高中數(shù)學(xué)模塊終結(jié)性評(píng)價(jià)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

模塊終結(jié)性評(píng)價(jià)

（120分鐘150分）

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.復(fù)數(shù)（一i），+2i—3的虛部為（）

A.3B.-3C.3iD.2

【解析】選A.因?yàn)椋?i）3+2i—3=-3+3i,故虛部為3.

2.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年4月11日發(fā)布的2018年3月到2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)

格的漲跌幅情況折線(xiàn)圖（注：2019年2月與2018年2月相比較稱(chēng)同比，2019年2月與2019

年1月相比較稱(chēng)環(huán)比）.根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

%

-

警

魅

去

酚冷酷?◎段松貝鏟啰險(xiǎn)

耕耕

A.2018年3月至2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲

B.2018年3月至2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌

C.2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大

D.2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比變化最快

【解析】選C.對(duì)于選項(xiàng)A,由題干圖可以看出同比漲跌幅均為正數(shù)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,由題干圖可以看出環(huán)比漲跌幅有正數(shù)有負(fù)數(shù)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由題干圖可以看出同比漲幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,從圖可以看出2019年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比變化最快，故D正確.

3.已知cos（5+a\=2cos（兀一a）,則tan（1—aJ=（）

11

-44a---

A.B.3D.3

【解析】選C.因?yàn)閏os（5+a）=2cos（"—a）,利用誘導(dǎo)公式可得一sina=2X（一

JI

tany-tana―]

cosa),即tana=2,所以tan■—an=1+2=-3*

1+tan—?tana

4

4.設(shè)向量a=(0,2),b=(y/3,1),則a,b的夾角0等于()

【解析】選A.因?yàn)閍=(0,2),b=(水,1),

1

所以

等

9于

2X-2-JI3

5.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上

的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是()

【解析】選C.由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A,B中至少有一件發(fā)生

的事件包含A萬(wàn),~B,AB,又P(A)=［,P(B),所以事件的概率為P=P(A萬(wàn))

+P(-B)+P(AB)=1-P(~~B)=1—11—0毛.

6.如圖，在正方體ABCD-ABCD中，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①D￡〃平面AiABBi；②A(yíng)D與平面BCDi相交；③AD_L平面DiDB；

④平面BCDi,平面A1ABB1,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.由在正方體ABCD-ABCD中，可得:在①中,因?yàn)镈￡〃AiB,D￡C平面AiABBi,

AiBu平面AiABB”所以DC〃平面AiABBi,故①正確；

在②中，因?yàn)锳D〃BC,BCu平面BCD”ADn平面BCDi=D,所以ADu平面BCD”故②錯(cuò)

誤；在③中，因?yàn)?ADB=45°,所以AD與平面DDB相交但不垂直，故③錯(cuò)誤；在④中，

因?yàn)锽CL平面AABB1,BCu平面BCD］，所以平面BCD」平面AiABB］，故④正確.

7.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a+b)2=/+ab,B=30°,a=4,

則aABC的面積為()

A.4B.373C.473D.6^3

1

a'+b。-c?

【解析】選C.因?yàn)?a+b”=c'+ab,即￡+『一(？=—ab.所以cosC=2-

2ab

所以C=120°,又B=30°,所以A=B=30°.即a=b=4,故AABC的面積S=(absinC

=1X4X4X坐=473.

8.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，4ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為

球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）

第亞亞蛆

6632

【解析】選A.根據(jù)題意作出圖形：

已知球心為0,設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的小圓的圓心為S,則平面ABC,延長(zhǎng)COi交球于點(diǎn)

D,連接SD,則SD_L平面ABC.

因?yàn)镃Oi=aX-^--,

所以001=^Ji—1=*,

所以高SD=200尸逑，

因?yàn)?ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,

所以必AK-4

所處?，乎x平=f.

二、多選題（每小題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a,b滿(mǎn)足誦=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.a為單位向量B.b為單位向量

C.a±bD.(4a+b)±BC

【解析】選AD.因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)為2,AB=2a,所以|慈|=2|a|=2,所以|a|

=1,故A正確；

因?yàn)槲?靠+BC=2a+BC,所以的=b,

所以|b|=2,故B錯(cuò)誤；

由于A(yíng)B—2a,BC=b,

所以a與b的夾角為120°,故C錯(cuò)誤；

又因?yàn)?4a+b)?前=4a?b+|b12=4X1X2X+4=0,

所以（4a+b）上證,故D正確.

10.甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本（單位：元）分別為10000,12000,15000,其成本

構(gòu)成如圖所示，則關(guān)于這三家企業(yè)下列說(shuō)法正確的是（）

A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)

B.費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)

C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)

D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)

【解析】選ABD.由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，甲企業(yè)的材料成本為10000X60%=6000（元），支付

工資為10000X35%=3500（元），費(fèi)用支出為10000X5%=500（元）；

乙企業(yè)的材料成本為12000X53%=6360（元），支付工資為12000X30%=

3600（元），費(fèi)用支出為12000X17%=2040（元）；

丙企業(yè)的材料成本為15000X60%=9000（元），支付工資為15000X25%=

3750（元），費(fèi)用支出為15000X15%=2250（元）.

所以，成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)，費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)，支付工資最少的企業(yè)是甲

企業(yè)，材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè).

11.（2021,新高考I卷）己知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi（cosa,sina）,P2（cosB,—sinB）,

P3（cos（a+8）,sin（a+B））,A（l,0）,貝!!（）

A.）=

OPjOP2

B.|A^|=|A^

c.OA?網(wǎng)=函?

D.OA?亞=亞?亞

【解析】選AC.對(duì)于A(yíng)：|O4|=^cor~ra--i-sin-ra-=1,=yjcos>8+sin=

|OP2|

1,所以A對(duì)；

因?yàn)镮=y[~(cosa—1)2+sin2cL—2cosa,

AP(|

A?2=V(cosB—1)2+sin20=^2—2cos6,所以B錯(cuò)；

因?yàn)镺A?OR=(1,0)?(cos(a+B),sin(a+P))=cos(a+0),

OP〕?OF^=cosacosB—sinasinB=cos(a+0),OA,OR=OP—OF^,

所以C對(duì)；

而OA?OR=(1,0)?(cosa,sina)=cosa,OP2,OR=(cosB,—sinB),(cos

(a+B),sin(a+3))=cosPcos(a+0)—sin3sin(a+0)=cos(2B+a),

所以D錯(cuò).

12.(2021?泰安高一檢測(cè))如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD-AiBCDi中的側(cè)面ADD向上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足CM±ADi

B.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐B-GMD的體積最大值為！

C.在線(xiàn)段AD1上存在點(diǎn)M,使異面直線(xiàn)BM與CD所成的角是30°

D.點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足BM〃平面BDC

【解析】選ABD.對(duì)于A(yíng),連接AD“AiD,A￡,由正方體的性質(zhì)可得AD」ADAD」DC,AiDADC

=D,AiD,DCu平面AiDC,貝IADiJ_平面AiDC,

當(dāng)點(diǎn)MGAiD時(shí)，有CMLADi,故點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足CMLADi,故A正確；

對(duì)于B,由已知，VB-CMD=VM-QBD,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Ai重合時(shí)，點(diǎn)M到面GBD的距離最大，則

三棱錐B-3MD的體積最大值為VAI-CIBD=13—X：X1X1X1=-,故B正確；

對(duì)于C,連接A1M,因?yàn)镃D〃AB,所以/ABM為異面直線(xiàn)BM與CD所成的角,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AM=x,則B-1,點(diǎn)Ai到線(xiàn)AD,的距離為亞誓=坐，所以乎

l+x2+1-X2

WxWl,cosNABM=----/-

2yjx9+l

cos30°之，解得x=

所以在線(xiàn)段AD】上不存在點(diǎn)M,使異面直線(xiàn)BM與CD所成的角是30°,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,連接ABBD,AiD,DiC,DB,B￡,

因?yàn)锳D〃BC,AiDi=BC,

所以四邊形ABC。為平行四邊形，

則A1B/7D1C,

因?yàn)锳BC平面BiCDi,DiCc平面BiCDi,

所以AiB〃平面BCD”同理可證DB〃平面BED”

因?yàn)锳BCDB=B,AiB,DBu平面AiBD,

所以平面BCD1〃平面ABD,

若MGAiD,則MBu平面ABD,

所以BM〃平面BDC,故D正確.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)

值等于1的概率為.

【解析】從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片中，任取兩張，樣本點(diǎn)有：(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10個(gè)，這兩張卡

片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1包含的基本事件有：(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共

49

4種情況，所以這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于1的概率為PR=5.

9

答案：匚

5al，兀、

14.已知sin(a+B)=/,tan—=-,其中a￡(0,JI),8e—,兀，貝!JcosB

1o乙乙\J

a

a12tan-4

【解析】因?yàn)閠an—=-,故tana=---------=~

1—tan2-

3_3

又a￡(0,

，兀、，兀3打、5，兀

又B仁(萬(wàn)，nI，故a+6e13，-j，又sin(a+B)=—，所以a+Bel11

故cos(a+B)="—sin2(a+3)=——.

故cosB=cos(a+0—a)=cos(a+f3)cosa+sin(a+P)sina

12x354=—生

135+135-65-

16

答案：一

65

15.已知a,8是兩個(gè)不同的平面，m,n是平面a及B之外的兩條不同直線(xiàn)，給出四個(gè)

論斷：①mJ_n；③nJ_B；④a.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作

為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.

【解析】因?yàn)閍,B是兩個(gè)不同的平面，m,n是平面a及B之外的兩條不同的直線(xiàn)，

若①m_Ln,③!!，B,則m〃B.又因?yàn)棰躮_La,所以②aJ.B.即①③④=>②.

若②aJ_B,③n_L6,則n〃a.又因?yàn)锧m_La,所以①m_Ln.即②③④=>①.

答案：①③④=②(或②③④今①)

16.若AABC的面積為半(a2+c2-b2),且/C為鈍角，貝此B=；￡的取值范圍

4a

是.

【解析】因?yàn)镾zwc=,(a2+c2—b2)=；acsinB,

,a2+c2—b2sinBsinB?…sinB,兀

所以，即cosB=-所以E=木，ZB=Y'

cs1-nc11

--+-

as1nAtanA2

JIJI

因?yàn)?c為鈍角,ZB=y,所以0〈/A<0,

所以tanAe0,小”，+8）,故：e（2,+8）

答案：y（2,+8）

四、解答題（共70分）

17.（10分）已知復(fù)數(shù)z=l+mi（i是虛數(shù)單位，mGR）,且z?（3+i）為純虛數(shù)（z是z

的共物復(fù)數(shù)）.

（1）設(shè)復(fù)數(shù)方二*1,求|z」；

1—1

_.2021

（2）設(shè)復(fù)數(shù)Z2=^^,且復(fù)數(shù)Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Z

【解析】因?yàn)閦=l+mi,所以Z=1—mi.

所以z?(3+i)=(1—mi)(3+i)=(3+m)+(1—3m)i.

3+m=0

又因?yàn)閦-（3+i）為純虛數(shù)，所以?

1-3mW0

解得m=-3.所以z=l—3i.

/、-3+2i51

(2)因?yàn)閦=l—3i,

a-i(a+3)+(3a-1)i

所r以Z2=_

13i—10

又因?yàn)閺?fù)數(shù)zz所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

a+3>0

所以

3a-l>0

解得：a>-.

18.（12分）（2020?全國(guó)I卷）某廠(chǎng)接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)

準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A(yíng)級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠(chǎng)家每件分別

收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠(chǎng)家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠(chǎng)有

甲、乙兩個(gè)分廠(chǎng)可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠(chǎng)加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠(chǎng)加工成本費(fèi)為20

元/件.廠(chǎng)家為決定由哪個(gè)分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠(chǎng)各試加工了100件這種產(chǎn)品，并

統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：

甲分廠(chǎng)產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠(chǎng)產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;

(2)分別求甲、乙兩分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠(chǎng)家應(yīng)選

哪個(gè)分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù)?

【解題指南】(1)根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出;

(2)根據(jù)題意分別求出甲、乙兩分廠(chǎng)加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作

出選擇.

【解析】(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知,

40

甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為麗=0.4；

乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為需=0.28.

(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)6525-5-75

頻數(shù)40202020

65X40+25X20-5X20-75X20

因此甲分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為15.

100

由數(shù)據(jù)知乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為

利潤(rùn)70300-70

頻數(shù)28173421

70X28+30X17+0X34-70X21

因此乙分廠(chǎng)加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為10.

100

比較甲乙兩分廠(chǎng)加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，應(yīng)選甲分廠(chǎng)承接加工業(yè)務(wù).

舞【加固訓(xùn)練】

“中國(guó)人均讀書(shū)4.3本(包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書(shū))，比韓國(guó)的11本、法國(guó)的20本、日本的

40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書(shū)量最少的國(guó)家”，這個(gè)論斷被各類(lèi)媒體反

復(fù)引用.出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量

如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó)、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人

員的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站，由于不同年齡段需

看不同類(lèi)型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一

天40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：［20,30),［30,40),［40,50),［50,

60),［60,70),［70,80］后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問(wèn)：

頻率

組距

0.030

0.025

0.020

0.010

0.005

O20304050607080年齡（歲）

(1)估計(jì)在這40名讀書(shū)者中年齡分布在［40,70)的人數(shù)；

(2)求這40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)若從年齡在［20,40)的讀書(shū)者中任取2名，求這兩名讀書(shū)者年齡在［30,40)的人數(shù)恰為

1的概率.

【解析】(1)由頻率分布直方圖知，年齡在［40,70)的頻率為(0.020+0.030+0.025)X10

=0.750,所以,40名讀書(shū)者年齡分布在［40,70)的人數(shù)為40X0.750=30(人).

(2)40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)為：

25X0.05+35X0.1+45X0.2+55X0.3+65X0.25+75X0.1=54(歲)，設(shè)中位數(shù)為x,

0.05+0.1+0.2+(x-50)X0.03=0.5,解之得x=55,即40名讀書(shū)者年齡的中位數(shù)為55

歲.

⑶年齡在［20,30)的讀書(shū)者有2人，記為a,b；年齡在［30,40)的讀書(shū)者有4人，記為A,

B,C,D,從上述6人中選出2人，共有如下樣本點(diǎn)：(a,b),(A,B),(A,C),(A,D),(B,

0,(B,D),(C,D),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,

D),共有基本事件數(shù)為15個(gè)，

記選取的兩名讀者中恰好有一人年齡在［30,40)中為事件A,則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為8

8

個(gè)：(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=y^.

15

19.(12分)在①sinA=2sinB,②a+b=6,③ab=12這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三角形存在，求出AABC的面積；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理

由.

A+B

問(wèn)題：是否存在aABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asin一萬(wàn)一=csinA,

c=3,?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

A+BA+B

【解析】由asin—5—=csinA結(jié)合正弦定理可得：sinAsin---=sinCsinA,

因?yàn)閟inAWO,所以sin——=sinC,

用％?A+B"CC

因?yàn)閟in—=sin(-----)=cos-,

匚“CCC

所以cos~=sinC=2sin-cos~,

CC1

因?yàn)閏os-WO,所以sin-=-,

因?yàn)镃￡(0,Ji),所以苧=30°,所以C=60°,由余弦定理得c=a^+bJZabcosC,

所以9=a2+b2—ab.

選擇條件①的解析：根據(jù)sinA=2sinB,結(jié)合正弦定理得a=2b,

9=a2+b2—aba=2/

聯(lián)立方程組，，解得<

a=2b、b=J

所以△ABC的面積S=|absin.

選擇條件②的解析:

9=a2+b2—ab

聯(lián)立方程組?

a+b=6

ab=9a—3

化簡(jiǎn)得:,解得

a+b=6b=3

19、后

所以AABC的面積S=5absinC=一/.

選擇條件③的解析：由gua'+b'—ab22ab—ab=ab得ab<9,與ab=12矛盾，

所以問(wèn)題中的三角形不存在.

20.(12分)從含有兩件正品a1，史和一件次品E的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后

不放回，連續(xù)取兩次.

(1)求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；

(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產(chǎn)品中

恰有一件次品的概率是多少？

【解析】(1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其可能的結(jié)果組成的基本事件空間為

Q={(ai,az),(ai,bi),(a2,ai),(a2,bj,(bi,ai),(bi,a2)),其中小括號(hào)內(nèi)左邊的

字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.由6個(gè)基本事件組成，而

且可以確定這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”

這一事件，

則A={(a”bi),〈&2,bi),(bi,a),(bi,a?)}.

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事件A由4個(gè)基本事件組成,所以P(A)=a=§.

(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為Q={(a“ai),(ai,

a2),(ai,bi),(a2,ai),(a2,a2),(a2,bi),(bi,