高中數(shù)學(xué)高考三角函數(shù)重點(diǎn)題型解析及常見(jiàn)試題、答案+數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)+必做習(xí)題

高中數(shù)學(xué)高考三角函數(shù)重點(diǎn)題型解析

及常見(jiàn)試題、答案+數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)+必做習(xí)題精選

高考三角函數(shù)重點(diǎn)題型解析及常見(jiàn)試題(附參考答案)

三角函數(shù)的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)(單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值)，

三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換(主要是求值)，三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)

用，平面向量的基本問(wèn)題及其應(yīng)用.

題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正

余弦函數(shù)的有界性，通過(guò)三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

例1若尤是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是

()

A.-1B.>/2C.---1-\p2D.—I-y/2,

22

分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于。的，而(sinx+cosx『=l+2sinxcosx,換元解

決.

解析：由令f=sinx+cosx=02si聯(lián)」而工<x+工-不，得

344412

l<r<V2.

2產(chǎn)―1

又產(chǎn)=l+2sinxcosx,得sinxcosx=----,

得y=，+^^=g(/+l)2—l,有1+O<y?"+嗎T=AT+-.選擇答案D.

2

點(diǎn)評(píng)：涉及到sinx±cosx與sinxcosx的問(wèn)題時(shí),通常用換元解決.

解法二:y=sinx+cosx+sinxcosx=0sin'x+—+—sin2x,

I42

當(dāng)X時(shí),ymax=&+g,選D。

例2.己知函數(shù)/(x)=2asinxcosx+28cos2x.,且/(0)=8,/(工)=12.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；(2)求函數(shù)/(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值.

分析：待定系數(shù)求a,b;然后用倍角公式和降累公式轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

解析：函數(shù)/(x)可化為./'(x)=asin2x+Z?cos2x+Z?.

/(令=與4+|8=12,所以

(1)由/(0)=8,.〃一)=12可得.f(0)=27?=8,

6=4,a—.

(2)f(x)=473sin2x+4cos2x+4=8sin(2x+—)+4,

6

故當(dāng)2x+?=2版即尤=A〃+?(&eZ)時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值為12.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論asine+8(：05。="7^\皿(。+夕)是三角函數(shù)中的一個(gè)重要公式，它

在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡(jiǎn)求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)

用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問(wèn)題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題

的重點(diǎn)內(nèi)容.

題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形"上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考

所重點(diǎn)考查的問(wèn)題之一.

例3.(2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題)為得到函數(shù)y=cos2x+1的圖象,

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象

5兀5兀

A.向左平移3個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移二個(gè)長(zhǎng)度單位

1212

5兀571

C.向左平移二個(gè)長(zhǎng)度單位D.向右平移一個(gè)長(zhǎng)度單位

66

分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，在根據(jù)平移的法則解決.

cos?+乙、sinf2x+y+yj=sinf2x+54=sin2(x+—

解析：函數(shù)y

I3J~612

5兀

故要將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位，選擇答案A.

圖象是

分析：分段去絕對(duì)值后，結(jié)合選擇支分析判斷.

2tanx,當(dāng)tanx<sin如寸,,

解析：函數(shù)y=tanx+sinx-kanx-sinx|=<,結(jié)合選L擇支

2sinx,當(dāng)tanx2sin耐

和一些特殊點(diǎn)，選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段

不準(zhǔn)確時(shí)，就會(huì)解錯(cuò)這個(gè)題目.

題型3用三角恒等變換求值：其主要方法是通過(guò)和與差的，二倍角的三角變換公式解

決.

例5（2008高考山東卷理5）己知cos（a.）+sina則而卜+磊）的值

是

2G2G44

A.———B.------C.----D.一

5555

分析：所求的sin[c+*J=sin(a+E)，將已知條件分拆整合后解決.

解析：

,(.4^3,出4g.，萬(wàn))4

C,cosa——+sma=-----<=>—sincr+——cosa=-------osina+—=—

t6j52256j5

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識(shí)，考查分拆與整合的

數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)cos（a-3]+sina=d后的分拆與整合.

k6；5

例6（2008高考浙江理8）若以）5。+25111。=一6,則1@11二二

11

A.—B.2C.----D.—2

22

分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路.

?2?

方法一：\/5sin(a+^)=->/5,其中sine=^r,cose=^r,BPtan^?=—

兀式

再由5由（2+0）=—1知道。+°=2左乃一5（憶￡Z）,所以a=一,一夕,

7C

所以tana=tanf2k九一1-0)=tanI,卜一3=2.

TCsin。

cos-萬(wàn)，

方法二：將已知式兩端平方得

cos26Z+4cosasin6Z+4sin2a=5=5卜in2a+cos?a)

=^>sin26z-4sin6zcosa+4cos2a=0

=>tan2a-4tan?+4=0=>tan6z=2

方法三：令sina-2cosa=，，和已知式平方相加得5=5+/，故f=0,

即sina-2cosa=0,故tana=2.

方法四：我們可以認(rèn)為點(diǎn)M（cosa,sina）在直線x+2y=—6上，

f6

而點(diǎn)”又在單位圓d+y2=l上，解方程組可得15,

2V5

）=一可

y一一八cosa+2sina=-j5工，?-

從而tana=二=2.這個(gè)解法和用方程組〈，，求解實(shí)質(zhì)上是一致

x[sin-a+cos'a=1

的.

方法五：a只能是第三象限角，排除c.D.,這時(shí)直接從選擇支入手驗(yàn)證，

由于L計(jì)算麻煩，我們假定tana=2,不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出

2

sine=-Z^,cosa=———,檢驗(yàn)符合已知條件，故選B.

55

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見(jiàn)的“已知

sin/+cos/?=，￡e（0,萬(wàn)），求tan尸的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后

一題第一問(wèn)）”之類(lèi)的題目，背景是熟悉的，但要解決這個(gè)問(wèn)題還需要考生具有相當(dāng)?shù)?/p>

知識(shí)遷移能力.

題型4正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類(lèi)問(wèn)題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問(wèn)題，主要表現(xiàn)在

航海和測(cè)量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型.

例7.（2008高考湖南理19）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)

為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛

的船只位于點(diǎn)A北偏東45且與點(diǎn)A相距40上海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該

船已行駛到點(diǎn)A北偏東45+。（其中sin6=返，0＜。＜90）且與點(diǎn)A相距

26

海里的位置c.

（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

L

分析：根據(jù)方位角畫(huà)出圖形，如圖.第一問(wèn)實(shí)際上就是求8C的長(zhǎng)，在A48C中用余

弦定理即可解決；第二問(wèn)本質(zhì)上求是求點(diǎn)E到直線的距離，即可以用平面解析幾何

的方法，也可以通過(guò)解三角形解決.

解析：（1）如圖，AB=40V2JI,AC=10V13,ZBAC=6?,sin6?=—.

由余弦定理得BC=AB2+AC2-2AE^Ccos0=10亞.

所以船的行駛速度為*5石（海里/小時(shí)）.

3

（2）方法一：如上面的圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)民C的坐標(biāo)分別是3（與.）,。（％,%），與％軸的交點(diǎn)為。.

由題設(shè)有，%=y=也A8=40,

ACcosACAD=1OA/13COS（45-9）=30,

%=ACsinZCAD=10713sin（45-0）=20.

所以過(guò)點(diǎn)民C的直線/的斜率％=*20=2,直線/的方程為y=2x—40.

又點(diǎn)E（0,—55）到直線1的距離d」°1401=3右＜7,所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在A48C中，由余弦

定理得,

AB2+BC2-AC2402X2+102X5-102X133710

cosZABC=

2ABBC2x40V2xl05/510

從而sinZABC=71-cos2ZABC

ABsinNABC4°亞x噂

在A4BQ中，由正弦定理得，AQ40.

sin(45-ZABC)~722而

-------X------------

210

由于AE=55>40=AQ,所以點(diǎn)。位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且EQ=AE—AQ=15.

過(guò)點(diǎn)E作EP，8C于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在RtAQPE中,

PE=QEsin/PQE=QE-sinZAQC=QE-sin(45-ZABC)=15x=3A/5<7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

點(diǎn)評(píng)：本題以教材上所常用的航海問(wèn)題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能

力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫(huà)出正確的解題圖.本題容易出現(xiàn)兩個(gè)方面的錯(cuò)

誤，一是對(duì)方位角的認(rèn)識(shí)模糊，畫(huà)圖錯(cuò)誤；二是由于運(yùn)算相對(duì)繁瑣，在運(yùn)算上出錯(cuò).

題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的

結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問(wèn)題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量

問(wèn)題，更多的時(shí)候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問(wèn)題才是考查的重點(diǎn).

例8(2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第18題)已知向量

a=(2COS6X,COS2<XK:),^=(sinarc,1),(口>()),令/(x)=a3,且/(x)的周期為

71.

(1)求/圖的值；(2)寫(xiě)出“X)在產(chǎn)苧上的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)/(X)的解析式求出來(lái)，再根據(jù)/(X)的

周期為乃就可以具體確定這個(gè)函數(shù)的解析式,下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決即

可.

解析：⑴

/(X)=a-b=2cos(zirsinavc4-cos2(22￥=sin2(vx+cos2avc=V2sin(2^+-^),

?//(x)的周期為乃....勿=1,/(尤)=&sin(2x+?),

(2)由于/(x)=V2sin(2x+-),

4

當(dāng)—]+2k兀?2x+工<5+2A乃(攵￡Z)時(shí)，f(x)單增,

37r7T7T7T

即-----Fk兀WX<Fk7l(攵WZ),*.*XG[---,一]

8822

.../(同在[-9,9]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[一些,]].

2288

點(diǎn)評(píng):本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì),

這是近年來(lái)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

例9(2009江蘇泰州期末15題)

已知向量a=(3sina,cosa)，Z?=(2sina,5sina-4cosa)，aG—,2^-|,且

I2)

aLb.

(1)求tana的值;

(2)求cos(￡+g)的值.

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的等式，通過(guò)這個(gè)等式

探究第一問(wèn)的答案，第一問(wèn)解決后，借助于這個(gè)結(jié)果解決第二問(wèn).

解析：(1)aA-b,/.a?b=Q.而a=(3sdn，

Z?=(2sina,5sina-4coscr),

故a-Z7=6sin2a+5sinacos。-4cos2。=0,由于cosarO

，6tan2a+5tana-4=0,

41兀、八

解得tana=——，或tana=—?V?G—,2n,tana<0

32I2)9

故tana=一(舍去).tana=——.

23

/、??(3兀、.a,3兀、

(2)?CCG---，271f??—G\---,Tl).

I2)24

由tana=-d,求得tan?=―,tan—=2(舍去).

3222

..a75a2逐

??sin—=—,cos-=-------,

2525

(aa7i.a.n2逐1百G2石+后

cos——l——=cos—cos—sin-sin—=--~~-x——--x-?=

(23j2323525210

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的垂直為依托，實(shí)質(zhì)上考查的是三角恒等變換.在解題要注意角的范

圍對(duì)解題結(jié)果的影響.

題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類(lèi)重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)

角和是萬(wàn)，有的時(shí)候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化,

然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來(lái)高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型.

例10.(安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17題)三角形的三內(nèi)角A,

B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,6,c,設(shè)向量相=(c—a),〃=(a+Z?,c),若根//〃，

(1)求角B的大??；

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余

弦定理解決第一問(wèn)，第一問(wèn)解決后，第二問(wèn)中的角AC就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其

中的一個(gè)表達(dá)另一個(gè)，就把所要解決的問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)角的三角函數(shù)問(wèn)題.

解析：(1)ml/n,:.c(c-a)-(b-a)(a+b).

22/2[

:.c2—ac-h2-a2,a+(---—=1.由余弦定理，得cosB=一,B=三.

ac23

27r

(2)A+B+C—7r,.'.A+C=—，

3

2%2兀27t

sinA+sinC=sinA+sin(--A)=sinA+sin—cosA-cos—sinA

八“2%兀*兀5兀

0<A<—<A+—<—

3666

—<sin(A+—)<1,/.—<sinA+sinC<\/3

262

點(diǎn)評(píng)：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等

變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對(duì)結(jié)果的影

響.

題型7用平面向量解決平面圖形中的問(wèn)題：由于平面向量既有數(shù)的特征(能進(jìn)行類(lèi)似

數(shù)的運(yùn)算)又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問(wèn)題就是必然的

了，這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn).考試大綱明確指出用會(huì)用平面向量解決平面幾何問(wèn)

題.

例11.如圖，已知點(diǎn)G是A48O的重心，點(diǎn)P在04上，點(diǎn)。在05上，且尸。過(guò)

AABO的重心G,OP=mOA,OQ=nOB,試證明,+工為常數(shù)，并求出這個(gè)常

mn

數(shù).

o

分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量

表達(dá)出來(lái)，本題的本質(zhì)是點(diǎn)P,G,Q共線，利用這個(gè)關(guān)系尋找加，〃所滿(mǎn)足的方程.

解析：令。4=a,OB=b,則。？=〃皿，OQ=nb,設(shè)AB的中點(diǎn)為顯然

121

OM=-(a+h).,因?yàn)镚是A48C的重心，所以0G=—0M=—?(a+b).由P、

233

G、。三點(diǎn)共線，有PG、GQ共線，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)力，使PG=AGQ,

而PG=0G-OP=；(a+b)-ma=(--m)a+；〃，

GQ-OQ-OG=nb-；(a+b)=-ga+(〃-g)b,

所以(!一機(jī))0+1。=4[-14+(〃一1)勿.

3333

11,

——m-——z

又因?yàn)閍、3不共線，由平面向量基本定理得，;:，消去4,

整理得3機(jī)〃="+〃，故,+’=3.結(jié)論得證.這個(gè)常數(shù)是3.

tnn

【點(diǎn)評(píng)】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問(wèn)題

是一個(gè)重要方面，其基本思路是根據(jù)采用基向量或坐標(biāo)把所要解決的有關(guān)的問(wèn)題表達(dá)出

來(lái)，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)加以處理.課標(biāo)區(qū)已把幾何證明選講列入選考范圍，應(yīng)

引起同學(xué)們的注意.

題型8用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問(wèn)題：導(dǎo)數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)里引進(jìn)的一個(gè)研究函數(shù)的重要工

具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問(wèn)題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值.

JT-TT

例12.已知函數(shù)/0)=以九2工+2/5由工€：054一5畝2%，若函數(shù)/(X)在區(qū)間(一,一]上

126

是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)方的取值范圍.

分析：函數(shù)的“X)導(dǎo)數(shù)在(專(zhuān),自大于等于零恒成立.

解析：函數(shù)/(處在區(qū)間(二,芻上是增函數(shù)，則等價(jià)于不等式r(幻2o在區(qū)間g,3

126126

nTT

上恒成立，即f'(x)=-2sin2+@cosx2在區(qū)間(一,一］上恒成立，從而

126

^>tan公在區(qū)間(工，工］上恒成立，而函數(shù)y=tan2x在區(qū)間(2,巴)上為增函數(shù)，

126126

所以函數(shù)y=tan2x在區(qū)間(二?二］上的最大值為ymax=tan(2x-)=5/3,所以

1266

tN6為所求.

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的

思想意識(shí).本題如將/(x)化為/■(工)=對(duì)112工+以《2%=6'^15皿2工+0)的形式，

則9與/有關(guān)，討論起來(lái)極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題就很容易解決.

題型9三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合

性的試題，解決這類(lèi)問(wèn)題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方

向進(jìn)行思考.

例13.設(shè)二次函數(shù)/(》)=/+笈+,(仇ceH),已知不論a,p為何實(shí)數(shù)，恒有

」(sina)NO和/(2+cos/?)<0.

(1)求證：b+c——1；

(2)求證：cN3；

(3)若函數(shù)/(sina)的最大值為8,求匕，c的值.

分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出/(1)=0,再結(jié)合有界性探求.

解析：(1)因?yàn)?14si取4且/(sina)NO恒成立，所以/⑴20,又因?yàn)?/p>

142+cM4且/(2+cos/7)W0恒成立，所以/⑴40,從而知

l+6+c=0,即b+c=-l.

(2)由142+cos/?W3且/(2+cos/7)?0恒成立得f(3)<0,即9+38+cWO,

將。=一1一。代如得9-3—3。+。<0,BPc>3.

(3)/(sina)=sin2a+(-1-c)sina+c=(sina-，

1+Cl-〃+c=8,

因?yàn)橐?—22,所以當(dāng)sina=-1時(shí)[/(sina)]x=8,由<,解得

1ral+b+c=O

i>=-4,c=3.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是b+c=-l,由《利用正余弦函數(shù)的有界性得出

/(2+cos/?)<0

“1)20

從而/⑴=0,使問(wèn)題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用.

/(i)vo

【專(zhuān)題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】

一、選擇題

1.若。1[0,2乃),且Jl-cos2a+Jl-sin2a=sina-cosa,則a的取值范圍是()

r八"r＜兀、r.34、

A.[0,—]B.[萬(wàn)，4]C.[乃,-^-]D.[-^-,24)

2.設(shè)。是銳角，且Ig(l-cosc)，1g---------=n,則lgsina=()

1+cosa

11、m-n11、

A.m—nB.—(zm——)C.--------D.—z(-----ri)

2n22m

3.若|a|二2sinl5°,|〃|=48sl50,a與力的夾角為30°,則。?。=()

A.乎B.6

C.2"V3D.一

2

4.若。為A48C的內(nèi)心，且滿(mǎn)足(QB—OC>(O3+OC—2。4)=0,則A4BC的形狀為

()

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

在中，若，—=—^―=」_

5.AABC則A48C是()

cosAcosBcosC

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.已知向量加=(2,0)、OC=(2,2)s&=(痣cosa,J^sina),則直線0A與直線05

的夾角的取值范圍是()

7T5萬(wàn)、7t5尤\

A.r[―,—B.[―,—r

1212412，?點(diǎn)中

二、填空題

7.sin6A:4-cos6x+3sin2xcos2尤的化簡(jiǎn)結(jié)果是

8.若向量。與b的夾角為則稱(chēng)axb為它們的向量積，其長(zhǎng)度為|axbHa|?|b|sin6,

已知|勿=5,且Q力二-4,則|QX/?|=.

9.一貨輪航行到某處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨后貨

輪按北偏西30。的方向航行3()分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為

每小時(shí)海里.

三、解答題

?sin2(-—a)+4cos2a

10.已知：tan(7+a)=一—,tan(a+/?)=---------J-----------------.

3lOcoscr-sin2a

(1)求tan(a+6)的值;

(2)求tan￡的值.

、

已知函數(shù)〃x)=Gsin[2x-^+2sin2(x-^-)(XG/?).

712

(1)求函數(shù)的最小正周期;

(2)求使函數(shù)/(x)取得最大值的工的集合.

2行

12.已知向量。=(cosa,sina),Z?=(cos4,sin尸)，,一0=—^―.

(1)求cos(a-0的值；

JIJI.5

(2)若0<a<—9——<，V0,且sin/3=—,求sinoc.

【參考答案】

1.解析：B由已知可得sina20,且cosaW0,故得正確選項(xiàng)B.

2.解析：Clg(l+cosa)=-〃與Ig(l-cosez)=m相加得lg(l-cos2a)=m-n，

21gsina=m-n,故選C.

3.解析：Bab=4sin30°cos300=2sin60°=,選B.

4.解析：A已知即CB<A3+AC)=0,即邊BC與頂角NA4C的平分線互相垂直，這表

明M8C是一個(gè)以AB、AC為兩腰的等腰三角形.

5.解析：B依題意，由正弦定理得sinA=cosA,且sinB=oxB,sinC=cosC,故得.

6.解析：A由|d|=2為定值，.IA點(diǎn)的軌跡方程為(x—2)2+(y-2)2=2,由圖形易知

所求角的最大、最小值分別是該圓的切線與X軸的夾角，故得.

7解析：1原式

2?23401

=(zxs4-1xn-exox-s=1.

433

8.解析：3由夾角公式得cos6=—二，...sine=2,：,\axb\=\x5x-=3.

9.20(76->/2)解析：設(shè)輪速度為龍海里/小時(shí)，作出示意圖，由正弦定理得

1

—X

‘一=-20-,解得x=20(逐—0).

sin30°sin105°

10.解析：(1)tanO+a)=-1/.tan^z=--,

/0、sin(^--2?)+4cos2asin2。+4cos2a

?.?tan(a+0=---------—------------

10cos-a-sin2a10cos%-sin2a

2sinacosa+4cos2a_2cosa(sina+2cosa)_sina+2cosa_tana+2

10cos2a-2sinacosa2cosa(5cosa-sina)5cosa-sina5-tana

tan(a+/?)=--------二—

16

5+1

3

51

/、??crzm-itan(a+^)-tana16+3_31

(2).tanB-tan[(?+S)-a]=--------t-a-n-f-3----------

1+tan(a+°)tanai1----5--x一143

163

11.解析：⑴因?yàn)椤▁)=gsin(2x-￡)+l-cos2(x-專(zhuān)

=2-^-sinf2x----cosf2x--+1

L2I6；2I6；J

=2sin[(2尤一看[一看+1

=2sin(2x-51+l

27r

所以/(x)的最小正周期7=芋=萬(wàn).

(2)當(dāng)f(x)取最大值時(shí)，sinf2x-1^|=l,此時(shí)2x-g=2Z萬(wàn)+'(ZeZ),即

X=k7T+—(%￡Z),所以所求X的集合為Jxx=k〃+雙(%￡Z).

12

12.解析：(1)a=(cosa,sina),h=(cos/?,sin/3),

a-b=(cosa-cos0,sina-sin/?).

卜-0=~~，**?^(cosa-cos/7)2+(sinc^-sin/?)2=~~~，

43

即2-2cos((2-/?)=-,...co(a-p)=g.

7171八

(2)0<a<],—-

cos(?-/?)=-|,sin(a-/?)=[.

sin〃=—cos^=—,

1313

sina=sin[(a-/)+=sin(a一尸)cos力+cos(a一尸)sin(3

4123533

51351365

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列一數(shù)列（常見(jiàn)、常考題型總結(jié)）（附

參考答案）

題型一：求值類(lèi)的計(jì)算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）

A）根據(jù)基本量求解（方程的思想）

1、已知S,,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，4=9,%=~6，S,=63,求"；

2、等差數(shù)列｛a,,｝中，%=1°且%%4。成等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝前20項(xiàng)的和邑o.

3、設(shè)｛4｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若/=1,%=16,求數(shù)列｛〃“｝前7項(xiàng)的和.

4、已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37,中間

兩數(shù)之和為36,求這四個(gè)數(shù).

B）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）

1、已知S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，4=10°，則S“=；

2、設(shè)S“、7；分別是等差數(shù)列｛a,,｝、｛4｝的前〃項(xiàng)和，2=2上2,則”=______.

Tnn+3b5

3、設(shè)S”是等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若&=9,則邑=（）

%9S5

4、等差數(shù)列｛4｝,｛瓦｝的前〃項(xiàng)和分別為若&=衛(wèi)一,則%=（）

T,3〃+1bn

5、已知S”為等差數(shù)列｛a“｝的前幾項(xiàng)和，5“=m,S,”=。m）,則Slll+n=.

6、在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝中，01a$+223%+6%=25，則/+。5=

7、己知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，若

/%+。］0=17,%+。5+4++。12+。13+。14=77且％=13,則左二

8、已知S”為等比數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和，S,,=54,S2?=60,則S3“=.

9、在等差數(shù)列｛4｝中，若$4=1,58=4,則％7+。18+卬9+。20的值為（）

10＞在等比數(shù)列中，已知名+q（）=a（aw0）,aX9+a2（）=bf則q^+%皿二-

11、已知｛a〃｝為等差數(shù)列，卬5=8,4（）=20,則。75=

12、等差數(shù)列｛q｝中，己知&=L求'.=____________________,

§83S16

題型二：求數(shù)列通項(xiàng)公式：

A)給出前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,-

3,-33,333,-3333,33333……

B)給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式

1、⑴5“=2〃2+3〃；(2)S.=3”+1.

2

2、設(shè)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q+3a2+3a3+…=g(〃eN*),求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

C)給出遞推公式求通項(xiàng)公式

a、⑴已知關(guān)系式%+1=《,+/(〃)，可利用迭加法或迭代法；

aah

n=(a〃—&_])+3,1—Cln_2)+(?！╛2—n-3)----(。2—4)+4

例：已知數(shù)列｛《?｝中，=2,an-an_x+2n-l(/i>2),求數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式；

b、已知關(guān)系式為用=an-/(?),可利用迭乘法.%=&.-…-2.a

??-14-2?2%

例、已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足:‘仁=2二！■(“N2),q=2,求求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

%〃+1

c、構(gòu)造新數(shù)列

n

1°遞推關(guān)系形如"a“+]=pan+q,利用待定系數(shù)法求解

例、已知數(shù)列｛a“｝中，=l,a?+1=2a,,+3,求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式.

2°遞推關(guān)系形如“，兩邊同除或待定系數(shù)法求解

例、q==2a,,+3",求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式.

3°遞推已知數(shù)列｛a“｝中，關(guān)系形如"a,.=P,a“+i+/a“”，利用待定系數(shù)法求解

例、已知數(shù)列｛《,｝中，/=1,%=2,q+2=3a“+i-2a“，求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式.

4"遞推關(guān)系形如”““一pa,”=q%a,i(p,q彳0),兩邊同除以%a,-

例1、已知數(shù)列｛%｝中，-=2??a?_,(n>2),at=2,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

例2、數(shù)歹I」｛%｝中，卬=2,an+l=3一(〃eN+),求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式.

4+4

d、給出關(guān)于3和%的關(guān)系

例1、設(shè)數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和為S"，已知弓=a,an+i=S?+3"(〃eN.),設(shè)b?=S?-3",

求數(shù)列%,,｝的通項(xiàng)公式.

例2、設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，6=1,S；=a,(s“—￡|(〃N2).

⑴求｛%｝的通項(xiàng)；

C

⑵設(shè)a=上」，求數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和7；.

2n+1

題型三：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列

A)證明數(shù)列等差

C

例1、已知S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，2='(〃6乂).求證：數(shù)列隊(duì)｝是等差數(shù)列.

n

例2、已知數(shù)列｛端的前n項(xiàng)和為5.,且滿(mǎn)足a.+2S〃?Snr=O(n>2),%=L求證：｛」-｝是

2S?

等差數(shù)列；

B)證明數(shù)列等比

例1、設(shè)｛喇是等差數(shù)列，bn=(g)”，求證：數(shù)列｛6｝是等比數(shù)列；

例2、設(shè)S,,為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和,已知ban-2"=(。一1)5“

⑴證明：當(dāng)8=2時(shí)，｛%—〃-2"T｝是等比數(shù)列；⑵求｛為｝的通項(xiàng)公式

例3、已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=1,%=3,a“+2=3a“+1—2a“(〃wN*).

⑴證明：數(shù)列｛q用一4｝是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑶若數(shù)列也｝滿(mǎn)足44T=&fJ%(〃￡N*),證明也｝是等差數(shù)列.

題型四：求數(shù)列的前n項(xiàng)和

基本方法：

A)公式法，

B)拆解求和法.

例1、求數(shù)列｛2‘、+2〃-3｝的前n項(xiàng)和S?.

例2、求數(shù)列1—,2—,3—,…H---),,??的前”項(xiàng)和S.

2482""

例3、求和：2X5+3X6+4X7+—+n(n+3)

c)裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的常見(jiàn)拆項(xiàng)有：-1—=-(--——);

〃(〃+攵)Knn+k

-/=---/?.=J"+1—：

Vn+V?+1

一j>11

例1、求和：5=1+----+-------+…+--------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

例2、求和：—-----1f=--7=H7=---產(chǎn)H-I/“---7=.

V2+1V3+V2V4+V3y/n+1+y/n

D)倒序相加法，

r2

例、設(shè)求：

1+X

⑴fG)+/(1)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)；

⑵f(加+八壺)+-+/(!)+/(1)+f(2)+…+/(2009+/(201Q.

E)錯(cuò)位相減法，

例、若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)4=(2〃一1>3”,求此數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

F)對(duì)于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和

例、已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S“=12n—nl求數(shù)列｛|a/)的前n項(xiàng)和T?.

題型五：數(shù)列單調(diào)性最值問(wèn)題

例1、數(shù)列｛4｝中，a”=2〃—49,當(dāng)數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和S”取得最小值時(shí)，n=.

例2、已知S,,為等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，q=25,4=16.當(dāng)〃為何值時(shí)，S”取得最大

值；

例3、數(shù)列｛4｝中，a“=3〃2_2&?+1,求a“取最小值時(shí)〃的值.

2

例4、數(shù)列｛a“｝中，an=n-y/n+2,求數(shù)列｛a“｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

n

例5、設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5..已知q=a,an+l=S