《高等數(shù)學(xué)》第10章矩陣及其應(yīng)用教學(xué)課件

第10章矩陣及其應(yīng)用一、矩陣的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10-1矩陣的概念

矩陣是數(shù)（或函數(shù)）的矩形陣表.在給出矩陣定義之前，我們結(jié)合日常生活和工作中的各種現(xiàn)象，先來看幾個(gè)例子.

例1某文具車間有三個(gè)班組，每天生產(chǎn)鉛筆、港幣的數(shù)量（單位：支）如表10-1-1所示.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

如果把表中的數(shù)據(jù)取出且不改變數(shù)據(jù)的相關(guān)位置，那么就得到一個(gè)簡(jiǎn)明的3行2列矩形陣表：例2在物資調(diào)運(yùn)中，經(jīng)常需要確定各產(chǎn)地的產(chǎn)品如何供應(yīng)銷地使調(diào)運(yùn)物資的總運(yùn)費(fèi)最節(jié)省，某調(diào)運(yùn)方案如表10-1-2所示.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果我們用一個(gè)三行四列的數(shù)表表示該調(diào)運(yùn)方案，可以簡(jiǎn)記作其中每一行表示產(chǎn)地調(diào)往四個(gè)銷地的調(diào)運(yùn)量，每一列表示三個(gè)產(chǎn)地調(diào)到該銷地的調(diào)運(yùn)量.

例3含有n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組如果把它的系數(shù)aij(i=1，2，···，m；j=1,2，···，n)和常數(shù)項(xiàng)bi(i=1,2，···，m)按原來順序?qū)懗?，就得到一個(gè)m行n+1列的矩形陣表這個(gè)矩形陣表可以清晰地表達(dá)這一線性方程組.一般地，對(duì)于不同的問題可以用不同的矩形陣表來表示，數(shù)學(xué)上吧這種具有一定排列規(guī)則的矩形陣表稱為矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義10.1

由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1，2，···，m；j=1,2，···，n)排列成一個(gè)m行n列，并括以圓括?。ɑ蚍嚼ɑ。┑臄?shù)表或稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣.一般地，矩陣用大寫字母A,B,C···表示，如上述矩陣可記為A或Am×n，有時(shí)也可記為

A=（aij）m×n，其中aij稱為矩陣A的第i行第j列元素.特別地，當(dāng)m=1或n=1時(shí)，矩陣只有一行或只有一列，即

或

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分別稱之為行矩陣或列矩陣.當(dāng)m=n時(shí)，矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同，即稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣中從左上角到右下角的對(duì)角線稱為主對(duì)角線，從右上角到左下角的對(duì)角線稱為次對(duì)角線.將矩陣A=（aij）m×n中各個(gè)元素變號(hào)得到的矩陣，叫做A的負(fù)矩陣，記作﹣A.即﹣A=（﹣aij）m×n.例如那么﹣A是A的負(fù)矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所有元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作Om×n或O.例如分別為二階零矩陣和3×4零矩陣.此外，規(guī)定一階方陣就是一個(gè)數(shù)，即A=（a11)=a11.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾種特殊矩陣1.三角形矩陣主對(duì)角線下（或上）方元素都是零的n階矩陣，稱為n階上（或下）三角形矩陣.上、下三角形矩陣統(tǒng)稱為三角形矩陣.例如分別為一個(gè)三階上三角形矩陣和一個(gè)四階下三角形矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.對(duì)角矩陣如果一個(gè)矩陣既是上三角形矩陣，又是下三角形矩陣，那么稱其為n階對(duì)角矩陣，亦即對(duì)角矩陣是非零元素只能在主對(duì)角線上出現(xiàn)的方陣.如由于由主對(duì)角線的元素可以確定對(duì)角矩陣，所以經(jīng)常把對(duì)角矩陣記作diag[a1,a2,···an],當(dāng)然允許主對(duì)角線上某些元素為0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.數(shù)量矩陣主對(duì)角線上元素都是非零常數(shù)a，其余元素全部為零的n階矩陣，稱為n階數(shù)量矩陣.例如分別為二階、三階數(shù)量矩陣.4.單位矩陣主對(duì)角線上的元素全部是1，其余元素全部為零的n階矩陣，稱為n階單位矩陣，記作En或E.例如二階和三階單位矩陣分別為由上述可知，單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣都是三角形矩陣，它們既是上三角形矩陣，又是下三角形矩陣.10-2矩陣的運(yùn)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、矩陣相等定義10.2若矩陣A=（aij）與矩陣B=（bij）都是m×n階矩陣，且對(duì)應(yīng)位置上的元素相等，即aij=bij（i=1,2，···，m；j=1.2.···，n），則稱矩陣A與矩陣B相等記作A=B.由定義可知，用等式表示兩個(gè)m×n階矩陣相等，等價(jià)于元素之間有m×n個(gè)等式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、矩陣的加法定義10.3

設(shè)矩陣A=（aij）與矩陣B=（bij）都是m×n階矩陣，規(guī)定A+B=（aij+bij）m×n，稱矩陣A+B為A與B的和.由定義可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣才能做加法運(yùn)算.如果矩陣A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，由矩陣加法運(yùn)算和負(fù)矩陣的概念，我們可以定義矩陣的減法：A-B=A+（-B）=（aij）m×n+（-bij）m×n=（aij-bij）m×n稱矩陣A-B為A與B的差.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、矩陣的數(shù)乘定義10.4

設(shè)k是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，A=（aij）是一個(gè)m×n階矩陣，規(guī)定：kA=（kaij）m×n，稱其為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積，或稱之為矩陣的數(shù)乘.由定義10.4可知，數(shù)k乘一個(gè)矩陣A，需要用數(shù)k去乘矩陣A的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng)k=-1時(shí)，kA=-A，得到A的負(fù)矩陣.四、矩陣的乘法定義10.5設(shè)矩陣A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，稱m×n矩陣C=（cij）m×n為矩陣A與B的乘積，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+···+aisbsj=（i=1,2，···，m；j=1.2.···，n）.記作C=AB.由矩陣乘法定義知：（1）只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時(shí)，A與B才能做乘法運(yùn)算；（2）兩個(gè)矩陣的乘積C=AB也是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)；（3）乘積矩陣C=AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱行乘列法則.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束五、矩陣的轉(zhuǎn)置定義10.6將一個(gè)m×n矩陣A的行列按順序互換得到的n×m矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT，即

TAT由定義知，AT第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素.例如則AT機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則：（1）（AT）T=A；（2）（A+B）T=AT+BT；（3）（kA）T=kAT（k為實(shí)數(shù)）；（4）（AB）T=BTAT.其中規(guī)則4可以推廣到有限多個(gè)矩陣相乘的情況，即（A1A2···Ak）T=AkT···A2TA1T.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6

設(shè)矩陣求（AB）T，BTAT.解

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義10.7

如果矩陣A滿足AT=A，那么稱A是對(duì)稱矩陣；如果矩陣A滿足AT=-A，那么稱是反稱矩陣.顯然，對(duì)稱矩陣和反稱矩陣必然為方陣；對(duì)稱矩陣以主對(duì)角線元素為對(duì)稱軸的各個(gè)元素軍餉等；反稱矩陣的主對(duì)角線元素全為零，以主對(duì)角線元素為對(duì)稱軸的各個(gè)元素互為相反數(shù).例如下列矩陣中A，B為對(duì)稱矩陣，C,D為反稱矩陣.10-3矩陣的初等行變換與矩陣的秩機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、矩陣的初等行變換定義10.8

對(duì)矩陣試行下列三種變換，稱為矩陣的初等行變換：（1）交換矩陣某兩行的位置；（2）用某一非零數(shù)k乘矩陣的某一行；（3）將矩陣某一行乘常數(shù)k加到另一行上.并稱（1）為對(duì)換變換，（2）為倍乘變換，（3）為倍加變換.若把定義中對(duì)矩陣“行”施行變換改為對(duì)“列”的三種變換，稱為矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、階梯形矩陣定義10.9滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為階梯形矩陣：（1）矩陣的零行（如果存在的話）在矩陣的最下方；（2）各非零行的首非零元素的列標(biāo)隨行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.例如：下列矩陣中，A，B，C,F是階梯形矩陣，D,E則不是.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如果階梯形矩陣還滿足下面兩個(gè)條件，那么稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：（1）各非零行的首非零元素全為1；（2）各個(gè)首非零元素所在列的其余元素都為0.例如，在上面的A，B，C,F四個(gè)階梯形矩陣中，B，F(xiàn)同時(shí)又是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣.定理10.1

任意一個(gè)矩陣都可經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣，并可進(jìn)一步化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、矩陣的秩1.矩陣秩的概念定義10.10

設(shè)A是m×n矩陣，在A中位于任意選定的k行k列交點(diǎn)上的k2個(gè)元素，按原來次序組成的k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式，其中k≤min｛m，n｝.例如，矩陣在A的第一、三行與二、四列交點(diǎn)上的4個(gè)元素按原來次序組成的行列式為A的一個(gè)二階子式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義10.11

矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作r（A）或秩（A）.我們規(guī)定，零矩陣的秩為零，即r（0）=0.由定義知，若r（A）=k，則A中至少有一個(gè)k階子式不為零，而任一k+1階子式（如果存在的話）的值一定為零.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3

求矩陣的秩.解因?yàn)锳是一個(gè)二階子式=1≠0，所以A的非零子式的最高階數(shù)至少是2，A一共有四個(gè)三階子式，進(jìn)一步計(jì)算可知即所有三階子式均為零，故r（A）=2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.矩陣秩的計(jì)算定理10.2

矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩.前面提到，任何矩陣經(jīng)過初等行變換均可化為階梯形矩陣，而矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，那么階梯形矩陣的秩是否易求呢？例子：A是一個(gè)階梯形矩陣，有三個(gè)非零行，其三個(gè)非零行以及首非零元素所在的列交點(diǎn)上的元素組成的三階子式一定不為零，而階數(shù)超過非零行數(shù)的子式肯定都為零，所以顯然階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理10.3

矩陣A的秩為k的充分必要條件是通過初等行變換能將A化成具有k個(gè)非零行的階梯形矩陣.例4

設(shè)矩陣求r（A），r（AT）.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解先用初等行變換化矩陣為階梯形，因?yàn)樗裕瑀（A）=3.所以，r（AT）=3.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由此例可以猜想，矩陣A的秩與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的秩相等，可以證明這一結(jié)論具有一般性。定理10.4

設(shè)A為任意一個(gè)m×n階矩陣，則（1）0≤r（A）≤min｛m，n｝；（2）r（A）=r（AT）.3.滿秩矩陣定義10.12

設(shè)A是n階矩陣，若r（A）=n，則稱A為滿秩矩陣，或非奇異的，或非退化的.例如，等都是滿秩矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理10.5

任何滿秩矩陣都能經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣.例5

設(shè)矩陣判斷A是否為滿秩矩陣，若是將其化為單位矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解先將A化為階梯形矩陣：因?yàn)閞（A）=3=n，所以A是滿秩矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束下面對(duì)上述階梯形矩陣進(jìn)一步進(jìn)行初等行變換，化為單位矩陣.10-4逆矩陣機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、可逆矩陣與逆矩陣定義10.13

設(shè)A是一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E.則稱矩陣A為可逆矩陣（簡(jiǎn)稱A可逆）.稱矩陣B是A的逆矩陣，記作A-1，即B=A-1.于是，當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)，存在矩陣B=A-1，滿足AA-1=A-1A=E.由于定義中A,B的地位是相同的，因此也可以說矩陣B是可逆的，B-1=A.根據(jù)可逆矩陣的定義以及矩陣的乘法運(yùn)算規(guī)律可知，可逆矩陣一定是方陣；另外，不是所有的方陣均可逆.例如就不是可逆矩陣，因?yàn)檎也坏搅硪粋€(gè)二階方陣B，使得AB=BA=E.二、可逆矩陣的判別機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若A可逆，則存在逆矩陣A-1，且AA-1=E，根據(jù)方陣乘積的行列式定理，得∣A∣∣A-1∣=∣AA-1∣=∣E∣=1，所以，∣A∣≠0.由此得到∣A∣≠0是矩陣A可逆的必要條件.若矩陣A滿足∣A∣≠0，則稱A是非奇異矩陣（或非退化矩陣），否則稱A是奇異矩陣（或退化矩陣）.顯然，前面提到的滿秩矩陣一定是可逆矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義10.14

設(shè)A=（aij）是n階矩陣，則稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*.其中Aij是行列式∣A∣中aij的代數(shù)余子式.例3

求矩陣的伴隨矩陣.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解所以

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用伴隨矩陣還可以進(jìn)一步證明：若n階矩陣A滿足∣A∣≠0，則矩陣A可逆，且綜合起來，有下面的定理：定理10.6n階矩陣A可逆的充分必要條件是∣A∣≠0，且當(dāng)A可逆時(shí)，上述定理給出了判別矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法——伴隨矩陣法.三、初等行變換法求逆矩陣機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束將n階可逆矩陣A的右邊寫上同階的單位矩陣E，構(gòu)成一個(gè)n×2n階矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行一系列的初等行變換，將A化成單位矩陣E，此時(shí)，右邊的單位矩陣E化成的矩陣就是A-1.這種求逆矩陣的方法，稱為初等行變換法.簡(jiǎn)記為（A,E）→（E,A-1).10-5線性方程組機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、線性方程組的基本概念一般地，稱由n個(gè)未知量、m個(gè)方程的線性方程組（10.1）為n元線性方程組.其中xj是未知量（也稱為未知數(shù)），aij是第i個(gè)方程第j個(gè)未知量xj的系數(shù)，bi是第個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)（i=1,2，···，m；j=1,2，···，n）.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)稱A,X,B分別是方程組（10.1）的系數(shù)矩陣、未知數(shù)列矩陣、常數(shù)項(xiàng)列矩陣.此時(shí)方程組（10.1）可簡(jiǎn)記為AX=B.由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為方程組的增廣矩陣.由于線性方程組是由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)確定的，因此增廣矩陣可以清楚地表示一個(gè)線性方程組.當(dāng)方程組（10.2）中的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,···bm不全為零時(shí)，稱為非齊次線性方程組.當(dāng)b1,b2,···bm全為零時(shí)，即B=0時(shí)（10.2）稱為齊次線性方程組.同樣，方程組（10.2）可簡(jiǎn)記為AX=0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、線性方程組的消元法消元法是解二元或三元一次線性方程組常用的方法，將其運(yùn)用到解n元線性方程組中也是有效的.它的基本思想是將方程組中的一部分方程變成未知量較少的方程，從而容易判斷方程組解的情況或求出方程組的解.例1

解方程組解交換方程組中第一個(gè)方程和第三個(gè)方程的位置，得把現(xiàn)在的第一個(gè)方程的3倍和-2倍分別加到第二個(gè)、第三個(gè)方程上去，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束把現(xiàn)在的第二個(gè)方程兩端乘以，得將現(xiàn)在的第二個(gè)方程的19倍加到第三個(gè)方程上去，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束將現(xiàn)在的第三個(gè)方程兩端乘以，得最后將第三個(gè)方法依次代入第二個(gè)方程和第一個(gè)方程，即得方程組的解：x1=1,x2=-2,x3=-3.上例中，我們把方程組逐步變換為一種與原方程組同解的特殊形式的方程組，稱為階梯形方程組，而階梯形方程組用逐步回代的方法很容易求解.這個(gè)過程中我們只是反復(fù)用了三種變換：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（1）交換兩個(gè)方程的位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程；（3）把某一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.可以證明，這三種變換不改變方程組的解，且任一線性方程組都可經(jīng)過這三種變換化為階梯形方程組.由于線性方程組由它的增廣矩陣完全確定，對(duì)方程組施行的三種變換實(shí)質(zhì)上就是對(duì)其增廣矩陣施行初等行變換，故線性方程組的求解