人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：4 2 1 第一課時 等差數(shù)列的概念與通項公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE14.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第一課時等差數(shù)列的概念與通項公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.在根據(jù)實例抽象出等差數(shù)列的概念并歸納出等差數(shù)列的通項公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).自主梳理1.等差數(shù)列的概念條件從第2項起每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)結(jié)論這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列有關(guān)概念這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示2.等差中項(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列.(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項.(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.(1)任意兩個實數(shù)都有等差中項.(2)應(yīng)用等差中項法也可證明一個數(shù)列為等差數(shù)列，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)?{an}為等差數(shù)列.3.等差數(shù)列的通項公式首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.4.從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān).(√)(2)常數(shù)列是等差數(shù)列.(√)(3)若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(×)〖提示〗差都是同一個常數(shù).(4)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝1(n＞1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(×)〖提示〗{an}不一定是等差數(shù)列，忽略了第1項.2.已知實數(shù)m是1和5的等差中項，則m＝()A.eq\r(5) B.±eq\r(5)C.3 D.±3〖答案〗C〖解析〗由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.3.等差數(shù)列{1－3n}的公差d等于()A.1 B.3C.－3 D.n〖答案〗C〖解析〗∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.4.等差數(shù)列－3，－1，1，…的通項公式為an＝________.〖答案〗2n－5〖解析〗由題知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.題型一等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用角度1等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用〖例1〗在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；(4)已知d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，求a1和an.解(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－eq\f(1,3)(n－1)＝－eq\f(1,3)n＋eq\f(31,3).思維升華應(yīng)用等差數(shù)列通項公式的思路方法及注意事項(1)在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可轉(zhuǎn)化為有關(guān)a1，d的方程(組)求解，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量.(2)等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d和an＝am＋(n－m)d，一要注意選擇使用，二要注意變形使用.(3)應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式可以將an，a1，n，d四個元素互求，可以知三求一.角度2等差數(shù)列項的設(shè)法〖例2〗已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數(shù)列{an}的通項公式.解法一根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝21，,a1（a1＋d）（a1＋2d）＝231，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1（a1＋d）（a1＋2d）＝231，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.))故等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1.法二由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因此可設(shè)前三項分別為a－d，a，a＋d，于是可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝21，,（a－d）·a·（a＋d）＝231，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,a（a2－d2）＝231，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4.))故等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1.思維升華等差數(shù)列項的常見設(shè)法如果三個數(shù)成等差數(shù)列，可根據(jù)項的對稱性把這三個數(shù)設(shè)為a－d，a，a＋d；如果四個數(shù)成等差數(shù)列，可根據(jù)項的對稱性把這四個數(shù)設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；如果五個或五個以上的數(shù)成等差數(shù)列，可根據(jù)等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，把這些數(shù)設(shè)為a1，a1＋d，a1＋2d，….〖訓(xùn)練1〗(1)在數(shù)列{an}中，已知a1＝3，當(dāng)n≥2時，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，則a16＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)(2)已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為eq\f(85,9)，則這5個數(shù)依次為________.〖答案〗(1)B(2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)或eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)〖解析〗(1)因為當(dāng)n≥2時，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,3)為首項，以eq\f(1,5)為公差的等差數(shù)列，故eq\f(1,a16)＝eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,5)＝eq\f(10,3)，故a16＝eq\f(3,10).(2)設(shè)第三個數(shù)為a，公差為d，則這5個數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知條件列方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，,（a－2d）2＋（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＋（a＋2d）2＝\f(85,9)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))當(dāng)d＝eq\f(2,3)時，這5個數(shù)分別是－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)；當(dāng)d＝－eq\f(2,3)時，這5個數(shù)分別是eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3).題型二等差中項及其應(yīng)用〖例3〗(1)已知m和2n的等差中項是8，2m和n的等差中項是10，則m和n的等差中項是________.〖答案〗6〖解析〗由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差數(shù)列.證明∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c).∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(c（b＋c）＋a（a＋b）,ac)＝eq\f(a2＋c2＋b（a＋c）,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2（a＋c）2,b（a＋c）)＝eq\f(2（a＋c）,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列.思維升華等差中項應(yīng)用策略(1)求兩個數(shù)x，y的等差中項，即根據(jù)等差中項的定義得A＝eq\f(x＋y,2).(2)證三項成等差數(shù)列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列.〖訓(xùn)練2〗在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.解∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1與b的等差中項，∴a＝eq\f(－1＋b,2)＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是b與7的等差中項，∴c＝eq\f(b＋7,2)＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴該數(shù)列為－1，1，3，5，7.題型三等差數(shù)列的判定角度1等差數(shù)列的證明〖例4〗(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)bn＝2an＋3，求證：數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.證明因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d，則an＋1－an＝d.從而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.(2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))為等差數(shù)列，并求{an}的通項公式.證明由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(2an＋2n＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.∴eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.角度2等差數(shù)列的探究〖例5〗數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求其通項公式；若不存在，說明理由.解(1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2).∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2).(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程無實數(shù)解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}為等差數(shù)列.思維升華判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法(1)定義法：aa＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)定義變形法：驗證數(shù)列的通項an是否滿足an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*).(3)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(4)通項公式法：數(shù)列{an}的通項公式形如an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.注意：要否定一個數(shù)列是等差數(shù)列，只要說明其中連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.〖訓(xùn)練3〗已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*).(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(1)證明由eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\f(6an－4,an＋2)－2)＝eq\f(an＋2,（6an－4）－2（an＋2）)＝eq\f(an＋2,4an－8)＝eq\f(（an－2）＋4,4（an－2）)＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,4)，得eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,4)，n∈N*，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2))