2024年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024年廣州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷共8頁(yè)，25小題，滿(mǎn)分120分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆填寫(xiě)自己的考生號(hào)、姓名；將自己的條形碼粘貼在答題卡的“條形碼粘貼處”．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案不能答在試卷上．3．非選擇題答案必須用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫(huà)圖；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案，改動(dòng)后的答案也不能超出指定的區(qū)域；不準(zhǔn)使用鉛筆（作圖除外）、涂改液和修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.四個(gè)數(shù)，，，中，最小的數(shù)是（）A. B. C.0 D.102.下列圖案中，點(diǎn)為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（）A. B. C. D.3.若，則下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.4.若，則（）A. B. C. D.5.為了解公園用地面積（單位：公頃）的基本情況，某地隨機(jī)調(diào)查了本地50個(gè)公園的用地面積，按照，，，，的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）A.的值為20B.用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)最多C.用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)最少D.這50個(gè)公園中有一半以上的公園用地面積超過(guò)12公頃6.某新能源車(chē)企今年5月交付新車(chē)35060輛，且今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)輛，根據(jù)題意，可列方程為（）A. B.C. D.7.如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（）A.18 B. C.9 D.8.函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)（）時(shí)，，均隨著的增大而減?。瓵. B. C. D.9.如圖，中，弦的長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在上 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定10.如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分．）11.如圖，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)，相交，，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____．12.如圖，把，，三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線(xiàn)路上的電流為，電壓為，則．當(dāng)，，，時(shí)，的值為_(kāi)_____．13.如圖，中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，若平分，則______．14若，則______．15.定義新運(yùn)算：例如：，．若，則的值為_(kāi)_____．16.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線(xiàn)段沿軸正方向平移得線(xiàn)段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結(jié)論有______．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題（本大題共9小題，滿(mǎn)分72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.解方程：．18.如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．19.如圖，中，．（1）尺規(guī)作圖：作邊上的中線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）所作的圖中，將中線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．20.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）化簡(jiǎn)：．21.善于提問(wèn)是應(yīng)用人工智能解決問(wèn)題的重要因素之一．為了解同學(xué)們的提問(wèn)水平，對(duì)，兩組同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問(wèn)水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：分）：組75788282848687889395組75778083858688889296（1）求組同學(xué)得分中位數(shù)和眾數(shù)；（2）現(xiàn)從、兩組得分超過(guò)90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率．22.2024年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱(chēng)為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點(diǎn)垂直下降到點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得地面點(diǎn)的俯角為，米，米．（1）求長(zhǎng)；（2）若模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，求模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：，，）23.一個(gè)人腳印信息往往對(duì)應(yīng)著這個(gè)人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高和腳長(zhǎng)之間近似存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：腳長(zhǎng)……身高……（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從和中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，并求出這個(gè)函數(shù)的解析式（不要求寫(xiě)出的取值范圍）；（3）如圖2，某場(chǎng)所發(fā)現(xiàn)了一個(gè)人的腳印，腳長(zhǎng)約為，請(qǐng)根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計(jì)這個(gè)人的身高．24.如圖，在菱形中，．點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），關(guān)于的軸對(duì)稱(chēng)圖形為．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷線(xiàn)段和線(xiàn)段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，為的外接圓，設(shè)的半徑為．①求取值范圍；②連接，直線(xiàn)能否與相切？如果能，求的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．25.已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，且．（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）求的值；（3）直線(xiàn)繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)．①求的值；②設(shè)的面積為，若對(duì)于任意的，均有成立，求的最大值及此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式．2024年廣州市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷共8頁(yè)，25小題，滿(mǎn)分120分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆填寫(xiě)自己的考生號(hào)、姓名；將自己的條形碼粘貼在答題卡的“條形碼粘貼處”．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案不能答在試卷上．3．非選擇題答案必須用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫(huà)圖；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案，改動(dòng)后的答案也不能超出指定的區(qū)域；不準(zhǔn)使用鉛筆（作圖除外）、涂改液和修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿(mǎn)分30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.四個(gè)數(shù)，，，中，最小的數(shù)是（）A. B. C.0 D.10【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而?。驹斀狻拷猓?，最小的數(shù)是，故選：A．2.下列圖案中，點(diǎn)為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)是否過(guò)點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是C，故選：C．3.若，則下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了分式的乘法，同底數(shù)冪乘法與除法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．通分后變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)相加，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)分式乘法法則計(jì)算，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原計(jì)算正確，符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A．∵，∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；B．∵，∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；C．∵，∴，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．∵，∴，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．5.為了解公園用地面積（單位：公頃）的基本情況，某地隨機(jī)調(diào)查了本地50個(gè)公園的用地面積，按照，，，，的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）A.的值為20B.用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)最多C.用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)最少D.這50個(gè)公園中有一半以上的公園用地面積超過(guò)12公頃【答案】B【解析】【分析】本題考查的是從頻數(shù)分布直方圖獲取信息，根基圖形信息直接可得答案．【詳解】解：由題意可得：，故A不符合題意；用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)有16個(gè)，數(shù)量最多，故B符合題意；用地面積在這一組的公園個(gè)數(shù)最少，故C不符合題意；這50個(gè)公園中有20個(gè)公園用地面積超過(guò)12公頃，不到一半，故D不符合題意；故選B6.某新能源車(chē)企今年5月交付新車(chē)35060輛，且今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)輛，根據(jù)題意，可列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)輛，根據(jù)“今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)輛，根據(jù)題意得：，故選：A．7.如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（）A.18 B. C.9 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線(xiàn)段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴∴，∴又∵∴故選：C8.函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)（）時(shí)，，均隨著的增大而減?。瓵. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減??；位于在一、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小；位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，均隨著增大而減小，故選：D．9.如圖，中，弦長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在上 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點(diǎn)為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點(diǎn)在外，故選：C．10.如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而得出，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，扇形的弧長(zhǎng)為，圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)相等，，，圓錐的高為，圓錐的體積為，故選：D．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分．）11.如圖，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)，相交，，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的含義，先證明，再利用鄰補(bǔ)角的含義可得答案．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴；故答案為：12.如圖，把，，三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線(xiàn)路上的電流為，電壓為，則．當(dāng)，，，時(shí)，的值為_(kāi)_____．【答案】220【解析】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)，將數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)，，，時(shí)，，故答案為：220．13.如圖，中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，若平分，則______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，，，進(jìn)而得出，再由等角對(duì)等邊的性質(zhì)，得到，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，，，，平分，，，，，故答案為：5．14.若，則______．【答案】11【解析】【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價(jià)形式是解題關(guān)鍵．由，得，根據(jù)對(duì)求值式子進(jìn)行變形，再代入可得答案．【詳解】解：，，，故答案為：11．15.定義新運(yùn)算：例如：，．若，則的值為_(kāi)_____．【答案】或【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的定義．根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵，而，∴①當(dāng)時(shí)，則有，解得，；②當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．16.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，．將線(xiàn)段沿軸正方向平移得線(xiàn)段（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；④．其中正確的結(jié)論有______．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【解析】【分析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當(dāng)最小，則最小，設(shè)，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，可得，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；∴，∴，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點(diǎn)為，∵，∴，∴，∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，∵軸，，∴四邊形為矩形，∴，∴當(dāng)最小，則最小，設(shè)，∴，∴，∴的最小值為，故③不符合題意；如圖，設(shè)平移距離為，∴，∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，∴，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故④符合題意；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿(mǎn)分72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗(yàn)．依次去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)求解，檢驗(yàn)后即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，該分式方程的解為．18.如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．【詳解】解：，，，四邊形是正方形，，，，，又，．19.如圖，中，．（1）尺規(guī)作圖：作邊上的中線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）所作的圖中，將中線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查的是作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（1）作出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)EF，交于點(diǎn)O，連接，則線(xiàn)段即為所求；（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，線(xiàn)段即為所求；【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，∵由作圖可得：，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形．20.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運(yùn)算，掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算分式的乘除混合運(yùn)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．∴，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴；21.善于提問(wèn)是應(yīng)用人工智能解決問(wèn)題的重要因素之一．為了解同學(xué)們的提問(wèn)水平，對(duì)，兩組同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問(wèn)水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：分）：組75788282848687889395組75778083858688889296（1）求組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）現(xiàn)從、兩組得分超過(guò)90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率．【答案】（1）組同學(xué)得分的中位數(shù)為分，眾數(shù)為分；（2）【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)與眾數(shù)，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）由題意可知，、兩組得分超過(guò)90分的同學(xué)各有2名，畫(huà)樹(shù)狀圖法求出概率即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，每組學(xué)生人數(shù)為10人，中位數(shù)為第5、6名同學(xué)得分的平均數(shù)，組同學(xué)得分的中位數(shù)為分，分出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，眾數(shù)為分；【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，、兩組得分超過(guò)90分的同學(xué)各有2名，令組的2名同學(xué)為、，組的2名同學(xué)為、，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的情況有4種，這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率．22.2024年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱(chēng)為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點(diǎn)垂直下降到點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得地面點(diǎn)的俯角為，米，米．（1）求的長(zhǎng)；（2）若模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，求模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）的長(zhǎng)約為8米；（2）模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問(wèn)題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)余弦值求出的長(zhǎng)即可；（2）先由勾股定理，求出的長(zhǎng)，再利用正弦值求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，然后除以速度，即可求出下降時(shí)間．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由題意可知，，，在中，，米，，米，即的長(zhǎng)約為8米；【小問(wèn)2詳解】解：米，米，米，在中，，米，，米，米，模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒，即模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒．23.一個(gè)人的腳印信息往往對(duì)應(yīng)著這個(gè)人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高和腳長(zhǎng)之間近似存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：腳長(zhǎng)……身高……（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從和中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，并求出這個(gè)函數(shù)的解析式（不要求寫(xiě)出的取值范圍）；（3）如圖2，某場(chǎng)所發(fā)現(xiàn)了一個(gè)人的腳印，腳長(zhǎng)約為，請(qǐng)根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計(jì)這個(gè)人的身高．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，選擇合適的函數(shù)模型是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可描點(diǎn)；（2）選擇函數(shù)近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，將點(diǎn)代入即可求解；（3）將代入代入即可求解；【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：【小問(wèn)2詳解】解：由圖可知：隨著的增大而增大，因此選擇函數(shù)近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，將點(diǎn)代入得：，解得：∴【小問(wèn)3詳解】解：將代入得：∴估計(jì)這個(gè)人身高24.如圖，在菱形中，．點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），關(guān)于的軸對(duì)稱(chēng)圖形為．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷線(xiàn)段和線(xiàn)段的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，為的外接圓，設(shè)的半徑為．①求的取值范圍；②連接，直線(xiàn)能否與相切？如果能，求的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）①；②能，【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①如圖，設(shè)的外接圓為，連接交于．連接，，，，證明為等邊三角形，共圓，，在上，，過(guò)作于，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，再進(jìn)一步可得答案；②如圖，以為圓心，為半徑畫(huà)