸為直線1=2b.

要使ANLBM,由對稱性可知，NAP8=90°,且點(diǎn)P一定在對稱軸上，

:△APB為等腰直角三角形，

：.PQ=^AB=^[4b+2-(-2)]=2/?+2,

：.P(2b,2b+2),KW2b+2<b2+2b+l,

整理得：b2>\,

解得：力>1或。Ol,故④正確.

綜上所述，正確的有4個(gè)，

故選：D.

二、填空題(本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分)請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應(yīng)的橫線上.

13.將2本藝術(shù)類、4本文學(xué)類、6本科技類的書籍混在一起.若小陳從中隨機(jī)抽取一本,

則抽中文學(xué)類的概率為4-

【分析】用文學(xué)類書籍的數(shù)量除以書籍的總數(shù)量即可.

解：..?一共有2+4+6=12本書籍，其中文學(xué)類有4本，

，小陳從中隨機(jī)抽取一本，抽中文學(xué)類的概率為焉=2，

故答案為：4-

14.已知。是方程2N-x-3=0的一個(gè)解，則6/-3〃的值為9.

【分析】把代入方程求得〃2的值，然后根據(jù)6a2-34=3(2〃2-。)即可求解.

解：把代入方程得：2672-a-3=0,

則2a2-〃=3,

貝！J6/-3。=3(2a2-a)=9.

故答案是：9.

15.如圖，。。的半徑是3,點(diǎn)P是弦A8延長線上的一點(diǎn)，連接OP,若OP=4,ZAPO

=30°,則弦AB的長為,遙

【分析】連接OB,過。作OCLAB于C,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OC,

根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)垂徑定理得出AB=2BC,即可得出答案.

解：連接。8,過。作。CLAB于C,

則/OCP=90°,

；0尸=4,ZAPO=30°,

，0C=20P=2,

2

在RtZ\0C8中，由勾股定理得：BC=dOB2-0C2=，32-22=

'：OCA.AB,0c過O,

:.AB=2BC=2疾,

故答案為：2，^.

16.如圖，從一塊直徑為6而?的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積

【分析】連接A8解直角三角形求出AC,再根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AC8的面積

即可.

解：連接AB,則NC=90°,

所以AB是圓的直徑，即AB=6d/",

由勾股定理得：AG+BG=AB2,

即2AC2=62,

解得：AC=BC=3?(dm),

...陰影部分的面積是9°冗X(3，3產(chǎn)=/(小研)

3602

故答案為：等.

17.如圖，在正方形ABCD中，AB=9,M是邊上的一點(diǎn)，AM：MD=1：2.將ABMA

沿8M對折至△BMN,連接ON,則ON的長是

【分析】連接AN交8M于點(diǎn)。，作NHJ_A。于點(diǎn)H,根據(jù)已知可求出AM、BM.的長

度，利用面積法求出A0,再結(jié)合折疊性質(zhì)，找到AN長度.結(jié)合勾股定理建立AM-AH2

=MN1-MH1等式,即可求出例最后即可求解.

解：連接AN交于點(diǎn)。，作NH_LAO于點(diǎn)//.如圖:

：.AM=3,MD=6.

:四邊形ABC。是正方形.

；?BM=VAB2+AN2=V92+32=3VW-

根據(jù)折疊性質(zhì)，AOVBM,AO=ON.AM=MN=3.

：.—XAB-AM=—XBM'AO,

22

?s9X39710

?.AO=~—r==,

3V1010

；.AN=2AO=^叵，

5

\'NH±AD.

.,.AN2-AH2=M1^2-MH2.

：.(22?)2_(3+M〃)2=32-MU,

5

5

?'-w/v=zVMN2-MH2=^32-（-y）2=-1-

：.HD=AD-AM-MH=9-3--,

55

D7V=VHD2+HN2=J（卷）"卷）2='!^

故答案為：

18.2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診.當(dāng)疫情出現(xiàn)

后，各級(jí)政府及有關(guān)部門高度重視，堅(jiān)決阻斷疫情傳播.開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營

公司為了防疫需要，引進(jìn)一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，該產(chǎn)品有三種型號(hào)，通過市場調(diào)研

后，按三種型號(hào)受消費(fèi)者喜愛的程度分別對A型、B型、C型產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別

加價(jià)20%,30%,45%出售（三種型號(hào)的成本相同）.經(jīng)過一個(gè)月的經(jīng)營后，發(fā)現(xiàn)C型

產(chǎn)品的銷量占總銷量的搟，且市三種型號(hào)的總利潤率為35%.第二個(gè)月，公司決定對A

型產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)，升級(jí)后A型產(chǎn)品的成本提高了25%,銷量提高了20%；B型、C型產(chǎn)

品的銷量和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個(gè)月成本基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%,30%,50%

出售，則第二個(gè)月的總利潤率為36%.

【分析】由題意得出A型、2型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤率分別為20%,30%,45%,設(shè)

A型、8型、C型三種型號(hào)口罩原來的成本為a,A產(chǎn)品原銷量為x,8產(chǎn)品原銷量為》

，△

C產(chǎn)品原銷量為z,由題意列出方程組，解得|x=5z；第二個(gè)季度人產(chǎn)品成本為（］+25%）

y=z

a——a,B、C的成本仍為a,A產(chǎn)品銷量為（1+20%）x=—.x,B產(chǎn)品銷量為y,C產(chǎn)品

45

銷量為z,則可表示第二個(gè)月的總利潤率.

解：由題意得：4型、8型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤率分別為20%,30%,45%,

設(shè)A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品原來的成本為“，4產(chǎn)品原銷量為x,B產(chǎn)品原銷量為

y,C產(chǎn)品原銷量為z,

20%ax+30%ay+45%az=35%a（x+y+z:

由題意得：J3,，

y（,x+y+z）=z

解得：,

y=z

第二個(gè)季度A產(chǎn)品的成本提高了25%,成本為：（1+25%）B、C的成本仍為a,

A產(chǎn)品銷量為（1+20%）x=^x,8產(chǎn)品銷量為y,C產(chǎn)品銷量為z,

5

56

20%X彳aX-^-x+30%ay+50%az《

???第二個(gè)季度的總利潤率為：-

|axAx+ay+az1.5x+y+z

4b

0.3X-T-Z+0.3z+0.5z

-------------------------------------------------二36%,

1.5X—z+z+z

o

故答案為：36%.

三、解答題（本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演

算過程收或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對

應(yīng)的位置上.

19.解方程與化簡:

(1)解方程：x2-10x=-9；

（2）化簡：（1-與一）一尸!一.

a+aa+2a+l

【分析】（1）利用配方法解方程可求解；

（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形,

約分得到最簡結(jié)果.

解：（1）配方，得N-10X+25=-9+25,

（x-5）2=16,

開方，得x-5=±4,

Axi=4+5=9,X2=-4+5=1；

(a+1)(a-1)

（2）原式=

a+1(a+1)2

_a.a-1

a+1'a+1

_aa+1

a+1a-1

a

a-l

20.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一

個(gè)引理.如圖，已知眾，。是弦AB上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過

程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；

①作線段AC的垂直平分線QE,交加于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)E,連接AD,CD；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長為半徑作弧，交源于點(diǎn)尸（凡4兩點(diǎn)不重合），連接。凡BD,

BF.

（2）猜想線段BC,2F的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可.

②根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）證明可得結(jié)論.

解：（1）①如圖，直線QE,線段AO,線段8即為所求.

②如圖，點(diǎn)F,線段CO,BD,即為所求作.

(2)結(jié)論：BF=BC.

理由：???￡)￡垂直平分線段AC,

：.DA=DC,

J.ZDAC^ZDCA,

"：AD=DF,

：.DF=DC,AD=DF，

：.ZDBC=ZDBF,

；N￡)F8+N￡)AC=180°.ZDCB+ZDCA^\SO°,

NDFB=NDCB,

在和△OCB中，

<ZDFB=ZDCB

<ZDBF=ZDBC-

DF=DC

：.4DFBWXDCB(AAS),

：.BF=BC.

21.2021年8月，國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行'‘五項(xiàng)管理”

督導(dǎo)的通知》（簡稱通知），要求各省（區(qū)、市）教育督導(dǎo)部門，組織當(dāng)?shù)刂行W(xué)校責(zé)

任督學(xué)開展“五項(xiàng)管理”督導(dǎo)工作.為貫徹《通知》精神，開州區(qū)某學(xué)校團(tuán)委組織了“手

機(jī)管理”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的

統(tǒng)計(jì)圖（其中A表示“一等獎(jiǎng)”，B表示“二等獎(jiǎng)”，C表示“三等獎(jiǎng)”，D表示“優(yōu)

秀獎(jiǎng)”）.

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖獲獎(jiǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為40人,m=30；

（2）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校將從獲得一等獎(jiǎng)的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參

加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】（1）用“二等獎(jiǎng)”人數(shù)除以它所占的百分比得到獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)，然后計(jì)算“三等

獎(jiǎng)”人數(shù)所占的百分比得到〃?的值；

（2）求出獲“三等獎(jiǎng)”人數(shù)為12人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的

結(jié)果為6種，然后根據(jù)概率公式求解即可.

解：（1）獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)為8?20%=40（人），

貝IJ〃?％=（40-4-8-16）4-40X100%=30%,

即，"=30；

故答案為：40,30；

(2)獲“三等獎(jiǎng)”人數(shù)為：40-4-8-16=12(人)，

將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：

獲獎(jiǎng)情況條形統(tǒng)計(jì)圖

(3)畫樹狀圖如下:

開始

4G公④

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果為6種，

.?.抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率=*=a.

22.閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Np/er,1550-1617年)是對數(shù)的創(chuàng)始人.他

發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Ev/er,1707-1783年)

才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.對數(shù)的定義：一般地，若&'=N(">0且“W1),那么

x叫做以〃為底N的對數(shù)，記作x=k)g“M比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=咋216,

對數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log”(M?N)=log“M+logJV(a>0,

M>0,N>0),理由如下：

設(shè)logJV/=/mTogaN=n,則M=a%N=a〃,

M?N=ani?an=am+n,由對數(shù)的定義得〃z+〃=log〃(M*N).

又m+n=log?M+logrt7V,

logd(M?N)=k)gaM+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：

(1)填空：0)10/64=6,②10/27=3,@log7l=0；

(2)求證:log?—=log?M-log?W(a>0,a^l,M>0,N>0)；

N

(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算R)g464+log57Tog535.

【分析】(1)根據(jù)題意給出的運(yùn)算法則即可求出答案.

n

(2)設(shè)logaM="?,logaN=〃，則N=af然后根據(jù)對數(shù)的定義即可求出答案.

(3)根據(jù)題意給出的運(yùn)算法則即可求出答案.

解：(1)log264=6,log327=3,log7l=0,

故①6；②3；③0；

(2)設(shè)log“M=m,logaN=fi,則N=a",

由對數(shù)的定義得nrrFlog

又:加-"=log"MTog“N

Alog=lo§HlogN

a1'a-a-

(3)Iog464+logs7-log535

=3+log57-(Iog55+log57)

=3+logs7-logs7-1

=2.

23.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出

函數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.請結(jié)合己有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫

gx

（2）觀察函數(shù)丫=-吃一的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題：

x'+4

①當(dāng)-2-W2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；

③時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，其中正確的是②③.（請寫出所

有正確命題的番號(hào)）

gx

（3）結(jié)合圖象，請直接寫出不等式=—的解集x<-2或0VxV2.

x?+4

【分析】（1）利用函數(shù)解析式分別求出x=-2和x=l對應(yīng)的函數(shù)值；然后利用描點(diǎn)法

畫出圖象即可；

（2）觀察圖象可知當(dāng)x<0時(shí)，y隨x值的增大而增大；

（3）利用圖象即可解決問題.

8x

解：（1）把x=-2代入y=--得，丁=2，

x^+4

8xQ

把x=l代入y=--得，y=-,

x”+45

??〃=2,b=---,

5

畫出函數(shù)圖象如圖:

8x

(2)觀察函數(shù),，=-一口的圖象，

①當(dāng)-2WxW2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；錯(cuò)誤；

②x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；正確;

③時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，正確.

故答案為②③；

gx

(3)由圖象可知，函數(shù)丫=--3一與直線尸-x的交點(diǎn)為(-2,2)、(0,0)、(2,

x"+4

-2)

8x

，不等式-5—>X的解集為x<-2或0<xV2.

x^+4

故答案為：xV-2或0<x<2.

24.“思路創(chuàng)新，黃土成金”，在“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”總體安排下，我區(qū)某鎮(zhèn)開創(chuàng)性引

進(jìn)新品種經(jīng)濟(jì)作物一翠冠桃，并打造了集桃花觀賞、愛心認(rèn)購、入園采摘于一體的“大

寶寨”翠冠桃基地.去年、今年翠冠桃產(chǎn)量連續(xù)喜獲豐收，該基地翠冠桃銷售采用入園

采摘和園外銷售兩種模式.

(1)去年該基地翠冠桃產(chǎn)量為60噸，全部售出，其中入園采摘銷售量不超過園外銷售

量的3倍，求該基地入園采摘銷售量至多多少噸？

(2)該種植基地去年翠冠桃入園采摘銷售均價(jià)為8元/千克，園外銷售均價(jià)為5元/千克,

入園采摘銷售量正好為(1)中的最大值，今年由于加大宣傳、新苗掛果等原因入園采摘

銷售均價(jià)在去年的基礎(chǔ)上上漲4%,園外銷售均價(jià)也上漲看〃％,入園采摘量在去年的基

礎(chǔ)上增加了15噸，園外銷售量在去年的基礎(chǔ)上上升了今年銷售完畢后，基地決

定從銷售總額中投入11400〃元引進(jìn)晚熟青脆李，打造“桃李滿園，果香留仙”特色品牌

基地，這樣投資后的剩余總銷售額正好與去年銷售總額持平，求。的值（其中。<50）.

【分析】（1）設(shè)該基地入園采摘銷售量為尤噸，則園外銷售量為（60-x）噸，根據(jù)入

園采摘銷售量不超過園外銷售量的3倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其

中的最大值即可得出結(jié)論；

（2）利用總銷售額=銷售單價(jià)X銷售數(shù)量，結(jié)合從銷售總額中投入11400“元引進(jìn)晚熟

青脆李后的剩余總銷售額正好與去年銷售總額持平，即可得出關(guān)于a