高中數(shù)學(xué)：希望杯競(jìng)賽試題詳解（110題）高中數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)：2010希望杯競(jìng)賽試題詳解(1-10題)

題1已知0<4<0,x=Ja+b—=新一一。，貝ijx,、的大小關(guān)系是.

(第十一屆高二第一試第11題)

解法1x=>[aVb-y[h=,——產(chǎn),y=4h-yjh-a=—j=~"/.

yla+b+Yby/h+>Jh-a

O<a<b,：,Ja+1+4b>4b+Nb-a,;.x<y.

解法王，

2=仲$=丑尸1,.a+b>h-a,.-^<l,.-.x<y.

y7b-aJa+O+Jby

副、汪o1111+」+y[b+ylb—ci

解法3---=/-----7=--7=--/=------------------

xy'a+b—'b-\lb—yh—cicici

yjci+b—yjb-ci八11c

=------------------->0,.,.------->0,.'.x<y.

axy

解法4原問(wèn)題等價(jià)于比較后7+癡工與2揚(yáng)的大小.由d+y2色尹，得

(J〃+/?+Yb—a)~W2(。+0+/?—〃)=4-b,+/?+Jj—〃W1y[b.

,/Ja+1Wdb-a,:.Na+b+y]b-a<2顯，:.x<y.

解法5如圖1,在函數(shù)y=Jx的圖象上取三個(gè)不|同的點(diǎn)

____C

)、C(a+b,Ja+Z?)?1

b-a9”-a)、B(b,4b

由圖象，顯然有的°<36，即

Ya+b-Ybyjb-y/b—ci

<，0b-abx

(a+b)—bh-(b-a)

圖1

B|J-Ja+b-y/h<y/b-yjb-a,亦即x<y.

解法6令于(t)=[a+t-&,v/(r)=-7=^——單調(diào)遞減，\^b>b-a,

+，+yjt

f(b)<f(b-a)，即Ja+。一4b<4b-yjb-a,.\x<y.

解法7考慮等軸雙曲線12—y2=aa>0).

如圖2,其漸近線為y=x.在雙曲線上取兩點(diǎn)

A(4h,Yb-a)、B(+a,4b).

由圖形，顯然有的8>1,即時(shí)一疝>1,從而x<y.

y/a-^b-y7jb

解法8如圖3.在Rt^ABC中，NC為直角，BC=6,

AC=yfb,BD=\[b,則AB=-Jci+b,DC=Jc-a.

在△ABD中，AB-AD<BD,即Ja+D-AD〈瓜

從而灰+b-AD-DC<4b-DC,

即-Ja+h—4b<4b—y/b—a,故x<y.

評(píng)析比較大小是中學(xué)代數(shù)中的常見(jiàn)內(nèi)容.其最基本的方

法是作差比較法、作商比較法、利用函數(shù)的單調(diào)性.解法1通過(guò)

分子有理化（處理無(wú)理式常用此法）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成比較兩個(gè)分

母的大小.解法2直接作商與1比較大小，順理成章，也很簡(jiǎn)潔

要注意的是：a,b>0時(shí)，—>l^a>b；a/<0時(shí)，

3>1oa<6.此題直接作差難以確定差與0的大小，解法3對(duì)尤,y的倒數(shù)作差再與0比較大

b

小，使得問(wèn)題順利獲解，反映了思維的靈活性.解法6運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，構(gòu)造一個(gè)什么

樣的函數(shù)是關(guān)鍵.我們認(rèn)為構(gòu)造的函數(shù)應(yīng)使得恰為其兩個(gè)函數(shù)值，且該函數(shù)還應(yīng)是單調(diào)的

（最起碼在包含x,y對(duì)應(yīng)的自變量值的某區(qū)間上是單調(diào)的）.解法5與解法7分別構(gòu)造函數(shù)與

解幾模型，將的大小關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成斜率問(wèn)題加以解決，充分溝通了代數(shù)與幾何之間的

內(nèi)在聯(lián)系，可謂創(chuàng)新解法.解法8充分挖掘代數(shù)式的兒何背景，構(gòu)造平面圖形，直觀地使問(wèn)題

得到解決，這也是解決大小關(guān)系問(wèn)題和證明不等式的常用方法.

有人對(duì)此題作出如下解答：

取a=L/?=2,貝ijx=g—V2=*/y/3+y/2,>V2

11

+1>0,y.可再取兩組特殊值驗(yàn)證,都有x<y.故答案為x<y.

從邏輯上講，取a=l2=2,得x<y.即使再取無(wú)論多少組值（也只能是有限組值）驗(yàn)證,

都得x<y,也只能說(shuō)明x>y或作為答案是錯(cuò)誤的，而不能說(shuō)明x<y一定是正確的，因

為這不能排除x=y的可能性.因此答案雖然正確，但解法是沒(méi)有根據(jù)的.當(dāng)然，如果將題目改

為選擇題：

已知0<4</?,%=，4+/?—后,）=7^—5/，一4,則工,丁的大小關(guān)系是（）

A、x>yB、x>yC、x=yD、x<y

此時(shí)用上述解法，且不用再取特殊值驗(yàn)證就可選D,并且方法簡(jiǎn)單，答案一定正確.

總而言之，特殊值法在解許多選擇題時(shí)顯得特別簡(jiǎn)捷，那是因?yàn)檫x擇支中的正確答案是

唯一的，從而通過(guò)特殊值排除干擾支，進(jìn)而選出正確答案.但特殊值法只能排除錯(cuò)誤結(jié)論，而

不能直接肯定正確答案，因此，用此法解填空題（少數(shù)特例除外）與解答題是沒(méi)有根據(jù)的.

當(dāng)然，利用特殊值指明解題方向還是十分可取的.

題2設(shè)q>6>c,〃eN,且，+」一2-^恒成立，則〃的最大值為（）

a-bh-ca-c

A、2B、3C、4D、5

（第十一屆高二第一試第7題）

解法1原式Q小+二2”.+—

a-bb-c\_a-bb-c

a-b+b-cb-c+a-bb-ca-b、人口出b-ca-b?4Thv5

=--------------+---------------=2+t-------+------->4，且當(dāng)----=----,即HII〃+c=2/7口n寸取等

a-bb-ca-bb-ca-bb-c

號(hào)??,.—~~-+-~~-=4.zi<4.故選C.

_"bb-c]min

解法2a>b>c,:.a-b>Q,b-c>O,a-c>0,已知不等式化為

("C尸

〃<--------rh、___=4,即=4,故由已知

(a-b)(b-c)_("加C)L”

得“W4,選C.

由^a-h>O,b-c>O,a-c>有〃(又

解法3a>b>c,0,Wa-c)(―——I——-—|.

\a-bh-c)

+=++卜(1+1)2=4,

即」一+二一]]=4,由題意，〃W4.故選C.

L、"bh-c）]n.n

解法4*:a>b>c,.\a-b>0,b-c>0,a-c>0.二已知不等式可變形為

6f-c)2

n<.記上n

(a-b/b-c)

則"『)：(*)『？呼一沙-cj=4.由題意，〃故選c.

(a-h)[h-c)\a-h)(h-c)

解法5'：a>b>c,—>0,」一>0.于是

a-bb—c

1144

--------1--------27-------xZ------C=------比較得〃<4.故選C.

a-bb-c\a-b)+(h-c)a-c

評(píng)析由已知，可得“<(。-/」一+—匚］恒成立.根據(jù)常識(shí)“若aW/(x)恒成立，則

\a-bb-c)

a</(x)min;若心/(x)恒成立，則("1+1匚］的最小值就是所求n

\a-bb-c)

的最大值，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求(a-cf—l—+」一］的最小值，上述各種解法都是圍繞這一中心

\a-hb-cJ

的，不過(guò)采用了不同的變形技巧，使用了不同的基本不等式而已.解法1運(yùn)用了

(i-+->2,a,b^R+,\解法2運(yùn)用了ZbJ業(yè)］”；解法3運(yùn)用了“(4+”工+工卜4”；解

ahI2J\ah)

法4運(yùn)用了“a+822而(〃為eR+?；解法5運(yùn)用了2」一(a,/?eR+卜.雖解法異彩

aba+b

紛呈，但卻殊途同歸.

此題使我們聯(lián)想到最新高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)P30第8題：

已知〃>/?>c,求證：---I——-——I——>0.

a-bb-cc-a

證：令a-b=x、b-c=y(x>0,y>0),貝lja-c=x+y.

111111x2+y2+xy

--------1---------1=—?-------------=----------------,/x>0,y>0,

a-bb-cc-axyx+yxy(x+y)

a-bb-cc-a

此證法通過(guò)換元將分母中的多項(xiàng)式改寫成單項(xiàng)式，使得推證更簡(jiǎn)單了.運(yùn)用這一思路,

又可得本賽題如下解法：

設(shè)a-/?=x,/?-c=>0,y>0),貝lja-c=x+y.一—H——--2"恒成立,就是

a-bb-ca-c

恒成立.也就是恒成立.?.?(x+)，f，+，］24恒成立，

Xyx+y(Xy)(xy)

???由題意得〃<4.故選C.

再看一個(gè)運(yùn)用這一思想解題的例子.

/j-.i'H.j八+-p-、Tbc~、Q+/7+C

例J設(shè)a,b,cwR,求證：----4-------------1---------->----------------.

b+cc+aa+b2

(第二屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

證明設(shè)。+c=x,c+〃=y,〃+Z?=z,貝i」a+0+c=；(x+y+z)(x,y,z>0).

..?2b2(a+b)2_(ay-bxf,a2b2(a+b)2

?I-712,??n2,

xyx+yxy(x+y)xyx+y

2222

abc(a+b)'c(a+b+c)'_(a+b+cy_a+b+cHn

xyzx+yzx+y+z2(〃+b+c)2

a2b2c2、a+b+ca2h2c~〉a+h+c

——十——+—>-----------------1------------1-----------

xyz2b+cc+aa+b-2

本賽題還可直接由下面的命題得解.

命題若>4,>…>*>0,則一--+——i——+-??+----!------2(〃一1.

?1-?2?2-?3見(jiàn)1一?！癮}-an

證明：4>a?>…>%>0，，4一。2M2-。3,…,%-1-%都大于。?反復(fù)運(yùn)用①式，可

得：“若無(wú)Q,eR+(i=l,2,…,〃)，則之且2摩J-,當(dāng)且僅當(dāng)土=歪=--=%時(shí)取等號(hào)”.

<=|Kyz%%X.

J=1

M士111、(1+1+…+球(〃—廳

故彳J--------1-----------F???H-----------2-------------------------------------=---------.

%一出%一。3―〃“4一七+。2一+…+一4―〃”

也可以這樣證明：

vax>a2>??->an>0,:.ax-a29a2-a3,---,an_1-an>0.故由柯西不等式，得

(—■—+—-—+…+-------)[(%—%)+(%―%)+—?+(?！ㄒ籟-2(]+]+?.?+])-

卬一。2%一〃3%一4'~~‘

ST個(gè)i

2

=-1)2，即(——--1----------——+…+-------------乂Q[-an)>(M-l)?'?>Q[>0，

%一。2%一〃3%.1一%

Jn-1)2

一-a?

由此可得本賽題的如下解法:

*:a>b>c,a—Z?>0,/?-c>0,a-c>0,--——l——-->——(ktl)---=——.由題

a-bb-ca-b+b-ca-c

意,n<4.故選C.

由此命題還可直接解決第七屆高二培訓(xùn)題第8題：設(shè)4>出>%>??>的)oo>%os，并且

1114x106

,n=-^+—^+--+——,n=U,則機(jī)與〃的大小關(guān)系是()

%一%。2一”3^2000~~^2001一。2001

A、m<nB、m>nC^m>nD、m<n

碗、200024xl06助、止「

解???%>出>。3>〃2000>。2001'm2------------=-------------故選C.

a\~^2001“1一02001

22

題3設(shè)實(shí)數(shù)加滿足加2+/=。，x+y=hf則〃+的最大值為（）

A、g(a+b)B、y/a2+b2C、『'D、4ab

(第十一屆高二培訓(xùn)題第5題)

解法1設(shè)加=y/~acosa,n=4asina.x=4bcos-4hsin/3,

則加戈+ny=4ahcosacos0+4absinasin0=cos(a-/?)<4ab.

即(mx+ny)回=4ah.故選D.

]b

解法2m24-n2=a=>—tn2+—n2。，又A：?+y?=。,「?+幾y）=—mx+

aaa

(不3n)2+I：""+y2

—(m2+n2)+(x2+y2)"a+b

%<F+2=-=h.mx+ny

a2

<-Y=-y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)m=x且的〃=y，即毆=時(shí)取等號(hào)，.?.（nu+Hy）max二心及

bVaVa

解法3(nvc+ny)2=m2x2+2mxny+n2y2<m2x2+m2y2+/t2x2+?2y2

2

=（m+叫（12+y2）=血...+<yjab9當(dāng)且僅當(dāng)my-nX時(shí)取等號(hào),故（〃猶十町）好=A/OK

22

—>—>—>—>—>—>—>—>—?

解法4設(shè)p=(/n,n),q=(x,y),則〃q=p-qcosff<pq.：.p-q<p?

即+工(〃?2+〃2)+),2)=〃匕,當(dāng)且僅當(dāng)p,q共線，即my-nx時(shí)取等號(hào)，故

解法5若設(shè)加x+〃y=A,則直線加x+〃y=k與圓/+產(chǎn)=匕有公共點(diǎn)，于是

-<y/h,B|J\k\=|/?ix+ny|<(mx+ny)=y[ab.

dm2+n2

解法6設(shè)&=m+ni,z2=x-yi,則=(m+H/)(x-yz)=(mx+ny)+(nx-?ny)/,.*.

Li,Z2I二J(mx+1y)2+(〃/一加),)22J(g+町『=|/nx+ny\>mx+ny,+〃丁〈卜㈤

=|Z]|-|z2|=dm?+/??Jx?+，=d,當(dāng)且僅當(dāng)my=〃x時(shí)取等號(hào),故(加工+〃丁心二^^?

解法7構(gòu)造函數(shù)/(X)=(/+//2+2(〃。+町,)x+-+丁2,

則/(X)=(mX4-x)2+(〃X+y)2>0.故△=4(加x+〃y)2-4(〃/+n2^x2+y2)

=4(mx+〃y)2-4ah<0,B|Jmx+ny<\fab.^mx+^y)niix=4ah.

解法8由/+/=〃,W+yZj還可構(gòu)造圖形(如cJ一、圖)，

其中NACB=408=90",71。=^|同,8。=A同，A/b

BO=W，AO=|y|,AB=〃'為圓的直徑，由托勒密定

理，ACBD+BCAD^ABCD<AB2,^

加HM+2時(shí).以歸/?,,從而得加x+〃yW，石，當(dāng)且僅當(dāng)〃?y=〃x且/nx>0時(shí)取等

號(hào)..*.(mx+/jy)mx=4ab.

評(píng)析解法1抓住已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用三角代換法，合情合理，自然流暢，也

是解決此類型問(wèn)題的通法之一.

解法2運(yùn)用基本不等式巴2要r2將mx+〃y放大為關(guān)于〃J+〃2與/+/的式子，再利

用條件求出最大值.值得注意的是，稍不注意，就會(huì)得出下面的錯(cuò)誤解法:

.m'+x-n'+y+n)+(x+V)a+b(、a+b.、小八神

mx+ny<----------1----:—=----------------=----(mx+ny)=-----------故選A.錯(cuò)

2222v?/max2

誤的原因就在于用基本不等式求最值時(shí)未考慮等號(hào)能否取到.上述不等式取等號(hào)的條件是

a=x①且。=y②，而若①，②式同時(shí)取得，則/+〃2=/+>2,即“="這與題設(shè)矛盾！

即當(dāng)aw匕時(shí)，加x+町取不到早.解法2是避免這種錯(cuò)誤的有效方法.

由于向量與復(fù)數(shù)的模的平方是平方和形式，與已知形式一致，故解法4與解法6分別運(yùn)

用了構(gòu)造向量與構(gòu)造復(fù)數(shù)的方法，新穎而簡(jiǎn)潔.

解法5設(shè)必+犯人后，將其看作動(dòng)直線，利用該直線與定圓/+y2=b有公共點(diǎn)，則

圓心到直線的距離小于等于半徑，得k+癡，充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的解題功能.

解法7運(yùn)用的是構(gòu)造函數(shù)法.為什么構(gòu)造函數(shù)/(X)=(〃J+〃2)X2+2(〃?X+〃)，)X+x2

+V呢？主要基于兩點(diǎn)：①/(X)為非負(fù)式(值大于等于0),②由于/(X*0,故有△<(),

而△溝通了已知與未知的關(guān)系，故使問(wèn)題得到解決.

解法8抓住已知兩條件式的特征，構(gòu)造了兩個(gè)有公共邊的直角三角形，利用托勒密定理

及圓的弦小于等于半徑使問(wèn)題獲解，充分揭示了這一代數(shù)問(wèn)題的兒何背景.

拓展此題可作如下

推廣若aJ+a，+…++4*'+…+b；=q,則(a']+a2b?+…+。也)口、

=y[pq(當(dāng)且僅當(dāng)Jgq=%(i=l,2,…時(shí)取得最大值).

步"+…+

府,當(dāng)且僅當(dāng)

22

==1,2,...,〃附取等號(hào)，，（％仇+a2b2+…+。,伍）,回

本推廣實(shí)際就是由著名的CM"?（柯西）不等式

(a1仇+a,%+…+。,仇)~—(aj+%~+…++…+b“2)(當(dāng)且僅當(dāng)

幺=&=...=2時(shí)取等號(hào)）直接得到的一個(gè)結(jié)論.

瓦b2bn

推廣有十分廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉一例：

例已知a,仇c,x,y,zwR+,且a+2A+3c=4,'+2+3=8.求++最大值.

解〃+2。+3c=4=>（⑷四『+（病『=

痛2=8.由推廣知+2+3^^=y[a-+y[2b-+y/3c-<J4x8—4^/2,當(dāng)且僅

當(dāng)即=C聆而=即ax=by=cz=；時(shí)取等號(hào).

題4對(duì)于舊|W1的一切實(shí)數(shù)機(jī)，使不等式2x-l〉m（x2-l）都成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（第十三屆高二培訓(xùn)題第63題）

222

x-l>0x-l<0==°,即.x-l>0

解法1題設(shè)等價(jià)于2x-l或，21或'2x-1或

m<—：----m>-----2x—1>01-

x2-lx2-lx2-l

x2-1<02

r_i_

2x-l或,，所以1<x<2或V5-1<x<1或x=1,即xe(73-1,2).

-1>2x—1>0

x2

解法2已知不等式即G一一（2x-1）＜0,令/（加）=（尤2-則

當(dāng)即x，±l時(shí)，/（/"）是用的一次函數(shù)，因?yàn)榉玏1,即一1<〃?<1時(shí)不等式

/(-1)=-X2+1-2X+1<0即

恒成立，所以/（m）在［-1,1］上的圖象恒在機(jī)軸的下方，故有，

/(1)=X2-1-2X+1<0

,+2X-2>0,解得鳳］<x<2(XH1).

X2-2X<0

又當(dāng)x=l時(shí)，/（帆）=-1,適合題意，當(dāng)x=-l時(shí)，/（加）=3不合題意.

故x的取值范圍是g-l<x<2.

評(píng)析解決本題的關(guān)鍵是如何根據(jù)條件構(gòu)建關(guān)于x的不等式或不等式組.解法1運(yùn)用分離

參數(shù)法，為了達(dá)到分離參數(shù)的目的，又對(duì)/-1分大于0、小于0、等于0三類情形分別構(gòu)建

關(guān)于x的不等式組，從而通過(guò)解不等式組解決了問(wèn)題.解法2則轉(zhuǎn)換思維角度，把已知不等式

看成關(guān)于機(jī)的不等式，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/（〃?）=①-1}“-（2X-1）在［-1,1］上的圖象

恒在機(jī)軸下方的問(wèn)題.這種方法稱為變更主元法.用此方法，使得此題的解決顯得既簡(jiǎn)捷，又

直觀易懂.

當(dāng)時(shí),不等式，■+1

題50<x<a>2恒成立,則a的最大值是.

x(a-x)2

（第十一屆高二培訓(xùn)題第45

題）

22

當(dāng)］。時(shí)，匕+上①，又有(a-x)X

解法10<<22---------------------722②，②+①X2,

xa-xx2("X)

29

a2-x22ax-x2a2-(a-x)2a11

得---1------726,彳-1+>6,3+N8，即—+

x2(a-xYx(a-x)2X(a-x)2X

Q

由-2,得0<。<2,/.a=2.

amax

11141

解法2v2-4+一十一(z

—+---)2+(------------------)2,又—+

2

X(6Z-X)Xa-xxa-xXa-xaa

1Q

>(-)\BP4-H------7當(dāng)且僅當(dāng)

ax(a-x)2a

時(shí)取等號(hào)??1

I??3+22恒成立,

8

—>2,0<?<2.于是q=2.

amax

11

/十("-')221，由

，可知」>由

解法3原不等式等價(jià)于］0<x<6?0,------>0.

2xa-x

?

“兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”可知只需一-—>1,即。<2即可,

x+(a-x)

故0<aW2,于是“max=2.

解法4???4+―^->2即二+1+—-X222①成立，又?.?二+/22恒

x2(a-x)2x2Jx2

成立，r.a只要滿足一二-120②就能使①恒成立.由②式，得一x)2〈i,

(a-x)2

x(a-x)<1,-x2+ax-l<0?.由于對(duì)稱軸x=—€(0,a),由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)xe(0,。)時(shí)，

2

要③式恒成立，則A=a2_4W0.?.0<aW2/.amax=2.

解法5設(shè)/ucos^a,^--=sin2<2(0<x<a)，則二+——--~-=—~~i――+

aax(a-x)~acosa

1—sin22a?2個(gè)~

11sin4tz+cos4a12o8o2-sin2a..?2。

--------------------=-=———---------=----------------.1(sin-2a+2)(sm~2a一

2?4----------2---------?44-----------------2。八，

asinaasinacosaa——1si?n42acrsin2a

16

1)<0,B|J2-sin22a>sin42cr,則生理21(當(dāng)sin22a=1時(shí)取等號(hào))，于是

sin2a

11QQ

-耳H---------己2~，由已知，得——之2,?，.0<a<2,6z=2.

x(a—x)aa~max

解法6設(shè)x=L,y=—1—(X>o,y>0),貝ij

xa-x

X2+Y222表示在XOY坐標(biāo)系第一象限內(nèi)以原點(diǎn)為圓

貶為半徑的圓及其外部.由X=±y=—L,得

xa-x

-----4

aXY=x+y,又〃xy=x+Y22VXF,??.xynf,它表

Q-

曲線xy=3位于第一象限內(nèi)的一支及其上方部分.依

CT

雙曲線xy=*4(x>0)與圓弧x?+y2=2(x>0,y>o)

a

Q

或相離，從而二22,即0<a42/.6/=2.

CTmax

解法7運(yùn)用結(jié)論“如果Xj,y"R+（i=l,2,…,〃）,則江+區(qū)+-+M

H為方

區(qū)+々+…+乙）2（*）,當(dāng)且僅當(dāng)%=三=...=2=人（常數(shù)）時(shí)取等號(hào).”?.?0<x<a,

%y,力打

.?.a—x〉O.由柯西不等式，有（『+12）（4+—L_）>（1+_L）2?,由（*）得_1+，2芻②.

x（tz-x）xa-xxa-xa

故2（二+—得二+—當(dāng)且僅當(dāng)》=幺時(shí)取等號(hào)，由得

x（a-x）ax（a-x）a~2a

0<a<2/.amax=2.

解法8運(yùn)用結(jié)論“若6>/>???>，當(dāng)且僅

當(dāng)為，的，…，即成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào)?”2

(二一+」一]>[1^121]+_L_>_1,當(dāng)且僅當(dāng)x=a—x,即X二區(qū)時(shí)取等

{x-0a-x)["0Ja2x2(a-x)2a22

Q

號(hào),令今之2,得0<。<2/.amax=2.

評(píng)析v4+一二？2恒成立,-4+—二？2.故問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是求

22

x（a-x）[x-（a-x）-Jmin

-4+―二的最小值（關(guān)于。的式子）大于等于2的解.因而在0<x<a的條件下，如何求

x~m-X）

?4+'r的最小值成了問(wèn)題的關(guān)鍵.解法1運(yùn)用“兩個(gè)互為倒數(shù)的正數(shù)的和大于等于2”，

x（a-x）-

解法2運(yùn)用配方再放縮，解法3運(yùn)用均值不等式及“兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)

和平均值”，解法5運(yùn)用三角代換，解決了這一關(guān)鍵問(wèn)題.解法4巧妙地將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)

含參（a）一元二次不等式恒成立，求參數(shù)的范圍問(wèn)題，從而運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

解法6將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題處理.解法7、8則是運(yùn)用一些現(xiàn)成的結(jié)論（讀者可自己

證明），各種解法異彩紛呈，都值得細(xì)細(xì)品味.

拓展此題可作如下推廣：

推廣1若0<X]<尤2<…<X”T<a,則一7H--------7---1----------<當(dāng)且僅當(dāng)

2222

X,(x2-x])(a-x?_,)a

事,》2「一,苞1，。成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào)-

證明由已知，0<X[<x“-i<。，則》2-玉>0，與一》2>°，…，a—x._]>0.根據(jù)

柯西不等式及解法7運(yùn)用的不等式（*），有〃，?+--―r+-+一-~r

_x「（x2—X]）'{a—xn_{\

當(dāng)且僅當(dāng)修,％x,i,。成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào).

,A+1

推廣2若0<%</<-,?<xn_]<a,瓦wR*(i=1,2,?,?,n),kwN+，貝iJ-4r+

W—y當(dāng)…”等號(hào).

i=l

證明不妨設(shè)為=匹,0=/-七,%="X,T,M=由已知得%>0

i=\

〃〃〃〃h

(i=1,2,???,〃)且=a，令Cj=」~,貝I」，。=—1=1,由均值不等式，+

i=iaI=Iai=ici

___________ik+\

k

MCi+Mc:+--?+Mg>(k+1)業(yè)即J+kMc；>(k+1)(&,+b2+■-■+hn)-2，則

Z號(hào)+MZ2Q+1)(Z獷—，與2(口產(chǎn)，即a'Z與2(&產(chǎn)，

<=1Cii=\r=l<=1Cji=\i=lai?=i

n

（口嚴(yán)

b;=也時(shí)取等號(hào).

>^1—,當(dāng)且僅當(dāng)為=i=l

-(n

ha-X，

/=1i=\

k+k+

,bt'b2'b,：J-+/+~+2,嚴(yán)

kk

"x/x2(…“J-a

已知/(x)=log.e%(°片)，設(shè)a=/(

題6sm*os"),

b=/(jsin夕cos。),c=f[——列1"——],那么“、匕、c的大小關(guān)系是

()

(sine+cos。)

A、a<c<bB、b<c<aC^c<b<aD、a<b<c

(第八屆高二第一試第10題)

解法1設(shè)sine=p,cos6=q.?J海，而/(x)是減函數(shù)，

空卜/府)，視a￡b「屈&皇，，pq〈兇警,

2Pq<y]~pq..??2Pq]>即故選D.

p+q1P+口

解法2由題意,令嗯，則sin嗎，cos。等吟心竽

sin20_2sin6cose_3-43

Jsin6cos6=—?.?sine=；€(0,l),/(x)是減函數(shù),

2sin。+cos。sin6+cos。2

?1+V3V33-V3，產(chǎn)笆!</(扁在同〈/舄啜總,即…<0.

又----->—>------

422

故選D.

評(píng)析這是一個(gè)比較函數(shù)值大小的問(wèn)題，通常利用函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)/⑺單調(diào)遞增

X

(減)，則當(dāng)再<》2時(shí)，f(\)<f[.X2)(/(%))>f[x2)),當(dāng)2>%2時(shí)，/(尤1)>/(》2)

(/3)</(%)).因此解決問(wèn)題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是確定函數(shù)的單調(diào)性，二是確定自變量的大

小關(guān)系.解法1就是這樣解決問(wèn)題的.

因?yàn)檎_答案應(yīng)對(duì)一切(0,都正確，故又可以運(yùn)用特殊值法.對(duì)(0,內(nèi)的某個(gè)角

不正確的選擇支都是錯(cuò)誤的，由正確選擇支的唯一性，也可選出正確答案.解法2便是取特殊

值。=工，排除了A、B、C、而選D的.

6

當(dāng)然，此題也可用作差比較法來(lái)解：?.?ee(o卷)，.??Sin6e(o,l),「./(x)是單調(diào)減函數(shù),

?八八八八71sinO+cosC.r-r—^-----

sin>0,cos0>0.a-b=logsin^----------------log^^vsin^cos/9=

sin6+cos6

logsine-/.J八Wlogsine1=0，-.a<b.5Lb-c=log.Jsin-cos。-

“sincos。

isin23iJsin6cose,sin64-cos01八口n

logsin。———-=logsind九；二唾而夕./.八八二叫皿。1=。，即

smO+cos。2sin"cos92jsin6cos。

sin8+cos8

h<c,c,選D.

I(2、""9

題7已知4=3,不等式4<2的解是

A/2\3J4

(第三屆高二第二試第13題)

解原不等式即:<?.?指數(shù)函數(shù)0是減函數(shù)，。=七，.?.原不等式化為

即logJT>log］（正）

log尸>-2,又?.?對(duì)數(shù)函數(shù)log|X是減函數(shù)，.?小-1|

&42雙

EP|x-l|<2,解得-l<x<3.?.?對(duì)數(shù)函數(shù)logJT的定義域是xHl的實(shí)數(shù)，.?.原不等式的解

混

是-1<X<1或1cx<3.

評(píng)析此題涉及到指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、絕對(duì)值不等式的解法.解指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)

不等式的基本方法是同底法，即先將不等式兩邊的指數(shù)式或?qū)?shù)式化成底數(shù)相同的指數(shù)式或

對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)底數(shù)所屬區(qū)間是(0,1)或(1,+8),確定以該底數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)

的單調(diào)性，再去掉底數(shù)或?qū)?shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化成別的不等式.主要依據(jù)如下：

⑴若0<a<1,則a""<小"Qf(x)>g(x)；

⑵若a>1,則a"“<ag(A)Q/(x)<g(x)；

⑶若0<a<1,則log/"<log/(x)<=>/(x)>g(x)>0；

⑷若a>l,則log/"<log00</(x)<g(x).

有時(shí)需要將常數(shù)化為指數(shù)式或?qū)?shù)式，其化法如下：

(1)4=<:喀"(a>0,c>0,且cHl)；(化為指數(shù)式)

⑵a=logc。"(c>0,且cHl).(化為對(duì)數(shù)式)

例如，2=3啕2將常數(shù)2化為3為底的指數(shù)式，2=log3y將常數(shù)2化為3為底的對(duì)數(shù)式.

解指數(shù)不等式不需檢驗(yàn)，但解對(duì)數(shù)不等式必須保證解使得對(duì)數(shù)式有意義，這點(diǎn)常被忽略.

若一個(gè)指數(shù)不等式的指數(shù)部分是對(duì)數(shù)式，常常采用取對(duì)數(shù)法求解.

例不等式'>x的解集是—.

(第十一屆高二培訓(xùn)題第40題)

解兩邊取常用對(duì)數(shù)，得（lg4）2>lgX,即

-lg2x-lgx>0,1g2x-41gx>O,lgx<OsKlgx>4,/.0<x<1sKx>104.故所求解集是

4

（O,1）U（1O4,+-）.

應(yīng)當(dāng)指出，兩邊取對(duì)數(shù)后，不等號(hào)的方向變不變，關(guān)鍵看取的是什么底數(shù).如果底數(shù)大于

1,則不等號(hào)方向不變，如果底數(shù)大于0且小于1,則不等號(hào)方向改變.

關(guān)于絕對(duì)值不等式，主要是根據(jù)絕對(duì)值的兒何意義求解.下列結(jié)論應(yīng)當(dāng)理解并熟記（。為

常數(shù)）.

⑴兇<4（4《0）的解集是歐；

(2)|x|<a(a>0)的解集是(-a,a)；

⑶|x|〉a（a<0）的解集是R

（4）|x|>a（a>0）的解集是（-~,-a）U.

下列題目供練習(xí)：

⑴已知常數(shù),則不等式（tane）*">（cot。）一的解集是.

（第八屆高二第一試第16題）

⑵若函數(shù)/（x）=1og22）（log24）的定義域是不等式2log,x+71o