2017-2018學年蘇教版高中數(shù)學選修2-1第三章學案全

2017.2018學年蘇教版高中

數(shù)學選修2-1學案

目錄

3.1.1空間向量及其線性運算-3.1.2共面向量定理

3.1.1空間向量及其線性運算

3.1.2共面向量定理

3.1.3空間向量基本定理-3.1.4空間向量的坐標表示

3.1.3空間向量基本定理-3.1.4空間向量的坐標表示1

3.1.5空間向量的數(shù)量積

3.1.5空間向量的數(shù)量積1

3.2.1直線的方向向量與平面的法向量-3.2.2空間線面關系的判定

（-）

3.2.1直線的方向向量與平面的法向量

3.2.2空間線面關系的判定（一）平行關系

3.2.2空間線面關系的判定（二）

3.2.2空間線面關系的判定（二）垂直關系

3.2.3空間的角的計算

3.2.3空間的角的計算1

3疑難規(guī)律方法

3章末復習提升

3章末復習課

2017-2018學年蘇教版高中數(shù)學選修2?1學案

空間向盤與立體幾何

空間向量及其運算

3.1.1空間向量及其線性運算

［學習目標］1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示2掌握空間向量

的線性運算及運算律，理解空間向量線性運算及其運算律的兒何意義.

〒知識梳理自主學習

知識點一空間向量的概念

在空間中，我們把像位移、力、速度、加速度這樣既有太小又有左包的量叫做空間向量，向

量的大小叫向量的長度或模.

知識點二空間向量的加減法

(1)加減法定義空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運穴守二^7,

算類似于平面向量的加減法.(如圖)%

O^-----a-----

OB=OA-\-AB—a-\-b-,

CA^OA~OC=a~b.

(2)運算律

交換律：a+b=b+a；

結合律:(a+h)+c=a+(h+c).

知識點三空間向量的數(shù)乘運算

⑴定義

實數(shù)力與空間向量”的乘積2。仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.當>0時，加與。方

向相同;當2<0時，向與。方向相反;當a=0時，7。=0.癡的長度是”的長度的囚倍.如

圖所示.

(2)運算律

分配律：2(。+〃)=翁+乃;

結合律：2(/⑷=(2〃)a.

知識點四共線向量定理

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(1)共線向量的定義

與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫

做共線向量或平行向量,記作

(2)充要條件

對空間任意兩個向量”，仇。#0),b與a共線的充要條件是存在實數(shù)"使6=癡.

思考(1)若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，則終點也相同.對嗎？

(2)零向量沒有方向.對嗎？

(3)空間兩個向量的加減法與平面內兩向量的加減法完全一致.對嗎？

答案(1)正確.起點相同，終點也相同的兩個向量相等.

(2)錯誤.不是沒有方向，而是方向任意.

(3)正確.

守題型探究重點突破

題型一空間向量的概念

例1判斷下列命題的真假.

(1)空間中任意兩個單位向量必相等；

(2)方向相反的兩個向量是相反向量；

(3)若同=網(wǎng)，則a=Z?或。=一6；

(4)向量癌與筋的長度相等.

解(1)假命題.因為兩個單位向量，只有模相等，但方向不一定相同.

(2)假命題.因為方向相反的兩個向量模不一定相等.

(3)假命題.因為兩個向量模相等時，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.

(4)真命題.因為血與蕊僅是方向相反，但長度是相等的.

反思與感悟空間向量的^念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關^念，如向量

的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.

跟蹤訓練1如圖所示，以長方體/BCD—的八個頂點的兩點為o,C,

始點和終點的向量中，%

/J卜——————--?

(1)試寫出與弱相等的所有向量；P——/

(2)試寫出筋1的相反向量；

(3)若48=49=2,AA,=1,求向量/3的模.

解(1)與向量壽相等的所有向量(除它自身之外)有/花比及求1共3個.

(2)向量與I的相反向量為瓦力，qc,D^D.

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⑶瑟||=3,

題型二空間向量的線性運算

例2如圖，在長方體中，下列各式運算結果為防?

的是.（填序號）

@A\D\-A\A-AB；

②說+函一乘1；

?AD-AB-DDi；

@Bd)\-A^A+DD\.

答案①②

解析（1）/出|一命一就=病|一部=防1；

⑵詼十函一成1=BCi+qbj=麗；

（3）施一蓊一麗=麗一麗=訪一函=而#麗；

（4）8。]—A\A-\~DD\=BD-\~AA\DD\=BD\-\'AA\^BD\.

反思與感悟運用法則進行向量的線性運算時要注意關鍵的要素:

（1）向量加法的三角形法則：“首尾相接，指向終點”；（2）向量戒法的三角形法則：”起點

重合，指向被減向量”；（3）平行四邊形法則：“起點重合”；（4）多邊形法則：“首尾相接,

指向終點”.

跟蹤訓練2如圖，在正方體力8。￡?一小SGQ中，下列各式中運算結

果為向量N心的是.（填序號）

?（J1S+BQ+CC,；②（篇|+/辦）+說?|；③弟+麗）+瓦匕；④（刀1

+/面+乘1.

答案①②③④

解析①（淡+灰?）+&\=就+1|=元1；②（刀|+4））+充尸疝葉說:|=元|；

③（淡+麗1）+成■尸石I+瓦2|=元|；?（AAt+4亟1）+8南|=族|+或7]=於1.所以所給四

個式子的運算結果都是工L

題型三空間向量的共線問題

例3設e/、ez是平面上不共線的向量，已知益=2ei+和2，CB=ei+3e2,CV=2e\~e2,

若/、B、。三點共線，求上的值.

解'：Bb=CD-CB=ex-4e1,AB=2e{+ke2,

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又/、B、。三點共線，由共線向量定理得宙=平，

；.左=一8.

反思與感悟靈活應用共線向量定理，正確列出比例式.

跟蹤訓練3設兩非零向量切、e2不共線，AB=et+e2,5C=2e,+8e2,CD=3(e\-ei).試

問：A.B、。是否共線，請說明理由.

解"：BD=BC+CD

=(2%+8?2)+3(?]—02)=5(?1+?2),

：.BD=5AB,

又???8為兩向量的公共點，

：.A.B、。三點共線.

尹當堂檢測自查自糾

1.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的條件.

答案必要不充分

解析a=b=:>\a\=\b\；\a\=\b\~/>a=h.

2.在平行六面體488—HB'CD'的各條棱所在的向量中，模與向量的模相

等的向量有個.

答案7

解析|D,-C,|=|C/"b,\=\DC\=\CD\=\BA\=\AB\

=|夕二'|=|/'

3.下列說法中正確的是.(填序號)

①若同=步|,貝Um6的長度相等，方向相同或相反;

②若向量。是向量6的相反向量，則⑷=網(wǎng)；

③空間向量的減法滿足結合律；

④在四邊形/8CD中，一定是成+疝=元.

答案②

解析若同=|句，則a,8的長度相等，方向不確定，故①不正確；相反向量是指長度相同,

方向相反的向量，故②正確；空間向量的減法不滿足結合律，故③不正確；在。488中，

才有前+歷=充，故④不正確.

4.如圖，在平行六面體ABCD—ARCQi中，”為小G與BiDi的交

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點.若贏=a,AD=b,筋］=c,則下列向量中與前相等的向量是.（填序號）

?—^a+^b+c@^a+^b+c

答案①

解析BM=BBy+B^M=^AD-AB）+AAy

1,1,

=-54+56+c.

5.下列命題中正確的個數(shù)是.

①如果a,8是兩個單位向量，則同=網(wǎng)；

②兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同：

③若a,b,c為任意向量，則（a+方）+c=a+（b+c）；

④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一個平面內.

答案3

解析由單位向量的定義知回=網(wǎng)=1,故①正確；因相等向量不一定有相同的起點和終點，

所以②錯誤；由向量加法運算律知③正確；在空間確定一點后，可將兩向量的起點移至該點，

兩向量所在直線確定一個平面，這兩個非零向量就共同在這個平面內，故④正確.

「課堂小結------------------------------------1

1.空間向量的念和平面向量類似，向量的模、零向量、單位向量、相等向量等都可以結合

平面向量理解.

2.向量可以平移，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內.因此空間兩個向量的加減法

運算和平面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來進行運算.

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第3章空間向量與立體幾何

§3.1空間向量及其運算

3.1.1空間向量及其線性運算

3.1.2共面向量定理

【學習目標】1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示2掌握空間向量

的線性運算（加法、減法和數(shù)乘）及其運算律.3.了解共面向量的定義，并能從平面向量中兩向

量共線的充要條件類比得到空間向量共面的充要條件.4.理解共面向量定理及其應用.

ET問題導學--------------------------

知識點一空間向量的概念

思考類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.

梳理（1）在空間，把具有和的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的

或.

空間向量也用有向線段表示，有向線段的表示向量的模，向量〃的起點是Z,終點

是則向量a也可記作林，其模記為.

（2）幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量規(guī)定長度為0的向量叫做____________,記為0

單位向量________的向量稱為單位向量

相反向量與向量。長度________而方向_______的向量，稱為a的相反向量，

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i己為一a

方向________且模________的向量稱為相等向量，________且

相等向量

的有向線段表示同一向量或相等向量

知識點二空間向量及其線性運算

1.空間向量的線性運算

已知空間向量”，b,在空間任取一點O,作為="，OB=h,AB=c,與平面向量的運算一

樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算的意義為：

OB—OA+AB—；

BA—OA—OB—=.

若P在直線OA上，則舁=(zSR).

2.空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律：

①°+6=；

②(a+6)+c=；

③，a+b)=(zSR).

知識點三共線向量(或平行向量)

L定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相或,那么這些向量

叫做共線向量或平行向量.若向量"與b平行，記作,規(guī)定與任意向

量共線.

2.共線向量定理：對空間任意兩個向量°,僅。片0),6與a共線的充要條件是存在實數(shù)4,

使.

知識點四共面向量及共面向量定理

思考1當a,b共線時，共面向量定理的理論一定成立嗎？

思考2向量a,b,c共面，表示三個向量的有向線段所在的直線都共面嗎？

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梳理共面向量及共面向量定理

共面向量能平移到同一平面內的向量叫做共面向量

如果兩個向量％b不共線，那么向量〃與向量%6共面的充

共面向量定理

要條件是存在有序實數(shù)組(x,歹)，使得

2

類型一空間向量的概念及應用

例1如圖所示，以長方體N8CQ—45GG的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中:

(1)試寫出與弱相等的所有向量；

⑵試寫出筋1的相反向量；

(3)若48=/。=2,/小=1,求向量/G的模.

引申探究

如圖，在長方體/BCD-4'B'CD'中，AB=3,AD=2,AA1=1,則分別以長方體的

頂點為起點和終點的向量中：

①單位向量共有多少個？

②試寫出模為小的所有向量;

③試寫出與向量相等的所有向量;

④試寫出向量44'的所有相反向量.

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反思與感悟在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概,念完全一

致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條

件是大小相等，方向相反.

跟蹤訓練1給出以下結論：

①兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；②若空間向量a,b滿足⑷=|句，則a

=b；③在正方體力8C￡）一481GA中，必有病=祝］；④若空間向量，〃，"，?滿足，”=

n—p,則,”=p.其中不正確的命題的序號為.

類型二空間向量的線性運算

例2如圖，已知長方體B'CD',化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡

結果的向量.

AB

(i)ZT*-C5；

(2)ZF+AB+B'C'.

引申探究

利用例2題圖，化簡五廠+/守+爐-F+T1

反思與感悟化簡向量表達式時，要結合空間圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后利用

運算法則，把空間向量轉化為平面向量解決，并化簡到最簡為止.

首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量；若首尾相

接的若干個向量構成一個封閉圖形，則這些向量的和為0.

跟蹤訓練2在如圖所示的平行六面體中，求證：病+而+方=2石\

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類型三向量共線定理的理解與應用

例3如圖所示，在正方體中，E在小。上，且左=2麗，/在對角線

——?2—

小C上，且小尸=§尸C.

求證：E,F,8三點共線.

反思與感悟(1)判定共線：判定兩向量%仇6工0)是否共線，即判斷是否存在實數(shù)人使a

=勸.

(2)求解參數(shù)：已知兩非零向量共線，可求其中參數(shù)的值，即利用若a〃b,則

(3)判定或證明三點(如尸，A,8)是否共線：

①是否存在實數(shù)人使4=2麗；

②對空間任意一點。，是否有+漏；

③對空間任意一點O,是否有方=、為+F亦(x+y=l).

跟蹤訓練3如圖，在四面體48CD中，點E,尸分別是棱4D,BC的中點，用石，無表

示向量好.

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類型四共面向量定理及應用

例4如圖所示，己知P是平行四邊形/8CO所在平面外一點，連結RLPB,PC,PD,

點E,F,G,H分別為/XPBC,/XPCD,的重心，應用向量共面定理證明:

E,F,G,〃四點共面.

引申探究

本例中增加以下條件：若點。是/C與3。的交點，點M為尸C的中點，求證：OM,PD,

友:共面.

反思與感悟向量共面的充要條件的實質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定

可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.

跟蹤訓練4已知Z,B,C三點不共線，平面W外一點"，滿足而=揚+揚+摳7,

判斷血，MB,該三個向量是否共面.

3當堂訓練

1.在正方體小8CQ1中，已知下列各式:

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@(A8+SQ+CCi；②(篇1+而)+萬百；③(部+赤I)+8CI；④(筋i+彳商)+瓦西淇中

運算的結果為/弓的有個.

2.化簡23+2元+3麗+3易+k=.

3.設e”e2是平面內不共線的I可量，已知/8=2e1+呢2，CB=e\3^2>CD=2e：—e2,若4,

B,。三點共線，則無=.

4.以下命題：

①兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；

②共線的兩個向量互相平行；

③共面的三個向量是指在同一平面內的三個向量；

④共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量.

其中正確命題的序號是.

5.已知4B,M三點不共線，對于平面/8AZ外的任意一點O,判斷在下列各條件下的點P

與點/,B,"是否共面.

^OB+OM^3OP-OA-,(2)OP^AOA-OB-OM.

規(guī)律與方法

1.空間向量加法、減法運算的兩個技巧

(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相

反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向

量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.

2.證明空間向量共面或四點共面的方法

(1)利用共面向量證明.

(2)若存在有序實數(shù)組(無，y,z)使得對于空間任一點O,有舁=x2+y為+z衣，且x+y

+z=l成立，則尸，A,B,C四點共面.

(3)用平面：尋找一個平面，設法證明這些向量與該平面平行.

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答案精析

問題導學

知識點一

思考在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.

梳理⑴大小方向長度模長度

同或劉|(2)零向量模為1相等

相反相同相等同向等長

知識點二

l.a+ca~b~cXa

2.①b+a②a+(〃+c)③

知識點三

1.平行重合a//b零向量

2.b=癡

知識點四

思考1不成立.當p與。，6都共線時，存在不惟一的實數(shù)組(x,y)使p=xa+)力成立.當p

與a,b不共線時，不存在(x,y)使"=x“+)辦成立.即當“，共線時，共面向量定理的結論

不成立.

思考2不一定.若向量a,b,c共面，則表示這三個向量的有向線段可以平移到同一個平面

內，它們所在的直線平行、相交、異面都有可能.

梳理p=xa+yb

題型探究

例1解(1)與向量兩相等的所有向量(除它自身之外)有不后，虎及萬心，共3個.

(2)向量高的相反向量為工1,瓦5,QC,D^D.

(3)|於11=41葩2+1旗)『+方『

=A/22+22+12=V9=3.

引申探究

解①由于長方體的高為1,所以長方體的四條高所對應的向量"，門，獷，廠方,

CC,C^C,而L,萬LB,共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1,故單

位向量共有8個.

②由于長方體的左右兩側面的對角線長均為小，故模為小的向量有布廠？，廣

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DA1',BC\CB,B'C,CB'\

③與向量病相等的所有向量(除它自身之外)有不k,及0.

④向量44''的相反向量有/'/,B'B,CC,D'D.

跟蹤訓練1①②

例2⑴m

(2)AC.

向量力L、7c^如圖所示.

D'C

引申探究0.

跟蹤訓練2證明?.?平行六面體的六個面均為平行四邊形,

：.AC=AB+AD,AB''=AB+AA1",

AD''=AD+AA'",

：.AC+AB'"+AD'"

=(施+J5)+(而+"')+

(AD+AA1")

=2(A6+AD+AA'").

又：""=CC'",AD=BC,

：.AB+AD+AA'r=AB+BC+CC''

=就+CC，，=AC'\

C.AC+ABr+彷"=2/^.

例3解設法=a,AD—b,AAi—c,

―?—?—?2~*■

因為4E=2E￡>|,AXF=^FC,

所以才為=1彳萬],萬力=5汞*,

~f2f2

所以小七=?。=]〃，

A\F=^(AC—AA\)

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=^AB+AD—AA\)

=la+5b-5c-

一一f242

所以5c

22

=S(a

-*■-?-?—?22

又￡"8=E4+4]Z+/6=-1/>-。+。=〃一於一c,

—2—

所以EF=gEB,

又因為旗與應有公共點E,

所以E,F,8三點共線.

跟蹤訓練3EF^^AB-^CD.

例4證明分別延長PE,PF,PG,PH交對邊于M,N,Q,凡如圖所示,

因為E,F,G,，分別是所在三角形的重心，

所以A/,N,Q,R為所在邊的中點，

順次連結A/,N,Q,R,所得四邊形為平行四邊形，且有走=,取PF=jpN,

PG=^PQ,麗=|詼

因為MNQR為平行四邊形，

所以的=的一讀:

2—-?

=-j(MN+MR)

=j(PN-PM)+^(PR-PM)

23~?3-?23~?3?

='^PF—'jPE)+1(1/￥/一］尸￡)

=EF+EI^.

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所以由共面向量定理得E,F,G,，四點共面.

引申探究

證明取。的中點N,連結ON,NM,

因為M,N分別是尸C,CQ的中點，

距以PD//MN,MN=1D,

所以病f=

-泌,

同理可得成)=-3反

又因為血=屈一防，

-*■1-?1―?

所以OA/=-+18C,

所以南，PD,肥共面.

跟蹤訓練4MA,MB,證三個向量共面

當堂訓練

1.42.03.-84.②④

5.解(1)原式可變形為初=3赤一第一曲.

V3+(-1)+(-1)=1,

:.點、B與點、P,A,M共面，

即點P與點、4,B,M共面.

(2)原式為舁=4法一協(xié)一痂.

：4+(-1)+(—1)=2W1,

...點P與點、4,B,M不共面.

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3.1.2共面向量定理

［學習目標］1.了解共面向量等概念2理解空間向量共面的充要條件.

胃知識梳理自主學習

知識點一共面向量

能平移到同一平面內的向量叫做共面向量.

知識點二共面向量定理

如果兩個向量”，6不共線，那么向量p與向量”，力共面的充要條件是存在有序實數(shù)組(X,

歷，使得p=xa+W，即向量p可以由兩個不共線的向量a,8線性表示.

知識點三空間四點共面的條件

若空間任意無三點共線的四點，對于空間任一點。，存在實數(shù)x、y、z使得2=》歷+了歷

+z55,且x、y、z滿足x+y+z=l,則4、B、C、￡>共面.

思考

1.空間兩向量共線，一定共面嗎？反之還成立嗎？

答案一定共面，反之不成立.

2.空間共面向量定理與平面向量基本定理有何關系？

答案空間共面向量定理中，當向量。，b是平面向量時，即為平面向量基本定理.

育題型探究重點突破

題型一應用共面向量定理證明點共面

例1已知/、B、C三點不共線，平面/8C外的一點M滿足痂為+Qd.

(1)判斷該、MB.證三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面ABC內.

解(\y：O4+0B+dc=30M,

：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC).

：.MA=BM^CM^-MB~MC.

又遠與而不共線....向量就、MB.而共面.

(2)；向量而、MB,也共面且具有公共起點

:.M、A,B、C共面.即點Af在平面/BC內.

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反思與感悟利用共面向量定理證明四點共面時，通常構造有公共起點的三個向量，用其中

的兩個向量線性表示另一個向量，得到向量共面，即四點共面.

跟蹤訓練1已知兩個非零I可量e1、e2不共線，如果/8=e[+e2，/C=2e]+8e2，AD=3e\

-3e2,求證：A.B、C、。共面.

證明AD+AC—5e]+5e2~5AB,又彳b與4c不共線.

；.Q、AD,就共面，又它們有一個公共起點4

；./、B、C、D四點共面.

題型二應用共面向量定理證明線面平行

例2如圖，在底面為正三角形的斜棱柱Z8C/181cl中，。為/C的47^-------7G

中點，/

求證：力與〃平面G8D/

證明i^AB=a,AC=b,AA\=c,則

—?—?—?—?B

AB\=a+cyDB=AB—AD

=a—^h9

虎產虎十公產)+以

所以加+比1=4+。=標1,又加與反|不共線，

所以麻I，DB,虎?共面.

又由于/與不在平面C|8。內，所以/8|〃平面C/D

反思與感悟在空間證明線面平行的又一方法是應用共面向量定理進行轉化.要熟悉其證明

過程和證明步驟.

跟蹤訓練2如圖所示，己知斜三棱柱/5C/18iG，設成="，AC=b,AA}=c,在面對角

線/G上和棱8c上分別取點用、N,使就/=/乙，BN=kBC

求證：A/N〃平面C,

,----

證明AM=kAC]=k(AA]+AC)=kb+kc9/47'/

義,：京=贏+而=a+k而=a~\~k(b—a)=(l—k)a+kb,//

:.MN=AN—AM=(1—k)a+kb—kb—kc

=(l—k)a—kc.又a與c不共線.

；?MN與向量a,c是共面向量.

又加N不在平面力3叢小內,

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；.MN〃平面ABBi4.

題型三向量共線、共面的綜合應用

例3如圖所示，已知四邊形/8CZ)是平行四邊形，點P是4BCD所義

在平面外的一點，連結以，P8,PC,尸D設點E,F,G,，分別為△為8,

△PBC,△尸CD,的重心.試用向量方法證明E,RG,H四

點共面.AB

解分別連結尸E,PF,PG,P4并延長，交對邊于點M,N,Q,R,連結MN,NQ,QR,

RM.

,；E,F,G,“分別是所在三角形的重心，4L

N,Q,R是所在邊的中點，且無詼，PF=^PN,PG=\PQ,必；艱'

PH=：PR.AMB

由題意知四邊形MNQR是平行四邊形，

：.MQ=MN+MR

=(PN-PM)+(PR-PM)

^PF-PE)+^PH-PE)^EF+EH).

又血=而一麗=|無一泌=運.

：.EG=EF+EH,

由共面向量定理知，E,F,G,H四點共面.

反思與感悟利用向量法證明四點共面，實質上是證明的向量共面問題，解題的關鍵是熟練

她進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的

位置關系與向量的位置關系.

跟蹤訓練3己知。、4、B、C、D、E、F、G、”為空間的9個點(如

圖所示)，并且無=無法，OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG

=EH+mEF.

求證：(1)/、B、C、。四點共面，E、F、G、，四點共面；

(2)AC//EG；

(3)OG=kOC.

證明(1)由元=肅)+機就，說=麗+機崩知/、B、C、。四點共面，E、F、G、”四點

共面.

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⑵:謝=詼+〃7際

=OH-OE+fn(OF-OE)

=k{Ob-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB

^k(Ab+mAB)^kAC,

：.AC//EG.

⑶由⑵知。b=病一訪=沅一點?=曲就一施)=左衣，：.OG=kOC.

妻當堂檢測自查自糾

1.設“，b是兩個不共線的向量，4,〃GR,若2a+〃6=0,貝!J7=,〃=.

答案00

解析：。，b是兩個不共線的向量，

?9*u-7^0,〃wo,u=〃=o.

2.給出下列幾個命題：

①向量。，b,c共面，則它們所在的直線共面；

②零向量的方向是任意的；

③若“力,則存在惟一的實數(shù)九使”=勸.其中真命題的個數(shù)為.

答案1

解析①假命題.三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內或者與平面平行；②真命

題.這是關于零向量的方向的規(guī)定；③假命題.當6=0時，則有無數(shù)多個7使之成立.

3.如圖，在空間四邊形O4BC中，OA=a,OB=h,OC=c,點"在04

上，且OM=2M4,N為BC中點、,則而=.(用a、b、c表示)

答案—|a+|/>+|c

解析MN^MA+AB+BN

+(8—a)+；(c—b)

2.1,1

=-W"十5"十5c

4.下列命題中，正確命題的個數(shù)為

①若a//by則q與b方向相同或相反；

②若法=①，貝IJ4,B,C,。四點共線；

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③若a,〃不共線，則空間任一向量p=2a+曲(九〃《R).

答案0

解析當a,8中有零向量時，①不正確；弱=詼時，A,B,C,。四點共面不一定共線，

故②不正確；由p,a,b共面的充要條件知，當p,a,〃共面時才滿足p=2a+〃b(L“eR),

故③不正確.

5.空間的任意三個向量a,b,3a-2b,它們一定是.

答案共面向量

解析如果a,是不共線的兩個向量，由共面向量定理知，a,Z>,3a—2b共面；若明b共

線，則a,b,3a—2b共線，當然也共面.

「課堂小結------------------------------------1

共面向量定理的應用：

(1)空間中任意兩個向量％6總是共面向量，空間中三個向量a,b,c則不一定共面.

(2)空間中四點共面的條件

空間點尸位于平面上內，則存在有序實數(shù)對x、y使得拓^三丫而+y選，①

此為空間共面向量定理，其實質就是平面向量基本定理，MA,而實質就是面跖48內平面

向量的一組基底.

另外有忘花，②

或5>=x(蘇/+@+z勵(x+y+z=l),③

①、②、③均可作為證明四點共面的條件，但是①更為常用.

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3.1.3空間向量基本定理

3.1.4空間向量的坐標表示

【學習目標】1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問題.2.理解正交基底、

基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標表示，能在適當?shù)淖鴺讼抵袑懗鱿蛄?/p>

的坐標.

ET問題導學--------------------------

知識點一空間向量基本定理

思考1平面向量基本定理的內容是什么？

思考2只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基底嗎？

梳理空間向量基本定理

(1)定理內容：

①條件：三個向量ei,e2,C3.

②結論：對空間中任一向量p,存在惟一的有序實數(shù)組(x,y,z),使.

(2)基底：

在空間向量基本定理中，6，02,03是空間____________

定義的三個向量，則把｛約，/，④｝稱為空間的一個________,

________叫做基向量

如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相________，那

么這個基底叫做正交基底.特別地，當一個正交基底的三

正交基底與單位正交基底

個基向量都是________________時，稱這個基底為單位正

交基底，通常用________表示

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(3)推論：

①條件：O,A,B,C是的四點.

②結論：對空間中任意一點P,都存在惟一的有序實數(shù)組(x,y,z),使得蘇=

知識點二空間向量的坐標表示

思考1對于空間任意兩個向量乃，b=(x2,y2,z2),若“與b共線，則一定有

且=以=么嗎？

X2yiZ2

思考2若向量次=(片，凹，zD，則點5的坐標一定為(xi，刈，zi)嗎？

梳理(1)空間向量的坐標表示

①向量。的坐標：在空間直角坐標系。一平中，分別取與X軸、夕軸、Z軸方向相同的

向量。A作為基向量，對于空間任意一個向量%根據(jù)空間向量基本定理，存在

的有序實數(shù)組,使,有序實數(shù)組叫做向量。在空間直角坐標系O

—xyz中的坐標，記作.

②向量為的坐標：對于空間任一點4(x,y,z),向量晶是確定的，即為=(x,y,z).

(2)空間中有向線段的坐標表示

設4(xi,y\,zi),8(x2,yz,Z2),

①坐標表示：AB—OB~OA=.

②語言敘述：空間向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的.

(3)空間向量的加減法和數(shù)乘的坐標表示

設。=(m，a2,⑥)，b=?h2,h3),試根據(jù)下面的提示填空.

運算表示方法

加法a+b=_______________

減法a-b=_______________

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數(shù)乘0￡R）

(4)空間向量平行的坐標表示

若a=（4],a?,的），b=（b\,b?,仇），且qWO,則a"b3b\="ka\,岳=/。2,b3=A^Z3（2￡R）.

2題型探究

類型一空間向量基本定理及應用

命題角度1空間基底的概念

例1已知｛e"e2，e?｝是空間的一個基底，且。/=ei+2°2—03，O8=-3ei+02+203,OC=

ei+ez—竽3,試判斷｛為，OB,流｝能否作為空間的一個基底.

反思與感悟基底判斷的基本思路及方法

(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構

成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向

量線性表示，則不能構成基底.

②假設運用空間向量基本定理，建立2,么的方程組，若有解，則共面，不能

作為基底；若無解，則不共面，能作為基底.

跟蹤訓練1以下四個命題中正確的是.

①空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示；

②若｛?,"C｝為空間的一個基底，則4,"C全不是零向量；

③如果向量"，6與任何向量都不能構成空間的一個基底，則一定有。與力共線；

④任何三個不共線的向量都可構成空間的一個基底.

命題角度2空間向量基本定理的應用

例2在空間四邊形。18C中，點。是邊8c的中點，點G,4分別是△/8C,△O8C的重

心，設a=〃，OB=b,OC=c,試用向量a,b,c表示向量5b和6k

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o

引申探究

若將本例中的“G是△/BC的重心”改為“G是ZO的中點”，其他條件不變，應如何表示

OG,礪?

反思與感悟用空間向量基本定理時，選擇合適的基底是解題的關鍵.

跟蹤訓練2如圖所示，在平行六面體/BCD/'B'CD'中，AB=a,AD=b,ZF=c,

P是C4,的中點，M是C￡?'的中點，N是C'?！闹悬c，點。在C/'上，且C0：0/'

=4：1,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.

（1）靜；（2）病；（3）病；（4）適.

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類型二空間向量的坐標表示

例3棱長為1的正方體/88一/'B'CD'中，E、尸、G分別為棱DD'、D'C'、

8c的中點，以｛淡，Ab,工廠｝為基底，求下列向量的坐標.

⑴欣AG,AF；

(2)￡>,EG,DG.

引申探究

本例中，若以｛晶，DC,55r｝為基底，試寫出成，AG,旗的坐標.

反思與感悟用坐標表示空間向量的步驟

跟蹤訓練3空間四邊形CU8C中，OA=a,OB=b,A=c,點/在OA上，且OM=2MA,

N為8c的中點，而在基底｛a,。，c｝下的坐標為.

類型三空間向量的坐標運算及應用

例4已知空間三點4(—2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4).

⑴求法+衣AB-AC-,

(2)是否存在實數(shù)x,夕，使得k反:成立，若存在，求x,y的值；若不存在，請說

明理由.

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