2023屆江西省宜春市上高縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好在射線(xiàn)上，則直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面.一些優(yōu)美的曲線(xiàn)是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線(xiàn)恰好是四葉玫瑰線(xiàn).給出下列結(jié)論：①曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2；③曲線(xiàn)C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線(xiàn)C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④4．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9，若點(diǎn)，則的最大值為（）A．3 B．6 C．9 D．125．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．如果直線(xiàn)與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能7．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或8．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則直線(xiàn)的斜率為()A． B． C． D．9．設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件10．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．11．一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種12．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______.14．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___.15．設(shè)，則“”是“”的__________條件.16．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶(hù)前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．18．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意都有，其前項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求大于的最小的正整數(shù)的值．19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)與直線(xiàn)其中的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)極徑.極角（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）已知直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn))，求的面積.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)F在直線(xiàn)上，平行于x軸的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于D，E兩點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）若F在線(xiàn)段上，P是的中點(diǎn)，證明：.21．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬(wàn)元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過(guò)程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.22．（10分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若同時(shí)滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④.（1）滿(mǎn)足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由焦點(diǎn)得拋物線(xiàn)方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)求交點(diǎn)，計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，由，解得或，∴，∴，故直線(xiàn)被截得的弦長(zhǎng)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，屬于中檔題.2、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計(jì)算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.3、B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線(xiàn)C相切于點(diǎn)，，，，則①和③都錯(cuò)誤；由，得④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線(xiàn)的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.4、C【解析】

分析：先畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出，然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，即求出邊界線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：則，所以平面區(qū)域的面積，解得，此時(shí)，由圖可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值9，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫(huà)出一條直線(xiàn)，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.5、A【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．6、B【解析】

根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑可得滿(mǎn)足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線(xiàn)與圓相交，圓心到直線(xiàn)的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．7、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿(mǎn)足.若，解得或.若，則，滿(mǎn)足.若，顯然不成立，綜上或，選B.8、D【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，則，故，此時(shí)，即．則直線(xiàn)的斜率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，直線(xiàn)斜率公式，屬于中檔題．9、A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線(xiàn)不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.10、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線(xiàn)傾斜角為，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€(xiàn)交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

注意平移是針對(duì)自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】由題意得，解得定義域?yàn)椋?5、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來(lái)判斷，也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來(lái)判斷，還可以利用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來(lái)判斷，本題屬于容易題.16、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令，即可求出切線(xiàn)斜率.【詳解】，，，即曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析，（2）（i）見(jiàn)解析（ii）時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為594次．【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進(jìn)而可求出期望.（2）（i）由記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；記，當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，因?yàn)椋?，所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為次．【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）4【解析】

（1）利用判斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項(xiàng)公式,求出，用錯(cuò)位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解：任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，又是與的等比中項(xiàng)，，設(shè)數(shù)列的公差為，且，則，解得，，；由題意可知，①，②，①﹣②得：，，，由得，，，，滿(mǎn)足條件的最小的正整數(shù)的值為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫(xiě)“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式19、（1）極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2）【解析】

（1）利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；（2）只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用計(jì)算即可.【詳解】（1）曲線(xiàn)C：(為參數(shù)，)，將代入，解得，即曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（2)由（1），得點(diǎn)的極坐標(biāo)為，由直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，可求得的值，從而求得拋物線(xiàn)的方程；（2）法一：設(shè)直線(xiàn)，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)的方程，根據(jù)在直線(xiàn)上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)出直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡(jiǎn)，即可得證.【詳解】（1）拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且該點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得，故所求拋物線(xiàn)C的方程為（2）法一：由點(diǎn)F在線(xiàn)段上，可設(shè)直線(xiàn)，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線(xiàn)的方程為，即.又點(diǎn)在線(xiàn)段上，∴.∵P是的中點(diǎn)，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點(diǎn)睛】本題考查