高中數(shù)學(xué)人教版選修23教學(xué)設(shè)計第一章計數(shù)原理教案

1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；

過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；

情感、態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生形成“自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式

教學(xué)重點：分類計數(shù)原理（加法原理）與分步計數(shù)原理（乘法原理）

教學(xué)難點：分類計數(shù)原理（加法原理）與分步計數(shù)原理（乘法原理）的準(zhǔn)確理解

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

引入課題

先看下面的問題：

①從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？

②把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？

要解決這些問題，就要運用有關(guān)排列、組合知識.排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計數(shù)方法.

總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.

在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.這節(jié)課，我

們從具體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個原理.

1分類加法計數(shù)原理

（1）提出問題

問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出

多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有

2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？

（2）發(fā)現(xiàn)新知

分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方法，

在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.

（3）知識應(yīng)用

例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣

的強項專業(yè)，具體情況如下：

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會計學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

分析：由于這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由

于兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選

擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)

選擇方法.又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名

同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有

5+4=9(種).

變式：若還有C大學(xué)，其中強項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)

可能的專業(yè)選擇共有多少種？

探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有叫種不同的方法，在第2類

方案中有加2種不同的方法，在第3類方案中有機3種不同的方法，那么完成這件事共有多少

種不同的方法？

如果完成一件事情有〃類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)

呢？

一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有g(shù)種不同的方法，在第2類辦法中有m2

種不同的方法……在第n類辦法中有犯,種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m、+m2+---+mn

種不同的方法.

理解分類加法計數(shù)原理：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互

獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.

2分步乘法計數(shù)原理

(1)提出問題

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A2,…，4，8”…的

方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

字母數(shù)字得到的號碼

我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何

一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54個不同的號碼.

探究：你能說說這個問題的特征嗎？

(2)發(fā)現(xiàn)新知

分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有7%種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=mxn

種不同的方法.

(3)知識應(yīng)用

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽,

共有多少種不同的選法？

分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有

30X24=720種不同的選法.

探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有班種不同的方法，做第2步有加2種不

同的方法，做第3步有機3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事情需要〃個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)

呢？

一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有町種不同的方法，做第2步有，々種不同的方

法……做第n步有用，種不同的方法.那么完成這件事共有

N=gxm2x…X/M”種不同的方法.

理解分步乘法計數(shù)原理：

分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，

完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.

3.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方

法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成

這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干

步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，

才算完成這件事，是合作完成.

3綜合應(yīng)用

例3.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放

2本不同的體育書.

①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？

【分析】

①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此

是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.

②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完

成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用

分步計數(shù)原理.

③要完成的事是“取2本不同學(xué)科的書”，先要考慮的是取哪兩個學(xué)科的書，如取計算機

和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這

件事的一部分，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些

選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.

解：(1)從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，

有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層

取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N-m}+m,+inj=4+3+2=9;

(2)從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1

層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步

從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N=，乂2=24.

(3)7V=4x3+4x2+3x2=26。

例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

問共有多少種不同的掛法？

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，

從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛

在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=3X2=6.

6種掛法可以表示如下：

左邊右邊得到的掛法

一?一一乙左甲右乙

甲-

丙左甲右丙

_.—甲左丙右甲

丙V；

-一乙左丙右乙

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問

題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中

任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的

方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事.

練習(xí)

1.填空:

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只

會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是—；

（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的

路線有一條.

2.現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生4名.（1）

從中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C村，不同（2）從3個

年級的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

3.在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強項專業(yè)，則A大學(xué)共有6個專業(yè)可以選擇，B

大學(xué)共有4個專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有

6+4=10（種）.

這種算法有什么問題？

例5.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A?G或U?Z,后兩

個要求用數(shù)字1?9.問最多可以給多少個程序命名？

分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間

字符；第3步，選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類.

解：先計算首字符的選法.由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7+6=13種選法.

再計算可能的不同程序名稱.由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有

13X9X9==1053

個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名.

例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個RNA分子是一個有著數(shù)

百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù).

總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示.在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意

次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān).假設(shè)有一類RNA分子由

100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？

分析：用圖1.1—2來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個

位置都可以從A,C,G,U中任選一個來占據(jù).

第1位第2位第3位第100位

4種4種4種4種

解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1—2所示.從左到右依次在每

一個位置中，從A,C,G,U中任選一個填入，每個位置有4種填充方法.根據(jù)分步乘

法計數(shù)原理，長度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有

4-4??…4=4100（個）

、---V---J

100

例7.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控

制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進

制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來

表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.問：

（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？

（2）計算機漢字國標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些

漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順

序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題.

解：（1）用圖1.1—3來表示一個字節(jié).

圖1.1一3

一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以

表示2X2X2X2X2X2X2X2=2s=256個不同的字符；

（2）由（1）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們就考慮用2個

字節(jié)能夠表示多少個字符.前一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256種

表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256X256=65536

個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763.所以要表示這些漢字，每個

漢字至少要用2個字節(jié)表示.

例8.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多

少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，

一個程序模塊由許多子模塊組成.如圖1.1-4,它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊.問：

這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試

方法，以減少測試次數(shù)嗎？

開始

?字模塊1字模塊2字模塊3

?18條執(zhí)行路徑45條執(zhí)行路徑28條執(zhí)行路徑

?字模塊4字模塊5

?38條執(zhí)行路徑43條執(zhí)行砧徑

?結(jié)束

圖1.1—4

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2

步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第2步

可由子模塊4或子模塊5來完成.因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩

個計數(shù)原理.

解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共有

18+45+28=91（條）；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有

38+43=81（條）.

又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有

91X81=7371（條）.

在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正

確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子

模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第

2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為

3X2=6.

如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模

塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178（次）.

顯然，178與7371的差距是非常大的.

你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？

例9.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通

管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3

個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那

么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右.確定一個牌

照的字母和數(shù)字可以分6個步驟.

解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右.字母組合在

左時;分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：

第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；

第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；

第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；

第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法；

第5步，從剩下的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法；

第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有

26X25X24X10X9X8=11232000（個）.

同理，字母組合在右的牌照也有11232000個.

所以，共能給

11232000+11232000=22464000（個）.

輛汽車上牌照.

用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細(xì)分析一需要

分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類

加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”一完成了所有步驟，恰好完成任務(wù),

當(dāng)然步與步之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).

練習(xí)

1.乘積（4+%+%）（濟+b2+by）（C]++C3+C4+C5）展開后共有多少項？

2.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四

位數(shù)字都是。到9之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？

3.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法？

4.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出

去，共有多少種不同的進出商場的方式？

鞏固練習(xí)：習(xí)題1.11,2

課外作業(yè)：第12頁習(xí)題1.13,4,5

例1.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少

條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成，

所以，

第一類，ml=1X2=2條

第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1X2=2條

所以，根據(jù)加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條

例2.如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種

顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

第三步，m3=1種，

第四步，m4=1種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2X1X1=6

變式

1,如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同

一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

2若顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結(jié)果呢？

75600有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)？

解：由于75600=2'X33X52X7

(1)75600的每個約數(shù)都可以寫成2,37的形式，其中

0</<4,0<./<3,0<^<2,0</<1

于是,要確定75600的一個約數(shù)，可分四步完成,即i,/,%,/分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值,

這樣i有5種取法，，有4種取法，k有3種取法，/有2種取法,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個

數(shù)為5X4X3X2=120個.

鞏固練習(xí)：

1.如圖，從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路

可通，從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一，要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用

多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

若變?yōu)閳D二,圖三呢？

5.五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭

奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

6.(2007年重慶卷)若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間

分成(C)

A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分

課外作業(yè)：第12頁習(xí)題1.14,5

教學(xué)反思：

課堂小結(jié)

1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、

組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.

2.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方

法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互

依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.

3.運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：

分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一

類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏

分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這

件事才算完成.

分配問題

把一些元素分給另一些元素來接受.這是排列組合應(yīng)用問題中難度較大的一類問題.因

為這涉與到兩類元素：被分配元素和接受單位.而我們所學(xué)的排列組合是對一類元素做排列

或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了.

事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素.例如，把10個全排列，可以理解為在

10個人旁邊，有序號為1,2,……，10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐

法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可

歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：

①.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是,這里〃之加.其中用是

“接受單位”的個數(shù)。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中雇來的意義，只要〃2加.

個數(shù)為m的一個元素就是“接受單位”,于是，方法還可以簡化為.這里的“多”只要2“少

②.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”，并且不限制一對一的分配問題，方法

是分組問題的計算公式乘以

1.2.1排列

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式與推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思

想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。

過程與方法：能運用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實際問題

情感、態(tài)度與價值觀：能運用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實際問題.

教學(xué)重點：排列、排列數(shù)的概念

教學(xué)難點：排列數(shù)公式的推導(dǎo)

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

內(nèi)容分析：

分類計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分，依分類計數(shù)原理解題，首先明確

要做的這件事是什么，其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下

進行分類.分類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計數(shù)原理是指完

成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才

算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的地

位是有區(qū)別的，分類計數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問題時往往需要先分類，每類中再分

成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格

按原理去分析問題.只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識深刻、理解到位、思路清晰，才會做到分類有

據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)

分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、

組合問題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運用它們?nèi)ソ鉀Q問題，這兩個原理貫穿排列、組合

學(xué)習(xí)過程的始終.搞好排列、組合問題的教學(xué)從這兩個原理入手帶有根本性.

排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少

種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題，

與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義

上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有叫種不

同的方法，在第二類辦法中有機2種不同的方法，……，在第n類辦法中有“，種不同的方法

那么完成這件事共有N=町+?+…+犯,種不同的方法

2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有g(shù)種不同的

方法，做第二步有，々種不同的方法，……，做第n步有機“種不同的方法，那么完成這件事

有N=成乂飛乂…又種不同的方法

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問

題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，每一種方法

只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”

問題，各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟，

只有各個步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題：L分清要完成的事情是什么；2.是分

類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制

二、講解新課：

1問題：

問題1.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參

加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？

分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動

在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排

法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的對象叫做元素

解決這一問題可分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人,

有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下

午活動的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在3名

同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3

X2=6種，如圖1.2—1所示.

相應(yīng)的排法

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

圖1.2—1

把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素a,b

中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排

歹!］是ab,ac,ba,be,ca,cb,

共有3X2=6種.

問題2.從1,2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不

同的三位數(shù)？

分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取1個，有4

種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，

從余下的2個數(shù)中取，有2種方法

由分步計數(shù)原理共有：4X3X2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由

此可寫出所有的排法

顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得

到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù).可以分三個步驟來

解決這個問題：

第1步，確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方

法；

第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個

數(shù)字中去取，有3種方法；

第3步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的

2個數(shù)字中去取，有2種方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1,2,3,4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字,

按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有

4X3X2=24

種不同的排法，因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖1.2—2所示.

12

/I、/Z

2341341

/\/\/\/\/\/\/\

342423341413241412231312

由此可寫出所有的三位數(shù):

123,124,132,134,142,143,

213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,

412,413,421,423,431,432。

同樣，問題2可以歸結(jié)為:

從4個不同的元素a,b,c,d中任取3個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少

種不同的排列方法？

所有不同排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,edb,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

共有4X3X2=24種.

樹形圖如下

2.排列的概念：

從“個不同元素中，任取m（m<n）個元素（這里的被取元素各不相同）按照二足時

順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出m個元素的：個排列

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同

3.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取，"（m<n）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個元素中取出加

元素的排列數(shù)，用符號A："表示

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取〃?個元素按

照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任取加（加個元

素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列

4.排列數(shù)公式與其推導(dǎo)：

由的意義：假定有排好順序的2個空位，從〃個元素q,…中任取2個元素去填

空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣

的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)用.由分步計數(shù)原理完成上述填

空共有〃（〃—1）種填法，=—1）

由此，求A：可以按依次填3個空位來考慮，=——2）,

求4"以按依次填m個空位來考慮4"=〃（〃一1）（〃一2）…（〃一根+1）,

排列數(shù)公式：

第I位第2位第3位第m位

-1）（〃—2）???（〃一機+1）I~~I~~I~|........

ffff

nn-1n-2n-m*-]

（m,neN*,m<n）00155

說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個

少1,最后一個因數(shù)是〃—加+1,共有加個因數(shù)；

（2）全排列：當(dāng)〃=〃?時即〃個不同元素全部取出的一個排列

全排列數(shù)：=〃（〃一1）（〃一2）…21=〃?。ń凶鰊的階乘）

另外，我們規(guī)定0!=1.

例1.用計算器計算:(1)心(2)浦；(3)部+用.

解：用計算器可得：

(1)10|SHIFT|國4=5040；

(2)18|SHIFT|應(yīng)5=1028160；

(3)18|SHIFT］施18臼13|SHIFt畫13=1028160.

由(2)(3)我們看到，4=+那么，這個結(jié)果有沒有一般性呢？即

排列數(shù)的另一個計算公式：

A：=n(n-l)(n—2)???(?-/n+1)

_n(n-l)(n+l)(n—機)…3?2?1_

(n—m)(n-m-l)---3-2-l

即A：二

例2.解方程：3A：=2At+6A；.

解:由排列數(shù)公式得：3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-l),

Vx>3,A3(x-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3f—17x+10=0,

解得x=5或，Vx>3,且xeN*,.?.原方程的解為x=5.

例3.解不等式：禺〉6崗..

解：原不等式即，

也就是------->---------------:--------化簡得：%2-21X+104>0,

(9-x)!

解得x<8或x>13,又?.?2WxW9,且xeN*,

所以，原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.

例4.求證：(1)A：=A：?A：二;(2)-^-=1-3-5---(2?-1).

2"?〃！

證明：(1)=」八一1(〃—/〃)!=〃！=4',.?.原式成立

(〃一根)！

…、(2〃)！2n-(2n-l)-(2n-2)..-4-3-2-l

(2)-----=---------------------------

r-n\2"-nl

2〃n?(7i—1)…2,1,(2〃—1)(2〃—3),?,3?1

2〃?加

=”!，13-（2"-3）（2"-1）=1.3.5…（2〃—1）=右邊

n\

...原式成立

說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)A；中，m,〃eN*且加W〃這些

限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；

（2）公式=〃（〃一1）（〃一2）…（〃一/〃+1）常用來求值，特別是均為已知時，公式

A：=,常用來證明或化簡

例5.化簡：(1)；(2)lxl!+2x2!+3x3!+---+nxn!

⑵提示：由(〃+l)!=(〃+l)〃!=〃x〃!+〃!，得〃x〃!=(〃+l)!—〃!,

原式=（〃+1）!—1

說明：.

例7.（課本例2）.某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊

在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？

解：任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元

素的一個排列.因此，比賽的總場次是吊=14X13=182.

例8.（課本例3）.（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有

多少種不同的送法？

（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個不同元素中任取3

個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是

8=5X4X3=60.

（2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給

3名同學(xué)每人各1本書的不同方法種數(shù)是

5X5X5=125.

例8中兩個問題的區(qū)別在于：（1）是從5本不同的書中選出3本分送3名同學(xué)，

各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（2）中，由于不同的人得到的書可能相同，因

此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進行計算.

例9.（課本例4）.用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分

析：在本問題的。到9這10個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位

置上，因此。是一個特殊的元素.一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題

解法1：由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上

A；個A?個

的數(shù)字不能是0,因此可以分兩步完成排列.第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9這九

個數(shù)字中任選1個，有《種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字

中任選2個，有4種選法(圖1.2—5).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有

A?4=9X9X8=648（個）

解法2：如圖1.2—6所示，符合條件的三位數(shù)可分成3類.每一位數(shù)字都不是位數(shù)

有A母個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個.根據(jù)分類加法

計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有

4+置+用=648個.

解法3：從。到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為其中0在百位上的排

列數(shù)是眉，它們的差就是用這10個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三

位數(shù)的個數(shù)是

用=10X9X8-9X8=648.

對于例9這類計數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有

不同的解題方法.解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選3個數(shù)組成沒有重復(fù)

數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法2以0是否出現(xiàn)以與出現(xiàn)的位置

為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法3是一種逆向思考方法：先

求出從10個不同數(shù)字中選3個不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)(即不

是三位數(shù)的個數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù).從上述問題的解答過程可以看到，

引進排列的概念，以與推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素

中取出m(mWn)個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題.

1.1節(jié)中的例9是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？

四、課堂練習(xí)：

1.若，則x=()

(A)A：(B)(C)A；(D)A3

2.與A；不等的是()

(A)4(B)81履(C)10瑞(D)Ao

3.若足=2&,則m的值為()

(A)5(8)3(C)6(0)7

4.計算：；.

5.若，則m的解集是.

6.(1)已知A；；；=10x9x???x5,那么小=；

(2)已知9!=362880,那么用=；

(3)已知4；=56,那么〃=；

(4)已知用=7/4,那么〃=.

7.一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法(假定每股岔道

只能停放1列火車)？

8.一部紀(jì)錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？

答案：1.B2.B3.A4.1,15.{2,3,4,5,6}

6.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24

鞏固練習(xí)：書本20頁1,2,3,4,5,6

課外作業(yè)：第27頁習(xí)題1.2A組1,2,3,4,5

教學(xué)反思：

排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”，“一定順序”就是與

位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相

同，且僅當(dāng)兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同.了解排列數(shù)的意義，掌

握排列數(shù)公式與推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。

對于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來

剔”.前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方

案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式與推導(dǎo)方法，

從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。

補充例題

例1.(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的

送法？

(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解：(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素

的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：6=5x4x3=60,所以，共有60種不同的送法

(2)由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3

名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：5x5x5=125,所以，共有125種不同的送法

說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第(1)小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，

各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第(2)小題中，給每人的書均可以從5種不同的

書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進行計算

例2.某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意

掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？

解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有4種；

第二類用2面旗表示的信號有A；種；

第三類用3面旗表示的信號有A；種，

由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：+國=3+3x2+3x2x1=15,

答：一共可以表示15種不同的信號

例3.將4位司機、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一

位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？

分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把4位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，

即從4個不同元素中取出4個元素排成一列，有A：種方法；

第二步：把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，

利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)

解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有N==576（種）答：共有576種不同的分配方

案

例4.用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位十位個位

解法1：用分步計數(shù)原理：||

所求的三位數(shù)的個數(shù)是：尺?蜀=9x9x8=648A：

解法2：符合條件的三位