橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第一課時(shí)）課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等．通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置，所以，本章對幾種圓錐曲線都是從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及其他特性等方面研究它們的幾何性質(zhì)．OA1A2B2B1bcaxyF1F2圖3.1-7OA1A2B2B1bcaxyF1F2圖3.1-71．范圍思考觀察圖3.1-7，容易看出橢圓上的點(diǎn)都在一個(gè)特定的矩形內(nèi)，你能利用方程（代數(shù)方法）確定出它的具體邊界嗎？2．對稱性探究觀察橢圓的形狀，可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，如何利用方程說明橢圓的對稱性？xyO綜上，橢圓關(guān)于x軸、y軸都是對稱的．這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心．A1B1B2A2xyO圖3.1-83．頂點(diǎn)研究曲線上某些特殊點(diǎn)的位置，可以確定曲線的位置．A1B1B2A2xyO圖3.1-8問題1填表:橢圓的幾何性質(zhì)

做一做:(1)橢圓6x2+y2=6的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是(

)(2)因?yàn)閍=5,所以-5≤m≤5.答案:(1)D

(2)[-5,5]圖3.1-94．離心率思考觀察圖3.1-9，我們發(fā)現(xiàn)，不同形狀的橢圓的扁平程度不同，相同形狀的橢圓的扁平程度相同．扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？圖3.1-10xyOOPxyF1F2越圓越扁做一做:若直線x+2y-2=0經(jīng)過橢圓(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率e=

.

解析:由題意知橢圓焦點(diǎn)在x軸上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,從而得c=2;變式1：

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)長軸長是短軸長的5倍,且過點(diǎn)A(5,0);(2)離心率e=,焦距為12.分析:焦點(diǎn)位置不確定,分兩種情況利用待定系數(shù)法求解.反思感悟

根據(jù)幾何性質(zhì)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法及步驟(1)基本方法:待定系數(shù)法.(2)一般步驟:【例2】

設(shè)橢圓mx2+4y2=4m(m>4)的離心率為,試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo).分析:先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后求2a,2b、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).反思感悟

用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟:(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)確定焦點(diǎn)位置;(焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)(3)求出a,b,c;(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).提醒:長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是2a,2b,2c.【變式訓(xùn)練2】

已知橢圓x2+my2=1的離心率為,求m的值及橢圓的長軸長.【例3】

(1)已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若△ABF2是正三角形,則該橢圓的離心率是

.解析:不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,因?yàn)锳B⊥F1F2,且△ABF2為正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.1.你能標(biāo)出圖中橢圓焦點(diǎn)的位置嗎？依據(jù)是什么？四、當(dāng)堂檢測A1B1B2A2xyOF1F22.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)：5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？為什么？5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？為什么？A.a2=15,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25答案:CA.8 B.7 C.5 D.4解析:由題意得m-2>10-m,且10-m>0,于是6<m<10,再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8.答案:A3.已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為(

)解析:不妨設(shè)橢圓方程為