《礦物加工數(shù)學模型》礦物加工數(shù)學建模相關數(shù)學知識課件

第2章礦物加工數(shù)學建模相關數(shù)學知識

礦物加工數(shù)學模型的建立和求解需要比較寬廣的數(shù)學基礎。

本章對礦物加工數(shù)學建模中常常涉及的數(shù)學知識進行總結。

目的是：講述和學習過程中，按需查用。

一般地，課堂學時有限，不允許展開介紹。2.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2.2行列式、矩陣與線性方程組 2.3數(shù)值計算 2.4最優(yōu)化與搜索法 2.5最小二乘法 2.6拉格朗日乘數(shù)法 2.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計2.1.1概率論 2.1.1.1隨機變量2.1.1.2概率2.1.1.3隨機變量的數(shù)字特征(1)數(shù)學期望與位置參數(shù)；(2)方差與散布特征；(3)偏度系數(shù)；(4)峰度系數(shù)；2.1.1.4正態(tài)分布2.1.1.5其它連續(xù)型分布簡單介紹在分配曲線、粒度分布、浮選速率常數(shù)分布等的描述中大量應用的幾個連續(xù)型分布，包括均勻分布、威布爾分布、伽瑪分布、貝塔分布、柯西分布、Logistic分布、極值分布。

2.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計2.1.2數(shù)理統(tǒng)計 2.1.2.1總體、樣本、統(tǒng)計量2.1.2.2抽樣分布2.1.2.3點估計2.1.2.4區(qū)間估計2.1.2.5假設檢驗

2.2行列式、矩陣與線性方程組涉及多變量求解的數(shù)學建模過程，必然用到方程組；而行列式和矩陣是方程組表達與運算處理的工具。2.2.1行列式 2.2.2矩陣表示方程組含：矩陣的初等行變換 2.2.3特殊矩陣與矩陣運算

對角矩陣等特殊矩陣；數(shù)乘、矩陣乘、轉(zhuǎn)置、逆等運算2.2.4線性方程組的解法 克萊姆法則；初等變換法；基礎解系法。2.3數(shù)值計算數(shù)值計算研究如何借助計算工具求得數(shù)學問題的數(shù)值解答。數(shù)值算法：用于描述數(shù)值問題的計算步驟，由一組基本運算及運算順序的規(guī)定構成的目標問題解決方案的完整描述。好的算法應該具備以下特征：1)結構簡單，計算機容易實現(xiàn)；2)理論上必須保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；3)計算效率高，計算速度快且節(jié)省存儲空間；4)經(jīng)過計算實驗的檢驗。2.3數(shù)值計算數(shù)值計算中，誤差處理十分重要。按來源，誤差可分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差四種。

截斷誤差與舍入誤差都可通過對算法的改進和優(yōu)選，一些簡單原則包括：1)避免兩個相近的數(shù)相減；2)避免絕對值太小的數(shù)作分母；3)盡量簡化計算步驟以減少運算次數(shù)；4)盡量采用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。目前，科學計算都采用計算機實現(xiàn)，已經(jīng)容易找到常用數(shù)值計算算法的程序代碼。礦物加工數(shù)學建模的關鍵是：結合問題的專業(yè)特征找到和推演出合適的算法。其求解則可借助成熟的科學計算軟件協(xié)助完成。2.3數(shù)值計算2.3.1線性方程組的直接解法2.3.1.1順序高斯消去法2.3.1.2列主元高斯消去法2.3.1.3用追趕法解三對角方程組2.3.1.4LU分解法解線性方程組2.3.1.5舍入誤差對解的影響2.3.2線性方程組的迭代解法迭代法大意：從某個初始值開始，借助某種遞推規(guī)則的運算得到后繼值，重復這個過程，便生成逐次逼近精確解的近似值的序列；當?shù)玫降慕浦禎M足精度要求時，即可停止遞推計算，并以序列的最末項作為問題的最終解。凡迭代法都存在收斂性與精度控制的問題。2.3數(shù)值計算2.3.3非線性方程的迭代解法2.3.3.1二分法解非線性方程2.3.3.2牛頓法解非線性方程2.3.3.3阻尼牛頓法解非線性方程2.3.3.4離散牛頓法解非線性方程

2.3.4非線性方程組的迭代解法2.3.4.1解非線性方程組的簡單迭代法2.3.4.2解非線性方程組的牛頓法2.4最優(yōu)化與搜索法2.4.1線性規(guī)劃及單純形法2.4.1.1線性規(guī)劃的標準型2.4.1.2線性規(guī)劃的圖解法2.4.1.3線性規(guī)劃的單純形法2.4.2非線性規(guī)劃2.4.2.1下降迭代法2.4.2.2單變量函數(shù)尋優(yōu)的黃金分割法2.4.2.3單變量函數(shù)尋優(yōu)的牛頓法2.4.2.4尋找單變量函數(shù)的極值點區(qū)間2.4.2.5多變量函數(shù)的尋優(yōu)方法

2.5最小二乘法

最小二乘法在礦加數(shù)學建模中具有顯著意義，是擬合模型及許多最值問題推證的理論根源。

從高等數(shù)學角度，最小二乘法是微分法在多元函數(shù)極小值求解問題中的一種應用。最小二乘法的前提：預想到一個確定類型的模型，且已經(jīng)收集數(shù)據(jù)并進行了分析。最小二乘法的求解實質(zhì)：尋找以模型參數(shù)為自變量、偏差平方和為因變量的多元函數(shù)取得極小值時其自變量的取值情況。預想模型的形式愈復雜，其模型參數(shù)的個數(shù)就愈多，其求解過程就愈復雜。2.5最小二乘法2.5.1最小二乘法的應用過程 2.5.2經(jīng)變換的最小二乘 如果一個非線性方程，在變換后的變量間呈線性關系，則利用直線模型的最小二乘法，可以求出變換后直線模型的斜率和截距，從而建立已知數(shù)據(jù)的近似模型。變換后方程的最小二乘擬合與原非線性方程的最小二乘擬合不是同一個。對變換后的方程，極小化的是變換后變量的偏差平方和。2.5.3最小二乘法的通用定義 2.6拉格朗日乘數(shù)法從數(shù)學角度看，拉