高中數(shù)學(xué)必修二 第九章 統(tǒng)計 章末測試（提升）(含答案)

第九章統(tǒng)計章末測試（提升）

一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2021?四川?成都七中）奧運會跳水比賽中共有7名評委給出某選手原始評分，在評定該選手的成績時，

去掉其中一個最高分和一個最低分，得到5個有效評分，則與7個原始評分（不全相同）相比，一定會變小的

數(shù)字特征是（）

A.眾數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.平均數(shù)

【答案】B

【解析】對于A：眾數(shù)可能不變，如8,7,7,7,4,4,1,故A錯誤；

對于B：方差體現(xiàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，因為數(shù)據(jù)不完全相同，當(dāng)去掉一個最高分、一個最低分，一定使得數(shù)據(jù)

偏離程度變小，即方差變小，故B正確；

對于C：7個數(shù)據(jù)從小到大排列，第4個數(shù)為中位數(shù)，當(dāng)首、末兩端的數(shù)字去掉，中間的數(shù)字依然不變，故

5個有效評分與7個原始評分相比，不變的中位數(shù)，故C錯誤；

對于C：平均數(shù)可能變大、變小或不變，故D錯誤；

故選：B

2.（2021?云南大理）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段事件內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模

群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似

病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;

丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】1）

【解析】對于甲地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,則滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,但不符合

沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，A錯誤；

對于乙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但不符合沒有發(fā)生

大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，B錯誤；

對于丙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,則滿足中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,但不符合沒有發(fā)生大

規(guī)模群體感染的標(biāo)志，c錯誤;

對于丁地，若總體平均數(shù)為2,假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為8人，則方差S2>：X（8-2）2=4.5>3,不可能總體方差為

O

3,則不可能有一天數(shù)據(jù)超過7人，符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，D正確.

故選：D.

3.（2021?四川）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，某學(xué)校團委在7月1日前，開展了“奮斗百年路，啟

航新征程”黨史知識競賽.團委工作人員將進入決賽的100名學(xué)生的分?jǐn)?shù)（滿分100分且每人的分值為整數(shù)）

分成6組：［70,75）,［75,80）,［80,85）,［85,90）,［90,95）,［95,100］得到如圖所示的頻率分布直方圖,則下

列關(guān)于這100名學(xué)生的分?jǐn)?shù)說法錯誤的是（）

A.分?jǐn)?shù)的中位數(shù)一定落在區(qū)間［85,90）

B.分?jǐn)?shù)的眾數(shù)可能為97

C.分?jǐn)?shù)落在區(qū)間［80,85）內(nèi)的人數(shù)為25

D.分?jǐn)?shù)的平均數(shù)約為85

【答案】B

【解析】A,由頻率分布直方圖可得

(0.01+0.02x2+0.03+Z?+0.07)x5=1,解得/?=().05,

前三組的概率為（0.02x2+0.05）x5=0.45<0.5,

前四組的概率為（0.02x2+0.05+0.07）x5=0.7>0.5,

所以分?jǐn)?shù)的中位數(shù)一定落在第四組［85,90）內(nèi)，故A正確；

B,分?jǐn)?shù)的眾數(shù)可能為87.5,故B錯誤；

C,分?jǐn)?shù)落在區(qū)間［80,85）內(nèi)的人數(shù)約為0.05x5x100=25,故C正確.

D,分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：

72.5x0.02x5+77.5x0.02x5+82.5x0.05x5

+87.5x0.07x5+92.5x0.03x5+97.5x0.01x5=85,故D正確.

故選：B

4.（2021?四川郭都）為比較甲，乙兩名籃球運動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場的得分制

成如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論：

甲乙

985289

213012

①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；

②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；

③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；

④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】甲的得分為25,28,29,31,32；

乙的得分為28,29,30,31,32：

因為#25+28+29+31+32）=29,#28+29+30+31+32）=30

為25-29）2+（28-29）2+（29-29）。+（31-29『+（32-29）1=6

1［（28-30）2+（29-30『+（30-30y十0】一30/十⑴-30）1=2

故甲、乙得分中位數(shù)分別為29、30；平均數(shù)分別為29、30；方差分別為6、2:

故正確的有②③；

故選：A

5.（20214工西?吉安一中）若樣本。+%,〃+工2,…，。+當(dāng)?shù)钠骄凳?,方差是3,樣本1+2為』+2與…1+2x〃

的平均值是9,標(biāo)準(zhǔn)差是6,則（）

A.a=\,b=y[i>B.a=2,b=y/6C.a=2,b=3D.a-\,b=25/3

【答案】D

【解析】設(shè)士,打…，%的平均值為平方差為I，

因為樣本”+占,。+*2,…M+X”的平均值是5,方差是3,

所以a+x=5,$2=3,

因為樣本1+2為,1+2々,…,l+2x”的平均值是9,標(biāo)準(zhǔn)差是6,

所以9=1+21，4s2=b2,

所以x=4,/>=26,a=l

故選：D

6.（2021?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)）2021年3月，樹人中學(xué)組織三個年級的學(xué)生進行“慶祝中國共產(chǎn)黨

成立100周年”黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（如圖）和前200名中高一學(xué)生排名

分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題塔送的是（）

前200名學(xué)生分布的餅狀圖前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖

A.成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績第『100名的100人中，高一人數(shù)不超過一半

C.成績第1-50名的50人中，高三最多有32人

1）.成績第51T00名的50人中，高二人數(shù)比高一的多

【答案】D

【解析】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200X（45%-30%）=30,A正確；

由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為200x45%xg=45<50,B

正確；

成績第1-50名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確;

第51-100名的50人中，高二人數(shù)不確定，無法比較，D錯誤.

故選:D.

7.(2021?浙江麗水?高一期末)新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三

產(chǎn)業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國上半年國內(nèi)經(jīng)濟數(shù)據(jù)，如

圖所示：圖1為國內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重.

以下關(guān)于我國上半年經(jīng)濟數(shù)據(jù)的說法正確的是()

A.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平

B.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的生產(chǎn)總值

C.若“住宿餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為32500億元

D.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元

【答案】D

【解析】對于選項A：第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值為6%,在第三產(chǎn)業(yè)中，第三產(chǎn)業(yè)中''租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的行

業(yè)比重為6%,但第三產(chǎn)業(yè)中“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值為57%x6%=3.42%,故選項A錯誤；

對于選項B：第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值為6%,在第三產(chǎn)業(yè)中，第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的行業(yè)比重為13%,但

第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的生產(chǎn)總值為57%xl3%=7.41%,6%<7.41%,故選項B錯誤；

對于選項C：若“住宿餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，因為“住宿餐飲業(yè)”行業(yè)比重為3%,所以第三產(chǎn)業(yè)

生產(chǎn)總值為等=250000億元，因為“金融業(yè)”行業(yè)比重為16%,所以“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為250000x16%=40000

億元，故選項C錯誤，

對于選項D：若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，因為“金融業(yè)”行業(yè)比重為16%,所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總

值為空學(xué)=256500億元，又因為第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值占比57%，第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值占比37%，所以第二產(chǎn)業(yè)

16%

生產(chǎn)總值為考學(xué)x37%=1665()()億元，所以選項D正確；

57%

故選：D.

8.（2021?全國?專題練習(xí)）關(guān)于圓周率歷數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實

驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計萬的值：先請全校團名同學(xué)每人隨機

寫下一個都小于1的正實數(shù)對（X,y）：再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x,y）的個數(shù)最后再

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)々估計"的值，那么可以估計萬的值約為（）

4aa+2a+2m仁4a+2m

A.—B.-----C.------D.-------

tnmtnm

【答案】D

0<x<l

【解析】根據(jù)題意知，機名同學(xué)取比對都小于1的正實數(shù)對（xy）,即

Ovy<l'

對應(yīng)區(qū)域為邊長為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>l

若兩個正實數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有

0<x<\

o<y<i

71

gKmo1e［士a7t15/口4a+2m

其面積s二一5；則有KW一5‘解得

故選：D.

二、多選題（每題至少有2個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?廣東?仲元中學(xué)）某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，

理財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關(guān)約定進行參保與理賭，該保險公司對5

個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖:

用樣本估計總體，以下四個選項正確的是（）

A.30~41周歲參保人數(shù)最多B.隨著年齡的增長人均參保費用越來越少

C.30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)20%D.丁險種最受參保人青睞

【答案】AD

【解析】對A：由扇形圖可知，31?41周歲的參保人數(shù)最多，故選項4正確；

對B：由折線圖可知，隨著年齡的增長人均參保費用越來越多，故選項8錯誤；

對C：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的80%,故選項C錯誤;

對D：由柱狀圖可知，丁險種參保比例最高，故選項〃正確.

故選：AD.

10.（2021?廣東肇慶?高一期末）己知在一次射擊預(yù)選賽中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人成績（所中環(huán)數(shù)

越大，成績越好）的頻數(shù)分布表分別為：

環(huán)數(shù)5678910

甲中頻數(shù)012430

環(huán)數(shù)5678910

乙中頻數(shù)122221

下面判斷正確的是（）

A.甲所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)大于乙所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)

B.甲所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)小于乙所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)

C.甲所中環(huán)數(shù)的方差小于乙所中環(huán)數(shù)的方差

1）.甲所中環(huán)數(shù)的方差大于乙所中環(huán)數(shù)的方差

【答案】AC

5x0+6x1+7x2+8x4+9x3+10x0

【解析】甲所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為=7.9

0+1+2+4+3+0

5x1+6x2+7x2+8x2+9x2+10x1一

乙所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為:-------------------------------------------=7.5

1+2+2+2+2+1

所以甲所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)7.9大于乙所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)7.5,選項A正確;

甲所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為：8,乙所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)為：7.5

所以甲所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)大于乙所中環(huán)數(shù)的中位數(shù)，選項B錯誤；甲所中環(huán)數(shù)的方差為:

?=10c/=10

)2

乙所中環(huán)數(shù)的方差為:酒才

S.2=0-----------=0.89=上----------=2.25

11010

所以乙所中環(huán)數(shù)的方差大于甲所中環(huán)數(shù)的方差，選項C正確；選項D錯誤.

故選：AC.

11.（2021?廣東中山?高一期末）為了解中學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學(xué)隨機抽取200名學(xué)生，收集了

他們一年內(nèi)的課外閱讀量（單位：本）等數(shù)據(jù)，以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.

學(xué)生類別閱讀量

閱讀量

人數(shù)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,+oo)

學(xué)生類別

男73125304

性別

女82926328

初中25364411

學(xué)段

高中

下面推斷合理的是（）

A.這200名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)可能是26本；

B.這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間［30,4（））內(nèi)；

C.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間［20,30）內(nèi)；

1）.這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能在區(qū)間［20,30）內(nèi).

【答案】BCD

【解析】對于A選項，由表中數(shù)據(jù)可知，男生的閱讀量為24.5本，女生的閱讀量為25.5本，故200名學(xué)

生的平均閱讀量在區(qū)間（24.5,25.5）內(nèi)，故錯誤；

對于B選項，由于200x75%=150,閱讀量在［0,30）內(nèi)的有7+8+31+29+25+26=126人，在［30,40）內(nèi)的有

30+32=62人,故這200名學(xué)生閱讀量的75%分位數(shù)在區(qū)間［30,40）內(nèi),正確;

對于C選項，設(shè)在區(qū)間［0,10）中的初中生有X人，由于在［0,10）內(nèi)的人數(shù)共15人，故xe［0,15］,xeN,故當(dāng)x=o

時，初中學(xué)生共116人，中位數(shù)為第58個與第59個的平均數(shù)，此時區(qū)間00,20）有25人，［20,30）有36人，

故中位數(shù)在［20,30）內(nèi)；當(dāng)*=15時，初中學(xué)生共131人，中位數(shù)為第66個，，此時區(qū)間［0,10）有15人，口0,20）

有25人，［20,30）有36人,故中位數(shù)在［20,30）內(nèi),所以當(dāng)區(qū)間［0,10）人數(shù)最多和最少時,中位數(shù)都在區(qū)間

［20,30）內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的中位數(shù)一定在區(qū)間［20,30）內(nèi)，正確；

對于D選項，設(shè)在區(qū)間010）中的初中生有x人，由于在?10）內(nèi)的人數(shù)共15人，故xe［0,15］,xeN,故當(dāng)x=0

時，初中學(xué)生共116人，則116x25%=29人，此時區(qū)間U0,20）有25人，［20,30）有36人，故25%分位數(shù)可

能在區(qū)間［20,30）內(nèi)；當(dāng)x=15時，初中學(xué)生共131人，則131x25%=32.75,此時區(qū)間。助有15人，口0,20）

有25人，共40人，25%分位數(shù)可能在區(qū)間口0,20）內(nèi)，故這200名學(xué)生中的初中生閱讀量的25%分位數(shù)可能

在區(qū)間［20,30）內(nèi)，正確.

故選：BCD

12.（2021?廣東?廣州市培正中學(xué)）在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間內(nèi)沒有

發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”過去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：中位數(shù)為2,極差為5；

乙地：總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2；

丙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的有（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】AD

【解析】設(shè)甲地最多一天疑似病例超過7人，甲地中位數(shù)為2,說明有一天疑似病例小于2,極差會超過5,

甲地每天疑似病例不會超過7,???選A.

根據(jù)乙、丙兩地疑似病例平均數(shù)可算出10天疑似病例總?cè)藬?shù)，可推斷最多一天疑似病例可能超過7人，由

此不能斷定一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染，，不選BC；

假設(shè)丁地最多一天疑似病例超過7人，丁地總體平均數(shù)為2,說明極差會超過3,.??丁地每天疑似病例不會

超過7,???選D.

故選:AD.

三、填空題（每題5分，共20分）

13.（2021?江蘇?揚中市第二高級中學(xué)高一期末）已知樣本數(shù)據(jù)菁，x2,…，W向的平均數(shù)與方差分別是"?

和"，若％=f+2（i=l,2,…，2020）,且樣本數(shù)據(jù)的%，為，…，必02。平均數(shù)與方差分別是〃和加，則

X\+三+...+X；o20=.

【答案】4040

[-m+2=n

【解析】由題意得：，

[m=n

解得zn=l,n=l?

2^0^X|+。2-if+…+（工2020Tf]=]，

r.x；++…+x^20+2020~2（X]+x[+…+x*,0）=2020,

.'.x,+宕+…+x短o=2（芭+x2+…+x2O2o）=2x2020=4040.

故答案為：4040.

14.（2021?北京?清華附中模擬預(yù)測）下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2020年2月至2021年2月全國居民消費

價格漲跌幅折線圖.

全國居民消費價格漲跌幅折線圖

說明：（1）在統(tǒng)計學(xué)中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2021年2月與2020年

2月相比較：環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2020年4月與2020年3月相比較.

本期數(shù)-同期數(shù)本期數(shù)-上期數(shù)

（2）同比增長率=x100%,環(huán)比增長率=X100%.

同期數(shù)上期數(shù)

給出下列四個結(jié)論:

①2020年11月居民消費價格低于2019年同期；

②2020年3月至7月居民的消費價格持續(xù)增長；

③2020年3月的消費價格低于2020年4月的消費價格；

?2020年7月的消費價格低于2020年3月的消費價格.

其中所正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

【解析】①：由國居民消費價格漲跌幅折線圖可知：同比增長率為-0.5%,由題中說明所給同比增長率定義

可知：2020年11月居民消費價格低于2019年同期，故本結(jié)論正確；

②：由國居民消費價格漲跌幅折線圖可知：2020年3月至6月環(huán)比增長率為負(fù)值，由題中所給的環(huán)比增長

率定義可知：2020年3月至6月居民的消費價格持續(xù)下降，所以本結(jié)論不正確：

③：設(shè)2020年3月的消費價格為的,2020年4月的消費價格為

根據(jù)題中所給的環(huán)比增長率公式可得：包二色x100%=-0.9%nq”0.991%,

所以。4<4,因此本結(jié)論不正確；

④：設(shè)2020年5月的消費價格為。5,2020年6月的消費價格為4,2020年7月的消費價格為內(nèi)，

根據(jù)題中所給的環(huán)比增長率公式可得：

x100%=-0.8%n為b0-983%,x100%=-0.1%na6t0982%,

4a5

出二組x100%=0.6%nq=0988%,所以％<%,因此本結(jié)論正確；

故答案為：①④

15.(2021?遼寧沈陽)設(shè)某組數(shù)據(jù)均落在區(qū)間[10,60]內(nèi)，共分為[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]

五組，對應(yīng)頻率分別為P”P”P3，P4,P5?已知依據(jù)該組數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖為軸對稱圖形，給出下列

四個條件：

=0.1,p3=0.4；

②P2=2P5;

③“+。4=。2+2，=03；

④Pl融P24P3融區(qū)Ps-

其中能確定該組數(shù)據(jù)頻率分布的條件有.

【答案】①④

【解析】已知P|=。5，。2='，。|+。2+。3+〃+。5=1，

若①P\=O-1,P3=0.4，則p2=0.2,p&=0.2,p5=0.1；

若②22=2。5，則P3+6P1=1,不能得出P”P3；

若（§）0+。4=22+25=0-3，則可得〃3=。4,但“，。2，。4，。5的解不確定，

若P融P24P3融24P5-則Pl=2P2=4P3=2%=P5，可得。3=^，Pl=死=^，02=%=^，

故答案為：①④.

16.（2021?河北?大名縣第一中學(xué)高一月考）某班40名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計所得平均分為80分，方

差為70,后來發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績有損，甲實得80分錯記為60分，乙實得70分錯記為90分，則更正

后的方差為.

【答案】60

【解析】因為甲實得80分，記為60分，少記20分，乙實得70分，記為90分，多記2（）分，

所以總分沒有變化，因此更正前后的平均分沒有變化，都是80分，

設(shè)甲乙以外的其他同學(xué)的成績分別為…，火。，

因為更正前的方差為70,

所以（60-80）2+（90-80）2+（4-80）?+…+（0-80）2=70x40,

所以（4-80）2+...+（〃4G-80）2=2800-4（X）—100=2300,

更正后的方差為：

二（80-80『+（70-80）2+（%-80）2+…+d-80）2100+2300”

S———OU'

4040

所以更正后的方差為60,

故答案為：60.

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

17.（2021?安徽?淮北一中）某次數(shù)學(xué)考試后，抽取了20名同學(xué)的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖

如下：

⑵求20位同學(xué)成績的平均分；

(3)估計樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)和第80百分位數(shù)(保留三位有效數(shù)字).

【答案】(l)a=0.005;(2)76.5：(3)第一四分位數(shù)為70.0；第80分位數(shù)為86.7.

【解析】(1)依圖可得：(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得：“=0.005.

(2)根據(jù)題意得，(55x2a+65x3a+75x7"+85x6"+95x2a)xl0=76.5.

(3)由圖可知,[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]對應(yīng)頻率分別為：0.1,0.15,0.35,0.3,

0.1,前兩組頻率之和恰為0.25,故第一四分位數(shù)為70.0.

前三組頻率之和為0.6,前四組頻率之和為0.9,所以第80分位數(shù)在第四組.

設(shè)第80分位數(shù)為x,則0.6+(x-80)x6x0.03=0.8,解得：x?86.7.

18.(2021?江西?贛州市贛縣第三中學(xué))2021年3月18日，位于孝感市孝南區(qū)長興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益

康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn)，這是孝感市第一家獲批的具有省級醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè)，

也是我市首家“一次性使用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè)。在暑期新冠肺炎疫情反彈期間，該公司

加班加點生產(chǎn)口罩、防護服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在社會上贏得一片贊譽.在

加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽

取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：[40,50),[50,60),[60,70),…，[90,100],得到如下頻率分

布直方圖.

顏率

(1)求出直方圖中卬的值；

(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01)；

(3)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的

方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，其中一等品和二等品分別有多少個.

【答案】(1)m=0030；(2)平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33；(3)-等品有3個，二等品有2個.

【解析】(1)由10*(0.010+0.015+0.015+^+0.025+0.005)=1,得加=0.030,

所以直方圖中加的值是0.030；

(2)平均數(shù)為1=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71，

因為。1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5,

220

所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為〃，則0.1+0.15+0.15+0.035-70)=0.5,解得〃=亍^73.33,

所以可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33；

(3)由頻率分布直方圖知：100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個，

由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品有：5x黑=3(個)，二等品有：5-3=2(個)，

1(H)

所以抽取的5個口罩中一等品有3個，二等品有2個.

19.(2021?湖北?華中師大--附中高一期末)從某小區(qū)抽100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用

電量都在50?350(度)之間，在進行適當(dāng)分組(每組為左閉右開區(qū)間)，并列出頻率分分布表、畫頻率分布直

方圖后，將頻率分布方圖的全部6個矩形上方線段的中點自左右的順序依次相連，再刪掉這6個矩形，就

得到了如圖所示的“頻率分布折線圖”.

（2）請結(jié)合頻率分布直方圖，求月用電量落在區(qū)間［50,200）（度）內(nèi)的用戶的月用電量的中均數(shù)；

（3）已知在原始數(shù)據(jù)中，月用電量落在區(qū)間［50,200）（度）內(nèi)的用戶的月用電量的平均數(shù)為140（度），方差為

1600,所有這100戶的月川電量的平均數(shù)為188（度），方差為5200,且月用電最落在區(qū)間［50,200）（度）內(nèi)的

用戶數(shù)的頻率恰好與頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)相同，求月用電量在區(qū)間［200,350）（度）內(nèi)的用戶用電量的標(biāo)

準(zhǔn)差.

（參考數(shù)據(jù)：14?=196,262=676,72?=5184,482+1600=3904.1402+1600=21200,1882+5200=40544）

【答案】（1）作圖見解析，朝）.0044；（2）140（度）；（3）.S=14炳.

由頻率分布折線圖或頻率分布直方圖得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.00⑵x50=1,

即x=0.0044；

⑵月用電量落在區(qū)間［50,100）（度），［100,150）（度），［150,200）（度）內(nèi)的用戶數(shù)分別為

0.0024x50x100=12,0.0036x50x100=18,0.0060x50x100=30,

所平均數(shù)=（25x12+125x18+175x30）+60=14。（度）；

⑶由（2）知，月用電落在區(qū)間[150,200）（度）的戶數(shù)=12+18+30=60,

月用電量在區(qū)間[200,350）（度）內(nèi)的戶數(shù)=100-60=40,

設(shè)前60戶的月用電分別為h。=1,2,…,60）,平均數(shù)為；=140,方差｛=1600,

后60戶的月用電量分別為x（i=l,2,…,60）.平均數(shù)為亍，方差為《，.

fx,i=l,2,---,60____

全部100戶的月用電量分別為Zj='.<平均數(shù)z=188,方差為s2=60x+40y=100z,

U-6O，I=61,62,-“,1OO

即7=260.

160_i160160160

故有s”而Z*而XZ：-1402=1600,有$2=Z-Z-=而ZZ：-1882=5200,

6。i=i6。i=iWOi=i100j=|

i60_oi（10060\

所以：五*=行之Zj2-之x：—26（）2=1960,

4Ui=i4UIi=]i=i）

故s=]4M.

20.（2021?廣東南海?高一期末）在一個文藝比賽中，10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組.給

參賽選手甲，乙打分如下：（用小組A,小組B代表兩個打分組）

小組A:

甲：7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.5

乙：7.07.87.87.88.08.08.38.38.58.5

小組8：

甲：7.47.57.57.68.08.08.28.99.09.0

乙：6.97.57.67.87.88.08.08.59.09.9

⑴選擇一個可以度量打分相似性的量，并對每組評委的打分計算度量值，根據(jù)這個值判斷小組A與小組8那

個更專業(yè)？

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，計算專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；

（3）若用專業(yè)評委打分的數(shù)據(jù).選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后.剩下8個評委評分的

平均分.那么，這兩位選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選

手的排名有變化嗎？你認(rèn)為哪種評分辦法更好？（只判斷不說明）.（以上計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】（1）小組A更專業(yè)；（2）甲均分8.1,乙均分8；（3）甲均分8,乙均分8.06,兩位選手排名有變化,

我認(rèn)為去掉一個最高分，一個最低分后更合理

【解析】（1）小組A的打分中，

甲的均值

TT-7.5+7.5+7.8+7.8+8+8+8.2+83+84+9.5

X1=

110

=8.1

甲的方差

20.36+0.36+0.09+0.09+0.01+0.01+0.01+0.04+0.09+1.96

1二10

=0.302

乙的均值

—7+7.8+7.8+7.8+8+8+8?3+8?3+8?5+8.5

X）=-------------------------------

-10

=8

乙的方差

21+0.04+0.04+0.04+0.09+0.09+0.25+0.25

5/=--------------w-----------------

=0.18

小組B的打分中，

甲的均值

—74+7.5+7.5+7.6+8+8+8.2+8.9+9+9

X?=

310

=8.11

甲的方差

20.712+0.612+0.612+0.512+0.112+0.112+0.092+0.792+0.892+0.892

s=------------------------------------------------------------------------------------

310

=0.3749

乙的均值

—6.9+7.5+7.6+7.8+7.8+8+8+8.5+9+9

X尸-----------------m--------------

=8.01

乙的方差

20.712+0.612+0.612+0.512+0.112+0.112+0.092+0.792+0.892+0.892

§4=--------------------------10-------------------------

=0.3949

由以上數(shù)據(jù)可得，在均值均差0.01的情況下，小組B的打分方差較大，所以，小組A的打分更專業(yè)

（2）由（1）可得：小組A為專業(yè)評委，所以：

t『田的平均分X|=8.1

選手乙的平均分元=8

(3)由專業(yè)評委的數(shù)據(jù)，去掉一個最高分，去掉一個最低分后，甲乙的均值分別為：

~-7.5+7.8+7.8+8+8+8.2+8.3+8.4

甲一8

=8

—7.8+7.8+7.8+8+8+8.3+8.3+8.5

乙8

=8.06

去掉一個最低分，一個最高分之后，乙的均值高于甲，按照10個數(shù)據(jù)計算時，甲的均值高于乙的均值，排

名不同。

我認(rèn)為去掉一個最低分，一個最高分的評分方法更好

21.(2021?安徽省舒城中學(xué))隨機抽取100名學(xué)生，測得他們的身高(單位：cm),按照區(qū)間[160,165),

[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分組,得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中x的值及身高在170a”及以上的學(xué)生人數(shù);

(2)估計該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù).

(3)若一個總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本

方差分別為：m，x,S,2；n,y,盯.記總的樣本平均數(shù)為W,樣本方差為S?,證明:

小_m_n__

①w=--x+-----y；

tn+nm+n

②s2=^^{'"[s：+（工一/）1+〃[s；+（y-刃）1}.

【答案】(1)0.0660人；(2)176.25：(3)詳見解析.

【解析】⑴由頻率分布直方圖可知5x(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=l,解得x=0.06,

身高在170?！奔耙陨系膶W(xué)生人數(shù)100*5x（0.06+0.04+0.02）=60（人）.

(2)[180,185]的人數(shù)占比為5x002=10%,

[175,180]的人數(shù)占比為5x0.04=20%,

所以該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)落在[175,180],

設(shè)該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為x,

則0.04(180—x)+0.1=25%,解得x=176.25,

故該校100名生學(xué)身高的75%分位數(shù)為176.25.

（3）由題得①卬=------=-----x+-------y；②

m+nm+nm+n

i

孕e+小廠起m+n

1i=lj=\j=\

=——E(x-君2+22(±-x)(J-w)+m(x-w)2+Z(%-5)2+2一力(歹一羽+n(y-w)2

mfnn

，”m

又Z(xi~三)叵一日)=Zxi(無一日)一irix(x-w)=trix(x一訪)一mx(x-w)=0

i=li=l

同理Z(力-》)('-m)=°，

J=1

〃

2

：.S=-^-Z（士+機（丁一?。?+Z（y,一刃2+〃（9-w）2

m+n

：:

----「，〃S：+皿5-沔+115：+〃(歹一