高中所有數(shù)學(xué)公式總結(jié)下載版

中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素及集合關(guān)系

xeA=xeCtJA,xeA=xeA.

2.德摩根公式

CtJ(AB)=CuACb,B;Cu(AB)-CVACl：B.

3.包含關(guān)系

AB=AoA(B=BoAqBoQjBqCuA

oACuB=(DoC"AlB=R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card(AB)

card^A\BC)=cardA+cardB+cardC-card(AB)

-card(AB)-card(BC)-card(CA)+c〃d(AQBC).

5.集合{6,％，M,J子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)解析式三種形式

(1)一般式/(x)=or2+bx+c(aH0)；

(2)頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a豐0);

(3)零點(diǎn)式f(x)=a(x-玉)(x-x2)(a豐0).

7.解連不等式N<f(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N</(x)<M="(x)-M］"(x)-N］<0

…、M+N,M-N

="(x)———1<-^—

<=>.

8.方程/(x)=0在(占,42)上有且只有一個(gè)實(shí)根，及/(占)/(&2)<0不等價(jià)，前者是后者一個(gè)必要而不是充分條件?

特殊地，方程以2+"+c=0(aH0)有且只有一個(gè)實(shí)根在火,心)內(nèi)，等價(jià)于/(占)/(&2)<0,或/(匕)=0且，或

/電)=()且.

9.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值

二次函數(shù)/。)=ax2+bx+c(a*0)在閉區(qū)間［p,q］上最值只能在處及區(qū)間兩端點(diǎn)處取得，詳細(xì)如下：

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若，則/口濡=/(——/(0皿~{)(，)，/(<?)}；

'/(X)皿=3{/(P)J(q)}，/(X)mn=min{/(P)，/(4)}-

(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則/(x)^=min{/(/?),/(<7)}，若，則/(x)^=max{/(p),f(q)},

10.一元二次方程實(shí)根分布

依據(jù)：若/(加)/(〃)<0,則方程/(x)=0在區(qū)間(根,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(x)=%2+px+q,則

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(m,+oo)內(nèi)有根充要條件為f(m)=0或；

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(祖,〃)內(nèi)有根充要條件為/(加)/(〃)<0或或或；

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(-oo,〃)內(nèi)有根充要條件為了(㈤<0或.

11.定區(qū)間上含參數(shù)二次不等式恒成立條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(—8,+oo)子區(qū)間L(形如卜,尸］,(一oo,冏，［a,+oo)不同)上含參數(shù)二次不等式/(x,r)20(，為參數(shù))

恒成立充要條件是/(x,/)min>0(xeL).

(2)在給定區(qū)間(一8,+oo)子區(qū)間上含參數(shù)二次不等式/(x,Z)>0"為參數(shù))恒成立充要條件是/(x,r)?,??<0(xg￡).

(3)/(x)=a?++c>0恒成立充要條件是或.

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有(〃—1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對(duì)全部X,存在某X,

成立不成立p或q-且一、q

對(duì)任何X，存在某X,

不成立成立，且q或「夕

14.四種命題相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若則p是q充分條件.

(2)必要條件：若4=則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且4=>〃，則p是q充要條件.

注：假如甲是乙充分條件，則乙是甲必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)單調(diào)性

(1)設(shè)西々那么

(X_9)[/(%)—/(9)]>oO&上^^>0=/(X)在["，”上是增函數(shù)；

?^1X?

(王—/)[/(%)-/區(qū))]<()o—―/區(qū))<oo/(X)在卜,“上是減函數(shù).

X1~X2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；假如/'(x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.假如函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；假如函數(shù)y=/(〃)和

〃=g(x)在其對(duì)應(yīng)定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=/Ig(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)圖象特征

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，假如一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇

函數(shù)；假如一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f{-x-a)；若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則f{x+d)=f(-x+a).

20.對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe/?),f(x+a)=f(b-x)恒成立,則函數(shù)/(x)對(duì)稱(chēng)軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)y=f{x+a)及

y=f(h-x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

21.若/(x)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；若f(x)=—/(x+a),則函數(shù)y=f(x)為周期為2a

周期函數(shù).

n

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx++-+aQ奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)OP(x)偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)OP(x)奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)圖象對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)v=/(%)圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱(chēng)o/(a+x)=/(a-x)

=/(2Q-X)=/(%).

(2)函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)=f\a+mx}=f(h-mx)

<=>f(a+b-mx)=f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=f(x)及函數(shù)y=f(-x)圖象關(guān)于直線％=0(即y軸)對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=/(znr-a)及函數(shù)y=一加x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

(3)函數(shù)y=f(x)和y=/-'(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

25.若將函數(shù)y=/(x)圖象右移。、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+8圖象；若將曲線/(x,y)=0圖象右移

“、上移b個(gè)單位，得到曲線f(x—-份=0圖象.

26.互為反函數(shù)兩個(gè)函數(shù)關(guān)系

f(a)=h<^f~'(b)=a.

27.若函數(shù)y=f(kx+方)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是y="T(kx+b),而函數(shù)y=[/-'{kx+b}是反函數(shù).

28.幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)=ex,f(x+y)=f(x)+f(y),f(T)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax,f(x+y)=/(x)/(y),/(D="0.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log“X,f(xy)=f(x)+=l(a>0,a*l).

(4)幕函數(shù)/*)=x。，f(xy)=/(x)/(y),/'⑴=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

29.幾個(gè)函數(shù)方程周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或f(x+a)=-^—(/(x)h0),

/(x)

或(/(x)wO),

或;+Jf(x)-尸(x)=f(x+a),(/U)e[0,l]),則f(x)周期T=2a；

(3)/(x)=1-------(/(x)工0),則f(x)周期T=3a；

/(x+a)

(4),/(x,+x2)=/("坐)、且f(a)=l(/(x,).f(x2)H1,0Vx,-x,|<2a),則f(x)周期T=4a：

(5)f(x)+/(x+〃)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4〃)

=/(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),貝！J/(x)周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+a),則f(x)周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

(1)(a>b,m,neN*,_ELn>1).

(2)(幾eN*,且〃>1).

31.根式性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，丘=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，.

32.有理指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,SGQ).

(2)(ar)s=ars(a>0,r,seQ).

⑶(潮=*(a>0,b>0,reQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a"表示一個(gè)確定實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)霖運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)累都適用.

33.指數(shù)式及對(duì)數(shù)式互化式

log“N=8od=N(a>0,a/l,N>0)

34.對(duì)數(shù)換底公式

(a>0,且。工1,加>0,且相工1,?/>()).

推論(。>0,且帆,〃>0,且，N>0).

35.對(duì)數(shù)四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

⑴log”(MN)=log,,M+log?N;

M

⑵logfl—=logflA/-logflN;

(3)logoM"=nlog”M{n&R).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aH0),記△=〃-4ac.若/(x)定義域?yàn)镽,則a>0,且△<0;若f(x)值

域?yàn)镽,則a>0,且△20.對(duì)于a=0情形,須要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若a〉0,b>0,x>0,,則函數(shù)y=logmSx)

⑴當(dāng)a>Z?時(shí),在和上y=loga>.(Z?x)為增函數(shù).

.(2)當(dāng)a<6時(shí),在和上yulog^Sx)為減函數(shù).

推論:設(shè)〃p>0，a>0>且aHl，則

⑴log,“+p(〃+P)<log“"

(2)log?m\ogan<log?

38.平均增長(zhǎng)率問(wèn)題

假如原來(lái)產(chǎn)值基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x總產(chǎn)值)，，有y=N(l+p『.

39.數(shù)列同項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和關(guān)系

(數(shù)列{%}前n項(xiàng)和為s“=4+%++??).

40.等差數(shù)列通項(xiàng)公式

an=4+(n-V)d=dn+ax-d{neN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

41.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

a“==曳?q”(n￡N*)；

q

其前n項(xiàng)和公式為

或.

42.等比差數(shù)列{a“}:a“+i=qa.+d,%=b(q豐0)通項(xiàng)公式為

b+(n-l)d,q-1

=<n

anbq"+(d-b)q~'-d；

i?qw'

Iq-i

其前n項(xiàng)和公式為

nb+n(n-\)d,(q=1)

S"=<〃d、1—q"d-

(b---)—?-+--

I"qq-ii-q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款元(貸款a元,〃次還清，每期利率為b).

44.常見(jiàn)三角不等式

(1)若，則sinx<x<tanx.

(2)若，則1<sinx+cosxW

(3)|sinx|+1cosx|>I.

45.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

sin20+cos20=1,tan0=,tan0cot0=i.

46.正弦、余弦誘導(dǎo)公式

(一sina,（n為偶數(shù)）

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

（n為偶數(shù)）(-l)2cosa,

cos(-----na)=<

（n為奇數(shù)）(-1)2sina,

47.和角及差角公式

sin(a±/?)=sinacosJ3±cosasin/3;

cos(a±(3)=cosacosP.sinsin/?；

,,c、tan?±tan/?

tan(a±J3)=---------------.

14tanatanp

sin(a+/?)sin(a—Q)=sin2a-sin20(平方正弦公式);

cos(a+P)cos(a一/)=cos2a-sin2p.

asina+hcosa=>Ja2+Z?2sin(a+⑼(協(xié)助角(p所在象限由點(diǎn)(a,b)象限確定，).

48.二倍角公式

sin"=sinacosa.

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=l-2sin2a.

49.三倍角公式

sin30=3sin^-4sin30=4sinOsin(工一6)sin(生+6).

33

cos3。=4cos30-3cos0=4cos6cos(工-6)cos(—+0).tan3。='血或~=tan0tan(——0)tan(—+0)

33l-3tan-033

50.三角函數(shù)周期公式

函數(shù)y=sin(Gx+°),x￡R及函數(shù)y=cos(ox+0),x@R(A,為常數(shù)，且A#0,s>0)周期；函數(shù)

y=tan(a)x+(p),(A,s,°為常數(shù)，且AXO,a>0)周期.

51.正弦定理

=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+c2-2Z?ccosA；

〃=/+4_2cacosB;

c2=a1-^-b1-labcosC.

53.面積定理

(1)(〃“、%、/分別表示a、b、c邊上高).

S=2—aha=2—b0hh=2—cchrauc

(2)S=—ahsinC=-bcsinA=—easinB.

222

(3)S&OAB=^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+B+C=7rC=^-(A+B)

=2C=2萬(wàn)一2(A+5).

55.簡(jiǎn)潔三角方程通解

sinx=a=x=+(-1/arcsina(keZ,\a\<\).

cosx=a<=>x=2k九±arccosa(kEZ,\a\<1).

tanx=a=>x=k7v+arctana(keZ,awR).

特殊地，有

sina=sin夕=a=攵4+(-1)A/3(keZ).

cosa=cos[}oa=2k7r±J3(kGZ).

tana=tan/?=a=左乃+/(%eZ).

56.最簡(jiǎn)潔三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<\)<=>xE(2Z〃+arcsina,2k/r+乃一arcsina),keZ.

sinxva(|Q區(qū)1)=xeQk兀-7t-arcsina,2%4+arcsind),ksZ.

cosx>6z(|^|<1)<=>xG(2k/r-arccosa,2k/r+arccosd)、keZ.

cosxva(|4區(qū)1)o%￡Qk兀+arccosa,2左"+2〃一arccosd),keZ.

JI

tanx>a(aG/?)=>xe(k/r+arctana,kjr+—),keZ.

tanx<a(a￡R)nxw(&4-—.k7i+arctana),keZ.

57.實(shí)數(shù)及向量積運(yùn)算律

設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(ua)=(入口)a;

(2)第一安排律：(X+u)a=Xa+ua;

⑶其次安排律：入(a+b)=入a+入b.

58.向量數(shù)量積運(yùn)算律：

/1X

(J

X,a,b=b?a(交換律)；

z2\

(1

\7(Aa)?b=2(a?b)=4a?b=a?(Xb);

zX

r3

lJ

x,(a+b)?c=a,c+b?c.

59.平面對(duì)量基本定理

假如今、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入一入2,使得a二入⑻+

人市2?

不共線向量e：、色叫做表示這一平面內(nèi)全部向量一組基底.

60.向量平行坐標(biāo)表示

設(shè)a=(M，y]),b=(/，以)，且bwO,則ab(b^0)<=>x]y2-x2y]=0.

53.a及b數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=ab|cos0.

61.a?b幾何意義

數(shù)量積a,b等于a長(zhǎng)度|a[及b在a方向上投影|b|cos0乘積.

62.平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(再，y),b=(占，為)，則a+b=。+%,,必+K).

(2)設(shè)8F(和y),b=(x2,%)，則a-b=(X-％，y一月)?

⑶設(shè)A(再，％),B(/,%)，則或=—以=(w—X,%一y)?

⑷設(shè)(冗,>),4￡/?，則4a=(&,%、),

⑸設(shè)葭(%,必)，4(工2，%)，貝Ua?b=(x]x2+y1y2).

63.兩向量夾角公式

COSe=/X；+)/),2,(年(玉，X),b=(々，％))?

網(wǎng)+X-\lx2+y2

64.平面兩點(diǎn)間距離公式

dAB=\AB\=\lABAB

22

=yl(x2-x{)+(y2-yy)(A(%,y),B(x2,y2)).

65.向量平行及垂直

設(shè)a=(%,y),b二(々，%)，且bwO,則

Abob二入a?x}y2-x2y,=0.

a_Lb(aW0)Oa?b=0<=>x]x2+y2=0.

66.線段定比分公式

設(shè)々(小必)，￡(%，%)，P(x,y)是線段片鳥(niǎo)分點(diǎn)，力是實(shí)數(shù)，且6P=，則

<=>

OOP=3+(1T)OB().

67.三角形重心坐標(biāo)公式

X++

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(X-y)、B(X2)y2)、C(x3,y3),則△ABC重心坐標(biāo)是G(I^5.,,

68.點(diǎn)平移公式

x=x+hx=x-h

<,==OP=OP+PP.

y=y+ky=y-k

注:圖形F上隨意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形戶上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x,y'),且坐標(biāo)為(〃,左).

69.“按向量平移”幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(〃,k)平移后得到點(diǎn)P'(x+九y+左).

(2)函數(shù)>=f(x)圖象C按向量a=(/i，公平移后得到圖象C,則C.函數(shù)解析式為丁=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(〃/)平移后得到圖象C,若C解析式y(tǒng)=f(x),則C函數(shù)解析式為y=f(x+h)-k.

⑷曲線C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,則C'方程為f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(〃,女)平移后得到向量仍舊為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式充要條件

設(shè)。為AABC所在平面上一點(diǎn)，角48,。所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,。,c,則

(1)。為AABC外心oOA?=。呂2=。。2

(2)。為A43C重心oQA+0B+0C=0.

(3)0為A4SC垂心。QA0B=050C=0C0A.

(4)0為內(nèi)心oa0A+〃0B+c0C=0.

(5)。為A/WCZA旁心oaOA=bOB+cOC.

71.常用不等式：

(1)48€/?=。2+8222必(當(dāng)且僅當(dāng)@=1)時(shí)取“=”號(hào)).

(2)0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)).

(3)a3+lx'+c3>3abc(a>0,Z>>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+h2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)同_網(wǎng)<,+目〈時(shí)+碼.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2〃；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值,52.

推廣已知wR,則有(x+y>=(x-y)2+2到

(1)若積犯是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，Ix+y|最大；

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，|xy|最?。?/p>

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|町|最大.

73.一元二次不等式ar?+"+c>0(或<0)(a#0,△=/—4ac>0),假如a及a?+扇+c同號(hào)，則其解集在兩根

之外；假如a及a^+fex+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

X[<x<x2<=>(x-x^x-x2)<0(x)<x2);

X<X^^X>X2=(工一再)(工_工2)>°(再</)?

74.含有肯定值不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

國(guó)vaoYv<^>-a<x<a.

國(guó)>。0%2>々20%>4或xv—a.

75.無(wú)理不等式

7w>0

(1)"(x)>Jg(x)<=>,g(x)NO

f(.x)>g(x)

/U)>0

/U)>0

(2)"(x)>g(x)o,g(x)NO

g(x)<0

J(x)>—

/(x)>0

(3)，J(x)<g(x)og(x)>0

J(X)<[g(X)]2

76.指數(shù)不等式及對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)時(shí)，

af{x}>axMo/(x)>g(x);

7(x)>0

log“/(X)>log”g(x)=<g(x)>0.

f(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<a<l時(shí),

afM>asWo/(x)<g(x);

7(x)>0

log“/(X)>log?g(x)=，g(x)>0

f(x)<g(x)

77.斜率公式

(6(X|，X)、P2{x2,y2)).

78.直線五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k{x-xi)(直線/過(guò)點(diǎn)[(X],%),且斜率為左).

(2)斜截式y(tǒng)=^+8(b為直線/在y軸上截距).

⑶兩點(diǎn)式((。為)(耳(占，乂)、6*2，%)(%內(nèi)2)).

(4)截距式(么力分別為直線橫、縱截距，a、AHO)

(5)一般式Ax+3y+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

79.兩條直線平行和垂直

(1)若4:y=R[X+6],%：丫=k?x+瓦

①4||4=占=k[,b\4b2：

②/i_L/,<=>k、k,=—1.

(2)若4:4大++G=0,/?:A?x+B?y+。2=0,且Ai、A?、Bi、B?都不為零,

①；

②4u=44+4坊=0；

80.夾角公式

(1).

(/,:y=ktx+bt,l2\y=k2x+b2,kxk-,*-1)

(2).

(4:Ax+gy+G=0,4-.A2x+B2y+C2-0,AlA2+BtB2^0).

TT

直線時(shí)，直線/l及b夾角是一.

2

81.4到4角公式

(1).

(4:y=&M+A,l2:y-k2x+b2,^k2(一1)

(2).

:

(/,:Atx+B]y+Ct=012A2x+B2y+C2-0,+B]B2H0).

TT

直線時(shí)，直線6到?2角是

82.四種常用直線系方程

(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)兄(%,%)直線系方程為y-%=%(x-x0)(除直線x=%),其中人是待定系數(shù)；經(jīng)過(guò)

定點(diǎn)R(x0,y0)直線系方程為A(x—%)+3(y—%)=0,其中A,8是待定系數(shù).

⑵共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線4：4x+8j+G=0,l^.A,x+B^+C^Q交點(diǎn)直線系方程為

(Ax+B,y+C,)+A(Ax+y+C2)=0([^/2),其中人是待定系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線y=丘+b中當(dāng)斜率k肯定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.及直線Ar+By+C=O

平行直線系方程是Ax+gy+/l=O(/lH()),入是參變量.

(4)垂直直線系方程：及直線Av+8y+C=0(AKO,BWO)垂直直線系方程是&-Ay+zl=0,入是參變量.

83.點(diǎn)到直線距離

(點(diǎn)P(x0,%),直線,：Ax+By+C=0).

84.4+8)+。>0或<0所表示平面區(qū)域

設(shè)直線l:Ax+By+C=0,則Ar+By+C>0或<0所表示平面區(qū)域是：

若當(dāng)5及Ar+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/上方區(qū)域；當(dāng)B及4:+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線/下方區(qū)域.簡(jiǎn)

言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若8=0,當(dāng)A及Av+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/右方區(qū)域；當(dāng)A及―+B_y+C異號(hào)時(shí)，表示直線/左方區(qū)域.簡(jiǎn)

言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

85.(4x+81.y+G)(4x+8；!y+C2)>?；?lt;0所表示平面區(qū)域

設(shè)曲線c：(Ax+qy+G)(A2x+52y+G)=o(4&4名片。)，貝u

(4工+8/+6)(4》+8/+。2)>0或<0所表示平面區(qū)域是：

(Ax+Ay+GX&x+仄y+a)〉。所表示平面區(qū)域上下兩部分；

(Ax+用y+G)(&x+鳥(niǎo)〉+C2)<0所表示平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓四種方程

(1)圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

(3)圓參數(shù)方程.

(4)圓直徑式方程(x—%)(%-々)+3—必)3—%)=。(圓直徑端點(diǎn)是A(X，y)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)4(王，乂)，仇》2，為)圓系方程是

。一%)。一々)+0—)，|)0—>2)+2[。一%)(必一必)一()一必)(王一工2)]=。

o*-王)0-》2)+(V-y)(曠一月)+2(5+力+。)=0,其中曲;+勿+。=0是直線A3方程，入是待定系數(shù).

⑵過(guò)直線/:Ax+By+C=0及圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)圓系方程是

V+y2+6+Ey+尸+幾(Ax+By+C)=0,8是待定系數(shù).

2222

(3)過(guò)圓C1:x+y+Dtx+Ety+=0及圓C2:x+y+D2x+E2y+F2-0交點(diǎn)圓系方程是

222

x+/+D^+E^+^+^x+y+D2x+E2y+F2)=0,8是待定系數(shù).

88.點(diǎn)及圓位置關(guān)系

點(diǎn)尸(X。,%)及圓(x-。)2+(y-6)2=/位置關(guān)系有三種

若d=J(a_x0)2+S-%)2,貝ij

d>ro點(diǎn)P在圓外；d=ro點(diǎn)尸在圓上；dvro點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線及圓位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0及圓(x-a)?+(y-人)2=/位置關(guān)系有三種：

d>ro相離=△<();

d=r=相切o△=0;

d<r=相交=△>().

其中,

90.兩圓位置關(guān)系判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0”。2,半徑分別為阿r2,\O{O2\=d

d>4+弓=外離=4條公切線；

d=6+々=外切=3條公切線；

\rt-r2\<d<rt+r2o相交o2條公切線；

d=\r}-r2\=內(nèi)切<=>1條公切線；

()<d<k內(nèi)含o無(wú)公切線.

91.圓切線方程

(1)已知圓X?+y2+[)x+Ey+F-0.

①若已知切點(diǎn)(%,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

,￡)(x0+x)￡(y0+^)

+——+——+尸=0?

當(dāng)(七,%)圓外時(shí)，x°x++D5產(chǎn)+E(.yj外+F=0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)切線方程可設(shè)為y-%=%),再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，留意不要漏掉平行

于y軸切線.

③斜率為k切線方程可設(shè)為y=fcc+b,再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓/+產(chǎn)=/.

①過(guò)圓上發(fā)(x°,%)點(diǎn)切線方程為兩K+此>=/;

②斜率為k圓切線方程為y=-±d+%2.

92.橢圓參數(shù)方程是.

93.橢圓焦半徑公式

，?

94.橢圓內(nèi)外部

(1)點(diǎn)PS。,%)在橢圓內(nèi)部.

(2)點(diǎn)PG。,為)在橢圓外部.

95.橢圓切線方程

(1)橢圓上一點(diǎn)尸(方,%)處切線方程是.

(2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)P(x0,%)所引兩條切線切點(diǎn)弦方程是

(3)橢圓及直線Ar+By+C=0相切條件是A2a2+笈〃=.

22

96.雙曲線---=1(。>0,力>0)焦半徑公式

，?

97.雙曲線內(nèi)外部

尤2v2

(1)點(diǎn)P(x(),y())在雙曲線一z------T=1(。>0,/?>0)內(nèi)部.

ab

22

(2)點(diǎn)P(x0,%)在雙曲線——=1(。>0,Z?>0)外部.

ah

98.雙曲線方程及漸近線方程關(guān)系

(1)若雙曲線方程為n漸近線方程：.

(2)若漸近線方程為<=>=雙曲線可設(shè)為.

(3)若雙曲線及有公共漸近線，可設(shè)為(入>0,焦點(diǎn)在x軸上，Z<0,焦點(diǎn)在y軸上).

99.雙曲線切線方程

22

(1)雙曲線,一方=1(。〉0,h>0)上一點(diǎn)P(%,%)處切線方程是.

J.2v2

(2)過(guò)雙曲線二-勺=1(“>0/>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)所引兩條切線切點(diǎn)弦方程是

ab~

22

(3)雙曲線4一與=1伍〉0力〉0)及直線Ax+gy+C=0相切條件是A%2-32〃=C2.

a

100.拋物線V=2px焦半徑公式

拋物線丁=2*(〃>0)焦半徑.

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)\CD\=2+^+X2+^=玉+尤2+P.

101.拋物線y2=2px上動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P(2p〃,2pz)或P(x,y),其中y2=2px.

??2

2

102.二次函數(shù)y=+版+。=4(彳+一)+_^￡----(。片0)圖象是拋物線：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)

2a4a

準(zhǔn)線方程是.

103.拋物線內(nèi)外部

⑴點(diǎn)尸(％,%)在拋物線產(chǎn)=2px(p>0)內(nèi)部=y2<2px(p>0).

點(diǎn)尸(%,%)在拋物線y2=2px(p>0)外部=y2>2px(p>0).

2

(2)點(diǎn)P(x。,%)在拋物線y=-2px(p>0)內(nèi)部oV<-2px(p>0).

點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線丁=-2px{p>0)外部o丁>一2Px(p>0).

⑶點(diǎn)尸(%,%)在拋物線犬=2py(p>0)內(nèi)部ox?<2py(p>0).

22

點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x-2py(p>0)外部<^>x>2py(p>0).

2

⑷點(diǎn)P(x0,%)在拋物線x=2py(p>0)內(nèi)部=x?<2py(p>0).

點(diǎn)P(x0,%)在拋物線x2=-2py(p>0)外部o/>-2py(p>0).

104.拋物線切線方程

(D拋物線V=2px上一點(diǎn)Ax。,為)處切線方程是為y=p(x+xn).

(2)過(guò)拋物線V=2/zr外一點(diǎn)P(Xo，x))所引兩條切線切點(diǎn)弦方程是%y=/2(1+廝).

(3)拋物線丁=2px(p>0)及直線AY+3)，+C=0相切條件是/汨？=2AC.

105.兩個(gè)常見(jiàn)曲線系方程

(1)過(guò)曲線/(x,y)=0,6(x,y)=0交點(diǎn)曲線系方程是

工(x,y)+/l人(x,y)=0(；l為參數(shù)).

⑵共焦點(diǎn)有心圓錐曲線系方程，其中k<max{a2,b2}.當(dāng)k>mm{a\h2}時(shí)，表示橢圓；當(dāng)

min{a2,/?2)<k<max{a2,/?2}時(shí),表示雙曲線.

106.直線及圓錐曲線相交弦長(zhǎng)公式-，=)(%-多)2+(%-%)2或

2

IAB\=5(1+32)(々一1)2=1不一々|Jl+tan%=|y一％171+cotCZ(弦端點(diǎn)A(王，弘),B(x2,y2),由方程消

去y得到以2+法+。=(),△>(),a為直線A8傾斜角，左為直線斜率).

107.圓錐曲線兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

(1)曲線F(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)尸(后,%)成中心對(duì)稱(chēng)曲線是F(2xo-x,2yu-y)^O.

(2)曲線尸(x,y)=0關(guān)于直線Ar+8y+C=0成釉對(duì)稱(chēng)曲線是

_2A(Ax+By+C)2B(Ax+By+CY八

F(x------；——-----,y-------；——4；----)=0.

A2+B2A2+B-

108.“四線”一方程

對(duì)于一般二次曲線Ar2+BD+(y+￡>x+Ey+R=0,用x0x代用九y代V，用代孫，用代x，用代y即得

方程

?亙苫處+。為了+。?無(wú)尸+￡,2妥+尸=0,曲線切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.

109.證明直線及直線平行思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同及第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

110.證明直線及平面平行思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線及平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

111.證明平面及平面平行思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112.證明直線及直線垂直思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線及另一線射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為線及形成射影斜線垂直.

113.證明直線及平面垂直思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線及平面內(nèi)任始終線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線及平面內(nèi)相交二直線垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為該直線及平面一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；

(5)轉(zhuǎn)化為該直線及兩個(gè)垂直平面交線垂直.

114.證明平面及平面垂直思索途徑

(1)轉(zhuǎn)化為推斷二面角是直二面角；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量加法及數(shù)乘向量運(yùn)算運(yùn)算律

⑴加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

⑶數(shù)乘安排律：A(a+b)=Aa+Ab.

116.平面對(duì)量加法平行四邊形法則向空間推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱平行六面體以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)對(duì)角線所表示向

量.

117.共線向量定理

對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a、b(bWO),a〃b=存在實(shí)數(shù)入使a=Nb.

P、A、B三點(diǎn)共線。==0P=(l-f)0A+r08.

AB\\CD<^AB,C/5共線且AB、CO不共線oAB=9。且AB、8不共線.

118.共面對(duì)量定理

向量p及兩個(gè)不共線向量a,b共面0存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p=ax+by.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)=存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MP=xMA+yMB,

或?qū)臻g任肯定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使OP=O例+*位4+)，例8.

119.對(duì)空間任一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)A、B、C,滿意OP=xOA+yOR+zO。(x+y+z=Z),則當(dāng)左=1時(shí)，對(duì)于

空間任一點(diǎn)0,總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若Ow平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若Oe平面ABC,則

P、A、B、C四點(diǎn)不共面.

A、B、C、D四點(diǎn)共面=4。及A3、AC共面=AO=xA8+)，AC0

OD=(l-x-y)OA+xOB+yOC(O任平面ABC).

120.空間向量基本定理

假如三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使p=xa+yb+zc.

推論設(shè)0、A、B、C是不共面四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一三個(gè)有序?qū)崝?shù)X,y,z,使0尸=犬。4+)。3+zOC.

121.射影公式

己知向量AB=a和軸/,e是/上及/同方向單位向量.作A點(diǎn)在/上射影A',作B點(diǎn)在/上射影8,則

AB=|AB|cos〈a,e>-a,e

122.向量直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(q,%，4)，b=(4也也)則

⑴a+b=(?,+bx,a2+b2,ai+b1)；

(2)a-b=(q-b^a-,-b2,a3-b3)；

⑶Xa=(AapA.a2,4%)(XeR)；

(4)a,b=她+a2b2+a3b3；

123.設(shè)A(X],y,Z]),B(x2,y2,z2),則

AB=OB-OA=(x2-Xj,y,-y,,z2-z,).

124.空間線線平行或垂直

11

設(shè)a=(X],y,Z]),人=(々,％,22)，貝U

aPba=Ab(bw0)<=>；

iiii

aLbab=0o+yxy2+ztz2-0.

125.夾角公式

設(shè)a=(%,%,%)，b=(4也也),則

cos{a,b)=..-——,

7?12+a；+a；yjb；+b；+b；

推論(ae+44+%么)24(42+嬉+抬)(母+片+公)，此即三維柯西不等式.

126.四面體對(duì)棱所成角

四面體A6CQ中，AC及8。所成角為。，則

八|(AB2+C￡>2)-(5C2+￡>A2)|

cos0=--------------------------.

2ACBD

127.異面直借號(hào)成角

cos0=|cos0,b)|

rr

=|■叫一卬2+)-1)1+2,]

I4I?I6Jx：+y2+z:,[x；++Z；

(其中6(0"<6490")為異面直線a力所成角，分別表示異面直線a