福建省泉州市惠安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)“達(dá)利杯”學(xué)科素養(yǎng)競(jìng)賽試題

PAGEPAGE10福建省泉州市惠安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)“達(dá)利杯”學(xué)科素養(yǎng)競(jìng)賽試題（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：100分）一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2．已知數(shù)列中，，，則（）A.B.C.D.3.斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列定義如下：，（，），隨著的增大，越來(lái)越靠近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形稱為“最美長(zhǎng)方形”，已知某“最美長(zhǎng)方形”的面積約為200平方厘米，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)大約是（）A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米4．已知，，若可以表示成的形式，其中是正整數(shù)，則（）A.8B.32C.48D.505．已知一個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，且兩個(gè)側(cè)面的異面對(duì)角線相互垂直，則它的側(cè)棱長(zhǎng)為（）A.B.C.D.6．等腰直角三角形中，斜邊，一個(gè)橢圓以為其焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在線段上，且橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則該橢圓（焦點(diǎn)在軸上）的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．B．C．D．7．已知點(diǎn)、在內(nèi)，且，則等于()A．B．C．D．8．設(shè)和分別表示的整數(shù)部分與小數(shù)部分，其中，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2024B.2024C.2024D.2024二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則____________．10．用三種顏色給立方體的八個(gè)頂點(diǎn)染色，其中至少有一種顏色恰好染四個(gè)頂點(diǎn)．則任一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)都不同色的概率是____________．11．方程的滿意的全部正整數(shù)解為_(kāi)___________．（以形式填寫(xiě)答案）12．已知，，是平面上的隨意三點(diǎn)，且，，，則表達(dá)式的最小值是____________．三、解答題：本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．13．（本題8分）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角對(duì)邊分別為且，外接圓半徑為．（1）求角的大小；（2）求周長(zhǎng)的取值范圍．14．（本題8分）已知數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．15．（本題9分）如圖1，菱形中，，，于．將沿翻折到，使，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)為線段上一點(diǎn)，若平面，求的值．16．（本題9分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資溝通，政府確定在市與市之間建一條直達(dá)馬路，中間設(shè)有12個(gè)十字路口現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一棵楊樹(shù)或者木棉樹(shù)，且種植每種樹(shù)木的概率均為．（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植看法，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜愛(ài)楊樹(shù)300200喜愛(ài)木棉樹(shù)250250是否有的把握認(rèn)為喜愛(ài)樹(shù)木的種類(lèi)與居民所在的城市具有相關(guān)性？（2）表示所抽取的4個(gè)路口中種植楊樹(shù)的路口個(gè)數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在全部的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：．附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中．17．（本題9分）設(shè)是橢圓：的右焦點(diǎn)，，分別為的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，，，是軸的正半軸上一點(diǎn)，，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線和交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓的圓心的軌跡方程．18．（本題9分）已知，．（1）若恒成立，求的最大值；（2）若，取（1）中的，當(dāng)時(shí)，證明：．2024年學(xué)科素養(yǎng)競(jìng)賽高二年數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．BCCDBAAA二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．，，，三、解答題：本題共6小題，共52分．13.解：（1）由正弦定理得由得，∴∴，又∴……3分(2)記周長(zhǎng)為，……6分∵∴∴，即的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，即正三角形周長(zhǎng)達(dá)到最大值.……8分14.解：（1）由，得，

，

所以數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

從而，；……3分

（2），

，

，

兩式相減得，

，……6分

．

若n為偶數(shù)，則，，，

若n為奇數(shù)，則，，，即，

．……8分15.解：（1）在菱形中，因?yàn)?，所以，．所以．因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面．…?分（2）由（1）知，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,，所以，,．…3分設(shè)平面的法向量，由得所以令，則.所以．所以，又,，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為．……6分（3）由（2）可知，,設(shè)，則．因?yàn)槠矫?，所以，即．所以，即．所以．…?分16.解：（1）本次試驗(yàn)中，，

故沒(méi)有的把握認(rèn)為喜愛(ài)樹(shù)木的種類(lèi)與居民所在的城市具有相關(guān)性．……………2分

（2）依題意，X的可能取值為．

故，，，

，．

隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P故．……5分（3）首先證明：對(duì)隨意，有．

證明：因?yàn)?，所以?/p>

設(shè)12個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù)．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

．

綜上，．……9分17.解：（1）由已知F的坐標(biāo)為，A，B的坐標(biāo)分別為，，

又，

故，由此得，

由，得，

又，

聯(lián)立，解得，，，

所以橢圓的方程為；……3分（2）設(shè)P的坐標(biāo)為，由已知得，

故，

設(shè)直線l的方程為，，，

由，得，

即，

所以，，

因此，，

下面先證直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線PM的方程為，

因?yàn)椋?/p>

所以點(diǎn)在直線PM上，即直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，……5分

因此可設(shè)內(nèi)切圓圓心C的坐標(biāo)為，

直線PM的方程為，

同理直線PN的方程為，

由點(diǎn)到直線的距離公式得：，

化簡(jiǎn)得，

即，

同理有，

兩式相加，得，

即，

得，

即，

因此，……7分考慮到，若，

當(dāng)，即時(shí)，不成立；

當(dāng)，即時(shí)，

，解得，即；

當(dāng)，即時(shí)，

，解得，不存在．

當(dāng)時(shí)，，

所以圓心C的軌跡方程為．……9分18.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，不恒成立，

所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)，時(shí)，若恒成立，求a的最大值．

因?yàn)椋?/p>

……1分當(dāng)時(shí)，，因此，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?，所以?/p>

因此函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)椋裕?/p>

因此a的最大值．……3分當(dāng)時(shí)，，因此在上有解，

所以存在最小正數(shù)，使成立，此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

又因?yàn)?，所以?/p>

因此函數(shù)在上單調(diào)遞減．

又因?yàn)?，所以?/p>

因此在上不恒成立，

所以a無(wú)最