高中數(shù)學(xué)選修1-1(文)第三章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-例題與練習(xí)

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

知識體系總覽

3.1導(dǎo)數(shù)的概念

知識梳理

1.平均速度：物理學(xué)中，運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度，即一段時間或一段

位移內(nèi)的速度；若物體的運動方程為s=/Q),則物體從f至「+X這段時間內(nèi)的平均速度

%,4)=/"+△')7⑺;一般的，函數(shù)/Xx)在區(qū)間［%,%］上的平均變化率為

Ar

/(々)一/(尤|)

馬一王

O

2.瞬時速度：是某一時刻或位置物體的速度，方向與物體運動方向相同。我們測量的瞬時

速度是用很短時間內(nèi)的平均速度來代替的，是對物體速度的一種粗略的估算。當(dāng)平均速度

V”,△，)=?"'+.)—/0)中的無限趨近于o時，平均速度欣3)="'+加)7⑺

At加

的極限稱為在時刻/的瞬時速度】C),記作丫=包=/(/±&)一/(0(4.0)。求瞬時速

AzAr

度的步驟為：

(1)設(shè)物體的運動方程為s=f(t);

⑵先求時間改變量X和位置改變量^s=f(t+AZ)-/(r);

△s二/Q+&)/Q)

(3)再求平均速度v(/,Ar)

ArAf

四生=必空二

(4)后求瞬時速度：瞬時速度

△tX

3.求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：

(1)求函數(shù)的改變量△y=/(x+Ax)-/(x).

(2)求平均變化率包=/(旺―/⑴.

(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)y=/(幻=包(二—0).

Ax

4.y=/(x)上點(須),/(工0))處的切線方程為y-/(項

3.1.1問題探索求自由落體的瞬時速度

典例剖析

題型一平均速度

例1.已知自由落體運動的位移s(m)與時間t(s)的關(guān)系為s=；g〃，計算t從3秒到3.1秒、

3.001秒、3.0001秒….各段內(nèi)平均速度(g=9.8)。

分析：先求出As,再求出3=竺，即為各段時間內(nèi)的平均速度。

At

解：設(shè)4=?+△)—/指時間改變量；As=/(f+d)—/(f)指路程改變量。

則As、=/a+d)-/Q)=gg(f+4)2=gtd+^gd2；

,1,

-A.v則+心力2i

v=——=-----------=st+—sa

\t\t2

所以t從3秒到3.1秒平均速度v=2.989；

t從3秒到3.001秒平均速度v=29.4(必9；

t從3秒到3.0001秒平均速度v=29.4O(M9；

評析：通過對各段時間內(nèi)的平均速度計算，可以思考在各段時間內(nèi)的平均速度的變化情況;

可見某段時間內(nèi)的平均速度V=空隨加=(，+d)-/=d變化而變化。

At

題型二瞬時速度

例2.以初速度為唳3。＞0)做豎直上拋運動的物體，/秒時的高度為5?)=匕/—：8/，求

物體在時刻t=m處的瞬時速度。

分析：先求出平均速度生，求瞬時速度。

△t

1919

解：*/Av=vo(m+At)--g(m+At)-(vom——gm~)

As5(m+Ar)-5(m)1」

^v-gm--gd

Aro

△y+/1.......

；=---------------=(vo-gm--gAf)(Af-0)=y_gm

ArAr2

所以物體在時刻m處的瞬時速度v?-gmo

評析：求瞬時速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬時速度我們是通過在一段時間內(nèi)的平均速度的

極限來定義的，只要知道了物體的運動方程，代入公式就可以求出瞬時速度了.

備選題

例3：設(shè)函數(shù)/(乃=/一1,求：

(1)當(dāng)自變量x由1變到1.1時，自變量的增量Ax；

(2)當(dāng)自變量x由1變到1.1時，函數(shù)的增量Ay；

(3)當(dāng)自變量x由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率；

解：(1)Ax=l.l—1=0.1

(2)Ay=(1.12-1)-(12-1)=0.21

Ay0.21

(3)——==-------=21

Ax0.1

評析：本題也可以由電公，1直接求解。

Av

點擊雙基

1.在求平均變化率中，自變量的增量Ac()

A.Ax>0B.Ax<0C.Ax=0D.Ax，0

解：故選D

2.一質(zhì)點的運動方程是，則在一段時間［1,1+△，］內(nèi)相應(yīng)得平均速度為：()

A.3Af+6B,-3A/+6C.3A/—6D.—3A/—6

解：平均速度="I+△,)_$))=5一3(1+△，).-2=_3=/_6,故選D

(1+Ar)-1Z

3、在曲線12+1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1+Ax,2+Ay)，則絲AY為()

△y

\.^x+—+2B.Ax---2C.Ax+2D.2+Ax--

AxAxAx

解：包=W——+2,故選C

△yAx

4.一物體位移s和時間t的關(guān)系是s=2t-3〃，則物體的初速度是

解：平均速度=、')一"°)=2-3t,當(dāng)t趨向0時,平均速度趨向2.

t

5.一個物體的運動方程為s=l-f+L其中s的單位是米，，的單位是秒，那么物體在3秒

末的瞬時速度是_______________

解：￡(3+/—s(3)一加+5(4-?0)=5

△t

課外作業(yè)：

一.選擇題

1、若質(zhì)點M按規(guī)律s=/運動，貝!R=3秒時的瞬時速度為()

A.2B.9C.27D.81

解：+4)-s(3)=加2+9△/+27(加_>0)=27,故選C

△t

2、任一做直線運動的物體，其位移s與時間f的關(guān)系是s=3t-t2,則物體的初速度是()

A0B3C-2D3-2t

解：s(0+4)-s(0)=+3(加.0)=3,故選B

△t

3、設(shè)函數(shù)y=/(x),當(dāng)自變量x由x0改變到/+AY時，函數(shù)的改變量△)，為()

Af(x0+Ax)B/(x0)+ArC/(x0)-AxD/(x0+Ax)-/(^0)

1

解：A5=/(x0+zlr)-f(x0),故選D

4、物體的運動方程是s=-4『+16f,在某一時刻的速度為零，則相應(yīng)時刻為()

A.t=1B.t=2C.t=3D,t=4

解：s(t+△”-.，()=T4—8f+16(加-0)=-8/+16=0,f=2,故選B

Z

5、一個物體的運動方程為s=l-f+/其中s的單位是米，/的單位是秒，那么物體在1秒

末的瞬時速度是()

A.3米/秒B.2米/秒C.1米儂D.4米/秒

解：S(1+Ar)—S⑴=4+3_?0)=1,故選c

2

6、在曲線.丫=［一的圖象上取一點(1，1)及附近一點11+以,^+八，，則魯為(

)

331

A—Ar+3+——B-Ax-3-----C—Ar+3D—Ax+3----

2Ax2Ar22Ar

解：包=』Ax+3,故選C

Ar2

7..物體的運動規(guī)律是s=s(f),物體在+時間內(nèi)的平均速度是()

-\s5(Ar)B,)

A.v=——=----

△tAr△t

--s(r)八、t,,cq-s(r+△/)-5").

c.v=-LZD.當(dāng)Ar70時，v=----------^-0

tAr

解：由平均變化率知故選B

8.將邊長為8的正方形的邊長增加Aa,則面積的增量AS為()

A.16Aa2B.64C.a2+8D.16Aa+Aa2

解：S=S(8+Aa)-S(8)=(8+Aa)2-82=16Aa+Aa2故選D

二.填空題：

9、已知一物體的運動方程是s=6/-5f+7,則其在，=時刻的速度為7。

解：+加)T⑺=69+12,一5(Aff0)=12f-5=7,t=\

N

10.物體運動方程y=/+3x,則物體在時間段［2,4］上的平均速度為

幅顯伏.、擊由(42+3-4)-(22+3-2)

解：平均速度=---------------------=9

4—2

11、當(dāng)球半徑r變化時，體積V關(guān)于r的瞬時變化率是

%(〃+△?一

解：——-----------------=47TT1+4mV+一必產(chǎn);所以瞬時變化率是4萬2o

ArAr3

三解答題：

12、環(huán)城自行車比賽運動員的位移s與比賽時間，滿足s=10/+5產(chǎn)(S的單位：米,

Ac

。的單位：秒)求「=20,加=0.1時八S與一。

解A?=5(20+A?)-5(20)=21.05

去答=皿5

13.設(shè)一物體在f秒內(nèi)所經(jīng)過的路程為s米，并且s=4/+2/-3,試求物體在運動第5秒

末的速度。

5,4(5+A/)-+2(5+Az)—4(5~+5)、//

解：5(5)=------------------——------(Ax-0)=(42+4Ar)(Ax0)=42

△t

14、求函數(shù)y=-x?+4x+6在x=2時的瞬時變化率

5_j.d(一(x+Ax)~+4(x+Ax)+6)—(~x~+4x+6)

解：平均變化率=--------------------———-------------=-2x+4-Ax

Ar

當(dāng)Ax趨于0時，瞬時變化率為-2x+4,x=2,瞬時變化率為0.

思悟小結(jié)

求瞬時速度的步驟：

1.設(shè)物體的運動方程為s=/Q)；

2.先求時間改變量d和位置改變量Ay=/Q+d)-/(/);

3.再求平均速度-=---/一'△'

dd

4.后求瞬時速度：當(dāng)d無限趨近于0,包二/?+4)一/?)無限趨近于常數(shù)v,即為瞬時速

dd

度。

3.L2問題探索求作拋物線的切線

典例剖析

題型一平均變化率

例1：在曲線)，=/+1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1+Ax,2+Ay)求於

解：VAy=(1+Ax)2+l-(l2+l)=Ax2+2Ax,.,.黑=Ax+2

評析：平均變化率包="X。+?)-/(9)

Ax(x0+Ax)-x0

題型二拋物線的切線

例2.求拋物線y=f(x)=2，-x在(1,1)點處的切線斜率

解：.../(1+Ax)-/⑴=3+2Ax,令以趨于o,貝lj3+2Ax趨于3..?.切線的斜率k=3,

Ax

評析：以上三種類型的問題中例1是平均變化率，而例2與例3都是瞬時變化率。瞬時變

化率就是平均變化率在改變量Ax趨于0時的極限值。

備選題

例3：曲線y=Y+1在點p(x(),%)的切線斜率為2,求點P(x°,%)的坐標.

解：設(shè)/。)=y+1

/(J+At)-/(而)=(x+M[+l-1=4+2工

M\t°

/."%+小)―/(“。)(At-0)=(Ar+2x0)(At-0)=2x0=2

z

*e*xo~1

_9

%=_2x()--1=-3

點尸的坐標為a,-3)o

點評：直線與拋物線相切，一般的解題方法是將直線方程代入拋物線方程消元,，利用△=o求

解.

點擊雙基

1.拋物線f(x)=xz-3x+l在點(1,-1)處的切線方程為()

A.y=-x—1B.y=xC.y=—xD.y=x+l

(1+Ar)--3(1+Ar)+1—(1—3+1)=_]+以,當(dāng)小乂趨于o時,得切線斜率k=-l,切線

解:

Ax

方程為y+l=T(x-1),故選C

2.若拋物線y=x2+l的一條切線與直線y=2x-l平行，則切點坐標為()

A.(1,1)B(1,2)C(2,5)D(3,10)

解：平均變化率=(X+?++1一(r+1)=2x+8,所以斜率k=2x=2,得

Ax

x=l,Y=l.故選A

3過點M(-1,0)作拋物線.丫=/+》+1的切線，則切線方程為()

(A)3x+y+3=0或x-y+1=0(B)3x-y+3=()或x+y+1=0

(C)x-y+l=O(D)3x-y+3=0

解：設(shè)切點N(a,b)，則切線斜率kFZa+bkMwk"-=巴士"1，得a=0或a=-2

a+1a+1

切線斜率k=l或k=-3,故選A

4.已知曲線y=2x—/上有兩點A(2,0),B(-2,-8),則割線AB的斜率^為

解：由斜率公式求得心B=2

5.已知曲線y=2/+1在點M處的瞬時變化率為-4,則點M的坐標是為

解：./Oo+At)-/(/)(加.0)=(2加+4%)(加-0)=4/=~4,%,點M的

△f

坐標是(-1,3)

課外作業(yè)：

一.選擇題

1、若曲線

y=/(x)在點P(4,/(「))處的切線方程為：x+y+1=0,那么在點P處的切線

斜率()

A.大于0B.小于0C.等于0D.符號不定

解：由切線方程得斜率為-1<0,故選B

2、已知曲線y=2?%2+1過點(JZ,3),則該曲線在該點處的切線方程為()

A.y=-4x-1By=4x-1.C.y=4x-11D.y=-Ax+7

解：先將點(JZ,3)代入y=2a/+i得a=i,然后求切線斜率，故選B

3、若曲線y=-/+4x的一條切線/與直線2x-y-5=0平行，貝(1/的方程為()

A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+l=0D,2x+y-5=0

解：易得/(x)=-2x+4,則-2x+4=2,得x=l；切點(1,3),切線斜率k=2;故選C

4、若曲線f(x)=》2的一條切線/與直線x+4y-8=0垂直，貝！]/的方程為()

A.4x-y-4=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解：易得f(x)=2x,則2x=4,x=2；切點(2,4),切線斜率k=4,故選A,

5、已知直線％-y-l=0與拋物線丫二一+^相切，則a=()

311

A.4B.——C.-D.-

442

5(X+AX)~+Q—(%2+〃)cA1UrtR?11、

解;----------------------=2x+Ax,/.f(x)=2x=l,得x=一?切點(—,—+a)

Ar224

_3,

在切線x-y-l=O上，a=--?故選B

4

6、曲線f(x)=——6x在點(1,-5)處的切線斜率為()

A.k=3B.k=-3C.k=—4D.k=4

解：平均變化率=(1+八0"—"1+一I1一6]=AX-4.當(dāng)Ax趨向0時,平均變化率

(1+Ax)-1

趨于-4,故選C

7、函數(shù)y=a/+1的圖象與直線尸x相切，則”=()

A.—B.—C.—D.1

842

21

解：把兩個解析式聯(lián)立得方程。/葉1=0,由△=()即得。=-,故選B

4

8、過點(一1,0)作拋物線y=F+x+l的切線，則其中一條切線為()

(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=O(C)x+y+l=0(D)x-y+1=0

解：f\x)=2x+1,設(shè)切點坐標為(%,y0)，則切線的斜率為2%+1,且為=片+玉,+1,

于是切線方程為^一彳；一光0-1=(2尤0+1)0-％)，因為點(一1，0)在切線上，可解得

%=0或一4,故選D。

二.填空題：

9、設(shè)曲線丫=儀2在點a,a)處的切線與直線2x—y—6=0平行，則。=

解：y'^2ax,于是切線的斜率z=yLi=2。，；?有2。=2=。=1

10、曲線尸--3的一條切線/的傾斜角為王，則切點坐標為

3

解：y=2x=tanZ=g,：.x=^，貝！)切點坐標為(且，

'3224

11、設(shè)尸為曲線C：y=f+2x+3上的點，且曲線C在點尸處切線傾斜角的取值范圍為

7T

0,-,則點尸橫坐標的取值范圍為_____________

_4_

解：設(shè)切點P的橫坐標為小,且y'=2/+2=tana(a為點P處切線的傾斜角)，又：

7T1

ccG[0,—],?*.02XQ+2W1,/.XgG[―1,——].

三解答題：

12.求拋物線y=f(x)=2/-x在(1,1)點處的切線斜率.

解：.../(1+-\)-+1)=3+2&,令人丫趨于0,貝！]3+2Ax趨于3..?.切線的斜率k=3,

Ax

13、曲線y=/+1在點p(x°,y°)的切線斜率為2,求點P(x0,%)的坐標.

解：設(shè)/(尤)=無2+1

f(x°+At)7(x。)=(s)2+17、1=加+

加2

/(/+△-<>)(Axf0)=(Af+2x0)(Arf0)=2%=2

Ar

x0-1

???%=_2/2_]=_3

，點尸的坐標為。，-3)。

14、已知拋物線y=f(x)=/+3與直線y=2x+2,求它們交點處的切線方程。

解由方程組>一一得/_2x+l=0解得x=l,y=4,,

y=2x+2,

交點坐標為(1,4)

又(Ax+1)-+3一(r+3)=8+2當(dāng)?趨于0時(Ax+2.)趨于2.所以在點

Ax

(1,4)處的切線斜率K=2.所以切線方程為y-4=2(x-l)即y=2x+2

(不難發(fā)現(xiàn)對于/-2x+l=0,因為A=0,所以已知的直線y=2x+2,就是切線.)

思悟小結(jié)

曲線上一點P(u,f(u))處的切線方程

當(dāng)割線PQ的斜率為k(u,d)=,―趨于確定的數(shù)值Z(")時，k(ll)就是曲線上

d

點P處切線的斜率，則曲線上點P(u,f(u))處的切線方程為y—/(M)=Z(M)(X—M)。

3.1.3導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義

典例剖析

題型一導(dǎo)數(shù)求法

例L求函數(shù)7U)=-尢2+工在x=—1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)；

Ay-(-1+Ax)2+(-1+Ax)+2

解：——=--------------------------=5-ixx

AxAr

△)'/An\—(―1+△x)"+(―1+Ax)+2八AAn\o

f(—1)=—(Ax—>0)=-------------------------(Ax-,0)=(3-Ax)(Ax->0)=3

ArAx

評析：求導(dǎo)之前，應(yīng)對電進行化簡，然后求極限，這樣可以減少運算量，提高運算速

Ax

度，減少差錯；

題型二導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義

例2(1)求曲線尸/U)=)+1的過點P(l,0)的切線方程.(2)求函數(shù)尸3,在x電點處的

導(dǎo)數(shù).(3)求函數(shù)尸3)的導(dǎo)數(shù).

解：(1)注意點P不在曲線上，則應(yīng)求切點。設(shè)切點為Q(a,a2+l)

/(a+Ax)-f(a)(a+Ax)~+1—(a、+1)也拉工-.拉工

-----------------=----------------------=2a+Ar,當(dāng)Ar趨于0A時(2a+Ax)x趨于2na。

AvAX

所以，所求切線的斜率為2a.因此，"土曰=2a解得a=l±痣

a-1

所求的切線方程為尸(2+2&)x+(10+6血)或y=(2-2猴)x-(2-2行)

(2)因為JQ+Ar)-/(2)=3(2+At)--3、2-=9+34，當(dāng)以趨于。時(12+34:)

ArAx

趨于12.所以函數(shù)產(chǎn)3)在>=2點處的導(dǎo)數(shù)為12。

(3)因為、5+A")["1=3(x+Ax>3/=6X+3?.當(dāng).趨于0時(6x+3Ax)趨

AxAx

于6x,所以函數(shù)片3x2的導(dǎo)數(shù)為6x。

評析:函數(shù)尸f(x)在桿X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在該點10，/(/))處的切線的斜率。由

函數(shù)f(x)在盾而處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，f(x0)是一個確定的數(shù)。那么，當(dāng)x變化時,便

是x的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：/(x)或y',在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函

數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).

備選題

例3：如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)

h(x)=-4.9x2+6.5x+10,根據(jù)圖像，比較曲線力⑺在辦、%、弓附近的變化情況.(課

本例2)

解：我們用曲線〃(/)在為、4、4處的切線，刻畫曲線/2。)在上

述三個時刻附近的變化情況.

(1)當(dāng)r=fo時，曲線人(。在辦處的切線％平行于X軸，切線/。

的斜率"?o)=O,所以，在，=4附近曲線比較平坦，幾

乎沒有升降.

(2)當(dāng)，=%時，曲線〃⑺在乙處的切線《的斜率斤&)<0,

所以，在f=4附近曲線下降。

(3)當(dāng)時，曲線〃⑺在4處的切線的斜率力'&)<0，

所以，在，=右附近曲線下降。

從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，

這說明曲線在乙附近比在&附近下降的緩慢.

評析：由曲線在一點處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的符號，可以看出曲線在這一點處的升降情況。

點擊雙基

X21

1、已知曲線y的一條切線的斜率為則切點的橫坐標為()

A.1B.2C.3D.4

x2I11

解.已知曲線/=匕的一條切線的斜率為二y'=2x=上，x=l,則切點的橫坐標為1,

4222

故選Ao

2、函數(shù)尸f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義是()

A.在x=x0處的函數(shù)值；

B.在點(%,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值。

C.曲線y=f(x)在點(/，f(x0))處的切線的斜率，

D.點(%,f(x°)與原點連線的斜率

解：故選C

3、若曲線y=2x-/在點P處的切線的斜率是一1,則P點的坐標為(B)

A(1,1)B(1,1)或(-1,-1)C(2,-4)D(-2,4)或(2,-4)

4、若曲線y=/的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的方程為

解：與直線x+4y-8=0垂直的直線/為4x—y+〃z=0,即y=/在某一點的導(dǎo)數(shù)為4,

而y=4d,所以y=/在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點的切線為4x—y—3=0

5、函數(shù)/(幻=/+4》+5的圖像在x=l處的切線在x軸上的截距為

解:f'(x)=3x2+4,f(1)=7,/(1)=10,y-10=7(x-l),y=0時,x=--

課外作業(yè)：

選擇題，

1、/(》)=0?+3/+2,若/(—1)=4,則。的值等于()

解：s'(f)=2f—l,s'(3)=2x3—l=5,故選C

2、曲線y=4x-d在點(T「3)處的切線方程是()

(A)y=7x4-4(B)y=7x4-2(C)y=x-4(D)y=x-2

解：14(-1+Ar)-(-1+醺)3]-(-4+1)=]+3?一最2,...切線斜率k=i.故選D

Ax

3、設(shè)f(x)=oc+4,若./⑴=2,貝ija的值()

A2B.-2C3D-3

解：f'(x)=a=2,故選A

4、若函數(shù)/(幻=/+以+。的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f(x)的圖象是()

解：對稱軸一^〉0,。＜0,/'(幻=2%+人直線過第一、三、四象限，故選A

5、函數(shù)/(x)=(x+1)(X2—x+1)的導(dǎo)數(shù)是()

A.x2-x+lB.(x+1)(2x-l)C.3x2D.3x2+17.

2

解：/(幻=丁+1,f'(x)=3x,故選C

6、曲線尸上在點(1,1)處切線的傾斜角a=()

X

解：判線=—=——二，當(dāng)Ax趨于0時，得切線的斜率k=-l.故選C

M]+?

7、曲線y=——3x上切線平行于x軸的點的坐標是()

A(-1,2)B(1,-2)C(1,2)D(-1,2)或(1,-2)

解：了=3/_3=0,X=±1,故選D

x

8、曲線y一在點(1,一1)處的切線方程為()

x-2

(A)y=x-2(B)y=-3x+2(C)y=2x-3(D)y=-2x+l

x-2-x-2%=」j=-2,??.切線方程為y+l=-2(x-l),即

(x-2-(x-2)2(1-2)2,

y=-2x+l,故選D

二:填空題：

9、曲線y=2/在點(1,2)處的瞬時變化率為

解：？=41=4

10、已知直線x—y-l=0與拋物線丁=奴2相切，則a=

解："(x+Ax)--小一-z)當(dāng)心趨于0時,得切線的斜率k=2a=l,所以a=，

Ax2

11>過點P(1,0)作曲線y=尤3切線/,則/的方程為

解：設(shè)切點(a,b),y(x)=-3x2,得切線斜率k=-3",

所以-3/=-^=衛(wèi)，得a=0或a=』沏點(0,0)或(之，-4)。

a-1<7-1228

切線方程y=0或54x+8y-54=0

三.解答題：

12.已知求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率.

解：設(shè)P(2,8),Q(2+ZV,(2+At)?),則割線PQ的斜率為

kPO=Q+")-8(At-0)=(12+6Af+△產(chǎn))(At-0)=12

Ar

所以曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率為12.

13、設(shè)/(x)=/+i,求/'(X),/(-I),/'(2)

f-l+Ar)2-1

解：八-1)=、1~-(Axf0)=(-2+AX)(AJCf0)=-2

Ax

(2+Ar)2-4

f'(2)=-~———(Ar-0)=(Axf0)=4

△x

14、(1)求曲線片f(x)=/+l的過點P(l,0)的切線方程.(2)求函數(shù)產(chǎn)3/在xN點處的

導(dǎo)數(shù).(3)求函數(shù)產(chǎn)3x2的導(dǎo)數(shù).

解:(1)注意點P不在曲線上，則應(yīng)求切點。設(shè)切點為Q(a,a2+l)

/①+泡-/⑷=(a+Ax)-+](4-+1)=2a+板，當(dāng)加;趨于o時(2a+?)趨于2a。

AxAr

所以，所求切線的斜率為2a.因此，(“一+D二0=2。解得a=l士也

a-\

所求的切線方程為y=(2+2痣)x+(10+6后)或y=(2-241)x-(2-2O)

(2)因為/Q+&)―/(2)=3(2+AX)—-3*2-=]2+3&,當(dāng)4y趨于o時(12+3?)

ArAx

趨于12.所以函數(shù)尸3)在xN點處的導(dǎo)數(shù)為12。

/-、Ed/(x+zXx)-/(%)3(x+Ax)2-3x2八.法十八科/八、拉

(3)因為八---------二八-------------------=6x+n3Ax.當(dāng)加■趨于0時(6x+n3AAr)趨

AxAx

于6x,所以函數(shù)尸3）的導(dǎo)數(shù)為6x。

思悟小結(jié)

1、由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：

（1）.求函數(shù)的改變量△y=/（x+d）—/（x）。

（2）.求平均變化率包=,（X+"）-'（二）.

dd

（3）當(dāng)d-0時，得/3+夕13）T//（X。）

2、曲線C：）可（外在其上一點尸（為，/（為））處的切線方程為

y—f（xo）=f'（xo）（x一即）

3、若質(zhì)點的運動規(guī)律為s=s（f）,則質(zhì)點在片川時的瞬時速度為v=s'（"）.這就是導(dǎo)數(shù)

的物理意義.

3.2導(dǎo)數(shù)的計算

知識梳理

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=/（%）的導(dǎo)數(shù)步驟：

⑴計算包=/（、+化）一/（X）；

AxAx

（2）f\x）=①（Axf0）=/（x+Ar）7（x）（Ax-?O）；

AxAx

2.基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：

C'=0；（代+力'=A（k,b為常數(shù)）

（xay=axa-｝；

（優(yōu)）'=優(yōu)lna（o>0,且。。0）

(ex)'=ex(Inx),=—

x

115

(log”幻'=一log”e=——(a>0,且。w0)

xx\na

(Inx)(=—

x

(sinx)'=cosx；

(cosx)'=—sinx.

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

[cf(x)],=cf(xy

"(x)±g(x)『=1(x)士g5)

[)(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

:尸(x)g(x)-/(x)g'(x)

(g(x)HO)

gMjg(x)2

4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟

若y=f(u)的定義域為E,函數(shù)“=Q(x)的定義域為D,值域為W,若當(dāng)

u=°(x)的值域落在y=/(?)的定義域內(nèi)時則稱y=/［奴幻］是由中間變量U復(fù)合成

的復(fù)合函數(shù)，y可以通過中間變量”表示為自變量x的函數(shù)，即形如y=f［°(x)］的函

數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)?？梢姡⒎侨我鈨蓚€函數(shù)都能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：乂="'?〃；，如y=(2x+3)2的求導(dǎo)可下法求解：

匕'=%'*"；=(?2/.(2x+3)'=2〃?2=2(2x+3)?2=8x+12。

3.2.1幾個塞函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

典例剖析：

題型一求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1求函數(shù)［，=/。)=犬的導(dǎo)數(shù)

分析：按照求導(dǎo)數(shù)的步驟求解。

順用用Ay/(x+Ax)-/(x)(x+Ax)3-%3

解：因為一=----------------=-------------

ArAx

/+3爐心+3工3)2+(8)37=3/+3Mx+3)2

Ax

所以y'=lim—=lim(3x2+3xZLr+(Ax)2)=3x2

Av->oA,zkt->o

評析：嚴格按照求導(dǎo)數(shù)的步驟求解，就不會處錯。

題型二求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值

2

例2函數(shù)y=/(x)=—，求/(2)的值。

x

分析：先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值。

2_2

解：因為包=①仝匕皿=豆豆二工

AxAxAx

_2［x-(x+Ax)］_2

x(x+Ar)Axx2+x-Ax

所以y="(&—o)=(一一—)(&-0)=--y

Axx+x-Axx

?52"

評析：也可以由(⑵=包(Ax-0)=八2+包)-/⑵(—―0)求得。

AxAx

備選題

例3：證明：過拋物線產(chǎn)〃(X—xi),(X—X2)(〃W0,xi<%2)上兩點A(xi,0)、B(必0)

的切線，與x軸所成的銳角相等.

解：y'=2ax~a(xi+x2),

BPkA=a(為一X2)，即女8=〃(及一九i).

設(shè)兩條切線與x軸所成的銳角為a、8,則tana=|心|=|a(為一及)I，

tanfi=\kB\=\a(及一乃)故tana=tan￡.

又a、￡是銳角，則a=￡.

評析：利用與x軸所成的銳角和傾斜角之間的關(guān)系，只要求出切線的斜率進行比較即可.

點擊雙基

1.質(zhì)點運動方程是S=〃。則質(zhì)點在t=2時的瞬時速度為()

A.6Bo12.C.8D.9

解：s.=3產(chǎn)，t=2時s'=12.瞬時速度為12,故選B

2.求曲線f(x)=/在點p(.2,4)處的切線方程為。()

A.y=4x-4,B.y=4x+4C.y=-4x+4D.y=-4x-4

解：f(x)=2x,斜率k=/(-2)=-4,故選D

3.下列各式中不正確的是()

A.y=8,則y=0,B.y=3x,,則y=3c.y=，，則yD.y=x\貝?。輞=31

XX

解：由(x")'=nx"T,若y=1，則y=-4,故選C

XX

4.曲線y=±在點(2,-)處的切線斜率k=

廠2

i711

解：y=--r：當(dāng)X=2時y=—-。所以切線斜率k=—-

xx44

5.拋物線y=F上到直線x+2y+4=0距離最短的點的坐標。

解：當(dāng)切線平行于直線x+2y+4=0時，切點為所求，

1111

令y=2x=-L,得x=---,所以距離最短的點的坐標(―,—)

-24416

課外作業(yè)

一.選擇題，

1.曲線％3與=0在點(.2,-8)處切線方程是()

A.y=12x-16By=6x-16Cy=12x+16Dy=6x+8

解：y=3x2,切線斜率k=12,故選C

2曲線f(x)=6點(4,2)處切線方程是()

A.x-4y+4=0Bx+4y+4=0Co4x-y+4=0.D4x+y+4=0

11

解：f(x)=-^,切線斜率k=2,處切線方程是x?4y+4=0,故選A

2vx4

3.曲線y=d在點(,，,)處的傾斜角為()

-24

7t一TC

A.1B?—C.------D.

444

解：(xo2y=2x.?.攵=2?±1=1,故選B

2

4.已知/(x)=x3,則/⑶的值為()

A.3B.9C.27D.-27

解：???f'(x)=3x2f'(3)=27,故選C

5.曲線f(x)=/在點P(2,4)處的切線與X軸以及

直線X=3所圍成的三角形的面積為()

A6B8C10D12

解：f(x)=2x,切線斜率k=4,切線方程是

4x-y-4=0.則如圖M(3,8),N(3,0),H(1,0)

.??由圍成的三角形的面積為8,故選B

6.曲線Y-y=0在點P處切線方程是3x-y-2=0,則P點坐標是()

A(1,1)B(-1,-1)C(1,1),(-1,-1)D