高中數(shù)學(xué)《正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

.F第遇「解；.加形_____________________________

DIYIZHANG1.2應(yīng)用舉例

第1課時(shí)正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.基線

在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做理基線」一般來說，基

線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度理越高.

2.仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，回把視線在水平線上方的角稱為仰角,陰視

線在水平線下方的角稱為俯角.如圖(1).

3.方向角

從指定方向到暨目標(biāo)方向線所成的水平角.如南偏西60。，即以正南方向?yàn)?/p>

始邊，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60。.如圖(2)所示.

4.方位角

指從正北方向圓按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如方位角是45。,

指北偏東45。,即東北方向.

5.視角

觀察物體的兩端，視線張開的兇夾角,如圖(3).

6.坡角與坡度

國(guó)坡面與水平面所成的二面角叫做坡角,坡面的膽鉛直高度與因水平寬

度之比叫坡度如圖(4).

視線

眼睛＜.a

物體

水平面

視線

(3)(4)

□自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打"X")

(1)仰角與俯角都是與鉛垂線所成的角.()

(2)方位角的范圍是(0,兀).()

(3)兩個(gè)不能到達(dá)的點(diǎn)之間無法求兩點(diǎn)間的距離.()

答案(1)X(2)義(3)義

2.做一做

(1)如圖所示，OA,的方向角各是.

(2)43兩點(diǎn)間有一小山，選定能直接到達(dá)點(diǎn)A,B的點(diǎn)C,測(cè)得AC=60m,

BC=160m,ZACB=60°,則A,3兩點(diǎn)間的距離為.

(3)身高為1.70米的李明站在離旗桿20米的地方，目測(cè)該旗桿的高度，若李

明此時(shí)的仰角為30°,則該旗桿的高度約為米(精確到0.1).

(4)(教材改編P”例1)如圖所示，A,8兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的

同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，測(cè)量者在A點(diǎn)所在的岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC=60m,

NBAC=75°,ZBCA=45°,則A,8兩點(diǎn)間的距離為.

答案(1)北偏東60。，北偏西30°(2)140m(3)13.2

(4)2(A/6m

AHAC

解析(4)NA8C=180。-75。-45。=60。，所以由正弦定理，得菽=麻，

nACsinC60Xsin45°

4==2()V6m.

AB~^B~sin60°

卜課堂互動(dòng)探究

探究1兩點(diǎn)間有一點(diǎn)不可達(dá)到的距離問題

例1(1)A,B兩點(diǎn)之間隔著一座小山，現(xiàn)要測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離，選擇

在同一水平面上且均能直線到達(dá)的C點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AC=50m,BC=40m,B在C

北偏東45。方向上，A在C西偏北15。方向上，求A3的長(zhǎng)；

(2)如圖，某河岸的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸

邊選取兩點(diǎn)A,B,觀察對(duì)岸的點(diǎn)C,測(cè)得NC4B=75。，ZCBA=45°,且

100米.求該河段的寬度.

解(1)依題意知NACB=120。，AC=50m,BC=40m,應(yīng)用余弦定理得

AB=ylAC2+BC2~2ACXBCcosZACB

=^502+402-2X50X40Xcos120°

=10761,故45的長(zhǎng)為isjlim.

(2)在△CAB中，ZACB=180o-75°-45o=60°,

.-x±,日A3BC

由正弦定理「卜a

smZACBsmZCAB

innx#---+--也—

丁門ABsinZCAB1UU4

于是BC=.大----

sinZ/A“CBn=----------

2

=岑(3啦+加).

于是河段的寬度為d—BCsinZCBA=乎(3啦+#)X乎=(咨50)(米).

［條件探究］把本例(1)中“經(jīng)測(cè)量AC=50m,BC=40m”改為“經(jīng)測(cè)量/

CAB=30°,BC=40m,,又如何求A,B之間的距離？

解解法一：ZACB=120°,ZCAB=30°,

AZCBA=30°,VBC=40m,.\AC=40m.

，AB?=AG+3d—2XACXBCcos120°

=402+402-2X40X40X(-

=4800,

.\AB=4()V3m.

解法二：由正弦定理，得

BC_________AB

sinZCAB=sin(45°+75°)*

40AB

sin30o=sinl20°,

AB=4(A/3m.

拓展提升

三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略

(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余

弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?

再利用正、余弦定理求解.

(2)解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析

所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解

決.

【跟蹤訓(xùn)練1】如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正向

南航行，在8處測(cè)得小島A在船的南偏東30。，航行30海里后，在C處測(cè)得小

島在船的南偏東45。，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？

解在△ABC中，8C=30海里，8=30。，ZACB=\35°,

：.ZBAC=15°,

AC30AC

由正弦正理sinA-sinB'即pnsinl5°-sin3O°，

心上=——=

sin15°sin（45°-30°）

___________15_______________15

sin45°cos30°—cos45°sin300冊(cè)—也

4

=15（加+啦）（海里）,

，A到直線BC的距離為J=ACsin45°=15（^3+1）^40.98海里＞38海里，所

以繼續(xù)向南航行，沒有觸礁危險(xiǎn).

探究2兩點(diǎn)都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問題

例2如圖所示，隔河看兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距小千

米的C,。兩點(diǎn)，并測(cè)得NAC3=75。，ZBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45\A,

B,C,。在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo)A,8之間的距離.

解在△ACO中，VZADC=30°,ZACD=120°,

：.ZCAD=3Q°,：.AC=CD=y/3.

在△BOC中，ZCBD=180o-45°-75o=60°,

由工時(shí)京用出urSsin75。#+&

由正弦定理，付8C-sin60O-2?

由余弦定理，得4加=AC2+BC2—2ACXBCXcosZBCA.

，45=小(千米).

故兩目標(biāo)A,8間的距離為小千米.

拓展提升

求距離問題的注意事項(xiàng)

(1)選定或確定所求量所在的三角形.若其他量已知，則直接解；若有未知量,

則把未知量放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

【跟蹤訓(xùn)練2】如圖所示，為了在一條河上建一座橋，施工前先要在河兩岸

打上兩個(gè)橋位樁A,B,若要測(cè)算A,8兩點(diǎn)之間的距離，需要測(cè)量人員在岸邊定

出基線8C,現(xiàn)測(cè)得BC=50米，NA3C=105。，ZBCA=45°,則A,8兩點(diǎn)的距

離為米.

A

答案5M

解析在△ABC中，BC=50米，ZABC=105°,ZBCA=45°,：.ZBAC=

180°—NABC—NBC4=180°—105。一45。=30。.

由正弦定理，得一無"=一^^「,

sinN3cAsmZBAC

.BCsinNBCA50><sin45。

,,AB=sinZBAC=sin30°

50X乎

=-j—=5的米）.

2

探究3測(cè)量高度問題

例3如圖所示，在山頂鐵塔上8處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為a,在塔底

C處測(cè)得A處的俯角為△已知鐵塔8C部分的高為h,求山高CD.

解在△ABC中，ZBCA=90°+/3,ZABC=90°~a,4BAC=a-B，ACAD

AC_________BC

根據(jù)正弦定理，得sinNABC=sinNBAC'

AC_BC

sin(90°—a)sin(a—/?),

BCcosakcosa

AC=

sin(a—p)sin(a一夕)

/?cosasin￡

在Rt^ACO中，CD=ACsin/C4O=ACsin4=

sin(a—j6)

ZzcosasinQ

即山的高度為

sin(a一份'

拓展提升

1.解決實(shí)際問題時(shí)，通常是從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，先解夠

條件的三角形，再利用所得結(jié)果解其他三角形.

2.測(cè)量高度的方法

對(duì)于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測(cè)量問題，由于不能直接通過解直角三角

形解決，可通過構(gòu)造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解決.

【跟蹤訓(xùn)練3】如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高48時(shí)，可以選與塔底8在同一

水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)。與D現(xiàn)測(cè)得NBCO=a,NBDC=0,CD=s,并在點(diǎn)C

測(cè)得塔頂A的仰角為仇求塔高AR

解在△BC。中，VZBCD=a,ZBDC=^,

/CBD=it—a—B，

工干口、占/,口BCCD

由正弦定理，何~/「an，

sinZBDCsinZCBZ)

CDsinZBDC?《

?R「=------------ssin

sinZCBDsin(a+份'

在RtAAfiC中'AB=BCtanZACB=~^^.

探究4測(cè)量角度問題

例4如圖所示，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距A處（小一1）海里的B

處有一艘走私船，在A處北偏西75。方向，距A處2海里的。處的我方緝私船,

奉命以1即海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，

從B處向北偏東30。方向逃竄.問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私

船？并求出所需時(shí)間.

解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛r小時(shí)，才能最快截獲（在。點(diǎn)）走私船，則

海里，80=107海里.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=/1B24-AC2-2ABXACCOSA=(^/3-1)2+22-2(V3-1)X2XCOS1200=6,

海里.

..BC_AC

乂?sinA-sinNABC'

.ACXsinA2Xsin1200仍

..smZABC=—反—=—南一=2-

AZABC=45°,...B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，

：.ZCBD=90°+30°=120o.

在△BC。中，由正弦定理，得

BD________CD

sinZBCD=sinZCBD'

./八BDXsinZCBD1Or-sin12001

..sinZBCD=CD=1Mt，

：.ZBCD=30°,

二緝私船應(yīng)沿北偏東60。的方向行駛.

又在△BCD中，ZCBD=120°,ZBCD=30°,

：.ZD=30°.

：.BD=BC,即l(k=&,../=嚼小時(shí)七15分鐘.

二緝私船應(yīng)沿北偏東60。的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分

鐘.

拓展提升

測(cè)量角度問題的基本思路

測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并

在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得

的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.

拓展提升

【跟蹤訓(xùn)練4]某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出求救信號(hào)，

如圖，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為45。，距離為10

海里的C處，并測(cè)得貨船正沿方位角為105。的方向，以10海里/小時(shí)的速度向前

行駛，我海軍護(hù)航艦立即以1即海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，求護(hù)航艦的航向和

靠近貨船所需的時(shí)間.

解設(shè)所需時(shí)間為，小時(shí)，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，有A4=AC2+3G

-2ACXBCcosl20°,可得(12。2=l()2+(］0r)2-2X10X10rXcosl20。，

整理得21—1=0,解得，=i或尸e(舍去)?

故護(hù)航艦需1小時(shí)靠近貨船.

此時(shí)BC=10,

又AC=10,所以NCA8=30°,

所以護(hù)航艦航行的方位角為75°.

涕犍濟(jì)1-------------------

f---------------------1

［規(guī)律小結(jié)］

1.解三角形應(yīng)用題的步驟

(1)讀懂題意，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的

關(guān)系.

(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形的模型.

(3)選擇正弦定理或余弦定理求解.

(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題的解，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算

要求.

2.解三角形在實(shí)際測(cè)量中的常見問題

(1)距離問題

可

個(gè)不

到一

達(dá)點(diǎn)

可到

一個(gè)

轉(zhuǎn)

角

邊解三

角和一

距已知兩

離

間的距

到達(dá)點(diǎn)

形問題

離化

問

題

轉(zhuǎn)

間的

點(diǎn)之

的兩

到達(dá)

不可

，進(jìn)

問題

邊長(zhǎng)

角形

求三

尼

距離

問題

第一類

化為

而轉(zhuǎn)

度問題

(2)高

度問題

(3)角

弦

或余

弦值

的正

求角

定理

余弦

理和

弦定

用正

內(nèi)利

角形

在三

就是

角度

測(cè)量

的角.

出所求

需要得

再根據(jù)

值，

策略

題的

決問

3.解

策略

問題

量高度

(1)測(cè)

先

因此

題，

的問

間中

是空

往往

問題

高度

測(cè)量

化：

的轉(zhuǎn)

面”

“平

”向

“空間

三角

解直角

用“

，利

問題

平面

化為

題轉(zhuǎn)

間問

.將空

平面

在的

段所

求線

好所

要選

想.

解題思

細(xì)規(guī)劃

，仔

角形

有三

析所

面分