高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 9.1空間向量及其運算

第九章

空間曲線與空間曲面9.1空間向量及其運算在空間取定一點O,作三條互相垂直的數(shù)軸,豎軸它們都以O(shè)為原點,三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.坐標(biāo)軸.即以右手握住

z軸,x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時,大拇指的指向稱為空間直角坐標(biāo)系這三條軸統(tǒng)稱為縱軸就是z

軸的正向.橫軸ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限.Ⅶ任意兩個軸所確定的平面稱為坐標(biāo)面.空間的點P點的P坐標(biāo)其中x、y、z分別稱為點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).為空間兩點,則空間兩點間距離公式為向量:既有大小又有方向的量.向量表示:零向量:模為0的向量,向量的模:向量的大小.單位向量:模為1的向量.或或或為終點的有向線段.以

為起點,記作分別表示與x軸、y軸和z軸同方向的稱為基本單位向量.空間直角坐標(biāo)系中,用記作如果兩個非零向量與的方向相同或相反,則稱向量與平行,

記作相等向量:單位向量,大小相等且方向相同的向量.稱

設(shè)向量是以為起點，

為終點，為終點，向量是以坐標(biāo)系原點O為起點顯然為向量的坐標(biāo),并記定義9.1(向量的加法)

設(shè)向量稱為向量與的和,記作這種做兩向量之和的方法叫做向量相加的三角形法則.任取一點A,作向量再以B為起點,作向量

連接AC,則向量注意到

有稱為向量按基本單位向量的分解式稱為向量在x軸、y軸和z軸上的分向量,

稱為向量在x軸、y軸和z軸上的投影.設(shè)向量定理9.1

向量的加法滿足下列運算律(1)交換律(2)結(jié)合律定義9.2(向量與數(shù)的乘法)定義為實數(shù),稱為向量與實數(shù)的數(shù)乘.設(shè)向量定理9.2向量的數(shù)乘滿足下列運算律(1)結(jié)合律(2)第一分配律(3)第二分配律特別地,記

顯然,

稱為的負(fù)向量,同方向的單位向量.非零向量與三個坐標(biāo)軸正向的夾角稱為非零向量

的方向角.方向角的余弦叫做向量的方向余弦非零向量的方向余弦為且解例9.1設(shè)已知兩點計算向量

的模、方向余弦和方向角.定義9.3(向量的數(shù)量積)

設(shè)為向量,是它們夾角.

稱為向量

與的數(shù)量積,即設(shè)為向量,則向量

在向量的上一般地,的投影為向量的數(shù)量積有明確的物理意義：

沿直線從點則力所做的功為移動到點當(dāng)物體在常力作用下,定理9.3數(shù)量積滿足下列運算律(1)交換律(2)分配律(3)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

其中為任意實數(shù).

則

數(shù)量積的坐標(biāo)表達式設(shè)向量故

數(shù)量積的坐標(biāo)表達式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量垂直的充要條件為設(shè)向量兩向量垂直的充要條件解例9.2設(shè)已知三點且求的夾角.所以

例9.3設(shè)液體流過平面S

上面積為A

的一個區(qū)域,液體在這個區(qū)域上各點處的流速均為(常向量)v,設(shè)向量n

為垂直于S

的單位向量,計算單位時間經(jīng)過這區(qū)域流向n

所指一側(cè)的液體的質(zhì)量(液體的密度為)解單位時間內(nèi)流過此區(qū)域的液體組成一個底面積為A,斜高|v|的斜柱體.這個柱體的斜高與底面的夾角就是v

與n

的夾角.

體積為單位時間內(nèi)經(jīng)過這個區(qū)域流量n所指一方的液體的質(zhì)量為設(shè)為向量,向量

與的向量積.定義向量的模為方向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定,

稱為向量積的幾何意義