高中數(shù) 1.3.2空間幾何體的體積同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-版高中數(shù)學(xué)1.3.2空間幾何體的體積同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．已知正三棱錐S－ABC，D、E分別為底面邊AB、AC的中點(diǎn)，則四棱錐S－BCED與三棱錐S－ABC的體積之比為_(kāi)_______．解析兩錐體高相等，因此VS－BCED∶VS－ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.答案3∶42．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如果AB＝AC＝eq\r(13)，BB1＝BC＝6，E、F為側(cè)棱AA1上的兩點(diǎn)，且EF＝3，那么多面體BB1C1CEF的體積為_(kāi)_______．解析△ABC中，BC邊上的高h(yuǎn)＝eq\r(\r(13)2－32)＝2，V柱＝eq\f(1,2)BC·h·BB1＝eq\f(1,2)×6×2×6＝36，∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝eq\f(1,6)V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.答案303．在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．解析如圖所示，過(guò)BC作EF的直截面BCG，作面ADM∥面BCG，取BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)GO、FO.FO＝eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2).∴GO＝eq\r(FO2－FG2)＝eq\f(\r(2),2)，∴S△BCG＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝eq\f(\r(2),4)，V2＝2VF－BCG＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).∴V＝V1＋V2＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)4．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D解析由題意，設(shè)AB＝a，AA1＝b，再由eq\f(1,2)BD·DC1＝6可得a2＋eq\f(b2,4)＝12.又由BC2＋CCeq\o\al(2,1)＝BCeq\o\al(2,1)得a2＋b2＝24，可得a＝2eq\r(2)，b＝4，∴V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2×4＝8eq\r(3).答案8eq\r(3)5．已知正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于2eq\r(3)cm，它的頂點(diǎn)中有4個(gè)在半球O的底面上，另外4個(gè)在半球O的表面上，那么半球O的體積為_(kāi)_______cm3.解析過(guò)正方體的對(duì)角面作截面如圖．設(shè)半球O的半徑為R.∴A1C＝2eq\r(3)cm，又∵AB2＋AC2＋AAeq\o\al(2,1)＝A1C2∴3AAeq\o\al(2,1)＝12.A1A＝2cm，AC＝2eq\r(2)cm.∴A1O＝R＝eq\r(A1A2＋AO2)＝eq\r(4＋2)＝eq\r(6)(cm)．∴V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(6))3×eq\f(1,2)＝4eq\r(6)π(cm3)．答案4eq\r(6)π6．已知四面體ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面體ABCD的體積．解析以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長(zhǎng)方體．如圖．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2，,z＝4.))∵VD－ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V長(zhǎng)方體．同理VC－ABF＝VD－ACG＝VD－BCH＝eq\f(1,6)V長(zhǎng)方體．∴V四面體ABCD＝V長(zhǎng)方體－4×eq\f(1,6)V長(zhǎng)方體＝eq\f(1,3)V長(zhǎng)方體．而V長(zhǎng)方體＝2×3×4＝24.∴V四面體ABCD＝8.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．在球面上有四點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，則球的體積為_(kāi)_______．解析把三棱錐P－ABC“補(bǔ)”成棱長(zhǎng)分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，顯然該長(zhǎng)方體仍?xún)?nèi)接于原來(lái)的球，且球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即2R＝l，其中l(wèi)2＝a2＋b2＋c2.于是R＝eq\f(l,2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，V球＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(π,6)(a2＋b2＋c2)eq\f(3,2).答案eq\f(π,6)(a2＋b2＋c2)eq\f(3,2)8．一個(gè)多面體的體積為V，其內(nèi)切球的半徑為R，則其表面積為_(kāi)_______．解析以多面體內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，底面為底面，則可組成若干棱錐，這些棱錐體積之和為V＝eq\f(1,3)×R(S1＋S2＋…＋Sn)＝eq\f(1,3)×S·R，∴S＝eq\f(3V,R).答案eq\f(3V,R)9．(·新課標(biāo))已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O－ABCD的體積為_(kāi)_______．解析可以求得球心O到矩形ABCD所在平面的距離為2，因此V棱錐O－ABCD＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).答案8eq\r(3)10．球面上有三點(diǎn)A、B、C，任意兩點(diǎn)之間的球面距離都等于球大圓周長(zhǎng)的四分之一，且過(guò)這三點(diǎn)的截面圓的面積為4π，則此球的體積為_(kāi)_______．解析設(shè)球心為O，球的半徑為R，由已知可得：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,2)，∴AB＝BC＝CA＝eq\r(2)R.∵截面圓的半徑為2，∴eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)×eq\r(2)R＝2，R＝eq\r(6).∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×6eq\r(6)＝8eq\r(6)π.答案8eq\r(6)π11.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，求這兩部分的體積之比．解截面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，一部分是三棱臺(tái)AEF－A1B1C1，另一部分是一個(gè)不規(guī)則幾何體，故可以利用棱柱的體積減去棱臺(tái)的體積求得．設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，則△AEF的面積為eq\f(1,4)S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝eq\f(1,3)·h·(eq\f(S,4)＋S＋eq\f(S,2))＝eq\f(7,12)hS，剩余的不規(guī)則幾何體的體積為V2＝V－V1＝hS－eq\f(7,12)hS＝eq\f(5,12)hS，所以?xún)刹糠值捏w積之比為V1∶V2＝7∶5.12.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與平面AC的距離為2，求該多面體的體積．解將多面體ABCDEF補(bǔ)形成三棱柱BCF－ADG，再將這個(gè)三棱柱補(bǔ)成四棱柱ABCD－HKFG，如圖．則V三棱柱＝eq\f(1,2)V四棱柱＝eq\f(1,2)×9×2＝9.又VE－AGD＝eq\f(1,6)V三棱柱＝eq\f(1,6)×9＝eq\f(3,2)，從而VABCDEF＝V三棱柱－VE－ADG＝9－eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).13．(創(chuàng)新拓展)已知正三棱錐V－ABC(底面是等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心)的主視圖，俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，求該三棱錐的表面積與體積．解由主視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖如圖所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，取BC的中點(diǎn)D，連接VD，則VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－\r(3)2)＝eq\r(13)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×VD×BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，∴三棱錐V－ABC的表面積為3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．點(diǎn)V在底面ABC上的射影為H，則A，H，D三點(diǎn)