專題05有理數(shù)的乘除（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型3種個(gè)中考考法）（解析版）

專題05有理數(shù)的乘除（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)8種題型3種個(gè)中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.有理數(shù)乘法法則的推廣（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)的除法法則（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5.有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算（重點(diǎn)、難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.對(duì)有理數(shù)乘法法則的理解題型2.對(duì)倒數(shù)概念的考查題型3.有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算題型4.巧用乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算題型5.有理數(shù)乘、除法的實(shí)際應(yīng)用題型6.有理數(shù)的除法與絕對(duì)值的綜合應(yīng)用題型7.有關(guān)有理數(shù)乘、除法的閱讀理解題題型8.有理數(shù)乘法中的探究題【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.有理數(shù)的乘法法則考法2.倒數(shù)考法3.有理數(shù)的除法法則【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解有理數(shù)的乘法法則，會(huì)用法則進(jìn)行乘法運(yùn)算。理解有理數(shù)的除法法則、倒數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算。理解有理數(shù)乘法的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。掌握有理數(shù)乘除混合運(yùn)算的計(jì)算方法?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則（重點(diǎn)）有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．【例1】計(jì)算：(1)5×(－9);(2)(－5)×(－9)；(3)(－6)×(－9);(4)(－6)×0；(5)(－eq\f(1,3))×eq\f(1,4).解析：(1)(5)小題是異號(hào)兩數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)為“－”，再把絕對(duì)值相乘；(2)(3)小題是同號(hào)兩數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)為“＋”，再把絕對(duì)值相乘；(4)小題是任何數(shù)同0相乘，都得0.解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；(4)(－6)×0＝0；(5)(－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝－(eq\f(1,3)×eq\f(1,4))＝－eq\f(1,12).方法總結(jié)：兩數(shù)相乘，積的符號(hào)是由兩個(gè)乘數(shù)的符號(hào)決定：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，任何數(shù)乘以0，結(jié)果為0.知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)（重點(diǎn)）（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說(shuō)a（a≠0）的倒數(shù)是（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒(méi)有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒(méi)有倒數(shù)．【例2】求下列各數(shù)的倒數(shù)．(1)－eq\f(3,4)；(2)2eq\f(2,3)；(3)－1.25；(4)5.解析：根據(jù)倒數(shù)的定義依次解答．解：(1)－eq\f(3,4)的倒數(shù)是－eq\f(4,3)；(2)2eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故2eq\f(2,3)的倒數(shù)是eq\f(3,8)；(3)－1.25＝－eq\f(5,4)，故－1.25的倒數(shù)是－eq\f(4,5)；(4)5的倒數(shù)是eq\f(1,5).方法總結(jié)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，一般在求小數(shù)的倒數(shù)時(shí)，先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)再求解．當(dāng)一個(gè)算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡(jiǎn)便．知識(shí)點(diǎn)3.有理數(shù)乘法法則的推廣（重點(diǎn)）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)單．【例3】計(jì)算：(1)－2×3×(－4)；(2)－6×(－5)×(－7)；(3)0.1×(－0.001)×(－1)；(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.解析：先確定結(jié)果的符號(hào)，然后再將它們的絕對(duì)值相乘即可．解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；(2)原式＝30×(－7)＝－210；(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；(5)原式＝0.方法總結(jié)：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0.知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)的除法法則（重點(diǎn)）（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?1b（b（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．【例4】計(jì)算(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－eq\f(1,4))；(3)(－0.75)÷(0.25)．解析：采用有理數(shù)的除法：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除解答．解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；(2)12÷(－eq\f(1,4))＝－(12÷eq\f(1,4))＝－48；(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.方法總結(jié)：注意先確定運(yùn)算的符號(hào)．根據(jù)“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”的法則進(jìn)行計(jì)算．本題屬于基礎(chǔ)題，考查對(duì)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則掌握的程度．【變式】計(jì)算：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))．解析：本題可采用有理數(shù)的除法：除以一個(gè)數(shù)就等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)解答．解：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))＝(－18)×(－eq\f(3,2))＝18×eq\f(3,2)＝27；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))＝16×(－eq\f(3,4))×(－eq\f(8,9))＝16×eq\f(3,4)×eq\f(8,9)＝eq\f(32,3).方法總結(jié)：此題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，有理數(shù)的除法運(yùn)算通常利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)化為乘法運(yùn)算來(lái)求．知識(shí)點(diǎn)5.有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【例5】計(jì)算：(1)－2.5÷eq\f(5,8)×(－eq\f(1,4))；(2)(－eq\f(4,7))÷(－eq\f(3,14))×(－1eq\f(1,2))．解析：(1)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，同時(shí)把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．(2)首先把乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一成乘法，再確定積的符號(hào)，然后把絕對(duì)值相乘，進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)原式＝－eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×(－eq\f(1,4))＝eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×eq\f(1,4)＝1；(2)原式＝(－eq\f(4,7))×(－eq\f(14,3))×(－eq\f(3,2))＝－(eq\f(4,7)×eq\f(14,3)×eq\f(3,2))＝－4.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算方法，先統(tǒng)一成乘法，再計(jì)算．【變式1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】原式【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘除運(yùn)算，牢記有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)6.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律（難點(diǎn)）乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.【例6】計(jì)算：(1)(－eq\f(5,6)＋eq\f(3,8))×(－24)；(2)(－7)×(－eq\f(4,3))×eq\f(5,14).解析：第(1)題，按運(yùn)算順序應(yīng)先算括號(hào)內(nèi)的再算括號(hào)外的，顯然括號(hào)內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，通分較麻煩，而括號(hào)外面的因數(shù)－24與括號(hào)內(nèi)每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母均有公因數(shù)，若相乘可以約去分母，使運(yùn)算簡(jiǎn)便．因此，可利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．第(2)題，仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)第1個(gè)因數(shù)－7與第3個(gè)因數(shù)eq\f(5,14)的分母可以約分，因此可利用乘法的交換律把它們先結(jié)合運(yùn)算．解：(1)(－eq\f(5,6)＋eq\f(3,8))×(－24)＝(－eq\f(5,6))×(－24)＋eq\f(3,8)×(－24)＝20＋(－9)＝11；(2)(－7)×(－eq\f(4,3))×eq\f(5,14)＝(－7)×eq\f(5,14)×(－eq\f(4,3))＝(－eq\f(5,2))×(－eq\f(4,3))＝eq\f(10,3).方法總結(jié)：當(dāng)一道題按照常規(guī)運(yùn)算順序去運(yùn)算較復(fù)雜，而利用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序卻能使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單些，這時(shí)可用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算．【方法二】實(shí)例探索法題型1.對(duì)有理數(shù)乘法法則的理解1．（2022秋·安徽淮北·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)a，b，c，它們的乘積是正數(shù)，它們的和是負(fù)數(shù)，則（

）A．這三個(gè)數(shù)都為正數(shù) B．這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)為負(fù)數(shù)C．這三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù) D．這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)數(shù)為正數(shù)【答案】D【詳解】解：有理數(shù)的乘積是正數(shù)，這三個(gè)數(shù)都是正數(shù)或這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)數(shù)為正數(shù)，又有理數(shù)的和是負(fù)數(shù)，這三個(gè)數(shù)中只有一個(gè)數(shù)為正數(shù)，2．（2020秋·安徽馬鞍山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、，則此項(xiàng)正確，不符合題意；B、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、，則此項(xiàng)正確，不符合題意；D、，則此項(xiàng)正確，不符合題意；題型2.對(duì)倒數(shù)概念的考查3．（2022秋·安徽淮南·七年級(jí)?？计谥校┑牡箶?shù)是________．【答案】2【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴的倒數(shù)是2，題型3.有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算4．（2022秋·安徽黃山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【詳解】解：題型4.巧用乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算5．計(jì)算（1）（2）【答案】（1）-5；（2）【詳解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；

（2）原式=（-100+）×8=-800+=.6.計(jì)算：－32×eq\f(2,3)＋(－11)×(－eq\f(2,3))－(－21)×eq\f(2,3).解：原式＝－eq\f(2,3)×(32－11－21)＝0.7．學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請(qǐng)判斷是否正確，若錯(cuò)誤給出正確解答過(guò)程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．【答案】小方給出的答案錯(cuò)誤；原式=﹣161．【詳解】解：小方給出的答案錯(cuò)誤；17×（﹣9）＝﹣[（17+）×9]＝﹣（17×9+×9）＝﹣161．8．學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，薛老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：，看誰(shuí)算得又對(duì)又快兩名同學(xué)給出的解法如下：小強(qiáng)：原式小莉：原式（1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法最好？理由是什么？對(duì)你有何啟發(fā)？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來(lái)？【答案】（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程；（2）還有其它的解法，見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．（2）還有其它的解法，．題型5.有理數(shù)乘、除法的實(shí)際應(yīng)用9．（2022秋·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）為常態(tài)化開(kāi)展社會(huì)人群核酸檢測(cè)工作，我市在人群密集、流動(dòng)量大的區(qū)域布局了健康小屋（便民核酸采樣點(diǎn)）．某采樣點(diǎn)計(jì)劃每天完成人次的核酸采樣，實(shí)際每天采樣的數(shù)量相比有出入，下表是十月份某一周該采樣點(diǎn)的實(shí)際采樣人次（超過(guò)為正，不足為負(fù)，單位：人次）星期一二三四五六七增減(1)根據(jù)記錄可知該采樣點(diǎn)前三天共完成了多少人次的核酸采樣？(2)采樣人次最多的一天比采樣人次最少的一天多了多少人次？(3)該采樣點(diǎn)采用十人混檢的方式收集核酸樣本（將個(gè)人的樣本采集后放到同一根采樣管中進(jìn)行檢測(cè)），該采樣點(diǎn)在這周至少需要多少根采樣管？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：（人次）答：該采樣點(diǎn)前三天共完成了人次的核酸采樣；（2）解：（人次）答：采樣人次最多的一天比采樣人次最少的一天多了人次；（3）解：（人次）（根）答：該采樣點(diǎn)在這周至少需要根采樣管10．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：種類里程（千米）收費(fèi)（元）起步價(jià)3千米以內(nèi)（包括3千米）10.00單程3千米以上，每增加1千米3.00往返3千米以上，每增加1千米2.20(1)一次小華乘出租車從家去動(dòng)物園，下車時(shí)付出租車費(fèi)41.8元.小華家到動(dòng)物園有多少千米？(2)若小華從家去動(dòng)物園拍一張照片，接著立即趕回，應(yīng)該怎樣乘坐出租車最劃算？她至少要付出租車費(fèi)多少元？【答案】(1)13.6千米(2)租往返的車比較劃算，63.24元【詳解】（1）解：（千米）答：小華家到動(dòng)物園有13.6千米．（2）3千米以上往返的單價(jià)要比單程的單價(jià)便宜，所以應(yīng)該租往返的車比較劃算．（千米）（元）答：租往返的車比較劃算，她至少要付出租車費(fèi)63.24元．11．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某水果店以每箱200元的價(jià)格從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)20箱櫻桃．若以每箱凈重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）0箱數(shù)143453(1)這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是多少千克？(2)這20箱櫻桃的總質(zhì)量是多少千克？(3)水果店購(gòu)進(jìn)這批櫻桃需要付運(yùn)費(fèi)100元，要把這些櫻桃全部以零售的形式賣掉，并按照全部銷售后獲得利潤(rùn)為成本的作為銷售目標(biāo)制定零售價(jià)，若第一天水果店以該零售價(jià)售出了總質(zhì)量的，第二天因害怕剩余的櫻桃腐爛，決定降價(jià)把剩余的櫻桃按原零售價(jià)的七折售完，請(qǐng)計(jì)算該水果店在銷售這批櫻桃的過(guò)程中共盈利或虧損多少元？（提示：成本＝總進(jìn)價(jià)＋運(yùn)費(fèi)）【答案】(1)這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是1．3千克(2)這20箱櫻桃的總質(zhì)量是205千克(3)該水果店銷售這批櫻桃共盈利1312元【詳解】（1）解：（千克）答：這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是1.3千克．（2）（千克）這20箱櫻桃的總質(zhì)量是205千克．（3）（元）（元）（元）答：該水果店銷售這批櫻桃共盈利1312元．題型6.有理數(shù)的除法與絕對(duì)值的綜合應(yīng)用12．（2022秋·安徽蚌埠·七年級(jí)校考期中）若，則的取值可能是（

）A． B．1或 C． D．或3【答案】D【詳解】當(dāng)m、n同為正時(shí)，；當(dāng)m、n為一正一負(fù)時(shí)，（n為負(fù)時(shí)結(jié)果相同）；當(dāng)m、n同為負(fù)時(shí)，，綜上所述，的取值可能是或3，13．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”．（提出問(wèn)題）三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿足，求的值．（解決問(wèn)題）解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即，，時(shí)，則：；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，，則：所以：的值為3或-1．（探究）請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足，求的值；（2）已知，，且，求的值．【答案】（1）-3或1；（2）或．【詳解】解：（1），∴a，b，c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即，，時(shí)，則：；②a，b，c有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)，，，則.（2）∵，，∴a=±3，b=±1，∵，∴，或，則或.題型7.有關(guān)有理數(shù)乘、除法的閱讀理解題14．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），則C125=（

）A．60 B．792 C．812 D．5040【答案】B【詳解】解：C125=15．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．16．學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，薛老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：，看誰(shuí)算得又對(duì)又快兩名同學(xué)給出的解法如下：小強(qiáng)：原式小莉：原式（1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法最好？理由是什么？對(duì)你有何啟發(fā)？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來(lái)？【答案】（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程；（2）還有其它的解法，見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）小莉解法較好，小莉能巧妙的利用了分析的思想，把帶分?jǐn)?shù)拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，再應(yīng)用分配律，大大的簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．（2）還有其它的解法，．17．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列解題過(guò)程．計(jì)算：．解：原式＝＝＝＝2你認(rèn)為以上解題是否正確，若不正確，請(qǐng)寫出正確的解題過(guò)程．【詳解】答：不正確，正確的解答如下，解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，掌握有理數(shù)的除法法則是關(guān)鍵．18．閱讀下題的計(jì)算方法：計(jì)算：分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：所以原式根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：【答案】．【詳解】解：，所以，原式．19．小軍在計(jì)算時(shí)，使用運(yùn)算律解題過(guò)程如下：解：．他的解題過(guò)程是否正確？如果不正確，請(qǐng)你幫他改正．【答案】小軍的計(jì)算是錯(cuò)誤的，正確的結(jié)果是．解題過(guò)程見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）小軍的計(jì)算是錯(cuò)誤的，正確的解題過(guò)程如下:．20．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒數(shù)為．故原式．(1)上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為哪個(gè)解法是錯(cuò)誤的．(2)請(qǐng)你選擇兩種合適的解法解答下列問(wèn)題：計(jì)算：【答案】(1)解法一(2)【詳解】（1）解：沒(méi)有除法分配律，故解法一錯(cuò)誤；（2）解：解法二：；解法三：原式的倒數(shù)為：，所以原式．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，先算括號(hào)里面的，再算有理數(shù)的除法，注意沒(méi)有除法分配律．題型8.有理數(shù)乘法中的探究題21．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【閱讀】我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法則．在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，掌握了法則，同時(shí)也學(xué)會(huì)了分類思考．【探索】（1）若，則的值為：①正數(shù)，②負(fù)數(shù)，③0．你認(rèn)為結(jié)果可能是_____；（填序號(hào)）（2）若，且、為整數(shù)，則的最大值為_(kāi)______；【拓展】（3）數(shù)軸上A、兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)、，若，試比較與0的大?。敬鸢浮浚?）①②；（2）6；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）、同號(hào)，可能同為正數(shù)，也可能同為負(fù)數(shù)即可得到答案；（2）最大，需、同號(hào)，而知、均為負(fù)整數(shù)，分類討論即可得答案；（3）、異號(hào)，分類討論與0的大小．【詳解】解：（1），、同號(hào)，、同為正數(shù)時(shí)，；、同為負(fù)數(shù)時(shí)，；故答案為：①②（2）最大、同號(hào)，，、同為負(fù)數(shù)，、為整數(shù)，、分別為和，此時(shí)；或、分別為和，此時(shí)，故答案為：6；（3），、異號(hào)，設(shè)，則，若，則，若，則，若，則．設(shè)，則，若，則，若，則，若，則．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加法、乘法的法則，解題的關(guān)鍵是分類討論．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.有理數(shù)的乘法法則22．（2023?南通）計(jì)算（﹣3）×2，正確的結(jié)果是（）A．6 B．5 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：（﹣3）×2＝﹣（3×2）＝﹣6，故選：D．23．（2022?泰安）計(jì)算（﹣6）×（﹣）的結(jié)果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12【解答】解：原式＝+（6×）＝3．故選：B．考法2.倒數(shù)24．（2022?連云港）﹣3的倒數(shù)為（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴﹣3的倒數(shù)是﹣．故選：A．考法3.有理數(shù)的除法法則25．（2022?玉林）計(jì)算：2÷（﹣2）＝．【解答】解：2÷（﹣2）＝﹣（2÷2）＝﹣1．故答案為：﹣1．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·安徽蕪湖·七年級(jí)校考期中）利用分配律計(jì)算時(shí)，正確的方案可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)即可得到答案．【詳解】解：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法分配律，正確把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：的倒數(shù)是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)的定義：分子和分母相倒并且兩個(gè)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)．掌握相關(guān)定義即可．3．（2020秋·安徽亳州·七年級(jí)校考期中）現(xiàn)有以下五個(gè)結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；②若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于；③任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；④兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)可能異號(hào)；⑤幾個(gè)有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值的定義、有理數(shù)的乘法的法則分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0；故原命題錯(cuò)誤；②若兩個(gè)數(shù)（非0）互為相反數(shù)，則它們相除的商等于1；故原命題錯(cuò)誤；③任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；故原命題正確；④兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)可能異號(hào)，故原命題正確；⑤幾個(gè)非零的有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，故原命題錯(cuò)誤．∴正確的有2個(gè)；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值的定義、有理數(shù)的乘法的法則等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，注意概念的掌握，及特殊例子的記憶．4．（2023秋·安徽宣城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的取值范圍，再逐一判定即可解答．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，∴，，，，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的乘法，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸確定a，b的取值范圍．5．（2022秋·安徽黃山·七年級(jí)黃山市徽州區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：，，，下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b【答案】B【分析】首先利用有理數(shù)的加法法則、減法法則、乘法法則計(jì)算出a、b、c的值，再比較大小即可．【詳解】，，，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法、加法和減法以及有理數(shù)大小的比較，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則．6．（2020秋·安徽·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）字母、、分別表示一個(gè)有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸可得a＜c＜0，b＞0，|a|＞|b|＞|c|，據(jù)此可逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得a＜c＜0，b＞0，|a|＞|b|＞|c|，∴a+b＜0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；c-a＞0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；bc＜0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)，熟知“數(shù)軸上數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋·安徽黃山·七年級(jí)黃山市徽州區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（

）A．a(chǎn)＜0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜0【答案】A【分析】根據(jù)，利用同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)可得a與b同號(hào)，再根據(jù)即可得．【詳解】∵，∴a與b同號(hào)，又∵，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法與加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．（2021秋·安徽安慶·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算，如，則的值為（

）A．8 B．-8 C．16 D．-16【答案】A【分析】由新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行解題．9．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)x，y，若，則的值是（

）．A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】由，可得異號(hào)，再分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案.【詳解】解：，異號(hào)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，有理數(shù)的乘法與除法的符號(hào)確定，除法運(yùn)算，掌握“絕對(duì)值的化簡(jiǎn)”是解本題的關(guān)鍵.10．（2022秋·安徽蚌埠·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)為(

)①b-a>0，②，③-a-b>0，④A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】由有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知：，，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則、不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知：，，故①b-a>0，②>都正確；故，故③-a-b>0正確；故，故④錯(cuò)誤，故正確的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)軸確定式子的大小，有理數(shù)的加減法則，熟練掌握有理數(shù)的加減法則是關(guān)鍵．二、填空題11．（2020秋·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：=．【答案】27【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)多個(gè)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：==27．故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題考查了多個(gè)有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．12．（2021秋·安徽銅陵·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在﹣2，3，4，﹣6這四個(gè)數(shù)中，取其中三個(gè)數(shù)相乘，所得的積最大為a，再取三個(gè)數(shù)所得的積最小為b，則a+b＝．【答案】-24【分析】從四個(gè)數(shù)中取三個(gè)數(shù)相乘，分別求出它們的積即可得到、的值，從而得出答案．【詳解】解：在，3，4，這四個(gè)數(shù)中，取其中三個(gè)數(shù)相乘，一共有四種情況：①，②，③，④，所得的積最大為，再取三個(gè)數(shù)所得的積最小為，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是分別求出三個(gè)數(shù)相乘的積，得到、的值．13．（2020秋·安徽合肥·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在0.5，2，—3，—4，—5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)相除，得到的商最小是．【答案】－10【分析】首先根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法，把所給的五個(gè)數(shù)從小到大排列；然后根據(jù)有理數(shù)除法的運(yùn)算方法，要使任取兩個(gè)相除，所得的商最小，用絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)除以最小的正數(shù)即可．【詳解】∵?5＜?4＜－3＜0.5＜2，∴所給的五個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)是5，最小的正數(shù)是0.5，∴任取兩個(gè)相除，其中商最小的是：－5÷0.5＝?10．故答案為：?10．【點(diǎn)睛】（1）此題主要考查了有理數(shù)除法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要明確：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（2）此題還考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小．14．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若定義一種新的運(yùn)算“#”規(guī)定有理數(shù)#=，如2#3=3×2×3=18．（1）=；（2）=；【答案】－60－378【分析】（1）根據(jù)定義的運(yùn)算法則以及有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義的運(yùn)算法則以及有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2），故答案為：-60，-378．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022秋·安徽馬鞍山·七年級(jí)馬鞍山八中校考期中）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)12【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)乘法分配律可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：原式=；（2）解：原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握利用乘法分配律、有理數(shù)的乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）；（2）．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）先確定積的符號(hào)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，除法轉(zhuǎn)化為乘法，按順序計(jì)算即可；（2）先算乘除，再算加減即可求解.【詳解】（1）原式；（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的加減、乘除的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.17．（2022秋·安徽·七年級(jí)校考階段練習(xí)）是新規(guī)定的一種運(yùn)算法則：，例如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)新運(yùn)算變形，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先求出的值，再求出的值即可．【詳解】（1）；（2），即．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．18．（2022秋·安徽合肥·七年級(jí)校考階段練習(xí)）老師布置了一道題目：計(jì)算，有兩位同學(xué)的解法如下：小明：原式．小軍：原式．(1)對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法較好(2)上面的解法對(duì)你有何啟發(fā)，你認(rèn)為還有更好的解法嗎如果有，請(qǐng)把它寫出來(lái)．(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算．【答案】(1)小軍(2)有，見(jiàn)解析(3)，見(jiàn)解析【分析】（1）小軍的方法使用了乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，更為方便；（2）可將改寫為再用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算更方便；（3）將改寫為后再計(jì)算即可．【詳解】（1）解：小軍的方法更好；（2）解：有更好的解法：原式（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練掌握乘法分配率是本題的解題關(guān)鍵．19．（2022秋·安徽蚌埠·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？(2)先計(jì)算哪部分比較簡(jiǎn)單?請(qǐng)給予解答；(3)利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果；(4)根據(jù)上述分析，求出原式的結(jié)果．【答案】(1)前后兩部分互為倒數(shù)(2)先計(jì)算后面的部分比較簡(jiǎn)單，解答過(guò)程見(jiàn)解析(3)另一部分的結(jié)果為(4)【分析】（1）根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即可；（2）把后面部分的除法化為乘法，根據(jù)乘法分配律，進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)分母均為36的公因數(shù)，故先算后面部分，較方便；（3）根據(jù)第二問(wèn)的結(jié)果，倒數(shù)的關(guān)系，即可；（4）根據(jù)第二問(wèn)，第三問(wèn)的結(jié)果，進(jìn)行有理數(shù)的加減，即可．（1）解：∵乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)∴前后兩部分互為倒數(shù)．（2）解：計(jì)算應(yīng)先通分，然后化除法為乘法，最后進(jìn)行計(jì)算；計(jì)算，先化除法為乘法，然后根據(jù)乘法分配律，進(jìn)行加減計(jì)算；∴先計(jì)算后面部分比較方便計(jì)算如下：．（3）解：∵前后兩部分互為倒數(shù)，后面部分：∴前面部分：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義，有理數(shù)除法的運(yùn)算法則，乘法分配律等．20．（2022秋·安徽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）隨著手機(jī)的普及，微信的興起，許多人抓住這種機(jī)會(huì)，做起了“微商”，很多農(nóng)產(chǎn)品也改變了原來(lái)的銷售模式，實(shí)行了網(wǎng)上銷售．剛大學(xué)畢業(yè)的夏明把自家的冬棗產(chǎn)