蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-3-1等比數(shù)列的概念4-3-2等比數(shù)列的通項公式課件

1.一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列,這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示.2.代數(shù)形式:

=q(q是常數(shù)且不為0,n≥2,n∈N*)或

=q(q是常數(shù)且不為0,n∈N*).4.3

等比數(shù)列知識點1

等比數(shù)列的概念4.3.1

等比數(shù)列的概念4.3.2

等比數(shù)列的通項公式

一般地,對于等比數(shù)列{an}的第n項an,有an=a1qn-1,這就是等比數(shù)列{an}的通項公式,其中a1

為首項,q為公比.當q>0且q≠1時,an=a1qn-1=

·qn可以看成關于n的指數(shù)型函數(shù).知識點2

等比數(shù)列的通項公式若a,G,b成等比數(shù)列,則稱G為a和b的等比中項,此時G2=ab.知識點3

等比中項1.單調(diào)性知識點4

等比數(shù)列的性質(zhì)

a1>0a1<00<q<1單調(diào)遞減單調(diào)遞增q=1{an}是常數(shù)列,不具有單調(diào)性q>1單調(diào)遞增單調(diào)遞減q<0{an}是擺動數(shù)列,不具有單調(diào)性2.常用性質(zhì)(1)若{an}是等比數(shù)列,且m+n=s+t=2k,m,n,s,t,k∈N*,則am·an=as·at=

.(2)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)

列,公比為qk.特別地,等比數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成一個等比數(shù)列,新數(shù)列的公比為原公比的

平方.(3)若數(shù)列{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),

,{

},{an·bn},

仍是等比數(shù)列.(4)若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列(公比為q),則數(shù)列{logaan}(a>0且a≠1)是公差為logaq的等差數(shù)列.知識辨析1.若數(shù)列{an}滿足

=4n,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎?2.存在一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列嗎?3.2和8的等比中項是4嗎?4.等比數(shù)列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立嗎?一語破的1.不是.4n不是一個非零常數(shù),所以數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.2.存在.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.3.不是.應該是±4,可以說4是2和8的等比中項.4.成立.等比數(shù)列的性質(zhì):若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),則am·an=as·at,可以推廣使用,即若m+n+…+k=s

+t+…+r(m,n,…,k,s,t,…,r∈N*),則有am·an·…·ak=as·at·…·ar(等式兩邊項的個數(shù)要相同).定點1等比數(shù)列的判定(證明)關鍵能力定點破

判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列的方法(1)定義法:若數(shù)列{an}滿足

=q(q是常數(shù)且不為0,n≥2,n∈N*)或

=q(q是常數(shù)且不為0,n∈N*),則{an}是等比數(shù)列;(2)等比中項法:對于數(shù)列{an},若

=anan+2(an≠0,n∈N*),則{an}是等比數(shù)列;(3)通項公式法:若數(shù)列的通項公式是形如an=k·qn(k,q是不為0的常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.其中,定義法和等比中項法可作為證明一個數(shù)列是不是等比數(shù)列的依據(jù).典例已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,證明:數(shù)列{an+bn}和{an-bn}均為等比數(shù)列.解析

(1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,又a1=2,b1=1,所以a2=4.因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以該數(shù)列的公差為a2-a1=2,所以Sn=2n+

×2=n2+n.(2)證明:當n≥2時,an=a1+2Tn-1,因為Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,同理可得bn+1=bn+2an.則an+1+bn+1=3(an+bn),所以

=3(n≥2),①又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,所以

=

=3,滿足①式,所以數(shù)列{an+bn}是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列.因為an+1-bn+1=-(an-bn),所以

=-1(n≥2)②,又

=

=-1,滿足②式,所以數(shù)列{an-bn}是以1為首項,-1為公比的等比數(shù)列.易錯警示

用

=q(q是常數(shù)且不為0,n≥2)證明等比數(shù)列時,要保證

=q,否則不滿足等比數(shù)列的定義.

1.等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四個量:a1,q,n,an,可知三求一.2.等比數(shù)列通項公式的變形(1)an=amqn-m(m,n∈N*):表明已知等比數(shù)列{an}中的一項am及公比q,可以求出等比數(shù)列中的任意

一項an;(2)qn-m=

(m,n∈N*):表明已知等比數(shù)列{an}中的任意兩項an和am,可以求出公比q.3.構造等比數(shù)列求通項公式當數(shù)列{an}不是等比數(shù)列時,往往需要利用待定系數(shù)法構造與之相關的等比數(shù)列.利用等

比數(shù)列的通項公式求出包含an的關系式,進而求出an.常見類型有:(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化歸為an+1-

=c

,當a1-

≠0時,數(shù)列

為等定點2等比數(shù)列通項公式的求解及應用比數(shù)列;也可消去常數(shù)項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1),當a2

-a1≠0時,數(shù)列{an+1-an}是公比為c的等比數(shù)列.(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化歸為an+1-

=c

或?qū)⑦f推公式兩邊同除以dn+1化為(1)型或兩邊同除以cn+1,累加求通項.(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化歸為an+1-

=c

+dn,即(2)型.典例1已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q.解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.因為a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q=

,故an=a1qn-1=q-6·qn-1=

.解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7,則a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.因為a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),從而q=

,故an=qn-7=

.解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,知a4,a5+a7,a6成等差數(shù)列,所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),易知a4,a6同號,所以a4+a6≠0,所以q=

,故an=a7qn-7=qn-7=

.典例2(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為an

=

;(2)若數(shù)列{an}滿足an+1=λan+3n,且數(shù)列

是等比數(shù)列,則實數(shù)λ的值為

.0或2解析

(1)由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即

=3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an+1+an=3×3n-1=3n,則

+

·

=

.不妨令cn=

,則cn+1+

cn=

,所以cn+1-

=-

,即

=-

,又c1-

=

-

=

,所以數(shù)列

是首項為

,公比為-

的等比數(shù)列,所以

-

=cn-

=

×

,所以an=

.(2)①若λ=0,則

=

,可得

-1=-

,此時數(shù)列

為等比數(shù)列;②若λ≠0,在等式an+1=λan+3n兩邊同時除以3n+1可得

=

+

=

·

+

,因為數(shù)列

為等比數(shù)列,所以可設

-1=

·

,則

-1=

·

-

,即

=

·

-

+1,則1-

=

,解得λ=2.綜上所述,λ=0或λ=2.1.與等比數(shù)列有關的問題中,常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算,若按常規(guī)的解題方法,則需建立

關于a1,q的方程組求解,這種方法運算量比較大,如果結(jié)合等比數(shù)列的有關性質(zhì)(如若m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq)來求解,那么會簡化運算過程.2.在應用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時,需時刻注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件.定點3等比數(shù)列性質(zhì)的應用典例已知{an}為等比數(shù)列.(1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解析

(1)由等比數(shù)列的性質(zhì),化簡條件得

+2a6a8+

=49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8