2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法素養(yǎng)評(píng)價(jià)檢測(cè)含解析新人教A版必修5

PAGE數(shù)列的概念與簡(jiǎn)潔表示法(15分鐘30分)1.下列說(shuō)法正確的是()A.數(shù)列1,-2,3,-4,…是一個(gè)搖擺數(shù)列B.數(shù)列-2,3,6,8可以表示為{-2,3,6,8}C.QUOTE和an是相同的概念D.數(shù)列0,1,2,3,…可簡(jiǎn)記為{n}【解析】選A.依據(jù)搖擺數(shù)列的概念,A正確;數(shù)列-2,3,6,8不能表示為{-2,3,6,8},數(shù)列和項(xiàng)的依次有關(guān),集合和元素依次無(wú)關(guān),故B錯(cuò)誤;QUOTE表示數(shù)列全部的項(xiàng),而an表示數(shù)列的第n項(xiàng),不是同一概念,故C錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,2,3,…可簡(jiǎn)記為{n-1},D錯(cuò)誤.2.(2024·樂(lè)山高二檢測(cè))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE則a2·a3等于()A.70 B.28 C.20 D.8【解析】選C.依據(jù)題意,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE則a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,則a2·a3=20.3.下列可作為數(shù)列1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)公式的是()A.an=QUOTE B.an=QUOTEC.an=2-sinQUOTE D.an=2-cos[(n-1)π]【解析】選B.依據(jù)題意,數(shù)列1,2,1,2,1,2,…其奇數(shù)項(xiàng)為1,可以看作QUOTE,偶數(shù)項(xiàng)為2,可以看作QUOTE;其通項(xiàng)公式可以為:an=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A.an=QUOTE B.an=QUOTEC.an=QUOTE-QUOTE D.an=1-QUOTE【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=1-QUOTE,QUOTE=QUOTE-QUOTE,QUOTE=QUOTE-QUOTE,QUOTE=QUOTE-QUOTE.所以推斷an=QUOTE-QUOTE.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=19-2n,則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______.

【解析】由an=19-2n>0,得n<QUOTE.因?yàn)閚∈N*,所以n≤9.答案:95.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=QUOTE.(1)寫(xiě)出該數(shù)列的第4項(xiàng)和第7項(xiàng);(2)試推斷QUOTE和QUOTE是否是該數(shù)列中的項(xiàng)?若是,求出它是第幾項(xiàng);若不是,說(shuō)明理由.【解析】(1)由通項(xiàng)公式an=QUOTE可得a4=QUOTE=QUOTE,a7=QUOTE=QUOTE.(2)令QUOTE=QUOTE,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),故QUOTE是該數(shù)列中的項(xiàng),并且是第3項(xiàng);令QUOTE=QUOTE,得n2=QUOTE,所以n=±QUOTE,由于±QUOTE都不是正整數(shù),因此QUOTE不是數(shù)列中的項(xiàng).【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列{an}中,已知an=(-1)nn+a(a為常數(shù)),且a1+a4=3a2,求a100.【解析】由已知an=(-1)nn+a(a為常數(shù)),可得a1=a-1,a2=a+2,a3=a-3,a4=a+4.因?yàn)閍1+a4=3a2,所以a-1+a+4=3(a+2),解得a=-3.所以an=(-1)nn-3.所以a100=(-1)100100-3=97.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2024·南通高二檢測(cè))在數(shù)列{an}中,已知an=QUOTE,n∈N*,則QUOTE是數(shù)列中的第項(xiàng).()

A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.依據(jù)題意,數(shù)列{an}中,已知an=QUOTE,若QUOTE=QUOTE,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3()A.不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)B.只是數(shù)列{an}的第2項(xiàng)C.只是數(shù)列{an}的第6項(xiàng)D.是數(shù)列{an}的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)【解析】選D.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是該數(shù)列的第2項(xiàng),也可以是該數(shù)列的第6項(xiàng).2.(2024·南寧高二檢測(cè))視察數(shù)列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9,…,則該數(shù)列的第11項(xiàng)等于()A.1111 B.11 C.ln11 D.sin11【解析】選C.由數(shù)列得出規(guī)律,是按正整數(shù)的依次排列,且以3為循環(huán)節(jié),由11÷3=3余2,所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為ln11.3.(2024·淄博高二檢測(cè))“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”.1852年,英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年,英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題,現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題:將1至2019中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.134 B.135 C.136 D.137【解析】選B.由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù),故an=15n-14.由an=15n-14≤2019,得n≤135,故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=log(n+1)(n+2),則它的前30項(xiàng)之積是()A.QUOTE B.5C.6 D.QUOTE【解析】選B.a1·a2·a3·…·a30=log23×log34×log45×…×log3132=QUOTE×QUOTE×…×QUOTE=QUOTE=log232=log225=5.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為11,102,1003,10004,…,則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.

【解析】由于11=10+1,102=102+2,1003=103+3,10004=104+4,…,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=10n+n.答案:an=10n+n【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.

【解析】此數(shù)列各項(xiàng)都是分式,且分母都減去1為1,4,9,16,25…故分母可用n2+1表示,若分子各項(xiàng)都加1為:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通項(xiàng)公式可為an=QUOTE.答案:an=QUOTE6.如圖所示的圖案中,白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.

【解析】我們把圖案按如下規(guī)律分解:這三個(gè)圖案中白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次為6,6+4,6+4×2,所以這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=6+4(n-1)=4n+2.答案:an=4n+2三、解答題7.(10分)已知無(wú)窮數(shù)列7,4,3,…,QUOTE,…,(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng);(2)QUOTE是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)?(3)這個(gè)數(shù)列有多少個(gè)整數(shù)項(xiàng)?(4)是否有等于序號(hào)的QUOTE的項(xiàng)?假如有,求出這些項(xiàng);假如沒(méi)有,試說(shuō)明理由.【解析】(1)將n=10代入QUOTE,得第10項(xiàng)為QUOTE=QUOTE.(2)設(shè)QUOTE=QUOTE,解得n=100,所以