北師版九上數(shù)學(xué)專題1 矩形、正方形中的四個(gè)常考模型 課件

第一章特殊平行四邊形專題1矩形、正方形中的四個(gè)?？寄Ｐ蛿?shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01專題解讀◎問(wèn)題綜述幾何變換主要是平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三大變換，它們最大的

特征都是只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小.四邊

形作為初中階段最核心的內(nèi)容之一，逐漸被用來(lái)作為呈現(xiàn)知識(shí)

和能力的載體.常見(jiàn)模型如下：1.折疊中的“十字架”模型.如圖，在正方形

ABCD

中，

EG

⊥

FH

，則有

EG

＝

FH

.

2.旋轉(zhuǎn)中的“手拉手”模型.如圖，將△

BPC

繞點(diǎn)

B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可得到△

BP

'

A

，則△

BPP

'為等腰直角三角形.3.旋轉(zhuǎn)中的“K”模型.如圖，在正方形

ABCD

中，點(diǎn)

O

為對(duì)角線的交點(diǎn)，直角

EOF

繞

點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn).若

OE

，

OF

分別與射線

DA

，

AB

交于點(diǎn)

G

，

H

，則△

AGO

≌△

BHO

，△

OGH

是等腰直角三角形.4.正方形中的半角模型.從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條線所夾的角等于正方形內(nèi)角的

一半，并且與正方形的邊（或其延長(zhǎng)線）相交.（1）如圖1，在正方形

ABCD

中，若∠

EAF

＝45°，則：①

EF

＝

BE

＋

DF

；②△

CEF

的周長(zhǎng)為正方形

ABCD

邊長(zhǎng)的2倍；③

FA

平分∠

DFE

，

EA

平分∠

BEF

；④

MN2＝

BM2＋

DN2.圖1（2）如圖2，在正方形

ABCD

中，若∠

EAF

＝45°，

FA

平分∠

DFE

，則

EF

＝

DF

－

BE

.

圖2數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練類型一

折疊中的“十字架”模型

如圖，

ABCD

是一張矩形紙片，

AB

＝3，

BC

＝9.在邊

AD

上

取一點(diǎn)

E

，在

BC

上取一點(diǎn)

F

，將紙片沿

EF

折疊，點(diǎn)

C

恰好落在

點(diǎn)

A

處，點(diǎn)

D

落在點(diǎn)

D

'處，則線段

EF

的長(zhǎng)度為

?.

【思路導(dǎo)航】連接

AC

，交

EF

于點(diǎn)

O

.

首先根據(jù)勾股定理求出

AF

，

AC

的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出

OF

的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【點(diǎn)撥】矩形的翻折變換其本質(zhì)就是“十字架”模型，關(guān)鍵是

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用勾

股定理來(lái)解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題.

如圖，在矩形

OABC

中，

OA

＝4，

AB

＝3，點(diǎn)

D

在邊

BC

上，且

CD

＝3

DB

，點(diǎn)

E

是邊

OA

上一點(diǎn)，連接

DE

，將四邊形

ABDE

沿

DE

折疊.若點(diǎn)

A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A

'恰好落在邊

OC

上，點(diǎn)

B

為點(diǎn)

B

'的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)，則

OE

的長(zhǎng)為

?.

【解析】如圖，連接

A

'

D

，

AD

.

類型二

旋轉(zhuǎn)中的“手拉手”模型

一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)

P

是

正方形

ABCD

內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，

PB

＝2，

PC

＝3.你能求出∠

APB

的度數(shù)嗎？圖1小明通過(guò)觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△

BPC

繞點(diǎn)

B

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△

BP

'

A

，連接

PP

'，求出∠

APB

的度數(shù)；思路二：將△

APB

繞點(diǎn)

B

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△

CP

'

B

，連接

PP

'，求出∠

APB

的度數(shù).（1）請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過(guò)程；

圖2【思路導(dǎo)航】（1）利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形以及直角三角形

的判定，即可解決問(wèn)題；（2）先利用旋轉(zhuǎn)求出∠

PBP

'，

P

'

B

，

P

'

A

，利用勾股定理求出

PP

'，進(jìn)而判斷出△

APP

'是直角三角

形，得出∠

APP

'＝90°，即可得出結(jié)果.解：（1）思路一：如圖1，將△

BPC

繞點(diǎn)

B

按逆時(shí)方向針旋轉(zhuǎn)

90°，得到△

BP

'

A

，連接

PP

'，則△

ABP

'≌△

CBP

，∠

PBP

'＝90°，

P

'

B

＝

PB

＝2，

P

'

A

＝

PC

＝3.在Rt△

PBP

'中，

PB

＝

P

'

B

＝2，∴∠

BPP

'＝45°.圖1

∵PA＝1，∴PA2＋

PP

'2＝1＋8＝9.又∵

P

'

A2＝32＝9，∴PA2＋

PP

'2＝

P

'

A2.∴△

APP

'是直角三角形，且∠

APP

'＝90°.∴∠

APB

＝∠

APP

'＋∠

BPP

'＝90°＋45°＝135°.（兩個(gè)思路任選其一進(jìn)行證明，合理即可）圖1

在Rt△

PBP

'中，

PB

＝

P

'

B

＝1，∴∠

BPP

'＝45°.

∵PA＝3，∴PA2＋

PP

'2＝9＋2＝11.

∴PA2＋

PP

'2＝

P

'

A2.圖2∴△

APP

'是直角三角形，且∠

APP

'＝90°.∴∠

APB

＝∠

APP

'－∠

BPP

'＝90°－45°＝45°.圖2【點(diǎn)撥】正方形兩鄰邊相等且垂直，聯(lián)想到構(gòu)造“手拉手”全

等三角形解決問(wèn)題.圖2

如圖，點(diǎn)

G

是正方形

ABCD

對(duì)角線

DB

的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以

線段

BG

為邊作一個(gè)正方形

BEFG

，線段

CE

和

AG

相交于點(diǎn)

H

.

（1）求證：

CE

＝

AG

，

CE

⊥

AG

；（1）證明：∵四邊形

ABCD

和四邊形

BEFG

都是正方形，∴∠

ABC

＝∠

EBG

＝90°，

AB

＝

BC

，

BE

＝

BG

.

∴∠

ABC

＋∠

ABE

＝∠

EBG

＋∠

ABE

，

（2）若

AB

＝2，

BG

＝1，求

CE

的長(zhǎng).

類型三

旋轉(zhuǎn)中的“K”模型

如圖，正方形

ABCD

的對(duì)角線

AC

和

BD

相交于點(diǎn)

O

，

O

又

是正方形

A1

B1

C1

O

的一個(gè)頂點(diǎn)，

OA1交

AB

于點(diǎn)

E

，

OC1交

BC

于

點(diǎn)

F

.

（1）求證：△

AOE

≌△

BOF

.

（2）若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為

a

，則正方形

A1

B1

C1

O

繞點(diǎn)

O

轉(zhuǎn)

動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)

說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出面積.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)正方形中的特殊性，找相等的邊與角，

可由“ASA”證明兩個(gè)三角形全等；（2）運(yùn)用割補(bǔ)法，把求四

邊形

OEBF

的面積，轉(zhuǎn)化成求△

AOB

的面積.

【點(diǎn)撥】計(jì)算正方形中不規(guī)則圖形的面積時(shí)，可利用割補(bǔ)法，

將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

如圖，四邊形

ABCD

是正方形，點(diǎn)

E

是直線

AD

上的一點(diǎn)，連接

CE

，以

CE

為一邊作正方形

CEFG

（點(diǎn)

C

，

E

，

F

，

G

按逆時(shí)針

方向排列），直線

BE

與直線

GD

交于點(diǎn)

H

.

若

AE

＝2，

AB

＝4，

則點(diǎn)

F

到

GH

的距離為

?.

答圖

答圖類型四

正方形中的半角模型

如圖，在正方形

ABCD

中，點(diǎn)

E

是

AB

上一點(diǎn)，點(diǎn)

F

是

AD

延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

DF

＝

BE

.

（1）求證：

CE

＝

CF

.

（2）若點(diǎn)

G

在線段

AD

上，且∠

GCE

＝45°，則

GE

＝

BE

＋

GD

成立嗎？為什么？【思路導(dǎo)航】（1）證明△

CBE

≌△

CDF

（SAS），即可求解；

（2）證明△

ECG

≌△

FCG

（SAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)

即可求解.

【點(diǎn)撥】解決半角模型問(wèn)題的方法有兩種.方法一：把半角一側(cè)

的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換或軸對(duì)稱變換構(gòu)造新的全等三角形，利

用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等來(lái)轉(zhuǎn)化邊和角，進(jìn)而

可以探究新的邊邊關(guān)系或角角關(guān)系；方法二：截長(zhǎng)補(bǔ)短.

如圖，在正方形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

，

F

分別為

BC

，

CD

上一

點(diǎn)，點(diǎn)

M

為

EF

上一點(diǎn)，點(diǎn)

D

，

M

關(guān)于直線

AF

對(duì)稱.（1）求證：點(diǎn)

B

，

M

關(guān)于直線

AE

對(duì)稱；證明：（1）如圖，連接

DM

，

BM

.

∵點(diǎn)

D

，

M

關(guān)于直線

AF

對(duì)稱，∴

AF

垂直平分

DM

.

∴

AD

＝

AM

，

FD

＝

FM

.

又∵

AF

＝

AF