小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論教案

第十章中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》教案PAGE312PAGE295緒論作為課程的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論一、教學(xué)內(nèi)容本課程的性質(zhì)、地位與作用數(shù)學(xué)教學(xué)論的產(chǎn)生與發(fā)展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對象小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的理論基礎(chǔ)二、教學(xué)過程§0.1本課程的性質(zhì)、地位與作用小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論是高等師范院校小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)及其它相關(guān)專業(yè)的一門專業(yè)必修課程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論是研究數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教和學(xué)的聯(lián)系、相互作用及其統(tǒng)一的科學(xué)。具體地說，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論是以一般教學(xué)論和教育學(xué)的基本理論為基礎(chǔ)，從小學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際出發(fā)，分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的特點(diǎn)，總結(jié)長期以來小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史經(jīng)驗(yàn)，揭示小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的規(guī)律，研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的諸要素（教學(xué)方法、教學(xué)組織形式、教學(xué)的物質(zhì)條件等）及其相互間的關(guān)系，幫助教師端正教學(xué)思想和形成教學(xué)技能，并對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效果開展科學(xué)的評價(jià)。本課程是為適應(yīng)培養(yǎng)高學(xué)歷、專業(yè)化、學(xué)者型小學(xué)數(shù)學(xué)教師的需要，適應(yīng)新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的需要而開設(shè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程。因此，它在培養(yǎng)學(xué)生將來從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的能力、提高學(xué)生從事小學(xué)數(shù)學(xué)教師職業(yè)所必備的綜合素質(zhì)與專業(yè)化水平等方面具有其他課程所不能替代的重要作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論知識和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本技能與教學(xué)方法，提高學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)教育的整體認(rèn)識水平，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)水平和教育研究能力，并能運(yùn)用所學(xué)的理論和方法解決實(shí)際問題。§0.2數(shù)學(xué)教學(xué)論的產(chǎn)生與發(fā)展人類對于教育理論的研究已有相當(dāng)長的歷史了，世界各國都有關(guān)于教學(xué)方面的理論。我國偉大教育家孔子（公元前551~前479年）就從事過大量的教學(xué)活動(dòng)，并且對于教學(xué)現(xiàn)象作過許多非常精辟的論述。他的關(guān)于學(xué)與思關(guān)系的言論、他所用的啟發(fā)式的教學(xué)方法以及因材施教的教學(xué)實(shí)踐，至今還有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。戰(zhàn)國末年的《學(xué)記》一書，對于教學(xué)現(xiàn)象又作了全面的總結(jié)。書中所提出的"教學(xué)相長"的思想以及所論述的幾個(gè)教學(xué)原則，至今仍閃爍著智慧的光輝。此后歷代教育家對于教學(xué)現(xiàn)象也都有過相當(dāng)深刻的論述，其中朱熹（1130~1200）提出的六條“讀書法”，即循序漸進(jìn)、熟讀深思、虛心涵詠、切己體察、著緊用力、居敬持志，又從學(xué)習(xí)者的角度總結(jié)出較深刻的體會。唐代的教育論著《師說》是中華民族的寶貴遺產(chǎn)，也是世界人類文明史上的寶貴財(cái)富。在西方教育史上，有古希臘的著名教育家蘇格拉底(Sokrates，公元前469~前400年)他在教學(xué)理論上的主要貢獻(xiàn)是：首次提出了歸納法教學(xué)和定義法教學(xué)，西方教育史上的啟發(fā)式教學(xué)方法就由此引申而來，后人稱蘇格拉底的這種教學(xué)方法為“產(chǎn)婆術(shù)”(一種詰問性談話法)，差不多與同一時(shí)期孔子所用的啟發(fā)式方法媲美。到了中世紀(jì)，由于神學(xué)在封建社會占據(jù)統(tǒng)治地位，西方各國的學(xué)術(shù)研究基本上處于停滯狀態(tài)。到了17世紀(jì)，捷克教育家夸美紐斯（J.A.Comenius，1592~1670）寫出了舉世聞名的《大教學(xué)論》一書，全面論述了當(dāng)時(shí)他所接觸的教育現(xiàn)象，提出了至今仍有借鑒意義的許多教學(xué)原則，如直觀性、系統(tǒng)性、量力性、鞏固性教學(xué)原則，達(dá)到了前所未有的水平，可以說為教學(xué)論這一學(xué)科的建立奠定了基礎(chǔ)。其后，法國的盧梭(J.J.Rousseau，1712~1778)、瑞士的裴斯泰洛齊（J.H.Pestalozzi，1746~1827）、德國的赫爾巴特（J.F.Herbart，1776~1841）都努力從心理學(xué)方面為教學(xué)理論尋找依據(jù)，并探討合理的教學(xué)方法，為教學(xué)論的發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)。從社會發(fā)展和歷史發(fā)展的階段看，西方現(xiàn)代教育教學(xué)理論的大發(fā)展應(yīng)該從赫爾巴特將心理學(xué)引入教學(xué)論的范疇開始。赫爾巴特曾著有《普通教育學(xué)》、《教育學(xué)講授綱要》等教育理論著作。他提出并由他的學(xué)生發(fā)展了的"五段教學(xué)法"，曾經(jīng)統(tǒng)治歐美教育界達(dá)半個(gè)世紀(jì)之久，甚至影響到東方的中國和日本。在20世紀(jì)初，美國的杜威(J.Dewey，1859~1952年)提出了“兒童中心主義”、“新教育運(yùn)動(dòng)”，成為美國代表的實(shí)用主義進(jìn)步教學(xué)論學(xué)派的代表人物，與赫爾巴特的傳統(tǒng)派形成了鮮明的對比。此后，傳統(tǒng)派與革新派繼續(xù)斗爭，一直延續(xù)到現(xiàn)代，這兩個(gè)學(xué)派也都給我國各級學(xué)校的教育以極為深刻的影響。20世紀(jì)中葉以來，現(xiàn)代教學(xué)論發(fā)展迅速，在世界范圍內(nèi)形成不同派別。如50至70年代，產(chǎn)生了以現(xiàn)代認(rèn)知發(fā)展教學(xué)觀取代傳統(tǒng)和知識教學(xué)觀的教學(xué)論，代表人物是美國教育學(xué)家、心理學(xué)家布魯納，其代表作是《教學(xué)過程》。與其同時(shí)，前蘇聯(lián)著名教育學(xué)家、心理學(xué)家贊柯夫也提出了反對“學(xué)科中心論”的發(fā)展教學(xué)論，60年代末，原蘇聯(lián)還出現(xiàn)了巴班斯基（1927——1987，原蘇聯(lián)教育科學(xué)院院士）的“教學(xué)過程最優(yōu)化”的教學(xué)論。除此之外，還有維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，德國瓦根舍因的“范例方式教學(xué)論”等等。自50年代末，在美國還產(chǎn)生了在世界上廣泛影響的“人本主義”教學(xué)論，其代表人物有美國心理學(xué)家馬斯洛、洛杰斯和阿爾伯特。現(xiàn)代最有影響的教學(xué)理論是前蘇聯(lián)著名教育學(xué)家蘇霍姆林斯基的“和諧教學(xué)論”，他著有《給教師的一百條建議》一書（1969年），在世界范圍內(nèi)影響很大。而前蘇聯(lián)另一著名教育學(xué)家沙塔洛夫提出的“綱要信號”圖示教學(xué)法，是現(xiàn)代積極化教學(xué)思想的體現(xiàn)，也有廣泛的國際影響。由上可知，過去的中外教育家們對于教學(xué)現(xiàn)象的探究是由來已久的。他們在這方面做出了卓越的貢獻(xiàn)。且不說我國戰(zhàn)國末期出現(xiàn)的《學(xué)記》，就憑樹立了近代教學(xué)論的里程碑的《大教學(xué)論》而論，到現(xiàn)在也已有300多年了。在今天我們雖然把教學(xué)論作為教育學(xué)的一個(gè)組成部分，可是教學(xué)論思想的產(chǎn)生與發(fā)展并逐漸形成體系，卻是早于把它包括在內(nèi)的教育學(xué)的。教育學(xué)之成為一個(gè)學(xué)科體系應(yīng)該說是稍后的事情。數(shù)學(xué)教學(xué)論是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中一門正處于發(fā)展中的新學(xué)科。它的產(chǎn)生，既是數(shù)學(xué)教育理論發(fā)展的必然，也是數(shù)學(xué)教育實(shí)踐的呼喚。近年來，人們對數(shù)學(xué)教學(xué)的成效愈益關(guān)注，教學(xué)改革被作為提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的重要手段而升到了一個(gè)新的高度，廣大的數(shù)學(xué)教學(xué)工作者越來越迫切地需要了解和掌握有關(guān)能夠幫助他們切合實(shí)際地解決教學(xué)問題的理論。與此同時(shí)，普通教學(xué)論和作為數(shù)學(xué)教育的一般理論的數(shù)學(xué)教育學(xué)在現(xiàn)代教育科學(xué)之林中得到了極大的發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)論的豐富更為數(shù)學(xué)教育工作者所矚目，其理論體系的日益完善和堪稱豐富的實(shí)驗(yàn)成果使之有可能對所有數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮不容忽視的指導(dǎo)作用。正是在這種理論與實(shí)踐的雙重力量的推動(dòng)之下，數(shù)學(xué)教學(xué)論開始發(fā)展成為學(xué)科教育學(xué)中的重要分支學(xué)科之一。數(shù)學(xué)教學(xué)論，揭示的是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的基本原理、特有規(guī)律，而不是僅僅停留在若干教育學(xué)、心理學(xué)的一般規(guī)律上，更不能只滿足于符合一些時(shí)髦的口號。在國外，弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)論”、“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造論”、“數(shù)學(xué)形式化原則”；波利亞的“合情推理”學(xué)說、范·希爾的“幾何學(xué)習(xí)5水平”界說；杜賓斯基的APOS數(shù)學(xué)概念教學(xué)觀等等，都具有濃厚的數(shù)學(xué)品味和理論價(jià)值。在我國數(shù)學(xué)教學(xué)論這門學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展大致經(jīng)歷了四個(gè)階段：1、萌生期（1897年——1921年）本學(xué)科隨著師范教育的產(chǎn)生而產(chǎn)生，這時(shí)期學(xué)科附屬于教育學(xué)，處于胚胎孕育階段。1897年，清朝天津海關(guān)道盛宣懷創(chuàng)辦南洋公學(xué)，內(nèi)設(shè)師范院，開設(shè)“教授法”課，講授教學(xué)的秩序和、法則。1904年1月清政府頒布了《奏定學(xué)堂章程》，確定了“癸卯學(xué)制”，是中國近代第一個(gè)由中央政府以法令形式公布并推行的學(xué)校教育制度，是仿日本學(xué)制而制定的，小學(xué)開設(shè)“算術(shù)”，中學(xué)開設(shè)“算學(xué)”（包括算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角），初級、優(yōu)級師范學(xué)堂分別開設(shè)“教授法”、“各科教學(xué)法”。2、草創(chuàng)期（1922——1949）1922年政府頒布了一個(gè)正式文件“學(xué)校系統(tǒng)改革令”，提出師范開設(shè)“普通教授法”、“各科教學(xué)法”、“各科教材研究”。20世紀(jì)20年代前后，任職于南京高等師范學(xué)校的陶行知先生，提出改“教授法”為“教學(xué)法”的主張，雖被校方拒絕，但這一思想?yún)s逐漸深入人心，得到社會的承認(rèn)?！皵?shù)學(xué)教學(xué)法”，此名一直延續(xù)到20世紀(jì)50年代末。無論是“數(shù)學(xué)教授法”還是“數(shù)學(xué)教學(xué)法”，實(shí)際上只是講授各學(xué)科通用的一般教學(xué)法，30年代至40年代，我國曾陸續(xù)出版了幾本《數(shù)學(xué)教學(xué)法》的書，如1941年商務(wù)印書館出版了余竹平先生編著的我國第一部教學(xué)法著作《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》；1949年商務(wù)印書館又出版了劉開達(dá)編著的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》。但這些書多半是對前人或外國關(guān)于教學(xué)法研究所得，并根據(jù)自己教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行修補(bǔ)而總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，但教育理論并未成熟。這時(shí)期“數(shù)學(xué)教學(xué)法”已從教育學(xué)脫胎出來。3、徘徊期（1949——1977）這期間學(xué)科名稱幾經(jīng)變易，52年“數(shù)學(xué)教學(xué)法”，63年“數(shù)學(xué)教材教法”。文革期間停止開設(shè)。（1）文革前的17年（1949——1966）建國以后，在50年代，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)法是從學(xué)習(xí)歐美轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)蘇聯(lián)，教材用的是從前蘇聯(lián)翻譯的伯拉基斯的《數(shù)學(xué)教學(xué)法》，其內(nèi)容主要介紹中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的內(nèi)容和體系，以及中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要課題的教學(xué)法，這些內(nèi)容雖然仍停留在經(jīng)驗(yàn)上，但比以往只學(xué)一般的教學(xué)方法有所進(jìn)步，畢竟變成了專門的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法。課堂教學(xué)采用了凱洛夫教育學(xué)中所倡導(dǎo)的“五個(gè)環(huán)節(jié)”的教學(xué)模式。即組織教學(xué)、檢查復(fù)習(xí)、新課教學(xué)、鞏固新課、布置作業(yè)。（2）文革期間的10年（1966——1976）1966年9月5日，中共中央、國務(wù)院發(fā)出了《關(guān)于組織外地革命師生來北京參觀革命運(yùn)動(dòng)的通知》，大、中、小學(xué)生開始了全國性的大串聯(lián)活動(dòng)，師生外出串聯(lián)，或者在學(xué)校搞大批判，稱之為“停課鬧革命”。“復(fù)課鬧革命”和三算教材的出現(xiàn)。4、發(fā)展期（1978——）20世紀(jì)80年代，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)論不僅與國際數(shù)學(xué)教育共同發(fā)展（例如，從80年代起我國就派團(tuán)參加了此后的各屆ICME），而且無論在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)還是數(shù)學(xué)教育理論研究方面都形成了自己的特色。在數(shù)學(xué)教學(xué)法的基礎(chǔ)上，開始出現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的新理論。國務(wù)院學(xué)位委員會公布的高等學(xué)?！皩I(yè)目錄”中，在“教育學(xué)”這個(gè)門類下設(shè)“教材教法研究”一科(后改為“學(xué)科教學(xué)論”)，使學(xué)科教育研究的學(xué)術(shù)地位得到確認(rèn)。80年代中期'"學(xué)科教育學(xué)"研究在我國廣泛興起，不少高等師范院校成立了專門的研究機(jī)構(gòu)，對這一課題開展了跨學(xué)科的研究。1985年，原蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家A.A.斯托利亞爾的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中譯本由人民教育出版社出版發(fā)行。我國在80年代也編寫了《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》一書，試圖介紹一些數(shù)學(xué)教育研究的范本。到90年代初為止，在全國具有相當(dāng)規(guī)模和影響的“學(xué)科教育學(xué)"學(xué)術(shù)研討會，取得了不少的研究成果。目前這一研究熱潮方興未艾，正在向縱深發(fā)展，不斷有新的研究成果面世。90年代以來，國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育發(fā)展迅速，數(shù)學(xué)教育研究極為活躍，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)論研究在已構(gòu)筑的框架基礎(chǔ)上不斷深入和拓廣。1990年，曹才翰教授編著的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論》問世，標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)教育理論學(xué)科已由數(shù)學(xué)教學(xué)法演變?yōu)閿?shù)學(xué)教學(xué)論，由經(jīng)驗(yàn)實(shí)用型轉(zhuǎn)為理論應(yīng)用型。1991年出版張奠宙等著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》，把中國數(shù)學(xué)教育置于世界數(shù)學(xué)教育的研究之中，結(jié)合中國實(shí)際對數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)的許多問題提出了新的看法，對數(shù)學(xué)教育工作者涉及的若干專題，加以分析和評論，這是數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的一個(gè)突破。1992年，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》創(chuàng)刊，由天津師范大學(xué)主辦，對數(shù)學(xué)教育理論研究與實(shí)踐探索發(fā)揮了重要作用。十幾年來，涌現(xiàn)了一批優(yōu)秀的科研成果，出版了一系列數(shù)學(xué)教育學(xué)著作（上海、湖南、廣西、江西、江蘇等教育出版社以及教育科學(xué)等其他出版社各自出版了一批“數(shù)學(xué)教育叢書”），研究內(nèi)容包括“數(shù)學(xué)教學(xué)理論”、“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論”、“數(shù)學(xué)思維”、“數(shù)學(xué)方法論”、“數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教育評價(jià)”、“數(shù)學(xué)習(xí)題理論”等多個(gè)方面，其內(nèi)容已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過上述教材所包含的知識領(lǐng)域。同時(shí)我國還加緊數(shù)學(xué)教學(xué)論專業(yè)人才的培養(yǎng)，國內(nèi)各大師范院校已增設(shè)課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）碩士學(xué)位授權(quán)點(diǎn)和教育碩士（學(xué)科教學(xué)：數(shù)學(xué)）專業(yè)學(xué)位，培養(yǎng)出了一批年青的數(shù)學(xué)教學(xué)論工作者和研究人員。可以說90年代我國的數(shù)學(xué)教學(xué)論研究形成了一個(gè)高潮，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐和數(shù)學(xué)教育學(xué)理論的結(jié)合產(chǎn)生了豐碩的成果。當(dāng)前，中國正進(jìn)行新一輪基礎(chǔ)教育課程改革，數(shù)學(xué)教育應(yīng)從“應(yīng)試教育”轉(zhuǎn)向素質(zhì)教育，要培養(yǎng)新世紀(jì)的全面素質(zhì)的人才，以適應(yīng)社會發(fā)展、國際競爭和經(jīng)濟(jì)全球化、信息化的新形勢的需要。隨著素質(zhì)教育改革的不斷深入，對新世紀(jì)的中學(xué)數(shù)學(xué)教師從專業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)理論、能力水平等諸方面都提出了更高的要求。2003年4月，高等教育出版社出版了由張奠宙、李士錡、李俊編著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》，是基礎(chǔ)教育新課程教師教育系列教材之一，本書用新的觀點(diǎn)闡述了中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論，構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)教育體系，并與正在實(shí)驗(yàn)的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)相適應(yīng)，這是數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的一個(gè)新發(fā)展。因此，高等師范數(shù)學(xué)教育的改革應(yīng)適應(yīng)這一發(fā)展趨勢，積極投身于全國乃至世界數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展之中，及時(shí)地更新課程教學(xué)內(nèi)容，才能更好地體現(xiàn)高等師范院校數(shù)學(xué)教育的先進(jìn)性和帶頭作用。數(shù)學(xué)教學(xué)論是一門不斷發(fā)展的新學(xué)科，它的內(nèi)容、體系的成熟，需要數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)研究工作者的共同努力。隨著我國數(shù)學(xué)教育事業(yè)蓬勃發(fā)展，成果大量涌現(xiàn)，一門具有中國特色的數(shù)學(xué)教學(xué)論正在逐步形成。數(shù)學(xué)教育的理論研究在這20多年中經(jīng)歷了十分重要的轉(zhuǎn)變：82年提出數(shù)學(xué)教材教法應(yīng)向“數(shù)學(xué)教育學(xué)”方向發(fā)展：85年提出建設(shè)具有中國特色的數(shù)學(xué)教育學(xué)；87年國家將“教材教法研究”更名為“學(xué)科教學(xué)論”，本學(xué)科相應(yīng)更名為“數(shù)學(xué)教學(xué)論”。這期間出版了教材專著百余種：79年湖南一師編《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》；84年人民教育出版社編《小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和教法》；94年人民教育出版社編《小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》；97年高等教育出版社編《小學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)》；03年湖南一師編《數(shù)學(xué)教育新論》）§0.3小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對象對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對象的把握應(yīng)該建立在對一般教學(xué)論的研究對象的正確理解基礎(chǔ)之上。教學(xué)論，是關(guān)于教學(xué)活動(dòng)的理論，是教育學(xué)中的一個(gè)組成部分。關(guān)于教學(xué)論的研究對象，人們普遍地認(rèn)為它是揭示教學(xué)的一般規(guī)律，研究教和學(xué)的一般原理。教學(xué)論的理論體系也正是循著這一線索來構(gòu)建并得到不斷完善的。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論研究的數(shù)學(xué)教學(xué)是指數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，它是教師的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)兩個(gè)方面的統(tǒng)一過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識、技能和技巧的過程；數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是按照教育教學(xué)規(guī)律，向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識能力，增進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)，并指導(dǎo)、評價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。由此可知，數(shù)學(xué)教學(xué)并不是指教師簡單地把數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，而是需要教師組織有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使他們在學(xué)習(xí)中獲得提高與發(fā)展的教育。圍繞著小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究對象，可以確立小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的以下一些主要研究課題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的主要任務(wù)，這主要包括：1）小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)；2）小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容；3）小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程；4）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程；5）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則與教學(xué)方法；6）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)與教學(xué)組織形式；7）小學(xué)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的分析與教學(xué)設(shè)計(jì)；8）小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)；9）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)。除上述課題外，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論還應(yīng)當(dāng)結(jié)合時(shí)代條件和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展?fàn)顩r對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種新問題開展范圍廣泛的研究。以上所列述的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究課題也可以看成是現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的理論體系的基本框架，它也是我們這門小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論課程所要講授的主要內(nèi)容?！?.4小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的理論基礎(chǔ)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論這門學(xué)科同許多科學(xué)都相互聯(lián)系、相互作用，并受到這些科學(xué)的制約和影響。因此，研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論，應(yīng)當(dāng)建立其自身的一系列科學(xué)的理論基礎(chǔ)，這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論日趨完善和成熟的重要保證。0.4.1以辯證唯物主義認(rèn)識論為基礎(chǔ)辯證唯物主義認(rèn)識論是認(rèn)識世界、改造世界的科學(xué)的方法論，是研究一切科學(xué)的方法論，也是我們認(rèn)識教學(xué)過程的方法論。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)從其本質(zhì)來看，是和人類的一般認(rèn)識活動(dòng)相一致的，是人類總體認(rèn)識活動(dòng)的一個(gè)部分。因此，要建立科學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論就必須以辯證唯物主義認(rèn)識論為指導(dǎo)，并從數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)本身的特點(diǎn)出發(fā)去探索數(shù)學(xué)教學(xué)過程的基本規(guī)律。教學(xué)過程是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從不知到知、從知之較少到知之較多，逐步掌握社會歷史經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識客觀世界和改造主觀世界的過程，馬克思主義認(rèn)識論理所當(dāng)然地成為它的科學(xué)方法論基礎(chǔ)。這也是教學(xué)過程論的指導(dǎo)思想。相反，如果離開了辯證唯物主義認(rèn)識論，就不可能正確理解教學(xué)過程的實(shí)質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律，就必然會陷入唯心主義和機(jī)械主義的泥坑。0.4.2以小學(xué)生心理學(xué)、生理學(xué)為基礎(chǔ)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究要以小學(xué)生心理學(xué)為基礎(chǔ)，這是因?yàn)橛行У臄?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)本身需要根據(jù)小學(xué)生心理品質(zhì)形成和思維發(fā)展的規(guī)律，尤其是小學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)來建立科學(xué)的教學(xué)體系，使教學(xué)活動(dòng)能夠適應(yīng)小學(xué)生的心理需要并促進(jìn)其心理能力的健康發(fā)展。從現(xiàn)代教學(xué)理論的發(fā)展來看，新的研究和實(shí)踐越來越借助于心理學(xué)的支持。在歐洲19世紀(jì)上半葉"教育心理化運(yùn)動(dòng)"的推動(dòng)下，首次由赫爾巴特把教學(xué)論建立在心理學(xué)的基礎(chǔ)之上。之后，許多教育家和心理學(xué)家致力于教學(xué)心理學(xué)的實(shí)驗(yàn)和研究，從而使心理學(xué)成為教學(xué)論的最重要的科學(xué)基礎(chǔ)。若從心理學(xué)和生理學(xué)來看，教學(xué)過程實(shí)質(zhì)上是使學(xué)生的身心得到全面發(fā)展的過程。那么研究和組織教學(xué)過程就必須認(rèn)識和掌握學(xué)生身心發(fā)展的機(jī)制、特點(diǎn)和規(guī)律。只有當(dāng)教學(xué)過程符合學(xué)生身體發(fā)育、大腦神經(jīng)活動(dòng)和心理發(fā)展的規(guī)律時(shí)，才能充分發(fā)揮教學(xué)的教育功能，才能更好地促進(jìn)學(xué)生的整體發(fā)展。例如，教學(xué)過程除了包括學(xué)生認(rèn)識過程的心理系列之外，還包括激發(fā)學(xué)生認(rèn)識過程的心理系列，如興趣、情感、意志、性格等，所以在教學(xué)中必須考慮學(xué)生的認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素。又如，根據(jù)大腦兩半球的分工原理如何開發(fā)學(xué)生的形象思維、直覺思維和創(chuàng)造思維，這是當(dāng)前教學(xué)論很值得重視的課題。因此，教學(xué)過程必須以生理學(xué)、腦科學(xué)、心理學(xué)特別是教育心理學(xué)和發(fā)展心理學(xué)為其科學(xué)基礎(chǔ)，這也是教學(xué)論科學(xué)化的重要條件之一。0.4.3以系統(tǒng)科學(xué)和傳播學(xué)等現(xiàn)代化的科學(xué)理論為基礎(chǔ)系統(tǒng)科學(xué)即控制論、信息論和系統(tǒng)論，是20世紀(jì)40年代誕生的一組新興的技術(shù)科學(xué)，也是具有普遍意義的研究方法。由于系統(tǒng)科學(xué)本身就是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)整體化的產(chǎn)物，所以具有向科學(xué)的一切領(lǐng)域、包括教育科學(xué)領(lǐng)域廣泛滲透的可能性。系統(tǒng)科學(xué)的運(yùn)用使人們從對單一事物的研究過渡到對系統(tǒng)聯(lián)系的研究。運(yùn)用系統(tǒng)方法研究教學(xué)問題，有助于從整體上把握教學(xué)現(xiàn)象、建立教學(xué)模式，從控制論、信息論和系統(tǒng)論的觀點(diǎn)對教學(xué)規(guī)律的研究具體化、深入化，還能得到許多新的啟發(fā)和認(rèn)識。例如，從系統(tǒng)論的觀點(diǎn)出發(fā)，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)由許多基本因素組成的復(fù)雜系統(tǒng)，需要借用系統(tǒng)分析的方法來研究。從信息論的原理分析，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)就是一種信息傳輸和變換的過程，教師尤其要重視使學(xué)生能有效地輸入和反饋。若從控制論看，教學(xué)過程則是教與學(xué)之間的信息傳遞和反饋控制過程。教師要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的最優(yōu)化的控制，以便教和學(xué)的活動(dòng)以及教學(xué)過程的運(yùn)行能處于動(dòng)態(tài)平衡之中。應(yīng)用系統(tǒng)科學(xué)的觀點(diǎn)和方法研究教學(xué)過程，是科學(xué)技術(shù)發(fā)展對教育科學(xué)研究所提出的必然要求，并已成為世界各國教學(xué)過程理論現(xiàn)代化的發(fā)展趨勢。例如，前蘇聯(lián)教育家巴班斯基運(yùn)用辯證的系統(tǒng)方法研究教學(xué)過程，提出了很有特色的教學(xué)過程最優(yōu)化理論。此外，從傳播學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)過程作為一個(gè)有組織的信息傳播過程，建立有效的傳播模式將是非常重要的?？傊?，以上述這些現(xiàn)代化的科學(xué)理論為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)論的研究將具有更加嚴(yán)密的科學(xué)體系。隨著小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論研究的不斷發(fā)展，研究這一領(lǐng)域的科學(xué)基礎(chǔ)將日益被拓寬。除上述已被提到的有關(guān)理論外，邏輯學(xué)、美學(xué)、思維科學(xué)、決策理論等等也應(yīng)該受到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論研究的重視。第一章走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課程一、教學(xué)目的通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的研究對象、特點(diǎn)與發(fā)展以及影響數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的因素；明確我國義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)是我國義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分析；難點(diǎn)是數(shù)學(xué)的研究對象、特點(diǎn)與發(fā)展。三、教學(xué)方法講授、討論交流與閱讀文獻(xiàn)。四、教學(xué)內(nèi)容本章主要內(nèi)容：數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)與任務(wù)小學(xué)數(shù)學(xué)課程及其發(fā)展小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)五、教學(xué)過程§1.1數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識小學(xué)數(shù)學(xué)課程是按照一定的需要，遵循一定的原則，從數(shù)學(xué)科學(xué)中精心選擇內(nèi)容加以編排形成的。作為學(xué)科的數(shù)學(xué)與作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系，又有很大的區(qū)別。認(rèn)識數(shù)學(xué)科學(xué)的研究對象、主要特點(diǎn)和發(fā)展過程有助于我們確定和理解為什么進(jìn)行數(shù)學(xué)教育，認(rèn)識數(shù)學(xué)教育的規(guī)律和特點(diǎn)。1.1.1數(shù)學(xué)的產(chǎn)生考察一下數(shù)學(xué)的歷史，可以看到它的發(fā)展存在著兩個(gè)起點(diǎn)。1、以實(shí)際問題為起點(diǎn)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生首先是以實(shí)際問題為起點(diǎn)的，即是人類為了了解客觀存在的內(nèi)部性質(zhì)的需要，用以解決實(shí)踐上的問題。例如，人類在自己的生產(chǎn)與生活中，需要對一些物體進(jìn)行量的刻畫和描述，于是，“數(shù)”就產(chǎn)生了；又如，人類在自己的生產(chǎn)與生活中，需要對一些對象進(jìn)行集合意義上的合并與分解，于是，四則運(yùn)算就產(chǎn)生了；再如，人類在科學(xué)研究過程中，要研究拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要用圖形來描述從而幫助分析，但如何作出這些曲線圖形呢？笛卡爾就用代數(shù)方法來研究這些曲線的特點(diǎn)，于是解析幾何就產(chǎn)生了。2、以理論問題為起點(diǎn)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生其次是以理論問題為起點(diǎn)的，即是人類為了了解思想存在的內(nèi)部性質(zhì)的需要，用以解決理論上的問題。例如，五世紀(jì)的普多克羅斯（pudkyols）注意到，一個(gè)圓的直徑可以將整個(gè)圓分成兩半，但由于圓的直徑有無限多，因此，必定存在著兩倍于直徑的半圓。而伽利略卻注意到，每個(gè)正整數(shù)與它的平方能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而這些正整數(shù)的平方的集合應(yīng)是正整數(shù)集合的真子集，這樣就構(gòu)成了一個(gè)整體和它的部分相等的悖論（史稱伽利略悖論），為了解決這個(gè)悖論，康托等作了研究，創(chuàng)立了集合論，并創(chuàng)造性地提出了“超越數(shù)”的概念。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的最終起點(diǎn)還是現(xiàn)實(shí)世界，它更多地來自于人類的問題提出和問題解決，是人類力圖對現(xiàn)實(shí)世界的最本質(zhì)的和最一般的反映。超越現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，其目的還是為了獲得對現(xiàn)實(shí)世界更合理、更準(zhǔn)確的最一般的反映。1.1.2數(shù)學(xué)的研究對象數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識自然、認(rèn)識社會的重要工具，千百年來人們不斷地探索和認(rèn)識數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識也在不斷地演變和發(fā)展。數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都有自己對數(shù)學(xué)研究對象的認(rèn)識。恩格斯曾對數(shù)學(xué)的屬性作過如下的描述：數(shù)學(xué)就是研究“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”的一種科學(xué)。這是對數(shù)學(xué)研究對象的一種經(jīng)典的解釋，是對數(shù)學(xué)十分概括和深刻的解釋。數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實(shí)世界的事物在空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的抽象，數(shù)學(xué)來源于人們的生產(chǎn)和生活實(shí)踐，反過來又為人們的社會實(shí)踐和日常生活服務(wù)，是人類從事各項(xiàng)活動(dòng)不可缺少的工具?！皵?shù)量關(guān)系”是算術(shù)、代數(shù)等領(lǐng)域研究的內(nèi)容，用來表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界各種數(shù)量及其關(guān)系。“空間形式”是幾何學(xué)研究的內(nèi)容，研究物體的形狀、大小及其相互關(guān)系。人類在社會和生產(chǎn)實(shí)踐中，不斷揭示數(shù)量關(guān)系和空間形式的規(guī)律，并將其不斷抽象化、系統(tǒng)化、形式化，形成數(shù)學(xué)科學(xué)體系。隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識也在發(fā)展，數(shù)學(xué)的研究對象也在擴(kuò)展，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識也不斷深入，人們從不同的角度闡述對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識和理解。一種受到普遍關(guān)注的觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界的模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)通過揭示各種隱藏著的模式，幫助我們理解周圍世界。無論是數(shù)、關(guān)系、形狀、推理，還是概率、數(shù)理統(tǒng)計(jì)，都是人類發(fā)展進(jìn)程中對客觀世界某些側(cè)面的數(shù)學(xué)把握的反映。人們從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問題，抽象化為數(shù)學(xué)模型，再回到現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行檢驗(yàn)。從這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)可以被看作是一種技術(shù)或模型。此外，從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展歷史看，數(shù)學(xué)還具有這樣幾個(gè)性質(zhì)：其一，數(shù)學(xué)的對象是由人類發(fā)明或創(chuàng)造的；其二，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造源于對現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界研究的需要；其三，數(shù)學(xué)性質(zhì)具有客觀存在的確定性；其四，數(shù)學(xué)是一個(gè)發(fā)展的動(dòng)態(tài)體系。1.1.3數(shù)學(xué)的基本特征一般地認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有理論的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性這三個(gè)特征。（一）理論的抽象性我們知道，任何一門科學(xué)都不是直接處理現(xiàn)實(shí)對象，而是用我們通常所稱的“模型”去處理其抽象的反映，而數(shù)學(xué)則不同，它往往是處理所有這些模型的抽象，是這些模型的一般模式，從而來概括同類對象或同類對象關(guān)系。顯然，數(shù)學(xué)是作為一個(gè)獨(dú)立的客體而存在的、抽去了具體內(nèi)容的一種形式科學(xué)，它用形式化、符號化和精確化的語言來表現(xiàn)的一種“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性質(zhì)的性質(zhì)的抽象”而呈現(xiàn)的。因而，數(shù)學(xué)對象沒有任何物質(zhì)的和能量的特征，它只有一個(gè)特征，那就是這些對象都處于一定的相互關(guān)系之中。例如，數(shù)學(xué)研究的“直線”，是一種沒有長短、粗細(xì)、輕重和顏色的等任何物質(zhì)的和能量特征的“理想化”的對象。（二）邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。即數(shù)學(xué)的結(jié)果是從一些基本概念（或公理）出發(fā)并采用嚴(yán)格的邏輯推論而得到的。這種推論（推理）對于每一個(gè)懂得這樣的規(guī)則并擁有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人來說，都是無需爭辯的和確信無疑的。數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性還帶來了數(shù)學(xué)的精確性，也就是說，數(shù)學(xué)的表述具有相當(dāng)嚴(yán)密的唯一性。而且數(shù)學(xué)語言常常反映在其他的學(xué)科（尤其是自然學(xué)科）之中，用來準(zhǔn)確地表述概念或由經(jīng)驗(yàn)所獲得的發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性還表現(xiàn)在它的系統(tǒng)性。數(shù)學(xué)體系本身是一個(gè)精確的自然結(jié)構(gòu)，而且是所有自然結(jié)構(gòu)中最具有完美模型的特征的。它是以最簡潔、最精確、最穩(wěn)定的模型來揭示最本質(zhì)、最抽象的關(guān)系系統(tǒng)的理論。正如弗賴簦塔爾所說,數(shù)學(xué)與其他思維相比，有一個(gè)最大的特點(diǎn)，那就是對任何一個(gè)陳述，都可以確定其對或錯(cuò)。因?yàn)橹挥袛?shù)學(xué)可以加上一個(gè)強(qiáng)有力的演繹結(jié)構(gòu)。這就是所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)然，當(dāng)數(shù)學(xué)科學(xué)變得很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅r(shí)候，它就表現(xiàn)出一種不可忽視的人為的特性，以至于有時(shí)它會忘掉了自己的歷史起源。（三）應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)的對象領(lǐng)域，涉及到整個(gè)客觀世界，數(shù)學(xué)是解決我們生活和生產(chǎn)過程中問題的主要工具，因?yàn)闆]有一個(gè)物質(zhì)的領(lǐng)域不呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)可以研究的現(xiàn)象或規(guī)律的，尤其是社會的科學(xué)技術(shù)發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到人們的所有生活之中。所以，數(shù)學(xué)可以運(yùn)用到各個(gè)方面。同時(shí)，數(shù)學(xué)還在其他的科學(xué)中占有特殊的地位，因?yàn)闊o論是自然科學(xué)、社會科學(xué)甚至是思維科學(xué)，都可借用數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和抽象性的特點(diǎn)來做更為精確的研究或描述。1.1.4數(shù)學(xué)的發(fā)展過程數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展過程經(jīng)歷了漫長的歷史，從人類早期對數(shù)學(xué)的認(rèn)識開始，大致可以分為五個(gè)時(shí)期，即萌芽時(shí)期；常量數(shù)學(xué)時(shí)期；變量數(shù)學(xué)時(shí)期；近代數(shù)學(xué)時(shí)期、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。在不同的時(shí)期，人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識從低級到高級不斷發(fā)展。了解數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，有助于我們研究小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的有關(guān)問題。(1)數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期(遠(yuǎn)古～公元前6世紀(jì))這個(gè)時(shí)期人類在長期的生產(chǎn)實(shí)踐中逐漸形成了數(shù)的概念，初步掌握了數(shù)的運(yùn)算方法，并積累了一些數(shù)學(xué)知識。由于田畝度量和天文觀測的需要，幾何知識初步興起，但還沒有邏輯因素，未發(fā)現(xiàn)命題的證明。這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)，是人們在實(shí)踐中從現(xiàn)實(shí)世界里，零零星星地認(rèn)識了數(shù)學(xué)中最古老、原始概念——“數(shù)”(自然數(shù))和“形”(簡單幾何圖形)。數(shù)的概念起源于數(shù)(讀snǔ)。原始社會人們采用“結(jié)繩記數(shù)”，就是把打獵所獲得獵物與繩子的“結(jié)”進(jìn)行比較，得出獵物的個(gè)數(shù)。從我國出土的甲骨文中，發(fā)現(xiàn)大約公元前14世紀(jì)～公元前11世紀(jì)的數(shù)字是采用十進(jìn)位制記數(shù)法，最大數(shù)是3萬。由此可見，數(shù)已從具體事物分離出來，抽象為“數(shù)”的概念，但仍然印上了十個(gè)手指數(shù)數(shù)的烙印。另一方面，人類還在采集果實(shí)、打造石器、燒土制陶的活動(dòng)中，對各種物體加以比較，區(qū)分直曲方圓，逐漸形成了“形”的概念。我國出土的“仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直線組成或由圓和曲線組成的圖案。(2)常量數(shù)學(xué)時(shí)期(公元前6世紀(jì)～公元17世紀(jì))這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)，是人們將零星的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行了積累、歸納、系統(tǒng)化，采用邏輯演繹的方法形成了古典初等數(shù)學(xué)的體系。數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們認(rèn)識的“數(shù)”和“形”，只是零星的數(shù)學(xué)知識，并未構(gòu)成邏輯體系。到了公元前5世紀(jì)，古埃及由于尼羅河長期泛濫，沖毀了土地區(qū)域，需要重新丈量，積累了豐富的幾何知識。后來古埃及人把幾何知識傳到古希臘，由Euclid把人們長期實(shí)踐發(fā)現(xiàn)、積累的幾何知識，按照演繹的方法寫成了《幾何原本》。同一個(gè)時(shí)期，人們?yōu)榱私鉀Q實(shí)踐中的一些實(shí)際應(yīng)用問題，如研究天文歷法中的問題，促使算術(shù)、代數(shù)的發(fā)展。數(shù)學(xué)從原始自然數(shù)，分?jǐn)?shù)發(fā)展擴(kuò)充到正負(fù)實(shí)數(shù)。成書于東漢時(shí)期的《九章算術(shù)》，就是人們在長期實(shí)踐中，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。公元前3世紀(jì)至公元2世紀(jì)撰寫成的《幾何原本》和《九章算術(shù)》，標(biāo)志著古典的初等數(shù)學(xué)體系的形成?！稁缀卧尽啡珪?3卷。全書主要以空間形式為研究對象，以邏輯思維為主線，從5條公設(shè)、23個(gè)定義和5條公理推出了467條定理，從而建立了公理化演繹體系?！毒耪滤阈g(shù)》則是246個(gè)數(shù)學(xué)問題、答案和術(shù)文組成。全書主要研究對象是數(shù)量關(guān)系。該書以直覺思維為主線，按算法分為方田、粟米、衰分、少廣、商廣、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，構(gòu)成了以題解為中心的機(jī)械化算法體系。(3)變量數(shù)學(xué)時(shí)期(17世紀(jì)～19世紀(jì))變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生于17世紀(jì)，其標(biāo)志有兩個(gè)：一是解析幾何的產(chǎn)生；二是微積分的建立。這個(gè)時(shí)期的特點(diǎn)，是“運(yùn)動(dòng)”成為自然科學(xué)研究的中心課題。數(shù)學(xué)由研究現(xiàn)實(shí)世界的相對靜止的事物或現(xiàn)象進(jìn)而探索運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。常量數(shù)學(xué)已發(fā)展到變量數(shù)學(xué)。16世紀(jì)，歐洲社會萌芽了資本主義，手工業(yè)生產(chǎn)轉(zhuǎn)向了機(jī)器工業(yè)生產(chǎn)，迫使自然科學(xué)對“運(yùn)動(dòng)”和各種“過程”的研究，進(jìn)而產(chǎn)生了“變量”與“函數(shù)”的概念。17世紀(jì)上半葉，Descartes將幾何內(nèi)容的課題與代數(shù)形式的方法相結(jié)合，產(chǎn)生了解析幾何學(xué)，這標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)時(shí)期的開始。17世紀(jì)60年代，Newton和Leibniz各自從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)研究的需要，創(chuàng)建了微積分。隨后，相繼建立了級數(shù)理論、微分方程論、變分學(xué)等分析學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)分支。15世紀(jì)～18世紀(jì)，人們還研究了大量的隨機(jī)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)存在著某種完全不確定規(guī)律性，從而開辟了或然數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，建立了概率論。這個(gè)時(shí)期，數(shù)學(xué)的研究對象已由常量進(jìn)入變量，由有限進(jìn)入無限，由確定性進(jìn)入非確定性；數(shù)學(xué)研究的基本方法也由傳統(tǒng)的幾何演繹方法轉(zhuǎn)變?yōu)樗阈g(shù)、代數(shù)的分析方法。(4)近代數(shù)學(xué)時(shí)期(19世紀(jì))這一時(shí)期的數(shù)學(xué)的對象、內(nèi)容在深度上和廣度上都有了很大發(fā)展，分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的思想、理論和方法都發(fā)生了革命性的變化，數(shù)學(xué)越發(fā)抽象、不斷分化、不斷綜合的發(fā)展規(guī)律開始顯露；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的開始，標(biāo)志著一座宏偉穩(wěn)固的數(shù)學(xué)大廈已在人們腦海里出現(xiàn)；數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍繼力學(xué)、光學(xué)之后，又在熱力學(xué)、電磁學(xué)、技術(shù)科學(xué)中獲得擴(kuò)展。

（5）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(20世紀(jì))在這一時(shí)期，電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，使整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌大為改觀；數(shù)學(xué)幾乎滲透到所有科學(xué)領(lǐng)域，形成了數(shù)學(xué)科學(xué)的一系列分支理論和應(yīng)用數(shù)學(xué)理論；純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展，集合論觀點(diǎn)的普遍運(yùn)用，公理化方法的完善，數(shù)理邏輯的發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的奠定，模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)建，以及泛函分析、抽象代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)三大現(xiàn)代理論的建立，已經(jīng)使數(shù)學(xué)在整個(gè)科學(xué)體系中的特殊地位和作用突出地顯現(xiàn)出來．20世紀(jì)以來，人們眼光中的數(shù)學(xué)同以往任何時(shí)代都無法相比了。1.1.4數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)科學(xué)的全部內(nèi)容，是由數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想組成的系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想具有各自不同的內(nèi)涵，也有著不同的作用。縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史可以看到，人們在解決實(shí)踐和理論中提出的各種數(shù)學(xué)問題的過程中，總結(jié)和創(chuàng)造了各種不同的數(shù)學(xué)方法。在這些數(shù)學(xué)方法發(fā)生的同時(shí)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識也相伴形成，在不斷探求對數(shù)學(xué)知識和方法的認(rèn)識的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)思想便產(chǎn)生了。例如，著名數(shù)學(xué)家歐拉正是在解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程中，不僅發(fā)現(xiàn)了許多知識并開拓了運(yùn)籌學(xué)和圖論等嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，而且他的研究也是運(yùn)用抽象化方法和數(shù)學(xué)模型思想的光輝范例。就數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的關(guān)系而言，一方面，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)的知識體系之中，數(shù)學(xué)思想與方法的突破又常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)新；另一方面，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映著客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步概括和升華。因此，如果說問題是數(shù)學(xué)的“心臟”、方法是數(shù)學(xué)的“行為規(guī)則”、知識是數(shù)學(xué)的“軀體”，那么數(shù)學(xué)思想無疑是數(shù)學(xué)的“靈魂”?！?.2小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)與任務(wù)“學(xué)科”是一個(gè)教育學(xué)的概念，專指學(xué)校課程內(nèi)容中的一定科學(xué)領(lǐng)域的總稱。當(dāng)數(shù)學(xué)成為學(xué)校的教育教學(xué)的對象的時(shí)候，就被稱之為“數(shù)學(xué)學(xué)科”。1.2.1作為學(xué)科的數(shù)學(xué)作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，它自然是源于數(shù)學(xué)科學(xué)，但作為一種教育活動(dòng)的對象，其又有一定的獨(dú)特性。也就是說，作為教育的數(shù)學(xué)和作為科學(xué)的數(shù)學(xué)是不完全相同的。（一）從知識體系看作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，是一個(gè)完整的、獨(dú)立于任何人的任何知識結(jié)構(gòu)而存在的、特定的知識和思想體系。而作為教育的數(shù)學(xué)，則是一個(gè)經(jīng)過人為的加工和提煉的、依據(jù)某一特殊人群（作為獲得基礎(chǔ)的人類文化遺產(chǎn)的學(xué)生）的特殊需要（即數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)）和經(jīng)驗(yàn)、知識與能力結(jié)構(gòu)而設(shè)計(jì)的知識和思想體系；（二）從數(shù)學(xué)活動(dòng)看作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，是一類專門的人（可以稱之為“數(shù)學(xué)家”的那些人）的一個(gè)完全獨(dú)立的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的活動(dòng)過程，而作為教育的數(shù)學(xué)，則是一類專門的人（可以稱之為“學(xué)生”的那些人）在某些專門的人（可以稱之為“教師”的那些人）的引導(dǎo)和幫助下的一個(gè)模仿探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的活動(dòng)過程；（三）從對象特征看作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，其對象是一個(gè)完全由符號、概念和規(guī)則等構(gòu)成的和完全開放的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，而作為教育的數(shù)學(xué)，其對象則是含有經(jīng)驗(yàn)、直觀的和幾乎是封閉的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；最后，從活動(dòng)的目的看，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是為了獲得發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)，而作為教育的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是為了“接受”已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。1.2.2小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的數(shù)學(xué)學(xué)科，具有如下性質(zhì)：1、生活性倡導(dǎo)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸于兒童的生活，這已經(jīng)成為了當(dāng)今轉(zhuǎn)變小學(xué)數(shù)學(xué)教育觀念的一個(gè)重大的命題。因?yàn)槲覀円呀?jīng)開始關(guān)注到，兒童是從自己的生活實(shí)踐開始認(rèn)識數(shù)學(xué)的，所以，就要將兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正地回歸到兒童的生活中去，在學(xué)習(xí)中時(shí)時(shí)關(guān)注兒童關(guān)心什么？經(jīng)歷了什么？對什么感興趣？在生活中發(fā)現(xiàn)了什么？讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與兒童自己的生活充分地融合起來，將學(xué)習(xí)納入他們的生活背景之中，讓他們在自己尋找、發(fā)現(xiàn)、探究、認(rèn)識和掌握數(shù)學(xué)。2、現(xiàn)實(shí)性兒童的數(shù)學(xué)是他們的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)，因此，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織，應(yīng)源于他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。這種現(xiàn)實(shí)存在于兒童與外部世界的溝通和交流的構(gòu)成之中，存在于兒童的社會生活的實(shí)踐性活動(dòng)之中。這些“現(xiàn)實(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的起點(diǎn)，也是兒童獲得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)與生活實(shí)踐的節(jié)點(diǎn)。課程的任務(wù)是構(gòu)建抽象與現(xiàn)實(shí)的連續(xù)體。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要的特征就是溝通抽象的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的實(shí)踐的聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與運(yùn)用真正回歸兒童的生活現(xiàn)實(shí)。3、體驗(yàn)性即學(xué)校的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)努力去改變相應(yīng)的課程內(nèi)容、教學(xué)方式、組織策略和評價(jià)模式。積極倡導(dǎo)努力探求解法，而不單是記憶步驟；主動(dòng)探索模式，而不單是記憶公式；積極形成猜測，而不單是做些習(xí)題?？梢姡覀兊膶W(xué)校的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)成為讓學(xué)生去親生體驗(yàn)一下的數(shù)學(xué)問題解決的一種活動(dòng)，不要總是將詳細(xì)整理好的證明（事實(shí)）材料提供給學(xué)生，而是盡可能地讓學(xué)生通過自己仔細(xì)的觀察、粗略的發(fā)現(xiàn)和簡單的證明，只有這樣，才有可能使學(xué)生真正經(jīng)歷超越局部的、非單純接受的問題解決的過程。1.2.3小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的任務(wù)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)就是發(fā)展人，就是發(fā)展人在快速變遷的社會中獲得高質(zhì)量生存所需要的基本素養(yǎng)、能力和情感。（一）發(fā)展公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)是基本的任務(wù)第二次世界大戰(zhàn)之后，隨著包括計(jì)算技術(shù)在內(nèi)的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域得到了極大的拓展。就像今天的識字、閱讀一樣，數(shù)學(xué)日益成為公民必需的文化素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育大眾化成為了時(shí)代的要求。例如，在現(xiàn)代社會，大量信息以各式各樣的數(shù)據(jù)形式出現(xiàn)在我們面前。如何收集有用的數(shù)據(jù)，怎樣整理、分析信息，得出有用的結(jié)論，就成為了現(xiàn)代人必不可少的一種能力。數(shù)學(xué)不僅是人們是利用數(shù)學(xué)來交流信息和思想的，理由數(shù)學(xué)來完成一系列的實(shí)際任務(wù)及解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題的。同時(shí)，數(shù)學(xué)也是探索新世界的工具?？梢?，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，并不追求將所有的兒童都培養(yǎng)成為偉大的數(shù)學(xué)家，而是培養(yǎng)他們最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本內(nèi)涵早在80年代，著名的科克羅夫特（cockcroft,W.H.）報(bào)告就提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這個(gè)詞，它認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要包含兩個(gè)內(nèi)涵，第一是指個(gè)人在日常生活中具有運(yùn)用數(shù)學(xué)技能的能力，能夠滿足個(gè)人每天生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)需求；第二是能正確理解含有數(shù)學(xué)術(shù)語的信息，如閱讀圖表和表格等，這表示一個(gè)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人應(yīng)該能正確理解一些數(shù)學(xué)的溝通方式。顯然，這種觀點(diǎn)明顯的超出了我們通常所理解的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，也超出了我們所理解的以掌握數(shù)學(xué)概念和解題方法的學(xué)習(xí)，更超出了我們通常所理解的解題技能的學(xué)習(xí)。具體的看，參照美國的NCTM（國家數(shù)學(xué)教師協(xié)會）標(biāo)準(zhǔn)（即1989年的“學(xué)校數(shù)學(xué)大綱及其評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”），我們大致可以給數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本內(nèi)涵做如下的表述：（1）懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值即能初步懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值和在文化中的地位和社會生活中的作用，了解用數(shù)學(xué)思想來思考并用數(shù)學(xué)方法來處理日常生活中發(fā)生的事件與現(xiàn)象的優(yōu)越性，提高對日常的事物現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的知識與經(jīng)驗(yàn)、思想與方法等進(jìn)行觀察、推測、嘗試、計(jì)劃并合情合理地思考的意識和興趣。（2）對自己的數(shù)學(xué)能力有自信心即在學(xué)習(xí)中對自己的數(shù)學(xué)能力有信心，并有可能常常在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中獲得一些積極良好的情感體驗(yàn)，從而提高參與社會生活以及在社會生活的探究、發(fā)現(xiàn)和改造等活動(dòng)中主動(dòng)進(jìn)行決策的興趣和態(tài)度。（3）有解決現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題的能力即能初步掌握對日常生活中存在的各種信息的采集、整理、辨析及其處理與運(yùn)用的基礎(chǔ)能力，并能用數(shù)學(xué)的方法對它們進(jìn)行初步的考察、區(qū)分、組織和模型建構(gòu)，從而獲得最基礎(chǔ)性的解決數(shù)學(xué)課題的能力。（4）學(xué)會數(shù)學(xué)交流即會讀數(shù)學(xué)、寫數(shù)學(xué)和討論數(shù)學(xué)，包括學(xué)會簡單的數(shù)學(xué)交流，能用數(shù)學(xué)語言來解釋、闡述或證明自己的研究與解決問題的猜測、計(jì)劃、過程和結(jié)果等。（5）學(xué)會數(shù)學(xué)的思想方法即學(xué)會初步的和簡單的一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。包括對應(yīng)思想、變量思想、統(tǒng)計(jì)思想等等以及化歸、假設(shè)、模型等方法。2、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本特征（1）發(fā)展性實(shí)際上，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是隨著社會的進(jìn)步而變化和發(fā)展的，例如，在100多年前，掌握算術(shù)技能可能就是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但隨著今天計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展，這種算術(shù)技能的重要性和對運(yùn)算技能的需求都已逐漸發(fā)生了顯著的變化。今天作為一個(gè)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，面對一個(gè)現(xiàn)象或問題，他可能先要判斷是否需要進(jìn)行計(jì)算？如是，則可能就要思考是否需要精確計(jì)算？然后才考量用什么方法進(jìn)行計(jì)算。中間可能還要思考是否需要增加有用的信息？可能還要考慮如何辨析這些信息？等等。（2）過程性首先，數(shù)學(xué)素養(yǎng)所內(nèi)含的目標(biāo)，不是一個(gè)終極的目標(biāo)，而是一種指向發(fā)展方向的過程性目標(biāo)，是我們數(shù)學(xué)教育所追求的價(jià)值目標(biāo)。因此，數(shù)學(xué)教育關(guān)注的，是兒童的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的漸進(jìn)的發(fā)展過程。其次，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，是伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中的，它不能靠我們通常所理解的所謂的“單項(xiàng)訓(xùn)練”就能實(shí)現(xiàn)的。有時(shí)，它還伴隨者其他的學(xué)科學(xué)習(xí)和環(huán)境學(xué)習(xí)中的有意識加以滲透的。（3）實(shí)踐性數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有明顯的現(xiàn)實(shí)性和實(shí)踐性的特征，它與我們的日常社會生活是緊密聯(lián)系的。因?yàn)椋瑑和臄?shù)學(xué)素養(yǎng)是借助于現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和自己的主體性實(shí)踐而獲得發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要讓兒童感覺到，沒有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，他們可能就會在一些日常的社會生活中難以行動(dòng)。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也應(yīng)讓兒童感覺到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就存在于自己的日常社會生活之中。使兒童在數(shù)學(xué)探究和問題解決中去發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（二）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的基本點(diǎn)1、思維與數(shù)學(xué)思維思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律性聯(lián)系概括的和間接的反映。思維有兩個(gè)最顯著的特征，一是概括性，二是間接性。數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性活動(dòng)。具體來說，數(shù)學(xué)思維就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為思維的載體，并以認(rèn)識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的一種思維。數(shù)學(xué)思維既從屬于一般的人類思維，具有一般思維的特征，同時(shí)由于數(shù)學(xué)及其研究方法的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維又具有不同于一般思維的自身特點(diǎn)，表現(xiàn)在思維活動(dòng)是按客觀存在的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行的，具有數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學(xué)語言的簡約性和數(shù)學(xué)形式的符號化、抽象化、結(jié)構(gòu)化傾向決定了數(shù)學(xué)思維具有不同于其他思維的獨(dú)特風(fēng)格。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點(diǎn)。2、數(shù)學(xué)思維的分類（1）數(shù)學(xué)思維方式按照思維活動(dòng)的形式可以分成邏輯思維、形象思維和直覺思維三類。數(shù)學(xué)邏輯思維是以數(shù)學(xué)的概念、判斷和推理為基本形式，以分析、綜合、抽象、概括、（完全）歸納、演繹為主要方法，并能用詞語或符號加以邏輯地表達(dá)的思維方式。它以抽象性和演繹性為主要特征，其思維過程是線型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依據(jù)，具有論證推理的特點(diǎn)。用數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)脑拋碚f，“邏輯”思維是以較少無意識“成分”，定向比較嚴(yán)密，一致性和清楚劃分的思維過程為特征的。數(shù)學(xué)形象思維是以數(shù)學(xué)的表象、直感、想象為基本形式，以觀察、比較、類比、聯(lián)想、（不完全）歸納、猜想為主要方法，并主要地通過對形象材料的意識加工而得到領(lǐng)會的思維方式。它以形象性和想象性為主要特征，其思維過程帶有整體思考、模糊判別的合情推理的傾向。數(shù)學(xué)直覺思維是包括數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)靈感兩種獨(dú)立表現(xiàn)形式，能夠迅速地直接地洞察或領(lǐng)悟?qū)ο笮再|(zhì)的思維方式。它們以思維的跳躍性或突發(fā)性為主要特征。用阿達(dá)瑪?shù)脑拋碚f，“直覺”思維是以相當(dāng)多的無意識“成分”，思維過程更分散、迅速和省略為特征的。（2）數(shù)學(xué)思維方式按照思維指向可以分成集中思維和發(fā)散思維兩類。集中思維又叫聚合思維、求同思維、收斂思維。定向思維(正向思維)和縱向思維是集中思維的兩種重要形式。發(fā)散思維又叫求異思維、分散思維、輻射思維。逆向思維和多向思維是發(fā)散思維的兩種重要形式。集中思維是指從一個(gè)方向深入問題或朝著一個(gè)目標(biāo)前進(jìn)的思維方式。在集中思維時(shí)，全部信息僅僅只是導(dǎo)致一個(gè)正確的答案或一個(gè)人們認(rèn)為最好的或最合乎慣例的答案。發(fā)散思維則是具有多個(gè)思維指向、多種思維角度并能發(fā)現(xiàn)多種解答或結(jié)果的思維方式。在發(fā)散思維時(shí)，我們是沿著各種不同的方向去思考的，即有時(shí)去探索新遠(yuǎn)景，有時(shí)去追求多樣性。因此，在看待集中思維時(shí)，需要看到它在某種程度上存在單維型、封閉型與靜止型思維特點(diǎn)的一面。而發(fā)散思維則相對地較明顯地具有多維型、開放型和動(dòng)態(tài)型思維的特征。（3）數(shù)學(xué)思維方式按照智力品質(zhì)可以分成再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維兩類。再現(xiàn)性思維是運(yùn)用已獲得的知識和經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方案和程序，用慣用的方法、固定的模式來解決問題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指以新穎、獨(dú)創(chuàng)的方式來解決問題的思維，是在已有的知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對問題找出新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。3、數(shù)學(xué)思維的一般方法數(shù)學(xué)思維的一般方法是指學(xué)生在數(shù)學(xué)思維過程中運(yùn)用的基本方法。（1）觀察與實(shí)驗(yàn)所謂觀察，就是指人們對周圍客觀世界的各個(gè)事物和現(xiàn)象，在其自然的條件下，按照客觀事物本身存在的自然聯(lián)系的實(shí)際情況，加以有目的的感知，從而來確定或研究它們的性質(zhì)或關(guān)系的一種思維活動(dòng)。觀察是多種感覺器官對對象的有意識的知覺。觀察具有這樣兩個(gè)特征：第一，觀察的雙重性。即觀察不僅僅是指利用各種感覺器官對客觀事物進(jìn)行看、觸、聽、嗅、嘗等感知活動(dòng)，還包括對客觀事物的領(lǐng)會和理解等活動(dòng)。例如，兒童在學(xué)習(xí)長方形面積的計(jì)算時(shí)，可能先觀察由若干單位面積的小正方形組成的長方形，然后用數(shù)數(shù)的方式找到該長方形的面積。這時(shí)就會引起他們思考，長方形的面積都要通過“數(shù)”嗎？他們與長方形的什么是有關(guān)系的呢？接著就會去進(jìn)一步地觀察，在這個(gè)長方形中每一排有幾個(gè)這樣的小正方形，共有幾排。于是，又引起他們深入思考，這樣的每排幾個(gè)和有這樣的幾排，與長方形的面積是什么關(guān)系呢？顯然，在整個(gè)觀察活動(dòng)中，感知和思維是同步進(jìn)行，互為條件的，感知為思維提供了依據(jù)，思維又為進(jìn)一步感知提供了新的目標(biāo)?？梢?，觀察的根本目的就是為了發(fā)現(xiàn)問題和找到事物的本質(zhì)規(guī)律，因此學(xué)會思考性地觀察很重要。第二，觀察的客觀性。格式塔（Gestalt）曾有這樣的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)人們在感知諸如△□〇等這樣的圖形時(shí)，總會在知覺中自覺地將它們看作是一個(gè)三角形、正方形和圓，即人的知覺有一種趨向于穩(wěn)定性、完整性和對稱性的傾向，這就是觀察的主觀性。要保證觀察的客觀性，就需要掌握一定的觀察方法。通常說，從觀察順序看，主要有：整體→部分→整體和部分→整體→部分這兩種方法。而方法的抉擇主要取決于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中觀察的任務(wù)和對象的特點(diǎn)。從兒童的思維發(fā)展的特征看，他們的觀察能力的發(fā)展有著一個(gè)較為明顯的階梯性，即：對象的概括化的能力→知覺的形式化能力→空間結(jié)構(gòu)的知覺能力→邏輯模式的識別能力。實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)一定的研究目的，人為地創(chuàng)設(shè)條件，控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取資料的研究方法。觀察與實(shí)驗(yàn)都是一種有目的、有計(jì)劃、有步驟、有組織的積極思維活動(dòng)。不過，實(shí)驗(yàn)以觀察更具有優(yōu)越性，它可以排除外界條件的各種干擾，突出其主要矛盾，使實(shí)驗(yàn)者獲得更精確的事實(shí)和資料。但是任何實(shí)驗(yàn)都離不開觀察，實(shí)驗(yàn)實(shí)際上是觀察的一種形式。（2）比較與分類比較，也稱對比，它是確定對象之間的相異與相同點(diǎn)的一種邏輯方法。它可在相同或相異的對象之間進(jìn)行，也可在同類對象的不同方面進(jìn)行。比較是分析，綜合這些基本思維過程的主要活動(dòng)方式之一，要使學(xué)生能抽象概括得到理性認(rèn)識必須通過比較。在人們的社會實(shí)踐，特別是在科學(xué)研究中，比較作為一種科學(xué)方法普遍地被應(yīng)用，“有比較才能有鑒別”，通過比較，可以從思想上把握現(xiàn)實(shí)世界對象本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，反映客觀事物相互對立又相互聯(lián)系的內(nèi)部規(guī)律，達(dá)到正確認(rèn)識事物的目的。在數(shù)學(xué)研究中，同樣也離不開比較方法。當(dāng)被研究的對象包含多種可能的情況，導(dǎo)致我們不能對它們一概而論的時(shí)候，迫使我們必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種解決問題的思想方法，我們稱為分類，也稱為分類方法。分類是確定概念外延的一種邏輯方法。根據(jù)分類的含義，分類必須遵循下列原則：（1）分類所得的各子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與被分類的概念的外適相等，即沒有遺漏。（2）分類所得的各子項(xiàng)，應(yīng)當(dāng)是互相排斥的，即沒有重復(fù)。（3）分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。3、分析與綜合分析和綜合是人類認(rèn)識事物本質(zhì)的一個(gè)必不可少的基本思維過程。數(shù)學(xué)知識的是客觀事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否將概念還原成事實(shí)，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，這就要依賴與學(xué)生的分析與綜合能力。所謂分析，簡單地說，就是指在頭腦中將對象和現(xiàn)象分解成個(gè)別部分，從而找出它的屬性、特征等單獨(dú)來考察的思維活動(dòng)，而所謂綜合，就是指將分析了的各個(gè)部分結(jié)合起來，從整體來考察對象或現(xiàn)象的思維活動(dòng)。分析始于感知，但它屬于一種片面的感知，不能獲得整體的認(rèn)識。綜合則是將片面的感知進(jìn)行整合，形成整體知覺。一般說來，沒有分析就談不上綜合，但分析并非一定在綜合之前。同時(shí)，分析和綜合是伴隨在同一認(rèn)識活動(dòng)的過程之中的。兒童的分析、綜合能力發(fā)展，有一個(gè)從低級階段到高級階段的發(fā)展過程，所謂低級階段，即指分析和綜合是與感知覺直接掛鉤的；而所謂高級階段，則是指分析和綜合不再與感知覺直接掛鉤。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以利用多種途徑對兒童進(jìn)行分析與綜合能力的培養(yǎng)，如：利用某些問題解決學(xué)習(xí)來發(fā)展兒童的分析與綜合能力。因?yàn)樵趩栴}解決學(xué)習(xí)過程中，有一個(gè)理解問題活動(dòng)，而理解問題的活動(dòng)就是在頭腦中構(gòu)造問題表征的活動(dòng)。這是一個(gè)不容忽視的階段，研究表明，許多問題解決的障礙可能并不在于問題解決的策略不當(dāng)或者過程有誤，而往往在于關(guān)于問題性質(zhì)的認(rèn)識表征的建立上存在某些問題。一般地說，問題從被確認(rèn)到獲得解決，是有一系列的不斷變化的狀態(tài)的，即從問題的起始狀態(tài)到問題的目標(biāo)狀態(tài)，首先就有一個(gè)表征構(gòu)造的過程，而表征構(gòu)造的過程就是一個(gè)不斷地分析與綜合的過程。只有這樣，才能從問題的起始狀態(tài)出發(fā)，通過圖式的檢索進(jìn)入并逐漸逼近問題的目標(biāo)狀態(tài)。利用某些計(jì)算（規(guī)則）學(xué)習(xí)進(jìn)行來發(fā)展兒童的分析與綜合能力。僅從計(jì)算的審題過程看，兒童往往除了表現(xiàn)出對“式題”的審題不重視外，還表現(xiàn)出審題的：無順序、粗糙和隨意性強(qiáng)等特點(diǎn)，從而影響了解題的正確性或速度。（4）抽象與概括抽象與概括也是人類認(rèn)識事物本質(zhì)的一個(gè)必不可少的基本思維過程。所謂抽象，簡單地說，就是指發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性，放棄非本質(zhì)屬性的思維過程。所謂的概括，簡單地說，就是指從個(gè)別單獨(dú)的屬性，推廣到屬于這同類事物的屬性中的思維過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是培養(yǎng)抽象與概括能力的過程，這首先是由數(shù)學(xué)科學(xué)其本身抽象性特征所決定的。其次，數(shù)學(xué)科學(xué)是對客觀世界的本質(zhì)屬性最一般的反映，而這種最一般的反映必須要以抽象為前提。但是，由于兒童尚處于以具體形象思維為主并逐步向抽象邏輯思維過渡的年齡階段，因此，其內(nèi)部的思維活動(dòng)就常需要有一定的外部支撐點(diǎn)——充分地感知。對兒童的抽象與概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)注意要有一定的階段性。按皮亞杰等人的研究，低年級的兒童尚處在“前運(yùn)算階段”（相當(dāng)于布魯納的“動(dòng)作式階段”）向“具體運(yùn)算階段”過渡，往往只能形成“一級概念”（具體概念），而要形成“二級概念”（定義概念）還比較困難。他們往往只能依賴經(jīng)驗(yàn)（直觀）進(jìn)行初步的抽象，而這種抽象與概括的發(fā)展是依據(jù)對象的外顯的特征從手的分類開始，憑借感覺學(xué)習(xí)來形成和保持各種表象，也就是說，在他們的概念中還往往依賴直觀或經(jīng)驗(yàn)來支撐。而年齡稍高一些的兒童開始處于“具體運(yùn)算階段”（相當(dāng)于布魯納的“映象式階段”），守恒概念逐漸形成，而且思維的可逆性和多維性逐漸得到了發(fā)展，能將環(huán)境中的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成內(nèi)在的表象，開始能擺脫分類而從事物的內(nèi)部特征入手，從而可能獲得一些“二級概念”。但是，這個(gè)階段的兒童在獲得和適用這些概念的時(shí)候，仍需一定的直觀形象來支持。到了更高些年齡段的兒童，他們的思維水平已開始發(fā)展到“具體運(yùn)算階段”向“形式運(yùn)算階段”過渡，他們已有一定的抽象的假設(shè)或命題進(jìn)行邏輯轉(zhuǎn)換的水平，而且概括能力也開始增強(qiáng)，能從一類本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去。例如，對“角”的認(rèn)識，低年級段的兒童，可能只能從日常的經(jīng)驗(yàn)或活動(dòng)的體驗(yàn)來支撐，因而在他們看來，角就是“尖”的，還不能形成對圖形的表征；稍高年級段的兒童，可能就會從圖形特征入手，從了解圖形的基本組成去形成對圖形的表征。但是，對于像/這樣的圖形，他們可能就會糊涂，這究竟是“勾”還是“角”？再高年級段的兒童，可能就會從“角”的發(fā)生角度去真正理解其本質(zhì)含義，并開始懂得對情境對象依照一定的規(guī)則做符號推演（判定）。（5）歸納與猜想歸納是對同類事物中的各種特殊事物所蘊(yùn)含的同一性或相似性而得出此類事物的一般性結(jié)論的思維過程。猜想是指人們根據(jù)某些事實(shí)和知識所作出的未經(jīng)證實(shí)的預(yù)測性推斷，以及人們作出這種預(yù)測性推斷的思維過程。歸納有完全歸納與不完全歸納。完全歸納而得到的猜想，一般地說是可靠的；而不完全歸納而得到的猜想，一般地說不一定可靠。歸納與猜想可以導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。不完全歸納法的作用（1）不完全歸納法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的有效方法；（2）不完全歸納法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用；（3）通過歸納方法提出的猜想可以作為數(shù)學(xué)研究的題點(diǎn)，豐富數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科向前發(fā)展。歸納與猜想是從特殊而得到一般的思維方法。波利亞說過：“科學(xué)家處理經(jīng)驗(yàn)的方法，通常稱為歸納法?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用歸納猜想不僅有利于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，也有利于數(shù)學(xué)解題途徑或方法的得到。（6）類比與聯(lián)想類比是根據(jù)兩個(gè)對象或兩類事物間存在著的某些相同或相似，推斷出它們的其它屬性也可能相同或相似的思維形式。聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物，想到與其相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)事物的思維方法。一般類比聯(lián)想的模式為A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a，b，c，B也可能具有性質(zhì)d。另外，類比聯(lián)想還存在模式為A具有性質(zhì)a，b，c，d，B具有性質(zhì)a′，b′，c′分別與a，b，c相似，B可能具有性質(zhì)d′，d′與d相似。例如：由除結(jié)果商不變的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比得出比的基本性質(zhì)。4數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)又稱數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)，它是指學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)生、發(fā)展中的個(gè)性差異，它是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的重要標(biāo)志。思維的深刻性——是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深刻和難度。在數(shù)學(xué)思維中，學(xué)習(xí)者的思維表現(xiàn)出如下特征：（1）善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)；（2）善于把握數(shù)學(xué)知識的背景；（3）善于認(rèn)識數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及知識間的相互關(guān)系；（4）善于揭示數(shù)學(xué)材料的思想、方法、原理、一般模式；（5）善于掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜想。思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。思維的靈活性——是指思維活動(dòng)的靈活程度。即學(xué)生在思維過程中能從不同的方面、不同的角度以及從不同的方向來思考問題，并且還能用不同的方法來解決問題，具體到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，學(xué)生可以從不同的方面來理解數(shù)學(xué)概念，用各種方法來解答數(shù)學(xué)問題，有時(shí)還可以用多種手段來處理疑難問題。思維的靈活性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)，它與思維深刻性的結(jié)合，構(gòu)成了思維的機(jī)智與敏捷，常?？蓪?dǎo)致發(fā)明和創(chuàng)造。正因?yàn)槿绱?，愛因斯坦把思維的靈活性看成是創(chuàng)造性的典型特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維的靈活性具有以下特征：（1）善于從不同的角度思考問題，用不同的方法解決問題。（2）善于隨機(jī)應(yīng)變，把問題加以轉(zhuǎn)化。思維靈活性的反面是思維的呆板性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常表現(xiàn)為循規(guī)蹈矩和因循守舊，缺少應(yīng)變能力，呈現(xiàn)出消極的思維定勢。思維的敏捷性——是指思維活動(dòng)的反映速度和熟練程度。數(shù)學(xué)思維敏捷可以歸納出如下的特點(diǎn)：（1）在數(shù)學(xué)解題過程中善于走捷徑，超越常規(guī)的步驟，從而使解題過程大大縮短。（2）思維敏捷性具有直覺的成分，通過直覺思維，得到簡捷的解題思路。（3）在解決數(shù)學(xué)問題的思維中，善于一下抓住問題的本質(zhì)，使問題迎刃而解，表現(xiàn)出解決問題的敏捷特點(diǎn)。例歐拉在解決“七橋問題”時(shí)，就是把七橋問題中“一次無重復(fù)地走過七座橋”的問題的本質(zhì)抓住了，即把它看成是“筆不離紙，一筆畫出一個(gè)封閉曲線”(“一筆畫”)問題。從而使問題得到迅速解決。思維的獨(dú)創(chuàng)性——是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度。是指思考問題和解決問題時(shí)的方式方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特，具有創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中表現(xiàn)為能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，勇于創(chuàng)新，敢于突破常規(guī)的思考方法和解題程式，大膽提出新的見解和采用新的方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思維的獨(dú)創(chuàng)性是極其重要的，著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就具有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上思維的獨(dú)創(chuàng)性，他在計(jì)算教師給他們出的計(jì)算題1＋2＋3＋…＋100時(shí)，不是依常規(guī)的計(jì)算步驟，即一個(gè)一個(gè)地加起來，而是排除了過去的思維模式，采取了一種新穎的算法：于是，101×50=5050，從而，1+2+3+…+100=5050。高斯的這一思維即有擺脫常規(guī)思維而具有新穎性思維的特點(diǎn)。（1）具有較強(qiáng)的個(gè)性特點(diǎn)；（2）善于獨(dú)立思考、分析、綜合，找出數(shù)學(xué)問題的主要特性；（3）善于通過觀察、類比、歸納，作出猜想；（4）不拘泥現(xiàn)有的思維方法與途徑，而善于獨(dú)辟蹊徑，從方法上創(chuàng)新；（5）通過思維而得到新穎的思維成果。思維的批判性——即思維的獨(dú)立性。是指思維活動(dòng)中獨(dú)立思考，善于提出疑問，并發(fā)表不同的看法，嚴(yán)格客觀地評價(jià)思維的結(jié)果，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，表現(xiàn)為對已有的數(shù)學(xué)表達(dá)和論證提出自己的見解，自我評判，辯別正誤，排除障礙，尋求最佳答案。數(shù)學(xué)思維的批判性具有以下特征：（1）善于找出解題中的錯(cuò)誤，并能獨(dú)立地糾正錯(cuò)誤的解法與錯(cuò)誤的結(jié)果，即善于洞察解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤與漏洞，并能對思維過程作出正確的評價(jià)。（2）善于對已有的數(shù)學(xué)結(jié)果提出自己的看法或懷疑。（3）善于舉反例，批判錯(cuò)解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過對一些容易致誤的數(shù)學(xué)問題的分析思考來提高思維的批判性。思維批判性的反面是思維的盲從性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常表現(xiàn)為對教師和教材的盲從，不敢越雷池半步；表現(xiàn)為對他人結(jié)論的輕信，不善于獨(dú)立思考和提出問題；也表現(xiàn)為缺乏檢查和檢驗(yàn)的意向，不善于客觀評價(jià)等等。（三）提高將數(shù)學(xué)運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)情境的能力是發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本目標(biāo)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)是為了拓展人的空間，包括數(shù)學(xué)的空間和生活的空間。拓展數(shù)學(xué)空間的最終目的還是為了拓展人的一般的生活空間，使人的生活變得更為豐富多彩。顯然，數(shù)學(xué)對每一個(gè)普通公民來說都有價(jià)值。1、學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想來考察現(xiàn)實(shí)在現(xiàn)實(shí)情景中發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)重要的途徑。因?yàn)閮和梢栽谶@些實(shí)踐、操作以及使用具體材料的過程中，有效地獲取知識和技能，增進(jìn)理解；運(yùn)用數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)和解決一系列現(xiàn)實(shí)生活問題；處理由課程其它領(lǐng)域或其它學(xué)科提出的問題；對數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律和原理進(jìn)行探索研究等。概括地說，要學(xué)好數(shù)學(xué)就要用數(shù)學(xué)對具體情境進(jìn)行思考和探索。這時(shí)，學(xué)生需要學(xué)會如何面對新的事物；學(xué)生需要學(xué)會如何邏輯地和有創(chuàng)意地思考；學(xué)生需要學(xué)會如何分析和解決問題；學(xué)生需要學(xué)會如何獲得信息并有效地加以處理；學(xué)生需要學(xué)會如何與別人交流與溝通；如此等等。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)兒童觀察和認(rèn)識周圍世界最簡單的數(shù)量關(guān)系，建立情境與一般法則的聯(lián)系，從而激發(fā)他們超越這些規(guī)則并能用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行表達(dá)的動(dòng)機(jī)，真正使用數(shù)學(xué)知識成為學(xué)生生活和思維的組成部分，這對兒童來說是非常主要的。2、構(gòu)建普遍知識與特殊情境的聯(lián)系理解普通的數(shù)學(xué)規(guī)則（知識）和特殊情境之間的不同，是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要解決的一個(gè)關(guān)鍵問題，也是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的一個(gè)重要任務(wù)。特殊的情景之中往往并不明確顯示那些規(guī)則性的成分，而要獲得特殊情景中的問題解決，卻又必須依照某些規(guī)則。教學(xué)實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，兒童的問題解決所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，在許多的情況下往往并不是某些數(shù)學(xué)規(guī)則性知識的問題，而是不能抓住一般的數(shù)學(xué)規(guī)則性成分和其在特殊情境中的運(yùn)用之間的聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的許多陳述性知識，往往是以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}或抽象的符號來呈現(xiàn)的，一旦需要將由命題的推演或符號的證明轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的特殊情景中的問題思考時(shí)，就會給問題的表征和知識的檢索帶來一定的困難。例如，通過學(xué)習(xí)，兒童可能很理解并掌握了乘法的意義，但是遇到類似下列這些的特殊情景下的問題時(shí)，卻又常常容易出現(xiàn)錯(cuò)誤：“爸爸要做一個(gè)小木盒子，于是，他拿來一根細(xì)木條，將它鋸成六段。兵兵發(fā)現(xiàn)，爸爸每鋸斷一次要用2分鐘，想一想，爸爸做完這件工作要化多少時(shí)間？”又譬如說，在表面看來，程序性的知識似乎相對容易保持并易于檢索，即在面對特殊情景下的問題解決過程中，似乎只要能再現(xiàn)那些程序性的知識就行了，但問題是，我們在組織學(xué)習(xí)并習(xí)得那些程序性知識時(shí)，往往是刻意構(gòu)造一些能明顯呈現(xiàn)其程序規(guī)則的背景命題（所謂結(jié)構(gòu)良好的問題），以幫助兒童去發(fā)現(xiàn)、區(qū)分并掌握這些程序性的規(guī)則。而那些特殊情景卻往往并不直接呈現(xiàn)所包含的那些程序性規(guī)則特征的信息，就容易阻礙學(xué)生在問題解決過程中對問題的表征和知識的檢索。例如，有的學(xué)生已經(jīng)習(xí)得了“求平均數(shù)”的知識，但卻不能解決類似如下特殊情景中的問題：“為迎接‘城市運(yùn)動(dòng)會’，學(xué)校接到一項(xiàng)任務(wù)，為大會編織一批彩花。大隊(duì)部將這個(gè)任務(wù)交給了五（1）中隊(duì)。中隊(duì)第一天派了6位少先隊(duì)員，結(jié)果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先隊(duì)員，結(jié)果共做了106朵彩花。到了運(yùn)動(dòng)會召開的前一天，大會突然要求學(xué)校再補(bǔ)充250朵彩花，并在一天內(nèi)完成。你認(rèn)為派多少位少先隊(duì)員來完成此任務(wù)較為合適？為什么？”而就策略性知識（包括反省認(rèn)知知識）而言，就更難于保持和檢索了。如果我們在學(xué)習(xí)中將那些策略性知識也像程序性知識那樣，歸納出某些規(guī)則并要求兒童去識記并保持時(shí)，我們就可能犯了一個(gè)錯(cuò)誤。因?yàn)樵S多的策略性知識只有在真實(shí)的問題情境中，對可能性空間（也叫問題空間的）進(jìn)行不斷地搜索，逐步逼近，然后在這種不斷的嘗試、反思和修正過程中，才有可能去逐漸地構(gòu)建某些策略性知識。可見，在普通的數(shù)學(xué)規(guī)則和特殊情境之間，其唯一橋梁是學(xué)生有意識在現(xiàn)實(shí)情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。應(yīng)積極地幫助和引導(dǎo)兒童在實(shí)踐、操作以及使用具體材料的過程中，獲取知識和技能，增進(jìn)理解；幫助和引導(dǎo)兒童不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去發(fā)現(xiàn)和解決一系列現(xiàn)實(shí)生活問題；幫助和引導(dǎo)兒童處理由課程其它領(lǐng)域或其它學(xué)科提出的問題；幫助和引導(dǎo)兒童對數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律和原理進(jìn)行探索研究。要讓兒童了解到，數(shù)學(xué)表達(dá)系統(tǒng)是當(dāng)作工具使用的，這些系統(tǒng)必須與它們運(yùn)用中的情境相連才是有意義的。同樣的，還要讓兒童體驗(yàn)到，單有數(shù)學(xué)程序?qū)W習(xí)是不夠的，而應(yīng)當(dāng)使這些程序成為他們思維工具。實(shí)際上，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的過程是綜合的數(shù)學(xué)能力和思維發(fā)展的過程。在解決問題的過程中，學(xué)生需要學(xué)會如何面對新的事物，如何邏輯地和有創(chuàng)意地思考，如何分析和解決問題，如何獲得信息并有效地加以處理，如何與別人溝通等。正是在這種聯(lián)系中，兒童才有可能獲得對知識的理解和掌握并進(jìn)一步產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，并獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高?！?.3小學(xué)數(shù)學(xué)課程及其發(fā)展課程是由老師、學(xué)生、教材與環(huán)境四因素之間持續(xù)的相互作用而構(gòu)成的有機(jī)的“生態(tài)系統(tǒng)”。從實(shí)踐性特征看，課程的組織結(jié)構(gòu)、內(nèi)容結(jié)構(gòu)等影響著教師、學(xué)生、教材與環(huán)境四因素之間相互作用的方式。1.3.1我國傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程特征這里主要研究的是我國傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系、課程設(shè)計(jì)以及課程教學(xué)等方面的一些主要特征。（一）小學(xué)教學(xué)課程課程（curriculum）,作為漢語，以一個(gè)教育學(xué)概念大概最早出現(xiàn)于南宋哲學(xué)家和教育家朱熹（1130——1200）的著作《朱子全書·論學(xué)》中。按照《中國大百科全書（教育篇）》的解釋是“課業(yè)及其進(jìn)程”，含有“學(xué)習(xí)范圍和進(jìn)程”或“在一定時(shí)間內(nèi)完成的一定分量的學(xué)業(yè)”等意；作為英語，“curriculum”一詞源于拉丁語“currere”，意為“跑道”（racecourse），轉(zhuǎn)意為“學(xué)習(xí)之道”。在西方最早提出課程（curriculum）一詞的是英國著名哲學(xué)家、教育家斯賓塞（H.Spencer）。他在1859年發(fā)表的《什么知識最有價(jià)值》一文中將課程意指為“教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)組織”。隨著對課程研究的不斷深入，人們對課程內(nèi)涵的界定已出現(xiàn)多元化的格局。主要有以下幾個(gè)維度：第一，學(xué)科、知識維度。這一維度將課程看做是所講授的科學(xué)，強(qiáng)調(diào)課程的知識組織與累積、保存功能。第二，目標(biāo)計(jì)劃維度。將課程視為教學(xué)過程要達(dá)到的目標(biāo)、教學(xué)的預(yù)期結(jié)果或教學(xué)的預(yù)設(shè)計(jì)劃。第三，經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)維度。這種課程定義把課程視為學(xué)生在老師指導(dǎo)下獲得經(jīng)驗(yàn)或體驗(yàn)，以及學(xué)生自發(fā)獲得的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)。這一定義維定與前兩種的最大差異在于，它將課程內(nèi)涵的重心由學(xué)科知識或計(jì)劃的客觀側(cè)面轉(zhuǎn)移到了學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)的主觀側(cè)面。第四，活動(dòng)維度。其基本觀點(diǎn)認(rèn)為，課程是人的各種自主活動(dòng)的總和，學(xué)習(xí)者通過與活動(dòng)對象的相互作用而實(shí)現(xiàn)自身各方面的發(fā)展。另外，美國學(xué)者小威謙姆·多爾（W.E.Doll）在《后現(xiàn)代課程觀》一書中對未來課程發(fā)展作了全新理念下的闡釋，他提出的新的課程特征可歸結(jié)為“4R”，即豐富性（Richness）、回歸性（Recursion）、關(guān)聯(lián)性（Relation）和嚴(yán)密性（Rigor）。雖然，如果我們僅僅從學(xué)科知識維度和目標(biāo)計(jì)劃維度來理解課程，恐怕是過于狹窄了，這樣會出現(xiàn)把教材等同于課程的現(xiàn)象。而從經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)維度和活動(dòng)維度來理解課程使得課程的含義更為寬廣，這樣會將課程視為教師、學(xué)生、教材、環(huán)境四因素間的持續(xù)交互作用的動(dòng)態(tài)情境，課程由此變成了一種動(dòng)態(tài)的和生長的“生態(tài)系統(tǒng)”。數(shù)學(xué)課程作為課程的一個(gè)組成部分，數(shù)學(xué)課程就是其中的一個(gè)“子生態(tài)系統(tǒng)”。小學(xué)數(shù)學(xué)課程是學(xué)校數(shù)學(xué)教育在小學(xué)階段的一門重要課程。要了解小學(xué)數(shù)學(xué)課程，應(yīng)從小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、課程體系、課程內(nèi)容的組織與呈現(xiàn)以及課程的實(shí)施和評價(jià)等幾方面來研究。（二）傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的特征1、課程開發(fā)——學(xué)術(shù)中心傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)性，強(qiáng)調(diào)只有那些可“教授”的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)知識才能用來組織課程，而經(jīng)驗(yàn)、情緒或社會因素等不被視為課程的來源。當(dāng)課程過分追求學(xué)科的嚴(yán)密體系的時(shí)候，就會忽視課程的育人性。包括忽視學(xué)生在態(tài)度、情感、人格等方面的全面發(fā)展，忽然學(xué)生實(shí)踐、探索和交流的主動(dòng)學(xué)習(xí)過程和個(gè)性差異等，也忽視社會和數(shù)學(xué)自身進(jìn)步的需要。因此，數(shù)學(xué)課程與兒童之間就會存在明顯的脫節(jié)甚至對立。2、課程組織——學(xué)科取向傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)偏深，貪大求全。許多內(nèi)容脫離學(xué)生的生活實(shí)際，特別是應(yīng)用題。這些應(yīng)用題并不完全取材于生活中的問題，更多的是人為設(shè)計(jì)的，純粹是為數(shù)學(xué)知識體系服務(wù)的；課程內(nèi)容的組織往往過多地考慮某一知識在數(shù)學(xué)科學(xué)結(jié)構(gòu)中的位置和作用。于是小學(xué)生的數(shù)學(xué)課程就成為“數(shù)學(xué)家的課程”；課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式基本上是演繹型的，從符號到符號，缺乏趣味性和可讀性，不完全符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。3、課程結(jié)構(gòu)——螺旋式傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容體系的組織中，按照兒童的年齡特點(diǎn)，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行逐步滲透、逐步拓展。表現(xiàn)在對于同一“塊”數(shù)學(xué)知識，在每個(gè)年級段都要安排一定的量。而這些“量”隨著兒童的年齡增長以及經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知和能力的增長呈現(xiàn)明顯的加深與拓展。經(jīng)過五年（或六年）的反復(fù)循環(huán)，形成完整的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識體系。它的特點(diǎn)就是由淺入深、由易到難、循環(huán)漸進(jìn)。這種呈現(xiàn)方式，有利于數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的傳授知識