高中數(shù)學(xué)好題速遞400題

好題速遞1

1.已知P是A/WC內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足而=M5+y/，x、ywR,則y+2x的取值范圍

是.

解法一：^AQ=-^—AP=^—AB+-^AC,由系數(shù)和"^+二一=1,知點(diǎn)。在線段

x+yx+yx+yx+yx+y

BCh.從而x+y=￡t<l.由x、y滿足條件卜‘O''〉。'易知y+2尤e(0,2).

AQ[x+y<l,

解法二：因?yàn)轭}目沒(méi)有特別說(shuō)明zvwc是什么三角形，所以不妨設(shè)為等腰直角三角形，則

立刻變?yōu)榫€性規(guī)劃問(wèn)題了.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn),)，軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將x軸上這5個(gè)點(diǎn)和y軸

上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有個(gè).

答案：30個(gè)

好題速遞2

1.定義函數(shù)刈，其中[X]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如：[1.5]=1,[―1.3]=-2,當(dāng)

xe[0,〃)(〃€N*)時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)锳,記集合A中的元素個(gè)數(shù)為可，則式子

之鐺的最小值為.

n

【答案】13.

【解析】當(dāng)〃e[O,l)時(shí)，[x[x]]=0,其間有1個(gè)整數(shù)；

當(dāng)〃e,,i+1),i=1,2,…,“一1時(shí)，『《卜[可]<迨+1),其間有i個(gè)正整數(shù)，故

,1c/1、n(n-\)[a+90n91I

Cl=l+l+2+…+(〃_1)=-------FI)--n----=—I-------,

2n2n2

由4=見(jiàn)得，當(dāng)〃=13或14時(shí),取得最小值13.

2n

2.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩倍同學(xué)要

站在一起，則不同的站法有種.

答案：192種

好題速遞3

I.已知直線/J■平面a,垂足為O.在矩形ABCZ)中，AO=l,AB=2,若點(diǎn)A在/上移

動(dòng)，點(diǎn)B在平面a上移動(dòng)，則O,D兩點(diǎn)間的最大距離為.

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為E,則E點(diǎn)的軌跡是球面的一部分，OE=\,DE=42,

所以。。4OE+E￡>=&+1

當(dāng)且僅當(dāng)。,三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.

2.將A、B、C、D四個(gè)球放入編號(hào)為I,2,3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少放一個(gè)

球且A、B兩個(gè)球不能放在同一盒子中，則不同的放法有種.

答案：30種

好題速遞4

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(“,a),P是函數(shù)y=g(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn).若

點(diǎn)P,A之間的最短距離為2近，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.

解：函數(shù)解析式(含參數(shù))求最值問(wèn)題

|AP|2=(x-a)2+^-_q)=(x+J_2。1+')+2/-2=[(x+')-a]+a2-2

因?yàn)閤>0,貝Ijx+』N2,分兩種情況：

x

2

(1)當(dāng)aN2時(shí)，\AP\n.n=y/a-2=2^2,則a=M

⑵當(dāng)a<2時(shí)，所*=以'-4〃+2=2夜，則a=-l

2.將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分

配方案有種.

答案：90種

好題速遞5

1.已知x,yeR,則(x+y)2+(x-；J的最小值為

2則(XX)與1兩點(diǎn)分別在

解:構(gòu)造函數(shù)y=尤,%=一

x

兩個(gè)函數(shù)圖象上，故所求看成兩點(diǎn)(x,x)與之間的距離

平方，

y=x+m

令，2=>x2+/nx+2=0=>A=^2-8=0=>/w=2>/2,

y=一一

x

所以y=x+2正是與％=x平行的％=-2的切線，故最小距離為d=2

X

所以(x+y)2+(x-：J的最小值為4

2.某單位要邀請(qǐng)10位教師中的6人參加一個(gè)研討會(huì)，其中甲、乙兩位教師不能同時(shí)參

加，則邀請(qǐng)的不同方法有種.

答案：140種

好題速遞6

1.已知定圓q，a的半徑分別為，i，6，圓心距|。|。2|=2,

01,。2都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條雙曲線，

離心率分別為巧,°2,則6*2的值為（）

A.（和乃中的較大者B.a和e中的較小者

D.引

解：取q,o?為兩個(gè)焦點(diǎn)，即。=1

若cc與。o”oQ同時(shí)相外切（內(nèi)切），貝_R+,|=|與一石|

若oc與oa，oc>2同時(shí)一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則||。0一|。。2||=廬一4—R-引=k+H

因此形成了兩條雙曲線.

11

4--

此時(shí)包土絲=-2------2一，不妨設(shè)r2>ry,則包士幺=r2

的211ete2

■fl?+1

22

2.某班學(xué)生參加植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹(shù)苗，從中取出5棵分別種

植在排成一排的5個(gè)樹(shù)坑內(nèi)，同種樹(shù)苗不能相鄰，且第一個(gè)樹(shù)坑和第5個(gè)樹(shù)坑只能種

甲種樹(shù)苗的種法共有種.

答案：6種

好題速遞7

22

1.已知片,瑪是雙曲線?-右=1（a>0/>0）的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的

一條漸近線交于點(diǎn)M,與雙曲線交于點(diǎn)N,且M、N均在第一象限，當(dāng)直線岫//ON

時(shí)，雙曲線的離心率為e,若函數(shù)“到=，+2》二，則/（e）=.

X

222

'x+y=c

解：<b=>M（a,b）

y=-x

a

khM=,所以，所以O(shè)/V的方程為y=x，

1a+ca+c4+c

92

￡__Z_

所以“22/a(a+c)b、

b/V—a

b“c2+2ac\lc2+2ac)

y-------x

a+c

所以(+(:b

又N在圓d+y2=。2上,

kVc2+2acJYNC2+2ac)

9

所以/+2e?—2e—2=0,所以f=e^+2e—=2

2.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在

兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間，這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).

答案：28個(gè)

好題速遞8

1.已知AABC的三邊長(zhǎng)分別為",仇c,其中邊c為最長(zhǎng)邊，且工+2=1,貝隆的取值范圍

ab

是.

解：由題意知，a<c,b<c,ifel=-+->-+-=—,所以cNIO

abccc

又因?yàn)閍+/?>c,ffi]a+fe=(a+Z>)|—+—|=10+—+—>16

yab)ab

所以cvl6

故綜上可得104cvl6

2.從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一

項(xiàng)，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有種.

解：48種

好題速遞9

1.在平面直角坐標(biāo)系wy中，己知點(diǎn)A是半圓尤2+y2-4x=0(2WxK4)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

。在線段。4的延長(zhǎng)線上.當(dāng)次?無(wú)=20時(shí)，則點(diǎn)。的縱坐標(biāo)的取值范圍是.

解：設(shè)4(2+2cosa2sin。)，C(22+22cos^,22sin,2>1,0G

5

由麗?歷=20得：2=

2+2cos。

rrr..5.八5sin。5(sin^-0)「1

明以y=2----------sin(9=-------=-----4G[-5,51

2+2cos61+cos0cos0-(-l)

2.編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有

且只有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是種.

答案：20種

好題速遞10

1.點(diǎn)。是直角MBC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，

AC=3,BC=2,將直角AABC沿著C￡＞翻折，使

與^ADC構(gòu)成直二面角，則翻折后AB，的最小值

是.

解：過(guò)點(diǎn)8'作8'E_L8于E,連結(jié)

設(shè)ZBCD=ZB'CD=a,

則有B'E=2sina,CE=2cosa,NACE=--a

2

在A4EC中由余弦定理得

AE~=9+4cos2a-12cos<zcosfy-aj=9+4cos2a-12sinacosa在RTA/1EB'中由勾股定理得

AB'~=AE2+B'E2=9+4cos2a-12sinacosa+4sin2a=13-6sin2a所以當(dāng)a=工時(shí)，AB'取

4

得最小值為不

2.從1到10這是個(gè)數(shù)中，任意選取4個(gè)數(shù)，其中第二大的數(shù)是7的情況共有

種.

答案：45種

好題速遞11

1.已知函數(shù)/（X）=24：；2：+；，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)歷,孫巧均存在以“XJJ（X2）J（X3）

為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

4x+k-2x+\,k-1

解：/(x)=-----------=1+.....—

4*+2，+12X+—+1

2X

令4）="?。?/p>

2X

當(dāng)％21時(shí)，其中當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)取得等號(hào)

所以若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)小巧,均均存在以〃百）,/（巧）,/（石）為三邊長(zhǎng)的三角形，只需

22”所以1/44

3

當(dāng)《＜1時(shí)，!-＜其中當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)取得等號(hào)

所以若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)為,孫均均存在以〃/）J（X2）J（X3）為三邊長(zhǎng)的三角形，只需

2.-^>1,所以-IsAvl

32

綜上可得，-，4左44

2

2.在一條南北方向的步行街同側(cè)有8塊廣告牌，牌的底色可選用紅、藍(lán)兩種顏色，若只要

求相鄰兩塊牌的底色不都為紅色，則不同的配色方案共有種.

答案：55種

好題速遞12

1.已知函數(shù)/(同=*2_2奴+/-1,若關(guān)于X的不等式/(/(力)<。的解集為空集，則實(shí)數(shù)

?的取值范圍是.

解：f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a-l)][x-(a+1)]

所以/(x)<0的解集為(a-l,a+l)

所以若使/(/(x))<0的解集為空集就是a-l</(x)<a+l的解集為空，即7mm(x)2a+l

所以-12a+1,即a4-2

2.某校舉行奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，有6支代表隊(duì)參賽，每隊(duì)2名同學(xué)，12名參賽同學(xué)中有4人

獲獎(jiǎng)，且這4人來(lái)自3人不同的代表隊(duì)，則不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)共有種.

答案：種

好題速遞13

1.已知定義在R上的函數(shù)“x)滿足①/(x)+〃2-x)=0；?f(x)-f(-2-x)=0；③在

[-1,1]上的表達(dá)式為“X)=產(chǎn)’"￡尸⑼，則函數(shù)小)與函數(shù)g(x)=jg：I>0的圖

[1-X,XG(O,1]1

象在區(qū)間[-3,3]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2.若（ar-l）5的展開(kāi)式中/的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a的值是

答案：2

好題速遞14

1.7(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足/(1)=2015

/(l)+/(2)+-+/(n)=n2/(?))則”2015)=.

2

解：/(l)+/(2)+...+/(n)=n7(n)>/(l)+/(2)+...+/(n-l)=(n-l)/(n-1)

兩式相減得=

所以耦r1

所以“。爪甯?瑞?瑞加黑黑器…海5/得

2.某次文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F這六個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表:

序號(hào)123456

節(jié)目

如果A、B兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號(hào)位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式

有..種.

答案：144種

好題速遞15

I.若a,B是兩個(gè)非零向量，且卜卜忸卜4w+耳，2e＞則另與a-B的夾角的取值范

圍是.

解：令w=w=i,則卜+囚=；

設(shè)依今=。，則由余弦定理得cos（"一。）=----2"=1一=~COS0

又4G—,1,所以COS，￡

3JL22_

所以外,所以由菱形性質(zhì)得俸-肝?

2.若（工一J=）〃的展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則

VII

n=_____

答案：12

好題速遞16

1.函數(shù)/(x)=x2+2x,集合A={(x,j)|/(x)+/(y)<2},

8={(x,y)"(x)?〃)，)},則由AC5的元素構(gòu)成的圖形的面積

是—.X

解：A={(x，y)"(x)+/(y)W2}={(x,y)|(x+l『+(y+l)24"/'

B={(x,y)|/(x)</(>'))={(x,y)I(x-y)(x+y+2)<2}

畫(huà)出可行域，正好拼成一個(gè)半圓，S=2兀

2.甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1項(xiàng)，丙、丁

兩公司各承包2項(xiàng)，共有承包方式種.

答案：1680種

好題速遞17

1.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A5GR中，A9=；AB；,在面

ABCD中取一個(gè)點(diǎn)尸，使同+|明最小，則這個(gè)最小值

為.

解：將正方體補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，點(diǎn)G關(guān)于面的

對(duì)稱點(diǎn)為C2,連接EC2交平面ABCD于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)尸，使

|而|+|因最小.其最小值就是怛。2|.

連接AC2,81G，計(jì)算可得|4。2|=6,忸02|=6|4聞=五，所以

△44C2為直角三角形，所以但6|=半

2.若（l+wx）6=a。+0］》+“2*2+…+〃6工6且q+az+as_1---h%=63,則實(shí)數(shù)m的值

為.

答案：1或-3

好題速遞18

1.已知雙曲線0-1=l(a>0,/>>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,鳥(niǎo)，過(guò)耳的直線分別交雙曲

線的兩條漸近線于點(diǎn)P,0.若點(diǎn)P是線段耳。的中點(diǎn)，且則此雙曲線的離心率

等于.

解法一：由題意內(nèi)P|=b,從而有pj且,或],

又點(diǎn)戶為6Q的中點(diǎn)，6(-加0)，所以Q

所以網(wǎng)=21-幺1+c],整理得4/=，，所以e=2

ccJ

解法二：由圖可知，OP是線段的垂直平分線，又OQ

是M△耳Q鳥(niǎo)斜邊中線，

所以/耳。p=/p。。=/。。?=60,所以e=2

解法三：設(shè)Q(anz,/wt),，”>0,貝!|。1,

QF2=(c-am,—bni)

由Q/；」Q/-；=(-bin)=0,解得加=1

所以Q(q,b),P

所以2=一2.紇￡,即c=2a,所以e=2

2a2

2.現(xiàn)有甲、已、丙三個(gè)盒子，其中每個(gè)盒子中都裝有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4、5、6的六

張卡片，現(xiàn)從甲、己、丙三個(gè)盒子中依次各取一張卡片使得卡片上的標(biāo)號(hào)恰好成等差數(shù)列

的取法數(shù)為.

答案：18

好題速遞19

1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量弧弧能滿足：西=4詞=4,OA.OB=0,

(2OC-OA)>(dC-OB)=0,則對(duì)任意。40,2句和任意滿足條件的向量反，

Ioc-cos6?a4-2sin6>OB|的最大值為.

解：建立直角坐標(biāo)系,設(shè)C(x,y),4(4,0),8(0,2)

則由(2反_場(chǎng)卜(沅一畫(huà))=0,得x2+y2-2x-2y=0

區(qū)-cos<9?函-2sin"詞=J(x-4cos，『+(y-4sin(9)2

等價(jià)于圓(x-l)2+(y-l)2=2上一點(diǎn)與圓/+y2=i6上一點(diǎn)連線段的最大值即為2及+4

2.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為=2"T+1,則《《+生《,+〃&：+…+%C,；=

答案：2"+3"

好題速遞20

1.已知實(shí)數(shù)40,。成等差數(shù)列，點(diǎn)尸(-3,0)在動(dòng)直線公+。)，+。=0不同時(shí)為零)上的

射影點(diǎn)為“，若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,3),則|MN|的取值范圍是.

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)附,c成等差數(shù)列，所以力=a+c,方程分+by+c=0變形為

2ax+(a+c)y4-2c=0,整理為〃(2x+y)+c(y+2)=0

所以I；：；1["即I；二,2,因此直線"+勿+'=。過(guò)定點(diǎn)。(1，-2)

畫(huà)出圖象可得NPMQ=90。，|?。|=2后

點(diǎn)”在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，線段MN的長(zhǎng)度

滿足FNfwMNWFN+y^

即5-64MV45+逐

2.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線

與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”，在一個(gè)長(zhǎng)方體中，

由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成

的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是

個(gè).

答案：48

好題速遞21

—X2(O<X<2)

1.己知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x±O時(shí)，〃x)=*.若關(guān)于x的方

相…

程[/(x)T+4(x)+%=OM,6eR,有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

解：設(shè)，=/(x),問(wèn)題等價(jià)于g(r)=，2+m+b=0有兩個(gè)實(shí)根轉(zhuǎn)2，0<441,1<弓或

5,5

yl<‘2<W

g(0)>0

hn-

(1)<0〃n或.>0

24

5

GL59T9?

綜上，——<a<——或——<a<-\

244

2.在（?+于）24的展開(kāi)式中，x的累的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng).

答案：5

好題速遞22

1.已知橢圓C：弓+]=1的左、右焦點(diǎn)為耳，瑪，直線（過(guò)點(diǎn)耳且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)

直線/2垂直于《于點(diǎn)P,線段戶人的垂直平分線與4的交點(diǎn)的軌跡為曲線C2,若

4（1,2）,8（4%）（仁,％）是6上不同的點(diǎn)，且則％的取值范圍是.

解：由題意G：V=4X

2

設(shè)L：x=—2）+1代入C2:y=4x,得y?—4my4-（8/zz-4）=0

所以y=4機(jī)一2,$=m（4加一4）+1=（2根一1）~

14ro

設(shè)/“c：x=（y-4m+2）+（2"?-廳代入G：V=4冗，得y'+—y+16+4（2/n-l）2=0

4

所以%=----4///+2G（^0,-6]U[10,4-00）

m

2.5人排成一排照相，要求甲不排在兩端，不同的排法共有種.（用數(shù)字作答）

答案：72

好題速遞23

1.數(shù)列｛4｝是公比為-g的等比數(shù)列，｛〃,｝是首項(xiàng)為12的等差數(shù)列.現(xiàn)已知%>為且

aw>bl0,則以下結(jié)論中一定成立的是.（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_選項(xiàng)的序號(hào)）

@a9a]Q<0；②九>0;③4>九；④小,4。

解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝是公比為-g的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)，即：

當(dāng)4>0時(shí)，>0,4“<0；當(dāng)4<0時(shí)，a2k_｛<0,a2k>0；所以為即心。是正確的；

當(dāng)q>0時(shí),a10<0.又0K>%,所以%,<0

結(jié)合數(shù)列出｝是首項(xiàng)為12的等差數(shù)列，此時(shí)數(shù)列的公差d<0,數(shù)列也｝是遞減的.

故知:b9>bw

當(dāng)4<0時(shí)，的<0,又。g，所以為<0

結(jié)合數(shù)列低｝是首項(xiàng)為12的等差數(shù)列，此時(shí)數(shù)列的公差”<0,數(shù)列依｝是遞減的.

故知：％>bw

綜上可知，①③一定是成立的.

2.設(shè)(5x-?)"的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展

開(kāi)式中x3的系數(shù)為.

答案：150

好題速遞24

I.已知集合A=｛(x,y)|y=x2+2fer+l｝,B=｛(x,y)|y=2a(x+Z))｝,其中a<0,6<0,且

AQB是單元素集合，則集合｛(%^)|(%-a)2+(y-&)2<1｝對(duì)應(yīng)的圖形的面積

為.

解：''''+2法+1=y+(2b-2a)x+(l-2成)=0

y=2a(x+b)

△=儂-20)2-4(1-2")=0=『+從=i

所以由得知，圓心(a,b)對(duì)應(yīng)的是四分之一單位圓弧M/W(紅色).

此時(shí)｛(x,y)I(x-of+(ydp4]｝所對(duì)應(yīng)的圖形是以這四分之一圓弧例9上的點(diǎn)為圓心，以

1為半徑的圓面.從上到下運(yùn)動(dòng)的結(jié)果如圖所示：是兩個(gè)半圓(ABO與ODE)加上一個(gè)四

分之一圓(AOEF),即圖中被綠實(shí)線包裹的部分。

所以5=2/+土區(qū)=2%

24

2.（2010年浙江高考17）有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳

遠(yuǎn)”、"肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且

不重復(fù).若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)試一

人，則不同的安排方式共有種（用數(shù)字作答）.

解：設(shè)有a也c/四個(gè)同學(xué)參加測(cè)試

上午：身高立定跳遠(yuǎn)肺活量臺(tái)階

下午：身高立定跳遠(yuǎn)肺活量握力

上午測(cè)試的種類有A：種

下午分兩類：一類為早上測(cè)臺(tái)階的同學(xué)下午測(cè)了握力，那么另三個(gè)同學(xué)就相當(dāng)于三個(gè)人不

坐自己位置的問(wèn)題，有2類選擇.

另一類為早上測(cè)臺(tái)階的同學(xué)下午不測(cè)握力，那么四個(gè)同學(xué)相當(dāng)于四個(gè)人不坐自己位置的問(wèn)

題，有9類選擇

所以共有（2+9）=264種

好題速遞25

1.若在給定直線y=x+r上任取一點(diǎn)尸，從點(diǎn)P向圓/+日-2『=8引一條切線，切點(diǎn)為

Q.若存在定點(diǎn)M,恒有=則/的取值范圍是.

解：直線y=x+f上任意一點(diǎn)尸（%,%+f）,過(guò)點(diǎn)P作圓的切線長(zhǎng)|PQ|=JW+k+f-2）2-8

2

設(shè)Mn),貝11=^(x0-m)+(x0+t-n^

222

由題知：XQ+（x0+r-2）-8=（x0-m）+（x0+z-H）

2

整理得：（2〃一4）/=（4-2w-2n）x04-AH+/+4

又M（九〃）為定點(diǎn)，PE，/+f）的任意性，所以利十九-2=0

所以（2〃-4"=>+/+4

所以"--------=（n-2）+----+2

n-217n-2

所以，￡（-8,-2]U[6,+OO）

2.在『展開(kāi)式中，含x的負(fù)整數(shù)指數(shù)基的項(xiàng)共有項(xiàng).

答案：4

好題速遞26

1.設(shè)“+6=2,0>0,則當(dāng)。=___時(shí)，工+@取得最小值.

2\a\b

解._L+@="+@=旦+2+@>，+2回回=，+1

2\a\b4|?|b41al4k|6-4同V41db41al

當(dāng)a>0時(shí)，—>-

21alh4

當(dāng)a<0時(shí)，1+H=￡！|+H=_l+^+Z￡k2,當(dāng)且僅當(dāng)b=-2/時(shí)取等號(hào)

2同h4同b414ab）4

所以a=—2,h=4時(shí)取得最小值.

2.（2008年浙江高考16）用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相

鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是（用數(shù)字作

答）.

解：依題先排除1和2的剩余4個(gè)元素有2AlM=8種方案，再向這排好的4個(gè)元素中插

入1和2捆綁的整體，有4種插法，

工不同的安排方案共有2M?段?&=40種.

好題速遞27

1.設(shè)xeR,/(x)=max|x2,x2+2x+2}+min{x+l,3-3n},則函數(shù)/(x)在R上的最小值

為.

x2+X+1,X<-1

解:/(x)=max|x2,x2+2x+2}+min{x+1,3-3x}=?x~+3x+3,—1WxW—

2

2u1

x—x+5,x>一

2

畫(huà)出圖象可得當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)函數(shù)/(x)取到最小值1.

2.若(x+3"展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

X

答案：20

好題速遞28

1.已知函數(shù)/(x)滿足/(l)=i,〃x)+/(y)=”(受卜(牙)為八⑷，則

/(-2011)=?

解：令x=y=l,則/(0)=：

令Y=-艾、則/(一力=/(工)

令y=x+2,則/(x)+/(x+2)=4/(x+l)/(-l)=/(x+l)

進(jìn)而有/(x)=/(x+6)

所以/(X)的周期為6,所以“-2011)=7(2011)=〃1)=；

2.(四川高考)方程”=/f+c中的a,"cw{-3,-2,0,1,2,3},且a,。,c互不相同，在所

有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有條.

解法一：將方程變形為曠=幺/+￡,若表示拋物線，則ar0,bx0,所以分

aa

b=-3,-2,1,2,3五種情況，利用列舉法解決.

(1)當(dāng)1=-3時(shí),a=—2,c=0,l,2,3或a=l,c=—2,0,2,3或4=2,。=—2,0,1,3或

a=3,c=—2,0,1,2

(2)當(dāng)6=3時(shí)，a=—2,c=0,l,2,—3或a=l,c=—2,0,2,—3或a=2,c=—2,0,1,—3或

a=—3,c=—2,0,1,2

以上兩種情況有9條重復(fù)，故共有16+7=23條

(3)同理，當(dāng)力=2或力=一2時(shí)，也有23條

(4)當(dāng)。=1時(shí)，a=—3,c=—2,0,2,3或。=—2,。=—3,0,2,3或。=2,。=—3,—2,0,3或

a=3,c=-3,-2,0,2,共有16條

綜上共有23+23+16=62種.

解法二：a,瓦ce{-3,-2,0』,2,3},6選3全排列為8=120種

這些方程表示拋物線，則awO力W0,要減去2&=40種

又匕=±2和8=±3時(shí)，方程出現(xiàn)重復(fù)，用分步計(jì)算原理可計(jì)算重復(fù)次數(shù)為3x3x2=18

所以不同的拋物線共有120-40-18=62種.

好題速遞29

1.已知當(dāng)xe[l,3],不等式|2°-x|2a-l恒成立，則。的取值范圍是.

解法一：結(jié)合/(x)=|2a-x|的圖象分類討論：

當(dāng)2a41,即“4,時(shí)，a-\<\-2a,解得“4」

22

當(dāng)勿23,即心一時(shí)，a-\<2a-3,解得心2

2

13,1

當(dāng)Iv2zzv3,即一<〃<-時(shí)，tz-l<0,解得一<〃K1

222

綜上可知：a<\^a>2

解法二：當(dāng)時(shí)顯然成立

當(dāng)〃>1時(shí)，有|2。-工|之。-10%-2。之。-1^Lx-2a<\-a

進(jìn)而有：(號(hào)!■)或a4二。”.

所以a42或々22

3

綜上：a<\^a>2

2.若(x+1)"=元"+…+px?+/+](〃￡N*),^p+q=6,刃K么n=.

答案：3

好題速遞30

1.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)工>0時(shí)，/(x)=x2+(2-t/)x,其中a20.若

對(duì)任意的xeR恒有/(x-/(%),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

解：當(dāng)—2手40,即04a42時(shí)，〃x)是增函數(shù)，所以/(x—26)4/(力恒成立

當(dāng)—2二9>0,即。>2時(shí)，則由圖象可知，兩個(gè)自變量的

2

祝你新年快樂(lè)闔家幸福

差距2G至少要不小于左右兩個(gè)零點(diǎn)間的差距2(“-2),你新年快樂(lè)闔家幸福

新年快樂(lè)闔家幸福

即2622(a-2),所以2<a44年快樂(lè)闔家幸福

快樂(lè)闔家幸福

綜上可知，0<。44

樂(lè)闔家幸福

闔家幸福

家幸福

幸福

福

2.“祝你新年快樂(lè)闔家幸?！边@句話，如圖所示形式排列，從“?！弊肿x起，只允許逐字

沿水平向右或豎直向下方向讀，則讀完整句話的不同讀法共有種.

答案：29=512種

好題速遞31

1.設(shè)函數(shù)〃力=/+2工+〃，若函數(shù)/(/(x))=/(x)有且只有3個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

l-4a>0

解：令=則產(chǎn)+f+a=O有兩個(gè)不等實(shí)根f"，則f+芍=-1

令g(x)=/+2x,若使函數(shù)〃〃x))=〃x)有且只有3個(gè)實(shí)根,只需使g(x)=x2+2x的圖

象與直線y==恰有三個(gè)公共點(diǎn)，所以必有一條直線經(jīng)過(guò)g(x)=V+2x的頂

點(diǎn).不妨設(shè)—a=~\而％—4>—1

故有?!=?-].t2=-a

所以%=(a-l)(-a)=a，所以a=0

2.某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)新節(jié)目，但是新節(jié)目不排在第一

個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且己經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則該晚會(huì)的節(jié)目單的編

排總數(shù)為種.

答案：990

好題速遞32

1.若函數(shù)/(6=一一在區(qū)間「乜-」上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍

'，jc-ax-aL2」

是.

解：這是y=1,“=函數(shù)復(fù)合，

U

在卜21上遞減且恒正(或恒負(fù))

￡>_1

22n0

(-2)2-a-(-2)-a<0

若二項(xiàng)式卜人族)

2.(〃eM)展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最小取值是.

答案：7

好題速遞33

1.已知函數(shù)y=j6+x-』的定義域?yàn)?,函數(shù)y=Ig(fcv2+4x+2+3)的定義域?yàn)?,當(dāng)

8aA時(shí)，實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

解：A=[-2,3]

42-4小+3)>0

依2+4》+%+3>0的解集為8,又BuA,所以必有，5X-540=>-4<k<--

一2

10A:+15<0

這里要注意函數(shù)的定義域不能為空.

2.(2011年浙江高考9)有5本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本，

將其隨機(jī)地并排擺放到書(shū)架的同一層上，則同一科目的書(shū)都不相鄰的情況有種

(用數(shù)字作答).

解法一：設(shè)書(shū)為444名。，位置為12345位

若C在最左1號(hào)位或最右5號(hào)位，則剩下四本書(shū)有形式，共有

2x2x&xg=16

若C在2號(hào)位或4號(hào)位，則剩下四本書(shū)有ABABorBABA形式，共有2x2xA；xA；=16

若C在3號(hào)位，則有4X&*M=16

所以共有48種.

解法二：分步完成，

第一步先4月。三本書(shū)全排列，共A；種

第二步，將&，鳥(niǎo)插入，分兩類.

一類為無(wú)AfiA型，則有2x3=6種插法

一類為有型，則有2x1=2種插法

所以共有6(2+6)=48種

解法三：M-A；4；6X2-&&S=48

好題速遞34

1.已知以AB為直徑，半徑為2,點(diǎn)都在線段AB上,

互相垂直的弦GE和FD，則|GE|.|Fq的取值范圍是.

解法一：如圖所示，設(shè)NEMA=a]ae0,yj,貝ljNOMA=1-a

ON=sina，OP=cosa

所以|G￡|-|FD|=2\/4—sin2a-25/4-cos2a=4V12+sin2a-sin4a

令sin?a=/￡[()』],則

\GE\-\FD\=4xll2+t2-t4

解法二：|GE|-|FD|=2^-ON1-2,4-。尸=4,12+OM.O尸,其中ON?+。尸=?！?？=[

所以|G￡|?|叫=以+0儲(chǔ)(1-。解)=4>112+ON2-ON4

又ONe[0,l],所以設(shè)目.|田€[8萬(wàn)14]

12

2.已知展開(kāi)式(J-x-6)(犬+x-6)=%H-----i-a12x?則4+。5+%=

解：(爐-x—6)(x?+x-6)=(x4-13x2+36)

打開(kāi)后沒(méi)有奇次項(xiàng)，所以4+火+為=0

好題速遞35

1.已知函數(shù)/(x)=H，且a+0>0,/2+c>0,c+4>0,則+的

[-x'+4x,x<0

值()

A.恒為正B.恒為負(fù)C.恒為0D.無(wú)法確定

解：易判斷f(x)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增的函數(shù)

由。+匕>0,4>+。>0,。+。>0可得〃>-6,6>-。,。>-4

所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-c),f(c)>f(-a)

所以f(a)+f(b)>O,f(b)+/(c)>0,/(c)+f[a}>0

所以〃a)+/(b)+/(c)>0

2.如圖所示是2008年北京奧運(yùn)會(huì)的會(huì)徽，其中的“中國(guó)印”主體由四

個(gè)互不連通的色塊構(gòu)成，可以用線段在不穿越其他色塊的條件下將其

中任意兩個(gè)色塊連接起來(lái)(如同架橋)，如果用三條線段將這四個(gè)色

塊連接起來(lái)，不同的連接方法共有種.

解法一：考慮A、B、C、D四塊區(qū)域，三條線連結(jié)共有兩類

第一類，一塊區(qū)域和三塊區(qū)域連結(jié)，共有C：=4種

第二類，四塊區(qū)域依次連結(jié)，即ABCD全排列，但注意ABCD

與DCBA是同一種情況，所以共有星=12種

2

綜上，共有16種.

解法二：把問(wèn)題抽象為正方形四個(gè)頂點(diǎn)之間連線共有6條

任取其中的三條將四個(gè)點(diǎn)連結(jié)，只需除去構(gòu)成三角形的三條連線

即可.故有C：—4=16

好題速遞36

1.已知定義在R上的偶函數(shù)〃x)在[0,+8)上的增函數(shù)，且〃以+l)4/(x-2)對(duì)任意的

xjL小亙成立，則a的取值范圍是________.

_2_

解：由題意，“ax+l)K/(x-2)對(duì)任意的XE恒成立等價(jià)于版+1|42-%對(duì)任意的

XG'』恒成立.

_2_

1?3

_Q+]W/

-22,解得-24a40

|a+l|<