自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)章節(jié)作業(yè)

第一章隨機(jī)事件與概率

一、單項(xiàng)選擇題

L擲一枚骰子，設(shè)人=｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝,8=｛出現(xiàn)1或3點(diǎn)｝,則下列選項(xiàng)正確的是

(B

).

A.AB=｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝B.A7=｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝

C.5=｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝D.=C

2.設(shè)A、B為任意兩個隨機(jī)事件，則下列選項(xiàng)中錯誤的是(A).

A.(A+B)-B=AB.(A+B)-B=A-B=A-AB

C.(A-8)+8=A+BD.AB+AB=A

3.將一枚勻稱的硬幣投擲兩次，令A(yù)尸｛第i次正面向上｝01,2),則“至少

有一次正面向上”可表示為

(D).

A.AAUAAB.4A2C.A4D.A|U4

4.某人向一目標(biāo)射擊3次，設(shè)人表示“第i次射擊命中目標(biāo)”(A1,2,3),

則3次都沒有命中目標(biāo)表示為

(A).

A.A4AB.A｛+A2+A3C.444D.4A2A3

5.設(shè)A與B為互為對立事件，且P(A)>0,P(8)>0,則下列各式中錯誤的是

(A

).

A.P(AIB)=0B.P(B|A)=0C.P(AB)=0D.尸(AU3)=1

6.設(shè)事件A與5相互獨(dú)立,P(A)=0.2,P(B)=0.4,則P(A\B)=

(D).

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

7.已知事件A與8互不相容,P(A)>0,P(B)>0,則

(C).

A.P(AUB)=1B.P(AB)=P(A)P(8)

C.P(AB)=0D.P(AB)>0

8.設(shè)尸(A尸0,8為任一事件，則

(C).

A.A=(DB.AuBC.A與8相互獨(dú)立D.A與8互不相容

9.已知P(A尸0.4,尸0.5,且AuB，則P(A|B)=(C).

A.0B.0.4C.0.8D.1

10.設(shè)A與8為兩事件，則而=(B).

A.ABB.AUBC.D.AAB

11.設(shè)事件Au8,P(A)=0.2,尸(8)=0.3,則P(AU8)=

(A).

A.0.3B.0.2C.0.5D.0.44

12.設(shè)事件A與8互不相容,P(A)=0.4,尸(8)=0.2,則P(A|8)=

(D).

A.0.08B.0.4C.0.2D.0

13.設(shè)A,8為隨機(jī)事件,P(B)>0,P(A|B)=1,則必有(A).

A.P(AU8)=P(A)B.AuB

C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

14.從1,2,3,4,5中任意取3個數(shù)字，則這3個數(shù)字中不含5的概率為(A).

A.0.4B.0.2C.0.25D.0.75

15.某學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中6名男生、4名女生，從中任選4人參加社會

活動，則4人中恰好2男2女的概率為

(A).

A-lB.0.4C.0.25

16.某種動物活20年的概率為0.8,活25年的概率為0.6,現(xiàn)有一只該種動物已

經(jīng)活了20年，它能活到25年的概率是(B).

A.0.48B.0.75C.0.6D.0.8

17.將兩封信隨機(jī)地投到4個郵筒內(nèi)，則前兩個郵筒內(nèi)各有一封信的概率為

(A).

A.0.125B.0.25C.0.5D.0.4

18.一批產(chǎn)品的合格品率為96%,而合格品中有75%是優(yōu)質(zhì)品，從該批產(chǎn)品中

任取一件恰好是優(yōu)質(zhì)品的概率為

(A).

A.0.72B.0.75C.0.96D.0.78

19.設(shè)有10個產(chǎn)品，其中7個正品，3個次品，現(xiàn)從中任取4個產(chǎn)品，則這4個

都是正品的概率為

(C).

20.設(shè)有10個產(chǎn)品，其中8個正品，2個次品，現(xiàn)從中抽取3次，每次任取1個,

取后放回，則取到的3個產(chǎn)品都是正品的概率為

C).

83

A.1B.CC.D.

10107103

21.某人打靶的命中率為0.4,現(xiàn)獨(dú)立地射擊5次，則5次中恰有2次命中的概率

為

(Q.

A.0.42B.0.63C.C；0.420.63D.^0.430.62

22.隨機(jī)地拋擲質(zhì)地勻稱的6枚骰子，則至少有一-枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為

(D).

A.C：1(1)5B.l-C^(1)5C.C^|(1)5D.l-(1)6

ooooooo

23.把3個不同的球分別放在3個不同的盒子中，則出現(xiàn)2個空盒的概率為

(A).

A.-B.-C.-D.-

9233

24.從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中，等可能地、有放回地連續(xù)抽取4個數(shù)字，則取到

的4個數(shù)字完全不同的概率為

(A).

A.—B.—C.4D.與

186!464

25.某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(O<p<l),他向目標(biāo)連續(xù)射擊，則第一次

未中第二次命中的概率為

(D).

A]B.(l-p)2C,l-2pD.p(l-p)

二、填空題

L一個盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不

同色的概率為18/35.

2,甲乙兩人，每人扔兩枚均勻硬幣，則兩人所扔硬幣均未出現(xiàn)正面的概率為

_______1/16.

3.設(shè)袋中有5個紅球、3個白球和2個黑球，從袋中任取3個球，則恰好取到1

個紅球、1個白球和1個黑球的概率為0.25.

4.從數(shù)字1,2,…，10中有放回地任取4個數(shù)字，則數(shù)字10恰好出現(xiàn)兩次的

概率為0.0486.

5.甲乙丙三人各自獨(dú)立地向一目標(biāo)射擊一次，三人的命中率分別是0.5,0.6,

0.7,則目標(biāo)被擊中的概率為0.94.

6.甲袋中裝有兩白一黑共3個球，乙袋中裝有一白兩黑共3個球，從甲袋中任

取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，則取到白球的概率為5/12.

7.設(shè)事件A與5互不相容，P(A尸0.2,P(8)=0.3,則P(AUB)=0.5.

8.設(shè)事件A與5相互獨(dú)立，且P(A+3尸0.6,P(A尸0.2,則P(B尸0.5.

9.設(shè)P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,則P(A8尸0.42.

10.設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=LP(AB)=尸(AC)=',P(BC)=0,則尸(A+B+C)=

46

_________5/12.

11.已知P(A尸0.7,P(A-B)=0.3,則P(AB)0.6

12.某射手對一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.5,則4次射擊中恰好

命中3次的概率為0.25.

13.已知P(A)=0.4,P(B)=0.8,P(B|A)=0.25,則P(A|8)=0.125.

14.設(shè)P(A)=；,尸(81A)=；,尸(4|B)=；,則P(AUB)1/3.

15.一寸比產(chǎn)品的廢品率為4%,而正品中的一等品率為60%,從這批產(chǎn)品中任取

一件是一等品的概率為0.576.

16.甲、乙兩門高射炮彼此獨(dú)立地向一架飛機(jī)各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機(jī)的概

率分別為0.4,0.5,則飛機(jī)至少被擊中一炮的概率為0.7.

三、計(jì)算題

1.設(shè)P(A尸0.4,尸(3尸0.2,P(B|①=0.3,求P(A8)以及P(A|3).

P(B)-P(AB)

解:由P(B|A)=0.3得:￡(坐)=0.3,即=0.3,

l-P(A)

=0

解得:P(AB)=0.02.從而，P(4|B)=迪厘』

P(B)0.2

2.已知Au仇P(A)=0.2,尸(5)=0.3,求:(1)P(A),P(B)；(2)P(AB)；(3)P(AB)；

(4)P(AUB);(5)P(B-A).

：(1)由概率的性質(zhì)，知P(^)=l—P(A)=0.8,P(豆)=1—P(B)=0.7；

(2)因?yàn)锳u8,所以AB=A,P(AB尸P(A)=0.2；

(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=O；

(4)因?yàn)锳uB,所以AUB=8,P(AUB)=P(B)=0.3；

或者，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；

(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.

3.若事件A與8互不相容,尸(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求:(l)P(AB)；(2)P(A|B)；

⑶P(麗.

解:(1)因A與8互不相容，故P(A8)=0,所以P(而)=1-P(A8)=1；

(2)因A與8互不相容，由加法公式：尸(A+8)=P(A)+P(B),得P(B)=0.3,從而

P(AB)_P(A)-P(AB)_0.66

P(A|B)=

P(B)~~l-P(B)~-077

(3)P(AB)=1-P(AB)=l-P(A+B)=l-0.9=0.1.

4.已知事件A與8相互獨(dú)立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(8)；(2)P(AB)；

⑶P(A|B).

解：(1)因?yàn)槭录?與3相互獨(dú)立，所以P(45)=P(A)P(8),

P(A+B)=P(A)+P(B)~P(AB)=P(A)+P(B)~P(A)P(B)

0.6=0.4+P(B)-0.4P(B),解得：P(B)=；；

———A

⑵因?yàn)槭录嗀與8相互獨(dú)立，所以A與8也相互獨(dú)立，故P(AB)=P(A)P(B)=石;

(3)因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以「(A|8尸尸(A尸04

四、應(yīng)用題

1.一批產(chǎn)品共有50個，其中40個一等品、6個二等品、4個三等品，現(xiàn)從中任

取3個產(chǎn)品，求3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級相同的概率.

.解：設(shè)A"3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級相同”，N“3個產(chǎn)品等級都不同”,

由古典概率定義，得尸（力=駕&=衛(wèi)。0.049,從而

以。245

P（A）=1-0.049=0.951.

2.10把鑰匙中有3把能打開門，現(xiàn)從中任取2把，求能打開門的概率.

解:A“取出2把鑰匙能打開門”，由古典概率知:

GG+c；_8

P(A)=

3.將5雙不同的鞋子混放在一起，從中任取4只，求這4只鞋子至少能配成一

雙的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一雙"，則N“4只鞋子都不同”.由古典概率

得：隔）=生涉1=畀故蛇）=1-陶）卷

4.從0,1,2,3這4個數(shù)中任取3個進(jìn)行排列，求取得的三個數(shù)字排成的數(shù)是

三位數(shù)且是偶數(shù)的概率.

解：A“排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”，A?！芭懦傻娜粩?shù)末位是0”，A2

“排成的三位數(shù)末位是2”，則4=4）+42,且4與4互不相容，因?yàn)?/p>

2

P（4）=Wr—2'=_1,p（4）=畢C'C'?=]_

'C；3!4-C：3!6

所以，P（A）=P（4）+P（A）=』.

5.一批零件共100個，次品率為10%,每次從中任取一個零件，取出的零件不

再放回去，求下列事件的概率：

（1）第三次才取得合格品；

（2）如果取得一個合格品后就不再取零件，在三次內(nèi)取得合格品.

解：設(shè)A*第i次取到合格品"（i=l,2,3）,則

（1）第三次才取到合格品的概率為：

______一____In990

p（A，4）=尸（A）p（4lA）p（AiA4）=旃x旃XfO.oo83.

（2）A"三次內(nèi)取得合格品”，則4=4+44+可兀4,所求概率為:

P（A）=P（A）+P（44）+P（44A）

=P（4）+P0）P（&IA）+m）P（41QP（AIAA）

90109010990

-------H---------X-----+-------X-----X-----=0.9993.

100100991009998

6.盒子中有8個紅球和4個白球，每次從盒子中任取一球，不放回地抽取兩次,

試求：（1）兩次取出的都是紅球的概率；（2）在第一次取出白球的條件下，第二次

取出紅球的概率；（3）第二次取到紅球的概率.

解:A1“第一次取出的是紅球”，4“第二次取出的是紅球”，則

（1）由乘法公式得，兩次取出的都是紅球的概率為：

p（A&）=p（A）p（4⑷=,x,=1；

（2）在第一次取出白球的條件下，第二次取出紅球的概率為：P（4IA）=2；

（3）由全概率公式得，第二次取到紅球的概率為：

p（A）=p（A）P（A2|A）+哂P（4*）

7.某工廠有三臺設(shè)備生產(chǎn)同一型號零件，每臺設(shè)備的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的

25%,35%,40%,而各臺設(shè)備的廢品率分別是0.05,0.04,0.02,今從全廠生產(chǎn)

的這種零件中任取一件，求此件產(chǎn)品是廢品的概率.

解：設(shè)4"第i臺設(shè)備生產(chǎn)的零件"（i=l,2）,產(chǎn)品是廢品”,由題意知:

P(A1)=25%,尸(A2尸35%,P(A3)=40%,P(B|A0=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,

由全概率公式得，產(chǎn)品是廢品的概率為：

P(5)=P(A)P(B|A)+P(4)P(B|4)+P(4)P(B|A)

=25%x0.05+35%x0.04+40%x0.02=0.0345.

8.兩臺車床加工同一種零件，加工出來的零件放在一起，已知第一臺出現(xiàn)廢

品的概率是0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02,且第一臺加工的零件比第二臺

加工的零件多一倍.

(1)求任取一個零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是廢品，求它是由第二臺車床加工的概率.

.解：設(shè)8"零件是合格品”，A“第一臺車床加工的零件”，則N“第二臺

7—1

車床加工的零件”，由題意知:P(A)=j,P(A)=1.

(1)由全概率公式得：P(B)=P(4)P(B|A)+P(A)P(B|A)

21

=yX(l-0.03)+-x(l-0.02)=0.973；

⑵由貝葉斯公式得，如果取出的是廢品，求它是由第二臺車床加工的概率

P(N歷_P(N)P(囪N)3

P(A\B)=

l-P(B)]2.92

3

9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假設(shè)男人女人各占一半.現(xiàn)隨機(jī)地挑

選一人，求：

(1)此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若隨機(jī)挑選一人，此人是色盲，問他是男人的概率多大？

(3)若隨機(jī)挑選一?人，此人不是色盲，問他是男人的概率多大？

解：設(shè)8“色盲患者”，A“隨機(jī)挑選一人是男人”，由題設(shè)知:

1_1_

P(A)=于P(A)=-,P(B\A)=5%,P(B|A)=0.25%,則

(1)由全概率公式得，隨機(jī)挑選一人是色盲的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=-x5%+-x0.25%=0.02625；

22

(2)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人是色盲，他是男人的概率為:

P(AB)

P(A|B)=

P(B)

(3)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人不是色盲，他是男人的概率為:

P(A|B)=PG4B)__2__?0.4878.

P(B)~l-P(B)-0.97375

10.現(xiàn)有10張考簽，其中4張是難簽，甲、乙、丙三人抽簽考試(取后不放回),

甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

(1)甲乙都抽到難簽;

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽；

(3)甲乙丙都抽到難簽；

(4)證明：甲乙丙抽到難簽的機(jī)會均等.

.解：設(shè)A,B,C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”，貝IJ

44?

(1)甲乙都抽到難簽的概率為：P(AB)=P(A)P(B|A)=—x-=—；

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為：

———644

P(AB)=P(A)P(B|/l)=-x-=-；

(3)甲乙丙都抽到難簽的概率為：

4321

P(ABQ=P(A)P(BIA)P(CIAB)=-x-x-=—；

4

(4)由古典概率知，甲抽到難簽的概率為：P(A)=—=0.4.

由全概率公式得，乙抽到難簽的概率為：

--4364

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—x-+—x-=0.4.

丙抽到難簽的概率為：

P(C)=P(AB)P(C|AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C|AB)

±x2ZAi2±l2All.4.

109x8+10x9x8+10x9x8+10x9x8=0

得，P(A)=P(B)=P(Q=0.4,所以，甲乙丙抽到難簽的機(jī)會均等，各占40%.

11.三個人向同一敵機(jī)射擊，設(shè)三人命中飛機(jī)的概率分別為0.4,0.5和0.7.若

三人中只有一人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，飛機(jī)被擊落的

概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)必被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)4表示“三人中恰有隊(duì)擊中飛機(jī)”，i=0,1,2,3.8“飛機(jī)被擊落”.

Ao,A],A2,構(gòu)成完備事件組，且

P(4)=(l-0.4)x(l-0.5)(l-0.7)=0.09,

P(^)=0.4x(l-0.5)x(l-0.7)+(l-0.4)x0.5x(l-0.7)+(l-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36,

P(4)=0.4x0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(l-0.4)x0.5x0.7=0.41,

P(AJ=04x0.5x0.7=0.14.

由題設(shè)知：P(8|4)=0,P(5|A)=0.2,P(B|4)=0.6,P(B|4)=l.

故，由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：

P(B)=P(4)P⑻4)+P(4)p(B|a)+P(4)P(8|4)+P(A)p(B|A)

=0.09x0+0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.在上題中，假設(shè)三人的射擊水平相當(dāng)，命中率都是0.6,其他條件不變，

再求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)A表示“三人中恰有i人擊中飛機(jī)”，;=0,1,2,3.8“飛機(jī)被擊落”.

A。,Ai,A2,A3構(gòu)成完備事件組，且由貝努里公式得：

P(4)=Cfx0.6°x0.43=0.064,P(A)=C；x0.6x0.42=0.288,

P(A2)=C；x0.62x0.4=0.432,尸(4)=C；x06=0.216.

由題設(shè)知：P(B\Ao)=O,P(B\Al)=0.2,P(B|^)=0.6,P(B\Ai)=l.

故由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：

3

p(B)=zp(a)p(Bia)

/1=0

=0.064x0+0.288x0.2+0.432x0.64-0.216x1=0.5328.

13.已知一批產(chǎn)品中有95%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個合格品被誤判為

次品的概率為0.02,一個次品被誤判為合格品的概率為0.03,求：

(1)任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；

(2)一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概率.

.解：設(shè)A”產(chǎn)品是合格品”，8“經(jīng)檢查產(chǎn)品被判為合格品”，且由題意知:

P⑷=95%,P(A)=1-95%=5%,P(B|A)=1-0.02=0.98,P(A")=0.03.則

(1)由全概率公式得，任意抽查一個產(chǎn)品，它被判為合格品的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=95%x0.98+5%x0.03=0.9325；

(2)由貝葉斯公式得，一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概

率為：

P(A3)_0.95x0.98

P(A|8)=-0.9984.

P(B)-09325

14.一個工人看管三臺機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人看管的概率第一臺

為0.9,第二臺為0.8,第三臺為0.7,且三臺機(jī)床是否需要看管彼此獨(dú)立.求在一小

時(shí)內(nèi)三臺機(jī)床中最多有一臺需要工人看管的概率.

解：設(shè)A”第i臺機(jī)床需要看管”,i=\,2,3.“三臺機(jī)床中最多有一臺需

要工人看管”表示為44A3+A&A+A4A3+A4A，且這4個事件兩兩互不

相容，由加法與獨(dú)立性知，所求的概率為：

p（A4A+AA2A+A44+AAA3）

p

=P（A44）+p（4&A）+（A4A3）+p（444）

=P（A）P（T）P（4）+P（4）P（4）尸（4）+p（4）尸（1）P（A）+P（N）P（4）尸田）

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3+0.9x0.8x0.7=0.902

15.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率

分別是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率

是多少？

解：設(shè)A“第i道工序加工出次品"，z=L2,3.則加工出來的零件是次品表

示為4+A2+A3，月A，A2,A3相互獨(dú)立，從而4,4，4也相互獨(dú)立.

所求概率為：

p（A+&+A,）=1-P（而否=1-P（QP（4）P（4）

=1-（1-2%）（1-3%）（1-5%）=0.09693.

16.甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一密碼，他們各自能破譯出的概率分別是0.4,

0.6,0.7,求此密碼被破譯的概率.

.解：設(shè)A,B,。分別表示“甲、乙、丙破譯出密碼”，則A+3+C表示“密

碼被破譯”，且4B,C相互獨(dú)立，從而,瓦仁也相互獨(dú)立，故所求概率為：

P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

=1-(1-0.4)(!-0.6)(l-0.7)=0.928.

17.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,各在兩批中隨機(jī)取一粒，求:

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率.

解：設(shè)A,8分別表示“甲、乙種子發(fā)芽”，由題設(shè)知：

P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=1-0.7=0.3.

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率為：P(AB)=P(4)P(B)=0.8X0.7=0.56；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.8x0.3+0.2x0.7+0.2x0.3=0.44；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.8+0.7-0.8x0.7=0.94.

18「批產(chǎn)品有70%的一級品，進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共抽取5件樣品，求:

⑴取出5件樣品中恰有2件一級品的概率pi；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率02；

(3)取出5件樣品中至少有一一件--級品的概率P3.

解：該問題是參數(shù)〃=0.7的5重貝努里試驗(yàn)，由貝努里公式得：

⑴取出5件樣品中恰有2件一級品的概率pi=C；x0.72x0.33=0.1323；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率為：

5

P2=XC5X0.7"x0.3J=1-Cfx0.7°x0.35-C；x0.7x0.34=0.96922；

k=2

(3)取出5件樣品中至少有一件一級品的概率為：

5

P3=Z以*0.7*x0.35*=1-C；x0.7°x0.35=099757.

k=\

19.一射手對一目標(biāo)獨(dú)立地射擊4次，若至少命中一次的概率為—,求射手射

81

擊一次命中目標(biāo)的概率.

.解：設(shè)射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為p，由貝努里定理知，4次射擊中至

少有一次命中目標(biāo)的概率為：1-(1-P)4,由題設(shè)知：

1-(1一〃)4=算解得：p='.

o13

20.一射手對一目標(biāo)獨(dú)立地射擊，每次射擊命中率為p,求射擊到第4次時(shí)恰

好兩次命中的概率.

解：射手射擊到第4次恰好有兩次命中目標(biāo)，即第四次命中，而前三次中恰

有一次命中，由貝努里定理知，所求概率為：

P=pC；P(l-p)2=3/(1-0)2.

五、證明題

1.設(shè)0<P(3)<l,證明事件A與8相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B)=P(A|B).

證：必要性設(shè)事件A與8相互獨(dú)立，則P(AB尸P(A)P(8),P(A\B)=P(A),

P(AB)_P(A-AB)_P(A)-P(A)P(fi)

P(A|Z)=，

P(9一l-P(B)—l-P(B)P(A)

所以，P(A\B)=P(A\B).

充分性若P(A|B)=P(A西),則

P(AB)__P(A-AB)_P(A)-P(AB)

P(B)~P(B)~l-P(B)-l-P(B)

對上式兩端化簡，得：P(AB)=P(A)P(B),所以A與8相互獨(dú)立

2.證明條件概率的下列性質(zhì)：

(1)若尸(8)>0,則04P(A|8)<1,P(Q|8)=1,P(①|(zhì)B)=0；

(2)若A與B互不相容，P(C)>0,則P(AU8|C)=P(4|C)+P(8|C)；

(3)P(A|B)=1-P(A|5).

證：(1)因?yàn)镻(A|B)="A?,而o<p(4?)<p(B),所以，O〈P(A|8)W1,

P(8)

且pg⑻=2=a=1,P(①網(wǎng)=段@=3=。；

P(B)P(B)P(B)P(B)

(2)若A與8互不相容，則AC與BC也互不相容，從而

P(AUB|C)=.(—CUB。=.(AC)+P(8C)=p(A|C)+P(81C)；

P(C)P(C)

(3)由性質(zhì)(2)得：P(A\JA\B)=P(A\B)+P(A\B),又AU^=Q，由性質(zhì)⑴知，

P(C|B)=1,所以,P(A\B)+P(A\B)=1,即P(H8)=1—P(A|8)

第二章隨機(jī)變量及其概率分布

一、單項(xiàng)選擇題

X012

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P0.30.20.5

則P{X<1}=

C).

A.0B.0.2C.0.3D.0.5

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X0123

P0.10.20.3a

則cr

(D).

A.0.2B.0.3C.0.1D.0.4

上%>1

3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(%)=-￡',則常數(shù)c=

0,x<1

(D).

A.-1B.-C.--D.1

22

X的概率密度為f(x}=[aX：0<X<lm"…*

4.設(shè)隨機(jī)變量，則常數(shù)a=

[0,其它

(D).

A.-B.-C.3D.4

42

5.下列函數(shù)中可作為某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是(A).

10010

x>1009x>0

AB.<X

x<1000,x<0

J1-,3

-1,0<x<2—<x<—

C.<D.2’22

,0,其它

,0,其它

6.設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間口向上等于sinx,而在此區(qū)間外等于0；若/(x)可以

作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則區(qū)間切為(A).

TTJTS7T

A.[0,y]B.[0㈤C.[--,0]D.[0,y]

7.下列函數(shù)中，可以作為某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的是

(C).

0,x<0

0.5元，x<0

0.3,0<x<l

A.F(x)=<B.F(x)=<0.8,0<%<1

0.2,l<x<2

1,x>1

1,x>2

71

0,x<00，x<一,

0.1,0<x<5、,兀

C.F(zx)x=<D.F(x)=<sinx,——<x<0

0.6,5<x<62

1,x>61，x?0

8.設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則(B).

A.F(x)一定連續(xù)B.F(x)一定右連續(xù)

C.F(x)是不增的D.F(x)一定左連續(xù)

9.設(shè)尸(x)=P(X<x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是(D).

人.F*)是定義在(-8,+8)上的函數(shù)B.limF(x)~limF(x)=l

XT—XT-o0

C.P(a<X<b)=F(b)-F(a)D.對一切實(shí)數(shù)x,都有0<F(x)<l

10.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為P(X=k)=若)”=1,2,3...)，則常數(shù)a=(B).

A.1B.-C.2D.--

22

1L已知隨機(jī)變量X的分布律為

X0123

P0.30.40.10.2

F(x)是X的分布函數(shù)，則F(2.5)=(B).

A.0.7B.0.8C.0.1D.1

?……2x,0<x<1

12.隨機(jī)變量X的概率密度其它，則

P{-1<X<1|=(A).

A.-B.-C.-D.-

4324

13.已知隨機(jī)變量X的分布律為X-1012

P0.10.20.30.4

若隨機(jī)變量r=X2,則P{Y=l}=(C).

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.2

14.設(shè)隨機(jī)變量X?8(4,0.2)則P{X>3}=

(A).

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192

15.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,4),y=2X+l,y?(C).

A.N(1,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)

16.設(shè)X~N(4，〃)，①(x)是N(0,1)的分布函數(shù)，則W6)=(D).

A.O>(。)—①(a)B.①(b)+①(a)

C.(D(-7-)一0(—F)D.0)(—一0(—

crcraG

17.設(shè)X?N(?l,4),①(x)是MOJ)的分布函數(shù)，則尸(-2<X<0尸(A).

A.2(D(1)-1B.①(0)-①(―2)C.①(2)—；D.①(2)—①(0)

18.設(shè)X?N(0,1),p(x)是X的概率密度函數(shù)，則0(0)=(C).

A.0B.0.5C.-7^D.1

屈

19.設(shè)X服從均勻分布U[0,5],y=3X+2,則y服從(B).

A.U[0,5]B.U[2,17]C.U[2,15]D.U[0,17]

20.某種商品進(jìn)行有獎銷售，每購買一件有0.1的中獎率.現(xiàn)某人購買了20件

該商品，用隨機(jī)變量X表示中獎的件數(shù)，則X的分布為(D).

A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.二項(xiàng)分布

21.設(shè)X服從參數(shù)4=2的泊松分布，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則下列正確的

選項(xiàng)是(B).

A.%l)=e-2B.F(O)=e-2

C.P(X=O)=P(X=1)D.P(X<1)=2e-2

22.設(shè)乂服從參數(shù)/1的泊松分布，且2(乂=1)=42(乂=3),則/1=(C).

A.1B.2C,3D.4

二、填空題

1.若P(XW尤2)=1-夕，P(X2xJ=l-a,其中無1<巧，則P{X}<X<X1)

1

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X-2012

P0.10.20.30.4

記hx2,則P(y=4)=0.5.

3.若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則尸(X=l)=0.

4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為&x),已知F(2)=0.5,F(-3)=0.1,則

P(-3<X<2)=0.4.

5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為「⑴二白匚/產(chǎn)山,則其密度函數(shù)為

0,x<0

6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=<sinx,0<x<|,其密度函數(shù)

1,x>-

[2

為/(x),則/(a=_______1Z1.

1--xr>0

7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x)=e'一，則當(dāng)Q0時(shí)，X的概率密

0,x<0

度/*)=_______L.

8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X012

P0.40.20.4

則P(0<X<1)0.6.

9.設(shè)隨機(jī)變量X?N(3,4),則P(4<X<5)=0.148

(其中①⑴=0.8413,①(0.5)=0.6915)

10.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為6的泊松分布，寫出其概率分布律

P(X=K)=6K/K!K=0,1,2,3.

11.若隨機(jī)變量X?3(4,0.5),則P(X>1)-15/16

12.若隨機(jī)變量X?U(0,5),且Y=2X,則當(dāng)03W10時(shí)，丫的概率密度加y)=

1/10.

13.設(shè)隨機(jī)變量X?N(0,4),則P(X>0)=0.5

14.設(shè)隨機(jī)變量X?U(-l,1),則P(IXIW>=0.5.

15.設(shè)隨機(jī)變量X在［2,4］上服從均勻分布，則P(2<X<3)=0.5.

16.設(shè)隨機(jī)變量X?M-1,4),貝IJy=七」?N(0,1).

17.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=Z)=*%=0,1,2,…，則斫2/3.

kx+10Vx<2

18.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/(%)=(八'什,、，則公

0,其匕

-1/2.

19.若隨機(jī)變量X?M1,16),y=2X-1,則y?N(l,64).

20.若隨機(jī)變量X?U(l,6),Y=3X+2,則hU(5,20).

三、計(jì)算題

0,x<0

1,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(1)=卜，0<x<l,求X的概率密度

1,x>1

函數(shù).

解：由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系F'(x)=/(x)知，當(dāng)0<x<l口寸,

/(x)=(x2y=2x,

2Y0<Y<1

當(dāng)xNl或xKO時(shí)，/(x)=0,所以，X的概率密度為/(x)=八’卜….

0,具匕

2.設(shè)X服從參數(shù)p=0.2的0-1分布，求X的分布函數(shù)及P(X<0.5).

解：X的分布律為

0.80.2

當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=0；

當(dāng)0Wx<l時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(X=0)=0.8；

當(dāng)xNl時(shí),F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=1)=0.8+0.2=1.

0,x<0

所以，X的分布函數(shù)為尸(x)={o.8,0<x<l；而P(X<0.5尸P(X=0尸0.8.

1,x>1

3.設(shè)隨機(jī)變量X?U(a,。)，求X的密度函數(shù)與分布函數(shù).

1,

解：X的密度函數(shù)為=；分布函數(shù)~元)=1/⑺山,

0,其它7

當(dāng)x<〃時(shí)，F(xiàn)(x)=f=[0dt=0；

J—ooJ—oo

當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)=f=[o力+「一!一力='

J-OOJ—coah-ab-a

當(dāng)X乂時(shí)，如)=匚AM=匚Odt+J：占it+J；0^=i.

所以，X的分布函數(shù)為尸(x)=,a<x<b.

b-a

1,