2022年錫林郭勒市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末預(yù)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列中，，且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線(xiàn)的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A． B．C． D．5．學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為、、、、五個(gè)等級(jí)．某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示．該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級(jí)為的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為，則該班（）A．物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人B．物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至少有人C．這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至多有人D．這兩科只有一科等級(jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生至少有人6．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．17．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線(xiàn)交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C．2 D．+19．在中，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)，，，則（）A． B．-2 C． D．210．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的斜率為A．1 B． C． D．11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺，蕪草第天長(zhǎng)高尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．12．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則_____，（的值為_(kāi)_____．14．在直角三角形中，為直角，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，若，則的正切值為_(kāi)____.15．已知，則______，______.16．已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積為，則線(xiàn)段的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為3的線(xiàn)段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足.記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)為曲線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時(shí)切線(xiàn)的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．20．（12分）古人云：“腹有詩(shī)書(shū)氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書(shū)香中國(guó)，校園讀書(shū)活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書(shū)的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)査，統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書(shū)時(shí)間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書(shū)時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，，的值并估算一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù).（2）如果讀書(shū)時(shí)間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；②若從，中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱與所成的角的大??；（2）在棱上確定一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】解：由雙曲線(xiàn)可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.3、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.4、C【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于，，是偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，定義域?yàn)?，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又時(shí)，.綜上，對(duì)，都有，是奇函數(shù).又時(shí)，是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸，在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為，化學(xué)等級(jí)為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是的學(xué)生至多有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時(shí)，或化學(xué)和，物理都是時(shí)，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生，因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人，所以一科為且最高等級(jí)為的學(xué)生最多為（人），C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是的最多人，所以?xún)煽浦挥幸豢频燃?jí)為且最高等級(jí)為的學(xué)生最少（人），D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.6、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.8、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點(diǎn)，則，整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.9、A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線(xiàn)的斜率．故選C．11、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡(jiǎn)得，所以為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7201【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式可求出；令中的，得兩個(gè)式子，代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項(xiàng)式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.14、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.15、【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式結(jié)合弦化切思想求出和的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出的值.【詳解】，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，難度不大．16、【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（2）當(dāng)時(shí)，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.18、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線(xiàn)的方程.（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，求得到直線(xiàn)的距離.聯(lián)立直線(xiàn)的方程和曲線(xiàn)的方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設(shè)，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為設(shè)，由可得：由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時(shí)，，此時(shí)，且符合當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為由題可得，時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問(wèn)題，屬于難題.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】

（1）由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）利用基本不等式可求得時(shí)，取得最小值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，從而求得，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后，可得到切線(xiàn)方程；（3）由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個(gè)不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；化簡(jiǎn)為，結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），切線(xiàn)的斜率存在最小值，，解得：，，即切點(diǎn)為，從而切線(xiàn)方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個(gè)不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識(shí)；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過(guò)極值點(diǎn)的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗?wèn)題.20、（1），，，中位數(shù)；（2）①三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13；②【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得，得到，，再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；②由①知，設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設(shè)一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí)，則，解得，即一周課外讀書(shū)時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為，又因?yàn)?，，的頻數(shù)分別為20，50，130，所以從，，三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13.②由①知，在，兩層中共抽取7人，設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，若從這7人中隨機(jī)抽取2人，則所有情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21種，其中2人不在同一層的情況為，，，，，，，，，，共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”，由古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿(mǎn)足，，求出，當(dāng)時(shí)求出，的解，得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.【詳解】（1）由于，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以