高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：第三節(jié)圓的方程

第三節(jié)圓的方程

考綱解讀

1.掌握確定圓的三個(gè)條件、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，利用待定系?shù)法求出圓的方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)

解與圓有關(guān)的問題.

命題趨勢探究

高考中與圓有關(guān)的問題主要是圓的方程的求解，四種方程中標(biāo)準(zhǔn)方程是運(yùn)用最廣泛的，

因?yàn)樗芊从硤A的幾何特征（圓心和半徑），通常用待定系數(shù)法求圓的方程.

有關(guān)圓的考題，多在選擇題、填空題中結(jié)合參數(shù)方程、極坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查標(biāo)

準(zhǔn)方程和一般方程，難度不大，有時(shí)也將圓融入圓錐曲線中作為解答題考查.

預(yù)測2019年高考本專題會(huì)主要考查：

（1）結(jié)合直線方程，用待定系數(shù)法求圓的方程.

（2）利用圓的幾何性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

知識(shí)點(diǎn)精講

一、基本概念

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.

二、基本性質(zhì)、定理與公式

1.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x—a）2+（y—6）2=產(chǎn)，圓心坐標(biāo)為色力），半徑為r（r>0）

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+￡2-4F>0),圓心坐標(biāo)為

*3半徑”y1D2+E2-4F

2

（3）圓的直徑式方程：若4（內(nèi)，必）,8（%2，%），則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-玉)0-)+(y-y)(y-%)=o

(4)圓的參數(shù)方程：

x=rcos?

①一+丁2=t2(t>0)的參數(shù)方程為4(。為參數(shù));

y=rsin0

…,fx=a+rcosO,.

②（x-0）92+（y-。）2=產(chǎn)（r>O）的參數(shù)方程為4（。為參數(shù)）.

y-b+rsind

注對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為

（a+rcosaO+rsin。）（8為參數(shù)，（a力）為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三

角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最

值.

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

（1）點(diǎn)—（%，%）與圓（x-a）2+（y-b）2="的位置關(guān)系:

①(x-a)2+(y-b)2>r2=點(diǎn)P在圓外；

②(x-a)?+(y-0)2=r2o點(diǎn)P在圓上；

@(x-a)2+(y-b)2<r2o點(diǎn)尸在圓內(nèi).

22

(2)點(diǎn)P(x0,y0)與圓x+y+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系：

①x：+y；+"o+EVo+尸>°o點(diǎn)尸在圓外；

②x：++Dx(}+Ey0+尸=。o點(diǎn)P在圓上；

③+y：+法。+Ey()+E<0o點(diǎn)尸在圓內(nèi).

題型歸納及思路提示

題型125求圓的方程

思路提示

(1)求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓

心坐標(biāo)3步)和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn).因此，待定系數(shù)法是求

圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂

直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

例9.17根據(jù)下列條件求圓的方程：

(1)AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(-l,5),8(-2,-2),C(5,5),求其外接圓的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)4(6,5),B(0,1),且圓心在直線3x+10y+9=0上；

(3)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,4),Q(3,-1),且在x軸上截得的弦長等于6.

變式1在平面直角坐標(biāo)系xO），中，曲線y=x2-6x+l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C

的方程

例9.18（1）（2016?天津）已知圓。的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)在圓C上，且圓心

4^5

到直線2L），=0的距離為個(gè)一，則圓C的方程為.

（2）（2015?課標(biāo)全國I）一個(gè)圓經(jīng)過橢圓器+千=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則

該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

變式1求與x軸相切，圓心在直線3x-），=0上，且被直線x-），=0截得的弦長為的圓的方

程

例9.19圓/+y?—2x—1=0關(guān)于直線2x?y+3=0對稱的圓的方程是()

A.(x+3)2+(y—2)2=；B.(x—3)2+(y+2)2=；

C.(x+3)2+(y—2>=2D.(x—3)2+(y+2)2=2

變式1若不同兩點(diǎn)PQ的坐標(biāo)分別為，(a,份,(3-。,3-。),則線段2。的垂直平分線/的斜

率為,圓。一2>+(y—3>=1關(guān)于直線/對稱的圓的方程為

題型126直線系方程和圓系方程

思路提示

求過兩直線交點(diǎn)(兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn))的直線方程(圓系方程)一般不需求其交

點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程(圓系方程).

(I)直線系方程：若直線人：A/+gy+G=0與直線/2：4工+82丁+。2=0相交于

點(diǎn)P,則過點(diǎn)P的直線系方程為：

4(A/+B[y+C])+%?(A,x+B,y+C?)=0(4+4；￥0)

簡記為:M+弘=。(若+若n0)

當(dāng)470時(shí)，簡記為：/j+〃2=o(不含4)

(2)圓系方程：若圓G：x2+)'+Rx+E],+6=0與圓

。2：/+V+。2%+七2丁+工=0相交于A,B兩點(diǎn)，則過A.B兩點(diǎn)的圓系方程為：

x~+y~+D[X+E]_y+￡+4(x~+)/+D、x+E2y+)=0(A-1)

簡記為：C,+AC2=0(A^-l),不含。2

當(dāng)A=-l時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)

X

I:(D,-D2)+(E(-E2)y+Fi-F2=0

注與圓C共根軸/的圓系C/:。+刀=0

例9.20(1)設(shè)直線4:x—y+l=0與直線4：2x+y+2=0相交于點(diǎn)P,求過點(diǎn)P且與直

線&：2尤一3y-1=0平行的直線乙的方程.

(2)求圓心在直線3x+4y—l=0上且過兩圓/+y2-x+y-2=0與V+y2=5

的交點(diǎn)的圓的方程.

變式1過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x—4y+l=0的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程

是_________

變式2(1)設(shè)直線乙：x—y=O與直線4：x+y—4=0相交于點(diǎn)P,求過點(diǎn)P且與直線

h：3x+4.y+5=0垂直的直線)的方程.

(2)已知圓C:X?+丁-2x-4y-m=0,若直線/:x+y—2=0與圓C相交于A,8

兩點(diǎn)，且Q4LO3(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求，〃的值和以A8為直徑的圓的方程.

題型127與圓有關(guān)的軌跡問題

思路提示

要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x,y的等量關(guān)系,根據(jù)題目條件,

直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

例9.21（2016?天津模擬）設(shè)定點(diǎn)軟一3,4）,動(dòng)點(diǎn)及在圓V+/=4上運(yùn)動(dòng)，以?；餅閮?/p>

邊作平行四邊形，姒W,求點(diǎn)尸的軌跡.

變式1在A43C中，若A6=2,AC=垃BC,則SMBC的最大值為

例9.22如圖9-11所示，已知P(4,0)是圓/+丁=36內(nèi)的一點(diǎn)，A,B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿

足NAP8=90°,求矩形AP8。的頂點(diǎn)。的軌跡方程

圖9/1

變式1已知圓V+y2=4上一定點(diǎn)42,0),8(1,1)為圓內(nèi)的一定點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段AP中點(diǎn)”的軌跡方程；

(2)若NPBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡.

變式2已知點(diǎn)尸(0,5)及圓C:x2+y2+4x-i2y+24=0

(1)直線/過P且被圓C截得的線段長|A81=4百，求/的方程;

(2)求過點(diǎn)尸的圓C的動(dòng)弦的中點(diǎn)M的軌跡方程.

題型128用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

思路提示

方程/+/+瓜+4+尸=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0,故在解決圓

的一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為

f-—1,半徑「=!」。2+￡2-4人

1222

例9.23方程%?+y?+。工+2。）,，+2〃+。-1=0表示圓，則a的取值范圍是（）

D2

A.(-co,-2)Bvr0C.(-2,0)VI

評注對于用二元二次方程表示圓的方程的充要條件的不等式不需要記憶,只需通過配方,

然后讓右邊大于零即可

變式1方程/+：/+4蛆-2y+4根=0表示圓的方程的充要條件是（）

A.meB.me(1,-KX))

C.加D.mGju(l,+°o)

變式2若圓/+；/+(/-1h+2分一。=0關(guān)于直線x—y+l=O對稱，則實(shí)數(shù)。的值為

題型129點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

思路提示

在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外

還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

例9.24若點(diǎn)A(l,l)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-l,l)B.(O,1)C.(-.oo,-l)U(l,+oo)D.{-1,1}

評注判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的代數(shù)方法為

22

若點(diǎn)P(x0,y0)在圓上，則((-a)?+(y0-b)=r；

若點(diǎn)P(x0,y0)在圓外則(％—a)?+(%—少>產(chǎn);

若點(diǎn)「(公,九)在圓內(nèi)，則(與一。)2+(九一份2〈產(chǎn).

反之也成立.

變式1點(diǎn)A(1,O)在圓/-2ax+a2+3“-3=0上，則〃的值為

變式2過占尸(1,2)可以向圓x2+y2+2x—4y+&-2=0引兩條切線，則k的范圍是()

A.(-oo,7)B.(0,7)C.(3,7)D.(5,+oo)

題型30與圓有關(guān)的最值問題

思路提示

解決此類問題，應(yīng)綜合運(yùn)用方程消元法、幾何意義法、參數(shù)方程法等各種思想和方法求

解，才能做到靈活、高效.

例9.25已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程Y+/2一?+1=0

(1)求上的最大值和最小值；

x

(2)求y-x的最大值和最小值；

(3)求Y+V的最大值和最小值

評注涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：

(1)形如〃=2二2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.

x—a

(2)形如f=+的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.

(3)形如m=(工一。)2+()，一加2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的距離平

方的最值問題

例9.26(2017北京文)己知點(diǎn)p在圓/+丁=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,0),。為原點(diǎn)，則

AO-AP的最大值為.

變式1若圓一+(y—l)2=1上任意一點(diǎn)(x,y)都使不等式x+y—m20恒成立，則實(shí)數(shù)小的

取值范圍是()

A.(-)x),l-B.[1—V2,+co)C.(―oo,~\/2—1]D.(―<x>,V2+1]

變式2若圓■?+(y-1猿=1上任意一點(diǎn)(小)都使不等式J(X-2)2+/一3―。恒成立,

則實(shí)數(shù)巾的取值范圍是()

A.(-so,!—B.[1-A/^,+CO)C.(-OO,VS-1]D.(—℃,Vs+1]

題型131數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

思路提示

研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，

尤其要注意需對代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例9.26（2017新課標(biāo)HI理）在矩形ABC。中，AB=1,AO=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與

8D相切的圓上，若麗=4而+〃擊，則4+〃的最大值為（）

A.3B.2V2C.>/5D.2

變式1方程x=表示的曲線是（）

A.一條射線B.一個(gè)圓C.兩條射線D.半個(gè)圓

例9.27直線y=x與曲線了=";2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則人的取值范圍是（）

A.{-V2,V2）B.^[-1<ZJ<1^/?=-V2}

C.{fe|-l<Z?<l}D,j/?|Z?>V2}

變式1當(dāng)曲線y=1+的二%^與直線y=A(x-2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)Z的取值范

圍是()

A.2+00533

B.D.

112n4354

變式2若直線y=x+b與曲線y=3—后二7有公共點(diǎn)，則人的取值范圍是()

A.[-1,1+272]B.[1-2V2,1+2V2]C.[1-272,3]D.[l-V2,3]

變式3設(shè)集合A=<(x,y)f?(x-2)2+y2<m2,x,yeR>,

B=x+y<2m+\,x,yG/?},若4口8不0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

最有效訓(xùn)練題40(限時(shí)45分鐘)

1.若直線產(chǎn)質(zhì)與圓/+：/—4x+3=0的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+尹氏。對稱，則()

A.k=l,b=-2B.k=l,b=2C.k=-l,b=2D.k=-l,b=-2

2.若點(diǎn)(4小1,3〃+2)不在圓(x+l)2+(y-2)2=25的外部，則”的取值范圍是()

A卜手用B(-U)C弋,*

r2v21

3.設(shè)橢圓j+A=l(a>/?>0)的離心率為e=上，右焦點(diǎn)為尸(c,O),方程

a'b'2

G?+Z?X-C=O的兩個(gè)實(shí)根分別為X]和W，則點(diǎn)尸(%,X2)()

A.必在圓J?+y2=2內(nèi)B.必在圓J?+y2=2上

C.必在圓V+y2=2外D.以上三種情形都有可能

4.已知圓，+/=4,過點(diǎn)A(4,0)作圓的割線4BC,則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x-l)2+y2=[Kx<g)

B.(x-l)2+y2=4(0<x<l)

C.(x—2)2+y2=4(_]?X<￡]

D.(x-2)2+y2=4(0<x<1)

5.已知兩點(diǎn)A(-1,0),8(0,2),點(diǎn)P是圓(x—1尸+V=i上任意一點(diǎn)，則APAB面積的最大值

與最小值分別是()

A.2,-(4-V5)B.-(4+75),-(4-75)

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