高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2（課時(shí)訓(xùn)練）：12 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)算法則（一）

h預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)i挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c（c為常數(shù)），y=x,y=尸也的導(dǎo)數(shù).

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

［知識鏈接］

在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用

導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)

在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y=/U）的導(dǎo)數(shù)？

答（1）計(jì)算案，并化簡；

⑵觀察當(dāng)Ax趨近于0時(shí)，空趨近于哪個(gè)定值；

（3）友趨近于的定值就是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù).

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

I.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

yu）=c（c為常數(shù)）f(x)=0

Ax)=xf(x)=l

.*X)=%2fW=2x

1AX）=：f（”）=T

,*%)=正/⑴-2m

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/U）=c（c為常數(shù)）fW=Q

/U)=k(aGQ*)f（九）=退」

fix)=sinxf(x)=cosX

fix)=cosXf'(x)——sinx

7U)=Q'f(x)=a^\n_a(a>0,且aWl)

fix)=exf'。）=重

fi.X)=lOgaX/⑴―仙）腫＞°'且

?x)=ln尤fu)=7

要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)_/U）=2013/的導(dǎo)數(shù).

,.2013(x+Ar)2—2013上

解于“)11叫x+Ax-x

2013[X2+2X-AX+(AJC)2]-2013X2

m

4026x9+20133)2

=駟--------瓦--------

=則)(4026x+2013Ax)

=4026x.

規(guī)律方法解答此類問題，應(yīng)注意以下幾條：

(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟.

⑵當(dāng)Ar趨于0時(shí)，》Ax(kGR)、(△?"(〃GN*)等也趨于0.

(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用.

跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=x2+or+//b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

s,(x+Av)2+a(x+Ax)+/?—(x2+ar+/?)

解(=姻1)---------------a----------------------

x2+2x-Ax+(Ax)2+ar+6f-Ax+/?—x2—ar—/?

=則)-------------------a-------------------

2x-Ax+tz-Ax+(Ax)2

=Jin^(2x+a+Ax)=2x+a.

要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴尸sin1；(2?=5七⑶尸，；(4)尸依；(5)y=log3龍.

解⑴曠=0；

(2)y'=(5A)Z=5'In5；

⑶y，=(x-3)/=-3x-4；

4y/x

(5)y,=(log3切二七

規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：

(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；

(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問題

的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.

跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(l)y=%8；(2)y=g｝；(3)y=x\5；(4)y=log|x

解⑴曠=8/；

(2/=(如尹一枷12；

（4）V=-r=_jdn3'

xln3

要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程

例3求過曲線3；=5吊》上點(diǎn)P值，§且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程.

解?.?y=sinx,.\yr=cosx,

曲線在點(diǎn)尼，，處的切線斜率是：

,,71兀近

y|x=6=cos6=2-

2

，過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為一力,

故所求的直線方程為y—3

即2%+小y-乎話=0.

規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率

乘積等于一1是解題的關(guān)鍵.

跟蹤演練3已知點(diǎn)尸（一1,1）,點(diǎn)Q（2,4）是曲線上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平

行的曲線的切線方程.

解f=（X2）/=2x,設(shè)切點(diǎn)為M（xo,yo）,

1

則y|X=JW=2XO,

4—1

又的斜率為攵=干=1,而切線平行于產(chǎn)。，

.'.k=2xo=l,即無o=:,所以切點(diǎn)為朋（；，：）.

二所求的切線方程為y—1=x—3，即4x—4>-1=0.

1.已知yu）=f,則/（3）=（）

A.0B.lx

C.6D.9

答案C

解析V/(x)=x2,：.f(x)=2x,：.f(3)=6.

2.函數(shù)/U)=5，則(3)等于()

A.坐B.0

_LD勺

Cc2而D.:

答案A

解析?"(x)=g)'=赤，⑶=赤=*-

3.設(shè)正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線/,則直線/的傾

斜角的范圍是()

兀］「3兀、

A.［o,4M彳,可B.[0,7i)

「兀3兀一-兀1「兀3兀

C.4,TD.o,au5T

答案A

解析,..(sin九)'=cosx,ki=cosx,，一iWkWl,

.「c兀］「3兀、

?.a/G0,aU彳，71I.

4.曲線y=^在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

答案.

解析=(力'=ex,.".k=e2,

二曲線在點(diǎn)(2,e?)處的切線方程為y—e2=e2(x—2),

即y=e2》一e?.當(dāng)尤=0時(shí)，y=~e2,當(dāng)y=0時(shí)，x=l.

22

"'-SA=^X1x|—e|=1e.

1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和

運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.

2.有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo).

如求y=1—2sin?1'的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閥=1—2sin2^=cosx,

所以y'=(cosx)'=—sinx.

3.對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化.

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

119

①y=ln2,則y'=］；②y=9,則孱3=一3；③y=2L則y'=2vln2；④

y=log2x,貝Uy'

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析①y=ln2為常數(shù)，所以y'=0.①錯(cuò).②③④正確.

2.過曲線＞=:上一點(diǎn)P的切線的斜率為-4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.g2）B.J，2）或

（T-2）

C（T-2）D,&-2）

答案B

解析y'=（：），=—^=—4,尤=土;，故選B.

3.已知兀r）=K,若（一1）=-4,則a的值等于（）

A.4B.-4

C.5D.-5

答案A

解析/(%)=西「|，f(―l)=a(—l)a-l=—4,a=4.

4.函數(shù)凡r）=/的斜率等于1的切線有（）

A.1條B.2條

C.3條D.不確定

答案B

解析（x）=3/，設(shè)切點(diǎn)為（xo,>,（））,則3x3=1,得xo=土坐，即在點(diǎn)G尊，乎）

和點(diǎn)（一坐，一害）處有斜率為1的切線.

9

5.曲線在點(diǎn)M（3,3）處的切線方程是.

答案x+y—6=0

9

解析''y'.'.y'\x=3=—l,

二過點(diǎn)（3,3）的斜率為一1的切線方程為：

y-3=-（x-3）即x+y-6=0.

6.若曲線>=》一；在點(diǎn)（。，。一3處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

18,則“=.

答案64

113

解析?.?y=x-???〈=_/一￡，

???曲線在點(diǎn)（d〃一,處的切線斜率攵=-%一方,

、、113

,切線方程為y—a~2=~2a~2^x~'

31

令x=0得y=/a—]；令y=0得x=3a.

?..該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

。1c3191,0.

]=不巧=18,..a=64.

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴產(chǎn)海；（2）y=+；（3）y=-2sin,一2cos?

(4)y=log2X2—logw.

解(A，=(H>=聞’1=23十?

(2)y=(%)'=(%一4)'=-4X"4-1=-4x~5=

(3)：y=-2sin，(l—2cos尊

=2sin42cos號-l)=2sin5cos5=sinx,

二?y'=(sinx)r=cosx.

(4)Vy=log2X2-10g2X=10g2X,

"=(log2X)z=1廳

二、能力提升

8.已知直線＞=丘是曲線了=^的切線，則實(shí)數(shù)Z的值為（）

A.-B.-

e

C.—eD.e

答案D

yo=kxo

yo=exo

{k=cxo.

??exo-cxo,xo9??xo—1,??Z=e.

TT

9.曲線y=lnx在x=a處的切線傾斜角為a，則a=.

答案1

解析y'=p'-y'k=a=^=l,.*.a=l.

10.點(diǎn)尸是曲線y=e'上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x的最小距離為

答案坐

解析

根據(jù)題意設(shè)平行于直線y=x的直線與曲線y=e，相切于點(diǎn)(xo,yo),該切點(diǎn)即為

與y=x距離最近的點(diǎn)，如圖.則在點(diǎn)(xo,泗)處的切線斜率為1,即y'|x=1w=

1.

力'=(力'=e\

/.exo=L得xo=O,代入＞=以得yo=l,即P(0,l).利用點(diǎn)到直線的距離公式

得距離為乎.

11.已知?x)=cosx,g(x)=x,求適合/'(x)+g'(x)W0的X的值.

解v/x)=cosx,g(x)=%，

'.f'(x)=(cos?=—sinx,g'(x)=x'=1,

由f(x)+g'(x)W0,得一sinx+lWO,

即sinx21,但sinxG[—l,l],

..sinx~1????V=2ATI+/,ZGZ.

12.已知拋物線y=f,直線》一》—2=0,求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離.

解根據(jù)題意可知與直線x—y—2=0平行的拋物線y=/的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到

直線x—y—2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,xo),則y'|x=xo=2xo=l,

所以xo=今所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(；，；),

切點(diǎn)到直線x—y—2=0的距離

1-1-2

,2427^r2

"=蛆=8，

所以拋物線上的點(diǎn)到直線九一y—2=0的最短距離為平.

三'探究與創(chuàng)新

13.設(shè)力(x)=sinx,fi(x)=fro(x),i(x),—,■+?)=/'心)，〃金N,

試求力014(X).

解/i(x)=(sinx)'=cosx,

fi(x)=(cosx)'=—sinJC,

力(x)=(_sinx)'=—cosx,

戶(x)=(—cosx)'=sinx,

,方(x)=(sinx)'=/i(x),

f6(X)=f2(X),",

fn+4(x)=fn(x),可知周期為4,

.".f2oi4(x)=fi(x)=—sinx.

1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二)

尹預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)餐挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)___________________________________________________________

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.

2.理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的

導(dǎo)數(shù).

3.能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).

［知識鏈接］

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做

起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松.我們己經(jīng)會求加)=5和g(x)=1.05x等基

本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求/U)與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？

答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

法則語言敘述

兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或

[/(X)±g(x)]'=f'(x)±/(x)

差)

兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函

[/u>ga)r=?⑶云制+心)火’a)

數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

_f(x)g(x)一./)，(x)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘

S(x)WO)

[g(X)F上分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)一般地，對于兩個(gè)函數(shù)和"=g(x),如果通過變量〃，y可以表示成x的函數(shù),

的概念那么稱這個(gè)函數(shù)為y=A")和"=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/l?(x))

復(fù)合函數(shù)y=Xg(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)“=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為="?"

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積

尹課堂講義i重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破___________________________________________________________

要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)產(chǎn)丁一微+3；

(2)y=(f+l)(x—1)；

(3)y=3v-lgx.

解(l)y'=(爐)'一(2x)'+3'=3f—2.

(2)'/y=(x2+l)(x—l)=x3—A2+X—1,

.'.y'=。3)'—(x2)'+無，-1'=3x2—2x+1.

(3)函數(shù)y=3*—Igx是函數(shù)7U)=3x與函數(shù)g(x)=]gx的差.由導(dǎo)數(shù)公式表分別得

出了'(x)=3*ln3,g'(》)=舟而，利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得

(3，-lgx)'=f(x)-g'(x)=3'ln3-^o.

規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和(差)的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系

基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)

化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù).

跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=5—4/；(2)y=+xcosx；

(3)y=ev-lnx；(4)y=lgx-^.

解⑴曠=-12^；

(2)y'=(3f+xcosx)'=6x+cos%—xsinx；

(3)y，=&+e，lnx；

,1,2

⑷丁=xln1。+/

要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=ln(x+2)；

(2)y=(l+sinx)2；

解(l)y=lna,“=x+2

??y'x—y'u-u'x=(ln")，.(x+2)，=7+2,

(2)y=i?,u=1+sinx,

.'.yx'=yu'-ux=(〃2)'?(l+sinx)，

=2M-COSX=2COSx(l+sinx).

規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

(1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu).

(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量的求導(dǎo).

(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo).

(4)善于把一■部分表達(dá)式作為一■個(gè)整體.

(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù).熟練后，就不必再寫中間步驟.

跟蹤演練2(l)y=e^+1；

⑵y=(g2)2.

解(l)y=e",“=2x+l,

：.y'x=y'u-u'x=(ew)/?(2x+l)/=2e,,=2e2-v+l.

⑵法一,.?>=(5—2)2=x—45+4,

：.y'=x'—(4也)，+4Z

112

=1-4X^-^=1—F.

法—令u=yj'x-2,

貝ijyj=2（小一2）?（5-2）'=

2g2）鼠-。）=1一表

要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例3求過點(diǎn)（1,一1）與曲線式》）=V一2%相切的直線方程.

解設(shè)P（x（）,yo）為切點(diǎn)，則切線斜率為

k=f（xo）=3x6—2

故切線方程為y—yo=（3X6—2）（x—xo）①

（xo,"）在曲線上，，〃尸向一2x（）②

又；（1,—1）在切線上，

.,.將②式和（］,—1）代入①式得

-1一（向-2ro）=（3xB-2）（1-xo）.

解得xo=1或xo=一2.

故所求的切線方程為y+l=Ll或y+l=—永x—l）.

即x—y—2=Q或5x+4y—1=0.

規(guī)律方法（1,—1）雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該

點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解.

t—1

跟蹤演練3已知某運(yùn)動著的物體的運(yùn)動方程為s⑺=干+2戶（位移單位：m,

時(shí)間單位：s）,求f=3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度.

解⑺=^^+2-=}-/+2產(chǎn)=;—}+2尸，

0）=-"+2$+"

?"（3）=力1京2+12=芳323，

即物體在，=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為3若23m/s.

F當(dāng)堂檢測J當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功

1.下列結(jié)論不正確的是（）

A.若y=3,則>'=0

B.若人幻=3尤+1,則/(1)=3

C.若丁=一m+x,則y'

D.若y=sinx+cosx,則y'=cosx+sin九

答案D

解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解.D,Vy=sinx+cosx,

".y'=(sinx)'+(cosx)'=cos%—sinx.

2.函數(shù)^=高的導(dǎo)數(shù)是()

—sinx+xsinx

A.

(LX)2

B.

xsin尤一sinx-cosx

(If?

cosx-sinx+xsin無

c

(LX)2

D.

cosx-sinx+xsinx

\—x

答案c

的士U,(cosx\,(-sinA-)(l-x)-cosx\-1)

解析y=L—J=---------f---------

cosx-sinx+xsinx

(1—X)2-

Y

3.曲線y=壬在點(diǎn)(一1,一1)處的切線方程為()

A.y=2x+1B.y=2x—1

C.y=-2x~3D.y=-2x+2

答案A

物垢..,[(X+2)-MX+2)'2

解析?'=正?=(7+2?)

_2

?'-k=yk=-i=(_]+2)2=2,

二切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+l.

4.直線是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b=.

答案In2-1

解析設(shè)切點(diǎn)為(xo,"),

..,=1.1=1

?y、.,廣怎)，

/.xo=2,/.yo=ln2,In2=^X2+/?,.*./?=ln2—1.

課堂小結(jié)

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法

則求導(dǎo)數(shù).在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適

當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、

瞬時(shí)速度等問題.

尹分層訓(xùn)練解疑糾偏，訓(xùn)練檢測

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.設(shè)y=-2e，sinx,則等于()

A.—2e^cosxB.—2evsinx

C.2cAsinxD.-2ev(sinx+cos

幻

答案D

解析yf=-Zle^sinx+e'cosx)=-2ev(sinx+cosx).

x2+/

當(dāng)函數(shù)(。>在%處的導(dǎo)數(shù)為時(shí)，那么

2.y=--A.-0)=xo0xo=()

A.aB.±a

C.—aD.a2

答案B

岳匚，2

解R析+=1—/=一Ix-x—9^一+a)x1—cr,

由JCB一屋=0得xo=±a

x~\~1

3.設(shè)曲線y==在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線分+)，+1=0垂直，則a等于()

A.2B.2

C.-2D.—2

答案D

解析\'y='~r—1+r,

x—1x—1

?/2.___1

**y-&_])2???y卜=3-2,

/e—4=2,即Q=-2.

4.已知曲線y=T在點(diǎn)尸處的切線斜率為Z,則當(dāng)攵=3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-2,-8)-1)或(1,1)

C.(2,8)D.(一今-1)

答案B

解析y'=3/,,:k=3,/.3X2=3,/.X=±1,

則P點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,一1)或(1,1).

5.設(shè)函數(shù)火x)=g(x)+N,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(l))處的切線方程為y=2x+l,

則曲線y=_Ax)在點(diǎn)(1,_/0))處切線的斜率為.

答案4

解析依題意得了'(x)=g'(x)+2x,

/⑴=g，(l)+2=4.

6.已知|x)=￥+34'(0),則/(1)=.

答案1

解析由于/（0）是一常數(shù)，所以，a）=f+3/'（0）,

令x=0,則f(0)=0,

"⑴=12+3/(0)=1.

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=(2r2+3)(3x-l)；

小.xx

(2)y=x—sin]cos,

解⑴法一y'=(2?+3)'(3x-l)4-(2x2+3)(3x-l)/=4x(3x—1)+3(2/+3)

=18%2—4x4-9.

法二Vy=(2x2+3)(3x-l)=6x3-2x2+9x-3,

.'.y'=(6x3—2x2+9x—3)z=18/—4x+9.

小、一

(2).y=x—si.nx5cosX/=x—]1si.nx,

.".y1=x'-(gsinj，=]一/cosx.

二、能力提升

8.曲線產(chǎn)一；2短：4在點(diǎn)端'0)處的切線的斜率為()

A--2B.1

C.一乎D.乎

答案B

物,_cosx(sin元+cosx)—sinx(cosx-sin%)_______1______

，(sinx+cosx)2(sinx+cosx)2'

曲線在點(diǎn)陪，o）處的切線的斜率為g.

4

9.已知點(diǎn)尸在曲線m?上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a的取

值范圍是（）

Knn

A.[0,4)B.耳,2)

C.芻y]D.傳，兀)

答案D

vr

解析>'=一百4e看=一彘/4存e7,設(shè)/=e'￡（°，+8），則y'At

尸+2r+1

——7-,"：t+^2,：.y'G[—1,0）,aS[普，兀）.

r+y+2

10.(2013?江西)設(shè)函數(shù);(x)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且4ex)=x+e\則/(1)=.

答案2

解析令則x=lnf,所以函數(shù)為〃)=lnf+f,即?x)=lnx+x,所以/'(x)

=:+1，即/'(1)=；+1=2.

11.求過點(diǎn)(2,0)且與曲線y=V相切的直線方程.

解點(diǎn)(2,0)不在曲線>=好上，可令切點(diǎn)坐標(biāo)為(加，意).由題意，所求直線方程

的斜率Z=?^=y'|x=xo=3x8,即0=3x6,解得x()=0或xo=3.

xo—2,犬()-2

當(dāng)xo=O時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),斜率上=0,則所求直線方程是y=0；

當(dāng)xo=3時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(3,27),斜率％=27,

則所求直線方程是y—27=27(x—3),

即27x—y—54=0.

綜上，所求的直線方程為y=0或27x—y—54=0.

12.已知曲線大x)：%3一?》，過點(diǎn)A(0』6)作曲線_/U)的切線，求曲線的切線方程.

解設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),

則由導(dǎo)數(shù)定義得切線的斜率％=/'(xo)=3焉一3,

二切線方程為J=(3A8—3)x+16,

又切點(diǎn)(xo,yo)在切線上，

.,.yo=3(而一l)xo+16,

即蛭-3xo=3(x6—l)xo+16,

解得xo=-2,

二切線方程為9x—>1+16=0.

三、探究與創(chuàng)新

13.設(shè)函數(shù)1x)=ax-&曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,犬2))處的切線方程為7x—4y—12

=0.

(1)求/U)的解析式；

(2)證明：曲線y=Ax)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形

的面積為定值，并求此定值.

7

(1)解由7x—4y—12=0得了=甲：一3.

當(dāng)尤=2時(shí)，y=1,.*.y(2)=1,①

b

又，(x)=a+9,

7

■-f(2)=4，②

Jb1

2a—5=]

由①，②得＜/[

a+吼工

卜十44'

解之得J[a=\.

3

故兒￥)=》一..

(2)證明設(shè)P(xo,泗)為曲線上任一點(diǎn)，由y'=1+5知

曲線在點(diǎn)P(xo,加)處的切線方程為

y—yo=(l+^(%—xo),

即＞一1°_￡|=11+高(》一.).

令尤=0得y=—從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,一§.

令y=x得y=x=2xo,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xo,2xo).

所以點(diǎn)P(xo,泗)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為g—3\2xo\=

6.

故曲線y=/（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定

值，此定值為6.

1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)算法則（一）

?預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)J挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c（c為常數(shù)），y=x,>=/,y=也的導(dǎo)數(shù).

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

［知識鏈接］

在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用

導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)

在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y=?r）的導(dǎo)數(shù)？

答（1）計(jì)算會，并化簡；

⑵觀察當(dāng)1趨近于0時(shí)，言趨近于哪個(gè)定值；

（3）都趨近于的定值就是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù).

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

式x）=c（c為常數(shù)）f'(x)=0

於)="rw=i

f

1A%)=?U)=2x

人工）=（

網(wǎng)=疝f

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

凡r）=c（c為常數(shù)）f?=0

_/U)=f(aWQ*)f(x)=ax￡!

J(x)=smxf(x)=cosX

/(x)=cosxf'(x)=_sin_x

7(x)=〃f'(x)=d'lna(a>0,且aWl)

力>)=^f(x)=e

y(x)=iog?x，（無）一二胖＞°,且a"】）

Xx)=lnx/(x)=}

守課堂講義I重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破_____________________________________________

要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)1x）=2013/的導(dǎo)數(shù).

2013。+以)2—2013』

解/a）=L甌

2O13[X2+2X-Z\X+(AA02]-2013%2

=駟&

4026x?Ax+2013(4x)2

=則(4026x+2013Ax)

=4026x.

規(guī)律方法解答此類問題，應(yīng)注意以下幾條：

(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟.

⑵當(dāng)Ax趨于0時(shí)，取5伙WR)、(Ax)"(〃GN*)等也趨于0.

(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用.

跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)>=<+依+雙。，〃為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

?,(x+^x)1+a(x+^x)+b—(x1+ax+b)

解)=1^—一一七-------

f+irAx+lAxy+ar+aAx+Z?—%2一以一〃

=如-------------------a-------------------

2X-Z\X+(2-AX+(AX)2

=如&

=]in^(2x+a+Ar)=2x+a.

要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)尸sin$(2)y=5'；⑶尸土；(4?=蛇；(5)y=log3X.

解(l)y'=0；

(2)y'=(5、)'=5vln5；

(3)y'=(x3)z=-3x-4；

(5》=(log3x)，=焉

規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：

(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；

(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問題

的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.

跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(l)y=x\(2)y=(g)；(3)y=x\&；(4)y=log|x.

解（i）y'=8/；

要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程

例3求過曲線〉=511尢上點(diǎn)§且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程.

解Vy=sinx,/.y,=cosx,

曲線在點(diǎn)端，0處的切線斜率是:

,I冗兀也

y戶［COS12.

2

過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為一而

故所求的直線方程為

即2x+小y-乎一鼻=0.

規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率

乘積等于一1是解題的關(guān)鍵.

跟蹤演練3已知點(diǎn)P(—l,l),點(diǎn)Q(2,4)是曲線上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平

行的曲線y=f的切線方程.

解,->>=(，)'—2x,設(shè)切點(diǎn)為M(xo,yo),

則y'|x=xo=2xo,

4—1

又：尸。的斜率為4=干=1,而切線平行于PQ,

.'.k=2xo=\,即xo=5，所以切點(diǎn)為

二所求的切線方程為y—(=x—即4x—4y—l=0.

歹當(dāng)堂檢測:當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功

1.已知_/U)=f，則/(3)=()

A.0

C.6

答案C

解析V/x)=x2,：.f(x)=2x,：.f(3)=6.

2.函數(shù)yu)=5，則/'(3)等于()

°，2y1x

答案A

解析（x）=（也）'=2也，?"⑶=

3.設(shè)正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線/,則直線/的傾

斜角的范圍是（）

兀］「3兀、

A.0,aU了,可B.［0,兀）

c:

J|_4'

答案A

解析：（sin九）'=cosx,ki=cosx,二一iWhWl,

.「c兀］「3兀A

?.a/G0,aUI，71I.

4.曲線y=^在點(diǎn)（2,e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

答案上

解析=(ex)/=e%,：.k=e2,

二曲線在點(diǎn)(2,e?)處的切線方程為y—e2=e2(x—2),

即y=e2x—e?.當(dāng)尤=0時(shí)，j?=—e2,當(dāng)y=0時(shí)，x=l.

22

?'-5A=^X1x|—e|=^e.

課堂小結(jié)

1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和

運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.

2.有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo).

如求y=l—2si若的導(dǎo)數(shù).因?yàn)椋?=1—2sin21=cosx,

所以y'=（cosx）'=—sinx.

3.對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化.

尹分層訓(xùn)練解疑糾偏，訓(xùn)練檢測

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

119

①y=ln2,則=2；②y=/，則>'1=3=一或；③y=2L則；/=2vln2；④

y=log以，則曠=焉.

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析①y=ln2為常數(shù)，所以y'=0.①錯(cuò).②③④正確.

2.過曲線>=:上一點(diǎn)尸的切線的斜率為-4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.&2）B.&2）或

C.(T—2)D.&-2)

答案B

解析y'=(；)=—^=-4,x=±1,故選B.

3.已知九x）=K,若/'（一1）=-4,則a的值等于（）

A.4B.-4

C.5D.-5

答案A

解析/'(x)=aKf(—l)=a(—l)fl'=-4,a=4.

4.函數(shù)段)=爐的斜率等于1的切線有()

A.1條B.2條

C.3條D.不確定

答案B

解析：/'(x)=3f,設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則3xS=l,得次=土坐即在點(diǎn)(當(dāng)，平)

和點(diǎn)(—坐，—平)處有斜率為1的切線.

9

5.曲線在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是.

答案x+y—6=0

9

解析???=—/..?/|工=3=—1,

???過點(diǎn)(3,3)的斜率為一1的切線方程為：

y—3=一(九一3)即x+y-6=0.

6.若曲線在點(diǎn)(。，。一目處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

18,則。=.

答案64

113

解析\'y=x-y???〈=一＞一,

???曲線在點(diǎn)(a,4—；)處的切線斜率4=—%一方，

113

?二切線方程為,_〃_/=_呼_2(九一。).

3

-

令x=0得y2令y=0得x=3a.

..?該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

13191

S=5?3%a—5=7叼=此/.a=64.

7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴產(chǎn)洞(2)y=$；(3)y=-2sin2cos》

(4)y=log2X2—logzx.

解(3=你?)'=(用'=需一1=1"一,=十.

5爐

=2sin32cos號-"XX

=2sin5cosy=sinx,

*.y'=(sinx)'=cosx.

(4)*/y=logzx2-log2X=1og2X,

=(10gw),=*？

二、能力提升

8.已知直線＞=區(qū)是曲線丁=^的切線，則實(shí)數(shù)%的值為（）

A.!_1

eB.e

C.一eD.e

答案D

yo=kxo

yo=exo

{k=cxo.

??exo=exo'Xo,??xo=1,??Z=e.

TT

9.曲線y=lnx在x=a處的切線傾斜角為a，則a=.

答案1

解析y'=；,-"-)>'|x=a=：=l,：.a=l.

4Cl

10.點(diǎn)尸是曲線y=e，t上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=1x的最小距離為

答案坐

解析

根據(jù)題意設(shè)平行于直線y=x的直線與曲線y=ex相切于點(diǎn)(次，刈)，該切點(diǎn)即為

與^=%距離最近的點(diǎn)，如圖.則在點(diǎn)(xo,州)處的切線斜率為1,即y'卜=尤0=

1.

''y'=e)'=eS

/.exo=l,得xo=O,代入y=H得yo=l,即尸(0,1).利用點(diǎn)到直線的距離公式

得距離為乎.

11.已知?x)=cosx,g(x)=x,求適合/(x)+g'(尢)<0的X的值.

解:於)=COSX,g(x)=x,

:?f(x)=(cosx)'=—sinx,g'(x)=xr=1,

由f'(x)+g'(x)W0,得一sinx+1W0,

即sin121,但sinx^[—1,1],

兀

/.sinx=1,.'.x—2kn+^,%ez.

12.已知拋物線y=f,直線x-y—2=0,求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離.

解根據(jù)題意可知與直線無一y—2=0平行的拋物線的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到

直線x—y—2=0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x(),xB),則y'|x=xo=2xo=l,

所以xo=；,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(g,；),

切點(diǎn)到直線x—y—2=0的距離

1-1-2

,2427^r