2024年全國(guó)統(tǒng)一考試高考新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題（真題+答案）

2024年全國(guó)統(tǒng)一考試高考新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)使用地區(qū)：山東、河北、湖北、福建、湖南、廣東、江蘇、浙江、江西、安徽、河南一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．24．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．7．當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．88．已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點(diǎn)在C上C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，三、填空題12．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．13．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.四、解答題15．記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．16．已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．17．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．18．已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．19．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．

2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以即，故，故選：D.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.6．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.7．當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：看圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C.8．已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；故ACD錯(cuò)誤。故選：B.二、多選9．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由題可知，，所以，故，C正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，而，B正確，A錯(cuò)誤，故選：BC．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，A正確；B，當(dāng)時(shí)，，所以，由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，B錯(cuò)誤；C，當(dāng)時(shí)，，由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，C正確；D，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確；故選：ACD.11．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點(diǎn)在C上C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，【答案】ABD【解析】A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則且，因?yàn)榍€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故，解得，A正確.B：又曲線方程為，而，故.當(dāng)時(shí)，，故在曲線上，B正確.C：由曲線的方程可得，取，則，而，故此時(shí)，因此在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，C錯(cuò)誤.D：當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，由C的分析可得，故，D正確.故選：ABD.三、填空題12．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．【答案】【解析】看題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，得，代入得，故，即，所以.故答案為：13．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【解析】根據(jù)得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，得.故答案為：14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【解析】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.四、解答題15．記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）根據(jù)（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，根據(jù)三角形面積公式可知，的面積可表示，根據(jù)已知的面積為，可得，所以.16．已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【解析】（1）根據(jù)題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，根據(jù)（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解得或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.17．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)椋?，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)椋O(shè)，則，根據(jù)等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．18．已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)椋O(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，因此，而，，所以也在圖象上，根據(jù)的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，錯(cuò)誤；綜上，在上恒成立時(shí).而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過(guò)程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.19．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，因此我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.因此所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.第一種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院?，將取遍中除開(kāi)五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開(kāi)已經(jīng)去掉的和以外，剩余的