二輪復(fù)習(xí)專題二第2講三角變換與解三角形學(xué)案

第2講三角變換與解三角形必備知識·精要梳理1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ;tan(α±β)=tanα2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα3.降冪公式cos2α=1+cos2αsin2α=1-sinαcosα=sin2α名師點(diǎn)析由降冪公式開方并作角的代換得半角公式:cosα2=±1+cosα2,sinα2=±1-cos4.正弦、余弦定理(1)正弦定理:asinA=bsinR為三角形外接圓的半徑(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=b2關(guān)鍵能力·學(xué)案突破突破點(diǎn)一和、差、倍、半角公式的應(yīng)用[例1](1)(2021山東德州一模,5)已知sinα=sinα+π3+1A.13 B.-13 C.233(2)(2020全國Ⅲ,文5)已知sinθ+sinθ+π3=1,則sinθ+π6=()A.12 B.33 C.23(3)已知α為銳角,且cosα(1+3tan10°)=1,則α=()A.20° B.40° C.50° D.70°(4)(2021山西太原一模,理3)公元前6世紀(jì),古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí),發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)5-12,其近似值為0.618,這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn),這一數(shù)值也表示為a=2sin18°,若a2+b=4,則a2A.12 B.C.5-12規(guī)律方法1.三角函數(shù)公式的三種用法運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),不但要熟練公式的直接應(yīng)用,即正用,而且要熟悉公式的逆用及變形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路,培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.2.應(yīng)用三角函數(shù)公式的注意點(diǎn)在應(yīng)用三角函數(shù)和、差、倍、半角公式時(shí),要注意觀察角之間的和、差、倍、半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系.對點(diǎn)練1(1)已知tanα+π6=1,則tanα-A.2-3 B.2+3C.-2-3 D.-2+3(2)(2021安徽安慶二模,理6)已知2sinα+π4=sinαtanα2-1,則tanαA.-2 B.2 C.-12 D.(3)cos40°cos25°1A.1 B.3 C.2 D.2突破點(diǎn)二三角函數(shù)與三角變換的綜合[例2](1)(2021陜西榆林二模,文7)函數(shù)f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x的最大值為A.12 B.14 C.22(2)(2021河南鄭州二模,理8)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin2x-π3+cos2x-πA.f(x)的值域?yàn)閇0,2]B.f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)C.f(x)在區(qū)間[0,π]上有兩個(gè)零點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間π3(3)已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R),若直線x=x0是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,且tanx0=3,則a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式是()A.a=-3b B.b=-3aC.a=3b D.b=3a規(guī)律方法求三角變換與三角函數(shù)綜合問題的思路通過變換把函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性質(zhì),解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問題.對點(diǎn)練2(1)(2021陜西寶雞二模,理9)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-3(sin2x-cos2x),判斷下列給出的四個(gè)結(jié)論,其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)為()①對任意的x∈R,都有f2π3-x②將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位長度,得到g(x)的圖象,則g(x)是偶函數(shù)③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間π12,④“函數(shù)y=f(x)取得最大值”的一個(gè)充分條件是“x=π12”A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2020北京,14)若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個(gè)取值為.

突破點(diǎn)三應(yīng)用正、余弦定理解三角形[例3](1)(2021安徽黃山二模,理10)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinBsinC=sinA,△ABC的面積為12,a+b=3,則A.30° B.120°C.30°或150° D.60°或120°(2)(2020全國Ⅰ,理16)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

(3)(2021山東濰坊一模,16)某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位,制作了一批獎(jiǎng)杯,獎(jiǎng)杯的剖面如圖所示,其中扇形OAB的半徑為10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案設(shè)計(jì),工藝制造廠發(fā)現(xiàn),當(dāng)OP最長時(shí),該獎(jiǎng)杯比較美觀,此時(shí)∠AOB=.

規(guī)律方法解三角形的基本題型與方法(1)已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多樣,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化.(2)已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理解三角形,在運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用.(3)已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.對點(diǎn)練3(1)(2021河南鄭州二模,文6)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,如果a,b,c成等差數(shù)列,B=30°,△ABC的面積為32,則b=(A.1+3 B.2+3C.1+32 D(2)如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn),從點(diǎn)A測得點(diǎn)M的仰角∠MAN=60°,點(diǎn)C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.

(3)(2021全國乙,理15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

突破點(diǎn)四正、余弦定理與三角變換的綜合[例4](1)(2021江西上饒一模,文11)在△ABC中,∠B=90°,M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)且滿足MB·MC=0,∠AMB=120°,若AB=23,BC=2,則△AMB的面積S△A.637 B.337 C.(2)(2021河南鄭州二模,文16)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=1,A=3π4,若λb+c有最大值,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是規(guī)律方法解三角形的基本策略(1)對題目中的已知條件要靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理以實(shí)現(xiàn)邊角互化.(2)在三角形中進(jìn)行三角變換要注意隱含條件:A+B+C=π,這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).(3)三角形面積公式:S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,既有邊又有角對點(diǎn)練4(1)(2021江蘇蘇北四市二模,8)如圖,直角三角形PQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB,BC,CA上,且PQ=23,QR=2,∠PQR=π2,則AB的最大值為(A.1033 BC.4213 D(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c·cosB=2a+b,若△ABC的面積為S=32c,則ab的最小值為.第2講三角變換與解三角形關(guān)鍵能力·學(xué)案突破【例1】(1)B(2)B(3)B(4)B解析(1)∵sinα=sinα+π3+13,∴sinα=12sinα+32cosα+∴12sinα-32cosα=13,即-∴cosα+π6=-13(2)根據(jù)兩角和的正弦公式展開得sinθ+sinθ+π3=sinθ+12sinθ+32cosθ=32sinθ+32cosθ=1,即3sinθ+π6=1,解得sinθ+π6=33.故選(3)由cosα(1+3tan10°)=1,可得cosα·3sin10°即cosα·2sin40°cos10所以cosα=cos10°2sin40°又因?yàn)棣翞殇J角,所以α=40°.故選B.(4)∵a=2sin18°,a2+b=4,∴b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,∴a2b1【對點(diǎn)練1】(1)D(2)A(3)C解析(1)tanα-π6=tanα+π6-π3=1-(2)由2sinα+π4=sinαtanα2-1,得sinα+cosα=2sinα2cosα2tanα2-1=2sin2所以sinα=-2cosα,所以tanα=-2,故選A.(3)原式=cos40°cos25°1【例2】(1)B(2)C(3)C解析(1)f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x=sinxcosx(sin2x-cos2x)=12sin2x(-cos2x)=-14sin4故當(dāng)sin4x=-1即x=kπ2-π8,k∈Z時(shí),f(x)取得最大值,最大值是(2)f(x)=sin2x-π3+cos2x-π2=12sin2x-32cos2x+sin2x=332sin2x-12cos2x=3sin2x-π6,f(x)的值域?yàn)閇0,3f(x)的最小正周期為π2,故B錯(cuò)因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),f(0)≠0,所以f(x)在[0,π]上有兩個(gè)零點(diǎn),故C正確;因?yàn)閰^(qū)間π3,2π3長度為π3>12·π2,所以f(x(3)f(x)=asinx+bcosx=a2+b2aa2令cosα=aa2+b2,sinα=ba2+b2,則tanα=ba,則又直線x=x0是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,則x0+α=π2+kπ,k∈Z,x0=π2-α+kπ,k∈tanx0=tanπ2-α+kπ=tanπ2-α=1tanα=ab=3,則a=3b.【對點(diǎn)練2】(1)A(2)π22kπ+π2,k∈Z均可解析(1)函數(shù)f(x)=2sinxcosx-3(sin2x-cos2x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3,f2π3-x=2sin22π3-x+π3=2sin2π-2x+π3將y=f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位長度,得g(x)=2sin2x+π12+π3=2cos2x由x∈π12,7π12得2x+π3∈π2,3π2,因?yàn)閒π12=2sin2×π12+π3=2,所以fπ12為最大值,故④正確(2)因?yàn)閒(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ),tanθ=sinφ+1cosφ,所以cos2φ+(sinφ+1)2=2,解得【例3】(1)C(2)-14(3)π2解析(1)因?yàn)閟inBsinC=sinA,由正弦定理得sinC=sinAsinB=ab,因?yàn)椤鰽BC的面積S=12absin因?yàn)閍+b=3,所以b=2,sinC=12,故C=30°或150°.故選C(2)由題意得BD=2AB=6,BC=AC2+∵D,E,F重合于一點(diǎn)P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+(3)設(shè)∠ABO=θ,則AB=20cosθ,又AB=QP+2PBcos60°=2PB,所以PB=10cosθ,故OP2=100+100cos2θ-2×10×10cosθcos(60°+θ)=100+503sin2θ,故當(dāng)2θ=π2時(shí),OP取最大值,此時(shí)∠AOB=π-2θ=π【對點(diǎn)練3】(1)A(2)150(3)22解析(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-3ac,①∵S△ABC=12acsinB=14ac=32,∴ac=6∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b,③將②③代入①得b2=4b2-12-63,化簡整理得b2=4+23,解得b=1+3.故選A.(2)在△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100m,∴AC=100sin45°=1002在△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,AMsin∠ACM=AC解得AM=1003(m).在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN=1003×sin60°=150(m).(3)由題意可知△ABC的面積S=12acsin60°=3,整理得ac=4.結(jié)合已知得a2+c2=3ac=12因?yàn)锽=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.【例4】(1)A(2)22,2解析(1)設(shè)∠MBA=θ,則∠MBC=90°-θ,∠MAB=60°-θ因?yàn)镸B·MC=0,所以∠BMC=90°,在Rt△MBC中,BM=BC·cos∠MBC=2sin在△ABM中,ABsin∠AMB=BMsin∠BAM,即23sin120°=2sinθsin(60°-θ),即23sin(60°-θ)=2sinθ·sin120°,