高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (八)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（8）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.如圖，正方體4BC0-4口也^^的棱長為2,E,F分別為力。,4公的中點(diǎn)，則以下說法錯誤的是

()

A.平面EFC截正方體所的截面周長為2m+3V2

B.存在BBi上一點(diǎn)尸使得GP1?平面EFC

三棱錐B-EFC和0-FBiC體積相等

D.存在8名上一點(diǎn)尸使得4P〃平面EFC

2.已知正方體48670-4181。1。1的棱長為2,點(diǎn)后是棱4。的中點(diǎn)，點(diǎn)

F,G在平面內(nèi)，若出產(chǎn)|=花，CES.BG,則|FG|的最小值

為（）

A.y/2,—1

B.*l

D.公

5

3.在邊長為3的正三角形ABC中，E,F,P分別是4B,4C,BC邊上的點(diǎn)，滿足言=9=?=；,將

EBFAPB2

△力EF沿EF折起到△&E尸的位置，使二面角4一EF-8成直角二面角，連結(jié)&B,41P（如圖），

則以下結(jié)論塔送的是（）

A

A.CF〃平面4EP

B.點(diǎn)8到面&PF的距離為舊

C.ArEJL平面BEP

D.異面直線BP與4尸所成角的余弦值為：

4.己知三棱錐S-ABC的外接球球心為。，SALSB,SB1SC,SA1SC,且SB=SC=2SA=4,

若O在球。的球面上，則D到平面ABC距離的最大值為

?

A.3+漁B.3+C.3+亨D.3+—

63

5.四面體A8CZ）的外接球球心在CD上，且C0=2,AB=取,當(dāng)AB_LCO時(shí)，四面體ABC。的

體積為（）.

A-TB-Vc-zDT

6.正方體4BCC-4/165的棱長為2,E,F,G分別為BC,CC1,

的中點(diǎn)，則（）

A.直線D]D與直線A尸垂直

B.直線4G與平面4EF不平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為T

D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

7.在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD1底面ABC。，PA1AD,PA=AD,則異面

直線P8與AC所成的角為（）

D尸

心一\/

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

8.如圖，點(diǎn)歷是正方體ABCD-aB1GD1中的側(cè)面ADD14上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足CM1ADX

B.若正方體的樓長為1,三棱錐B-QMD的體積最大值為:

C.在線段上存在點(diǎn)M,使異面直線BiM與CQ所成的角是30°

D.滿足到直線AD和直線6么的距離相等的點(diǎn)M的軌跡是拋物線

9.已知邊長為2的菱形ABCD中，=等現(xiàn)沿著8力將菱形折起，使得4C=遮，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.AC1BD

B.二面角4-BD-C的大小為g

C.點(diǎn)A到平面BCD的距離為|

D.直線A。與平面BC。所成角的正切值為g

10.如圖，在矩形A8CO中，M為BC的中點(diǎn)，將△力MB沿直線4W翻折

成AABiM,連接N為名。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法

正確的是（）

A.存在某個位置，使得CN1犯

B.C7V的長是定值

C.若AB=BM,貝"AM1BrD

D.若48=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐/一AMD的外接球的表面積是

47r

11.如圖，在矩形ABCZ）中，”為BC的中點(diǎn)，將AAMB沿直線AM翻折成

△連接當(dāng)。，N為當(dāng)0的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確/笊.

的是（）46-*…

A.存在某個位置，使得CNL481/\!//\/

BAfC

B.CN的長是定值

C.若AB=BM,則4M1BjD

D.若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐/一AMO的體積最大時(shí)，三棱錐&一4M0的外接球的表面積是

47r

12.己知三棱柱ABC-4當(dāng)6的各頂點(diǎn)都在同一球面上，該球球心為。且球的表面積等于20兀.若

AB=AC=2,ABAC=120°,則下列四個結(jié)論正確的是（）

A.AtA1平面ABC

B.401BQ

C.球心O到平面48c的距離為1

D.三棱柱ABC-4B1C1的體積為2百

13.如圖，在直三棱柱ABC—4B1G中，AA2=AC=2,AB=3,NBAC=90。，點(diǎn)力，E分別是線

段SC,B】C上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且高=當(dāng)，則下列說法正確的是（）

A.ED〃平面ACC1

B.四面體4-BDE的體積是定值

C.異面直線與所成角的正切值為當(dāng)

D.二面角4-EC-。的余弦值為《

14.如圖直角梯形ABC，AB//CD,ABVBC,BC=CD=^AB=2.E為A3中點(diǎn)，以。E為折痕

把44DE折起，使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且「。=26.則（）

A.平面PDE1平面EBCD

B.PC1DE

C.二面角P-DC-B的大小為￡

4

D.PC與平面PED所成角的正切值為我

15.（多選）如圖，矩形ABC。，M為BC的中點(diǎn)，將團(tuán)4BM沿直線AM翻折

成團(tuán)連接當(dāng)。，N為8。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中

所有正確的是（）

A.存在某個位置，使得CN_L4B]

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,貝UM1BrD

D.若AB=BM=1,則當(dāng)三棱錐名-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐當(dāng)-AMD的外接球的表面積

是47r

16.如圖直角梯形ABC。中，AB〃CD,4B1BC,BC=CD=^AB=

2,E為AB中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕把日40E折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P

的位置，且PC=2g，貝M）

A.平面PEO1平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-B的大小為日

D.PC與平面PED所成角的正切值為近

17.如下圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面4BCO是菱形，PA1平

面ABCD,/.ABC=60。，尸為PC的中點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與平面PAB

平行的平面a分別交BC,PD于點(diǎn)E,H,PA=AB=4,則以下

說法正確的是

A.AB//FH

B.平面a_L平面ABC。，

C.三棱錐F-AEH的體積為2百

D.點(diǎn)F到平面AEH的距離為立

2

三、填空題（本大題共8小題，共40.0分）

18.矩形ABC。中，AB=6,BC=1,現(xiàn)將△ACD沿對角線AC向上翻折，得到四面體D-ABC，

則該四面體外接球的體積為；設(shè)二面角。一4C—B的平面角為0,當(dāng)。在尊堂內(nèi)變化時(shí),

|BD|的范圍為.

19.已知四邊形A8CD為矩形，AB=2AD=4,M為AB的中點(diǎn)，將△4OM沿折起，得到四棱

錐&-DMBC,設(shè)&C的中點(diǎn)為N,在翻折過程中，得到如下三個命題：

①BN〃平面4CM,且BN的長度為定值百；

②三棱錐N-DMC的體積最大值為苧；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得DM14C

其中正確命題的序號為.

20.已知菱形ABC。的邊長為2百,〃=60。,沿對角線8力將菱形A8CZ）折起，使得二面角A-BD-

C的余弦值為一：，則該四面體ABC。外接球的體積為.

21.如圖，己知一個八面體的各條棱長均為2,四邊形ABCO為正方形，給出下列說法：

①該八面體的體積為土

②該八面體的外接球的表面積為8兀；

③E到平面ADF的距離為百；

④EC與B尸所成角為60。.

其中正確的說法為.（填序號）

22.如圖所示，正方體48以（一418傳1。1的棱長為。，點(diǎn)E，F(xiàn),G分別為棱AB,BC,65的中點(diǎn),

下列結(jié)論中，正確的是.

①過E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形

②AB1〃平面EFG

③異面直線FG與CDi所成角的正切值為1

④四面體4cBic1的體積為，

23.如圖所示，在矩形ABC￡＞中，AB=2,40=1,點(diǎn)E為CZ）的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE（端點(diǎn)除外）上

一動點(diǎn).現(xiàn)將△D4F沿AF折起，使得平面ABD_L平面ABCF,設(shè)直線。尸與平面ABCF所成的

角為。，則tan。的最大值為.

24.如圖所示，正方體4BCD-A/iGDi的棱長為“，點(diǎn)E,F,G分別為棱AB,BC,G5的中點(diǎn),

下列結(jié)論中，正確的是.

①過E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形

②〃平面EFG

③異面直線FG與CD1所成角的正切值為1

④四面體ACBiDi的體積為：a3

25.下列命題中正確的是—.（填序號）

①已知空間中三個平面a,p,y,若a1.0,/?1y?則&〃匕

②球。與棱長為a的正四面體各面都相切，則該球的表面積為

③三棱錐P-ABC中，PA1BC,PB1AC,則PC_L4B.

四、解答題（本大題共5小題，共60.0分）

26.如圖，三角形PAB是半圓錐P0的一個軸截面，P0=1,AB=2,四棱錐P—的底面為

正方形，且與半圓錐P。的底面共面.

(1)若”為半圓錐P。的底面半圓周上的一點(diǎn)，且BH〃OC,證明：4H1PC；

(2)在半圓錐P。的底面半圓周上確定點(diǎn)G的位置，使母線PG與平面PC。所成角的正弦值為邛.

27.如圖1,在直角梯形ABCQ中，4D〃BC,4B1BC,BD10C,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將AABO

沿B￡)折起，使平面4BDJ"平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(I)求證：481平面4。(7；

(口)若AD=1,AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為遙，求點(diǎn)B到平面AOE的距

離.

28.在RtdA。。中，404B=g,斜邊48=4.RtdAO?？梢酝ㄟ^RtAAOZ?以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)

O

得到，且二面角B-4?！狢是直二面角.動點(diǎn)。的斜邊AB上.

(1)求證：平面C。。JL平面AOB；

(2)求直線CC與平面AOB所成角的正弦的最大值.

29.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1平面4BCQ,CD1PD,AD//BC,AD=CD=1,BC=2,

二面角P-CD-4為45。，E為PO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且正=3兩.

7/>

(1)求證：四邊形ABC。為直角梯形:

(2)求二面角F-AE-。的余弦值.

30.如圖，在半圓柱W中，A8為上底面直徑，0c為下底面直徑，AO為母線，AB=4)=2,點(diǎn)尸

在0上，點(diǎn)G在江上，BF=DG=1,P為QC的中點(diǎn).

(1)求三棱錐力-DGP的體積;

(2)求直線AP與直線8F所成角的余弦值;

(3)求二面角4-GC-D的正切值.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查了線面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查了體積的運(yùn)算，屬于較難題.

由線面和面面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體4BCD-4昆加。1的結(jié)構(gòu)對選項(xiàng)一一分析即可得答案.

解：對于A,平面EFC截正方體所得截面為EFBiC,

故截面周長為遙+V2+2V2+V5=2V5+3V2;

對于8,若存在BBi上一點(diǎn)P使得平面EFC,由C】Pu面BBiGC,故可得平面EFC1面

由A得平面EFC即為平面EF&C,

若平面EFBiCJ"平面BBiGC,平面EFBiCn面BBiGC=BiC,BCr1BrC,在平面BBiGC內(nèi)，

所以BCi平面EF&C,又EC在平面EFBiC內(nèi)，二BC、1EC,

???DCJ■平面BBiGC,BCi在平面BBiGC內(nèi)，貝ijDC_LBCi，

???DC、EC為平面ABC。內(nèi)兩條相交直線，；.BQ1平面ABC。，這顯然不成立，

故平面EFC不可能和面BBiGC垂直，

故可知不存在BBi上一點(diǎn)尸使得GP_L平面EFC；

對于c,VB-EFC~^F-BEC=-xlx-x2x2=-

^D-FBiC=%-DCBi，過F作FG1DAj^,垂足為G,

因?yàn)镺C±平面ADOMkFGC平面4。。14,所以。?！繤G,

又DAinDC=D.DAi.DCc平面OCB|,

所以FG_L平面。C'Bi,

又S.A、=xAD=^xA1DxFG,所以FG=當(dāng)，

KD-FBJC=4-DCBi=]X，X]X2x2V2=->

故三棱錐B-EFC和。-F&C體積相等；

對于。，取BC,B&的中點(diǎn)分別為M,N,

則CE〃/IM,/LUC平面.AA/N.CEC平面對/N.

CE〃平面AMN,

同理可得EF〃平面WN,

又CE、EF為平面CEF內(nèi)兩條相交直線，

所以平面EFC〃平面AA/N,又ANC平面AWN.

所以AN〃平面EFL,故存在8當(dāng)上一點(diǎn)P與N重合,使得4P〃平面EFC.

故選反

2.答案：B

解析：

本題考查線段長的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推

理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難題.

取中點(diǎn)0,則占。11面&8傳山1，即&/LOF,可得點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，1以半徑的位于平

面為B1GD1內(nèi)的半圓上，再根據(jù)已知及線面垂直的判定定理及性質(zhì)證得。G1/G,即0G減去半徑

即為FG長度的最小值.

解：如圖，取公。1中點(diǎn)0,E0//AA1，則E。1面&B1C1D1，即E。1。巴

因?yàn)榈?|=6，則OF=1,

所以點(diǎn)F在以。為圓心，1以半徑的位于平面為B1G5內(nèi)的半圓上,

因?yàn)镃E1BG,又CE1.BB],所以CE1平面&BG,

因?yàn)锽iGu平面&BG,

則CE1&G,

連接0G，因?yàn)?CJ/EC,所以0cliB1G,

OCi=V5，

由s4GBiG,

所以卷=器，即容/，則GC】=咨

所以0G=遮一誓=竿，

可得0G減去半徑即為尸G長度的最小值，

所以FG長度的最小值為千一1.

故選B.

3.答案：B

解析：

本題考查直線與平面垂直的判定，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意

問題的轉(zhuǎn)化，屬于較難題.

根據(jù)題意，可得CF〃EP,逐項(xiàng)求解即可.

a”AEPCBEPB

解：■:—=—=>—=—，

EBBPABBC

：.AC//EP,即CF〃EP,

在圖2中，EP在平面&EP內(nèi)，且CF不在平面4EP內(nèi)，

CF〃平面&EP；

在圖1中，取BE的中點(diǎn)。，連。F,

_A_E-_C_F—_C_P—_1

'EB-FA~PB_2)

"AF=AD=2,又乙4=60。，

???△4DF為正三角形，

又?；AE=ED=1,

???EF±AD,

在圖2中有BE1EF,

二為二面角4一EF-B的平面角，

???二面角①一EF-B為直二面角，

???ArE±BE,

又?；BECEF=E,又BE,EFu平面BEF,

???ArE_L平面BEF,即，平面BEP；

vBE//PF,PFu平面力［PF,BEC平面AiPF,

BE〃平面&PF,

???8到平面4PF的距離即為E到平面&PF的距離，

???BE1平面4EF,又BE〃PF,

二PFJ?平面41EF,又PFu平面AiPF,

.??平面&E尸1平面&PF,

???E到平面4PF的距離即為△&EF中E到4#的距離,

設(shè)44EF中E到久尸的距離為d,

則d=ArExsin600=?，

???點(diǎn)B到面41PF的距離為日；

???DF//BP,

■■■NO/Mi即為異面直線BP與4#所成角或其補(bǔ)角,

△中，A1D=V2，DF=2,ArF=2,

。產(chǎn)+公產(chǎn)-A"_3

cos/-DFA12D尸力1尸一4’

.?.異面直線BP與aF所成角的余弦值為a

二選項(xiàng)A、C、￡）正確，選項(xiàng)B錯誤,

故選B.

4.答案：B

解析：

本題考查簡單組合體及其結(jié)構(gòu)、三棱錐外接球問題，屬于中檔題題.

證出$4_L平面SBC,即SA,SB,SC兩兩互相垂直，得出三棱錐可以看做是長方體的一部分，根據(jù)

題意求解外接球半徑是解題關(guān)鍵.

解：三棱錐S-/BC的外接球即為以SA,SB,SC為長、寬、高的長方體的外接球，其直徑2R=

722+42+42=6，

又coszBAC=故sinzBAC=辿，故44BC外接圓的半徑r=BC=速，則球心。到平面ABC

552sinzB4C3

的距離為＞//?2—丁2=漁，

3

故點(diǎn)D到平面ABC距離的最大值為3+立.

3

故選B.

5.答案：A

解析：

本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積，涉及線面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題.

連接。A,0B,取AB中點(diǎn)先證得AB1平面CDW,進(jìn)一步證明CDJ■平面408,以04B為底面

的兩個三棱錐的體積和即為所求.

解：由已知可得當(dāng)4B1C0時(shí)，

取AB中點(diǎn)M,■：0A=0B,???OM1AB,

又CD1AB,CDHOM=0,CD,OMu平面CDM,

AB_L平面CDM,DM,CMu平面CDM,

AB1DM,AB1CM,

又?:M為A8中點(diǎn)，

AD=DB,AC=CB,

又???四面體A8CD的外接球球心在CQ上，

球心。為CD中點(diǎn)，

???OALCD,OBLCD,

又?.,40,8。是平面OAB中的兩條相交直線，

CD_L平面AOB.

四面體ABCQ的體積為

VA-BCD=1?SXAOB,OC+[?SAAOB,OD,

又???外接球的直徑CD=2,OA=OB=1,

又???BM=—,

4B=V3..1?2OM=2

???%CD=/SAAOB。=*-2=,

故選A.

6.答案：C

解析：解：在A中，若。1014F,

又因?yàn)?AEH.AEn力9=A,所以CD】_L平面AEF,

所以DD1J.EF,所以CGJ.EF,不成立，故A錯誤；

在B中，如圖所示，取BiG的中點(diǎn)Q,連接為Q,GQ,

由條件可知：GQ//EF,ArQ//AE,且GQn&Q=Q,EFnAE=E,

所以平面4GQ〃平面AEF,

又因?yàn)?Gu平面&GQ,所以41G〃平面AEF,故B錯誤；

在C中，如圖所示，連接D/,D±A,延長DJ,AE交于點(diǎn)S,

因?yàn)镋,F為gC,BC的中點(diǎn)，!!.------

所以E/7/ADi，所以A,E,F,劣四點(diǎn)共面，N/

所以截面即為梯形4EFD1，

又因?yàn)镈iS=AS=V42+22=2v5，ADy=2V2>

所以“應(yīng)s=]X2&XJ（26尸一（乎）2=6,

所以S梯形4E附=6x：=；,故C正確;

在。中，記點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離分別為心，h2,

因?yàn)椋?|,^AEF,九1=^A-CEF=|,等,2=|,

又因?yàn)椋?AEF=7，SAEF,九2=^A-GEF=7,'2=-，

所以九1。九2，故。錯誤.

故選：C.

在A中，若工4F,則平面AE凡從而CQ工EF,不成立；在8中，取當(dāng)?shù)牡闹悬c(diǎn)。，連

接AiQ,GQ,推導(dǎo)出平面4GQ〃平面AE凡從而4忑//平面4EF；在C中，連接D/,外力，延長。1F,

AE交于點(diǎn)S,則EF〃ADi，所以A,E,凡D】四點(diǎn)共面，從而截面即為梯形4EFD1，進(jìn)而S梯形移皿=

6x：=*在。中，記點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AE尸的距離分別為擔(dān)，h2,由%REF=I-SAEF-b=VA_CEF=

==

3'~,2=§,VG-AEF1'SAEF,h2=VA-CEF|'四y'2=|，得到砥豐h2.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

7.答案：C

解析:

本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法，空間直線與直線的位置關(guān)系，難度中檔.

由已知可得：PA1平面ABC。，底面4BCD為正方形，分別過P,。點(diǎn)作40,AP的平行線交于M,

連接CM,AM,因?yàn)镻B〃CM,所以44cM（或其補(bǔ)角）就是異面直線PB與AC所成的角.

解：由題意：側(cè)面P4?！?_底面ABCD,PA1AD,面24。n面4BCD=AD,PAu面PAD,

PA平面ABCD,

分別過尸，。點(diǎn)作A。，AP的平行線交于M,連接CM,AM,

M

?：PM//AD,AD“BC,PM=AD,AD=BC,

??.PBCM是平行四邊形，

PB//CM,

所以乙4cM（或其補(bǔ)角）就是異面直線PB與AC所成的角，

???四邊形PAOM,底面ABCD均為正方形，

設(shè)P4=4D=a,在三角形ACM中，AM=V2a>AC=\[2a>CM=&a.

.??三角形ACM是等邊三角形，

所以N4CM等于60。，即異面直線PB與AC所成的角為60。.

故選C.

8.答案：ABD

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，計(jì)算能力，分析轉(zhuǎn)化能力，要求綜合能力較高.

逐個分析每個選項(xiàng)，對A,證明M滿足AO1工DM即可，對B,當(dāng)M到平面BCi。內(nèi)距離最大時(shí)，三

棱錐B-GMD的體積最大，對C,求出BiM的長度范圍，即可求得異面直線所成角的范圍，對D,

把問題轉(zhuǎn)化為拋物線的定義即可.

解：若CM14O1，因?yàn)镃O14。］,CDC\CM=C,CD,CMu平面COM,

所以ADi1平面CDM,DMu平面CDM,所以AQ1DM,

又由正方體的性質(zhì)易得：ADil平面C&D,所以只要例在aD上即可，A正確；

SABC、D=^XE)2=白，所以當(dāng)M到平面GBD的距離最大時(shí)，三棱錐8—GMD的體積最大，此

時(shí)M在4處，最大距離為|xg=苧，

所以三棱錐B-GMD的體積最大值U=lx^x^=|,B正確；

若正方體的棱長為1,當(dāng)M在線段AD】上時(shí)，在ABinDi中，可求得BiMC［苧,注］,假設(shè)M在平面

BCG當(dāng)上的射影為N,則MN〃CD,

NBIMN為兩異面直線所成的角，cos乙BiMN=氏,

又就=念e償，卦COSNB1MNG［y,y］＞

又cos3(T=當(dāng)＞［，???N%MN＞30。,C錯誤;

M到直線G5的距離就是MD】，在平面4&久。內(nèi)，由拋物線的定義滿足到直線和點(diǎn)D］的距離相

等的點(diǎn)〃的軌跡是拋物線，。正確.

故選ABD.

9.答案：ABC

解析:

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角、二面角和空間中的距離，屬于較難題目.

根據(jù)直線與平面所成的角，及點(diǎn)到平面的距離，二面角的定義逐項(xiàng)分析，即可得出正確結(jié)論.

解：取8。的中點(diǎn)0,連接AO,0C,

?.,菱形ABCD的邊長為2,^BAD=60°,

△△ABD,ABC。為正三角形，

則A。1BD,0C1BD,

且4。C\C0=0,AO,COu平面AOC,

則8。_1_平面AOC,又4Cu平面AOC,所以BD1AC,故A正確；

易知NAOC是二面角4-BD-C的平面角，

???菱形ABC。是邊長為2,

AO=0C=V3?

vAC=V3.

???△40C為正三角形，則乙4。。=?故8正確；

在三角形AOC,過A作4E10C,交OC于E,

由BC，平面AOC,AEu平面AOC,則BD1AE,

乂BDCOC=。，BD、OCu平面BCD,則4E1平面BCO,

易知AOC為等邊三角形，A0=a,則AE=V5x隹=?,即點(diǎn)A到平面BCC的距離為:，故C正

222

確；

由4E平面BCD,可得/ADE為直線AD與平面BCD所成角，

則sin4WE="=七=三，則cos乙4DE=7=百=0，所以tan乙4DE=強(qiáng)=券，故。錯誤，

AD24弋4?7

故選ABC.

10.答案：BD

解析：

本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定

理，余弦定理，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

對于A取的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,則NE〃ABi,NF〃M&,由CN_LAB1，貝ijEN1CN,

從而判斷A,對于B,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷&對于C由線面垂直的性質(zhì)定理即可判

斷；對于。根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面當(dāng)4Ml平面AM。時(shí)，三棱錐&-AMD的體積最大，取的

中點(diǎn)為E,連接。瓦&E,ME,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷.

解：對于A,取的中點(diǎn)為E,連接CE交M￡＞于點(diǎn)凡如圖1,

則NE〃4Bi，NF//MBX,

如果CN14B1，貝ijENJ.CN,

由于則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于8,如圖1,由4NEC=NM4B「

且NE=：4BI，4M=EC,

即"EC,NE,EC都為定值，

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosZJVEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C如圖2,

圖2

取AM中點(diǎn)為。，-：AB=BM,即則AMI/O,

若4M1BrD,由于B]。nBrD=

且Bi。,公。u平面0。/，

???AM，平面ODB「ODu平面OCBi，

OD1AM,則AD=MD,

由于AOKMD,故4MlBi。不成立，故不正確；

對于D,根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面/AML平面AMZ）時(shí)，

三棱錐當(dāng)-力MD的體積最大，取AO的中點(diǎn)為E,

連接OE,BiE,ME,如圖2,

?■?AB=BM=1,貝ijABi=BiM=1,

且A/lBiM,平面/AMCI平面AMO=AM,

又;BiO±AM,B]0u平面BiAM,

Bi。1平面AMD,-:OEu平面AMD,

Bi。1OE,

則AM=V2,ByO=^AM=y,

OE=-DM=-AM=—,

222

從而EBL廚詢=1，

易知E4=ED=EM=1,

???4D的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故￡＞正確.

故選BD.

11.答案：BD

解析：

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對選項(xiàng)逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取AO的中點(diǎn)為E,連接CE交MD于點(diǎn)凡如圖1,

圖1

則NE〃A8i，NF"MB[

如果CNIAB],則ENJ.CN,

由于4%"1"當(dāng)，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于8,如圖1,由NNEC=NMAB「

S.NE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos4NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2

圖2

取AM中點(diǎn)為0,vAB=BM,即4當(dāng)=則AM_1當(dāng)0

若AM1.B1。，由于n=B],

且當(dāng)。,a。u平面ODBi，

AM1平面。ODu平面。OB1，

???001AM,則AD=MD,

由于4。KM。，故4MlBi。不成立，故不正確；

對于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面平面AMD時(shí)、

三棱錐a-4MD的體積最大，取4力的中點(diǎn)為E,

連接。E,B】E,ME,如圖2

AB=BM=1,貝必Bi=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

Bi。1AM,Bi。u平面&4M

J。1平面AMD,OEu平面AMD

：.B101OE,

則4M=夜，BiO=：4M=當(dāng)，

OE=-2D2M=-A2M

從而哈跳街=1,

易知EA=ED=EM=1,

.?.4D的中點(diǎn)E就是三棱錐當(dāng)一AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4萬，故。正確；

故答案為：BD.

12.答案：ABCD

解析：略

13.答案：ACD

解析：

本題考查線面平行的判定，考查求錐體的體積，考查異面直線所成的角，考查利用空間向量求二面

角，難度較大.

對于A,由需=卸得時(shí)〃抽〃他，根據(jù)線面平行的判定即可求解；對于8,=箓=2(0<2<

1），利用以_BDE=求出體積即可判斷；對于c,AA[〃BB[,所以異面直線81C與441所成角

為乙BBC在RtAB/C中直接求解；對于。，二面角力一EC-0即二面角力-BiC-B,以A為坐

標(biāo)原點(diǎn)，以近，AC，麗的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量求解

即可.

解：在直三棱柱ABC—4aC1中，四邊形BCG&是矩形，

因?yàn)槿?

l/’BiCBC

所以E0〃BB"/A4i，

又EO笈平面ACC],A&u平面4CG，

所以ED〃平面2CC1，A正確；

設(shè)券=箓=4（°<2<1），

DjCDL

所以DE=4幽=24

又，B"~'，所以SAAB。=，SAABC=AX-X2X3=3A；

所以%-BOE=^E-ABD=gx3,X22=2A2,

所以四面體A-BDE的體積不是定值，所以B錯誤；

因?yàn)?4〃BBi，

所以異面直線BiC與44i所成角為

在RtABiBC中，BBi=2,BC=y/AB2+AC2=713,

所以tan/BB】C=^=乎，所以C正確；

二面角4-EC-。即二面角力-B1C-B,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以荏，AC，麗*的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖

則4(0,0,0),8(3,0,0),C(0,2,0),8式3,0,2),

；.福=(3,0，2),BC=(-3,2,0),B^C=(-3,2,-2),

設(shè)平面的法向量尢=(x,y,z),

伊.福=0

(n-B1C=0

即聞竟；工=0,令*=2可得”(2,0,-3),

設(shè)平面BB[C的一個法向量為訪=(Xi，yi，zi),

則性叵=0

唱有O(r令/=2可得沅=(2,3,。)，

設(shè)二面角力-EC-。的平面角為氏

八mn2x24

c°s0=而而=五而福=石，

所以二面角a—EC—。的余弦值為白，所以。正確.

故選ACD.

14.答案：AC

解析：

本題考查了空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，線面角，面面角求解，屬于較難題目.

利用面面垂直判定定理證明A選項(xiàng)；假設(shè)PC1磯)可推出線面垂直，然后可得EDLPO,顯然

不成立；

確定二面角的平面角為/以用，然后可判斷C；NCPO為直線PC與平面PAO所成角，在RSPCD

中，1211/(/。=%=也即可判斷。.

PD2

解：A中，PD=AD=YIAE2+DE2=VF+27=2V2>

在三角形PDC中，PD2+CD2=PC2>所以"LCD,又CDtDE，PDnDE=D,

可得CZJ1平面PAO,CDu平面E3CD，所以平面P?O_L平面EBCD，A選項(xiàng)正確；

8中，若PC1ED，又EDiCD，PCnCD=C,

可得A。，平面POC，則EO1PO，顯然錯誤，故B選項(xiàng)錯誤；

C中，二面角尸―OC—B的平面角為NP。"，根據(jù)折前折后角度不變知NP0E=4￡>E=45°，故

C選項(xiàng)正確；

。中，由上面分析可知，NCPD為直線尸C與平面所成角，在RSPCO中,

tanZCF￡>=->故。選項(xiàng)錯誤?

PD2

故選：AC

15.答案：BD

解析：

【試題解析】

本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定

理，余弦定理，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

對于A取AQ的中點(diǎn)為E,連接CE交MO于點(diǎn)F,則NE〃4Bi,NF〃MB],由CN_LAB]，則EN1CN,

從而判斷A,對于8,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷8；對于C由線面垂直的性質(zhì)定理即可判

斷；對于。根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面小41/，平面AA/。時(shí);三棱錐&-AMD的體積最大，取4。

的中點(diǎn)為E,連接OE,&E,ME,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷.

解：對于A,取A。的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,如圖1

圖1

則N￡7/4Bi，NF"MB\

如果CN14B],則EN_LCN,

由于則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于8,如圖1,由NNEC=NM4BI，

且NE=；4BI，AM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=N戌+EC2-2NEECcos/.NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2

圖2

取AM中點(diǎn)為0,748=BM,即力=則AM_LB1。

若4M1B1D,由于B］。D=B1,

且Bi。,Bi。u平面ODBi，

AM1平面ODBi，ODu平面ODBi，

OD1AM,貝ijAD=MO,

由于4。#MD,故4Ml不成立，故不正確；

對于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面當(dāng)AM，平面AM。時(shí)，

三棱錐&-4MD的體積最大，取A。的中點(diǎn)為E,

連接OE,B#,ME,如圖2

???AB=BM=1,則=BrM=1,

且AB】1BXM,平面&AMC平面AMD=AM

LAM,Bx0u平面BiAM

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

：.ByO1OE,

則4M=VI，BiO="M=字

OE=?M="T，

從而%、囹+囹=1,

易知￡4=ED=EM=1,

.??4。的中點(diǎn)E就是三棱錐當(dāng)-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故。正確;

故選BD

16.答案：AC

解析：

本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，反證法，直線與平面所成角，二面角和線面垂直的

性質(zhì)，屬于較難題.

利用平面幾何知識,結(jié)合線面垂直的判定得PE1平面EBCD,再利用面面垂直的判定對A進(jìn)行判斷，

利用反證法，假設(shè)PC_LED,利用線面垂直的判定得EO_L平面PEC,再利用線面垂直的性質(zhì)得E。_L

EC,從而對8進(jìn)行判斷,利用線面垂直的性質(zhì)得PE1CD,再利用線面垂直的判定得CD，平面PDE,

再利用線面垂直的性質(zhì)得CD_LPD,CD1DE,再利用二面角的平面角定義得NPDE為二面角P-

DC-8的平面角，最后計(jì)算對C進(jìn)行判斷，利用直線與平面所成角定義得NCPD為PC與平面PED

所成角的平面角，最后計(jì)算對。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

連接OE、EC.

對于A、因?yàn)橹苯翘菪蜛BC。中，AB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E為A8中點(diǎn),

所以四邊形BC￡>E是邊長為2的正方形，且4E=2,

因此以O(shè)E為折痕把回4DE折起后，PE1DE.

在中，PE=AE=2,EC=2V2,PC=2后

則PE?+EC?=小，因此PE_LEC.

VECODE=E,EC、EDEBCD,PEEBCD.

又PEu平面PE。，平面PEDd?平面EBCD,因此“正確；

對于B、假設(shè)PCIE。，

因?yàn)镻EIDE,而PCnPE=E,PC、PEu平面PEC,

所以ED_L平面PEC,而ECu平面PEC,

因此EDIEC,這與/DEC=45。相矛盾，故8項(xiàng)錯；

對于C、因?yàn)橛蒕4）知：PEI5??EBCD,CDu平面EBCD,

所以PE1CD.

又因?yàn)镃DJ.DE,PECtDE=E,PE、DEu平面POE,

所以CDJ■平面PCE,而PQ、DEc^F?PDE,

因此CO1PD,CD1DE,

所以4PCE為二面角P-DC-B的平面角.

由于折后，APDE=^DAE=45°,因此。項(xiàng)正確；

對于。、因?yàn)橛蒀知：。。_!_平面「?！辏?

所以NCPD為PC與平面PE￡>所成角.

又因?yàn)橛蒀知：CD1PD,

所以在RtZXPOC'中，因?yàn)镃D=2,PD=2,

所以tanzCPD=—='=—>

PD2V22

即PC與平面PEO所成角的正切值為匹，因此〃項(xiàng)錯誤.

2

故答案為AC.

17.答案：ABD

解析：

本題考查線面平行的判定，面面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積，點(diǎn)到面的距離，屬于較難題.

取8c的中點(diǎn)E,的中點(diǎn)H,AO的中點(diǎn)G,連接HG,EG,即可證明平面EGHF〃平面PAB,從

而證明線線平行；由PA_L平面A8CO,所以平面PAB1平面48C￡>,即可證明平面a1平面ABC￡>；

利用/TEH=VA-FEH=￡EFH-4M可求解三棱錐F-4EH的體積；利用等體積轉(zhuǎn)化法求解點(diǎn)尸到

平面AEH的距離.

解：取BC的中點(diǎn)E,PO的中點(diǎn)”，的中點(diǎn)G,連接，G,EG,由FH//CD,EG//CD^FH//EG,

故尸，H,G,E四點(diǎn)共面，由FE〃PB得FE〃平面PAB,EG〃/IB得EG〃平面PAB,故平面EGHF//平

ffiPAB,故平面EG"尸即為平面a.由力B〃EG,FH//EG,得AB//FH,A正確；

因?yàn)镻4J_平面ABCD,所以平面P4B1平面ABCD,又平面a〃平面PAB,所以平面a_L平面ABCD,

B正確；

過點(diǎn)A作AM1EG,垂足為M,則4M1平面EFHG,且AM=痘,VF_AEH=VA_FEH=|s0EFH-AM=

-x-FHxHGxAM=—，C錯誤；

323

2222

又AE=2V3-AH=2V2.EH=y/EG+GH=2后，所以4E?+AH=EH,即AE1AH,SMEH=

2V6,設(shè)點(diǎn)尸到平面AEH的距離為6,則如?.'/1="2n*/1=笫，得九=爭力正確.

故選ABD.

18.答案：我；停，苧］

解析：

本題考查了四面體的外接球的表面積和空間距離的計(jì)算，建立坐標(biāo)系，用二面角的大小出8。的長

是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

連接AC交BO于點(diǎn)0,。是四面體。一力BC外接球的球心.過。作DE1AC,垂足為E,則。點(diǎn)的軌

跡為以E為圓心，以血為半徑的圓弧，