安徽省淮北市樹人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次階段考試試題文

PAGE27-安徽省淮北市樹人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次階段考試試題文一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，共60.0分）已知集合，集合QUOTE，其中全集，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】D【解析】【分析】

本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及集合的交、并、補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

依據(jù)集合的交、并、補(bǔ)集的定義運(yùn)算即可．

【解答】

解：因?yàn)榧?/p>

QUOTE或QUOTE，

則QUOTE，

集合QUOTE，

所以QUOTE．

故選D．

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，且QUOTE為偶函數(shù)，若QUOTE，則不等式QUOTE的解集為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．

依據(jù)QUOTE為偶函數(shù)可得直線QUOTE為函數(shù)QUOTE的對(duì)稱軸，由函數(shù)QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，可得QUOTE在R上的單調(diào)性，最終解答不等式即可．

【解答】解：由題意QUOTE為偶函數(shù)，

則QUOTE的圖像關(guān)于直線QUOTE對(duì)稱，

則QUOTE．

又QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，

所以QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，

所以由QUOTE得QUOTE，

所以QUOTE，

故不等式QUOTE的解集為QUOTE，

故選A．

圓QUOTE在點(diǎn)QUOTE處的切線方程為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE【答案】D【解析】【分析】

本題考查求圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以點(diǎn)P是切點(diǎn)，圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直，由此求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程．

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn)QUOTE在圓上，

所以點(diǎn)P是切點(diǎn)，圓心與點(diǎn)P的連線與切線垂直，

又因?yàn)閳A心QUOTE，故斜率為QUOTE，

所以切線斜率為QUOTE，

所以切線方程為QUOTE，

即QUOTE．

故選D．

在1930年，德國(guó)漢堡高校學(xué)生考拉茲提出猜想：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，假如它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1：假如它是偶數(shù)，則對(duì)它除以QUOTE如此循環(huán)，最終都能得到QUOTE閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)程序，輸出的結(jié)果QUOTEA.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】解：QUOTE，QUOTE，

a為奇數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為偶數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為奇數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為偶數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為偶數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為偶數(shù)，QUOTE，QUOTE，

a為偶數(shù)，QUOTE，QUOTE，跳出循環(huán)，

故選：C．

依據(jù)題意一步一步進(jìn)行運(yùn)算，直到跳出循環(huán)．

本題考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．

已知等差數(shù)列QUOTE、QUOTE，其前n項(xiàng)和分別為QUOTE、QUOTE，QUOTE，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.15【答案】A【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式，考查分析與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式，逆向構(gòu)造得QUOTE，從而求出其比值．

【解答】

解：因?yàn)镼UOTE，

故選A．

中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為QUOTEQUOTE，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫QUOTE秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿意，，則此三角形面積的最大值為QUOTE

QUOTE

A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】

本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，計(jì)算p的值，代入QUOTE中，利用基本不等式求出它的最小值．

【解答】

解：由QUOTE，QUOTE，得QUOTE；

所以QUOTE

QUOTE，

當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時(shí)取等號(hào)．

所以QUOTE，即此三角形面積的最大值為3．

故選B．

如圖，在QUOTE中，QUOTE，P是BN的中點(diǎn)，若QUOTE，則實(shí)數(shù)m的值是QUOTE

QUOTEA.QUOTE

B.1

C.QUOTE

D.QUOTE【答案】C【解析】【分析】本題主要考查平面對(duì)量的加法，減法及幾何意義，考查學(xué)生推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量的加法，減法運(yùn)算得QUOTE，利用平面對(duì)量基本定理得QUOTE．【解答】解：因?yàn)镻是BN的中點(diǎn)，所以QUOTE．

所以QUOTE

QUOTE，

因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE．

故選C．

下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是QUOTE

QUOTE若“QUOTE”為真命題，則“QUOTE”為真命題；

QUOTE“QUOTE，函數(shù)QUOTE在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定；

QUOTE為直線，QUOTE，QUOTE為兩個(gè)不同的平面，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE；

QUOTE“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”．A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】

本題考查命題的真假的推斷與應(yīng)用，涉及復(fù)合命題的真假，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，全稱命題的否定，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)合命題的真假推斷QUOTE的正誤；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷QUOTE的正誤；由直線與平面的位置關(guān)系推斷QUOTE的正誤；由全稱命題的否定推斷QUOTE的正誤．

【解答】

解：QUOTE若“QUOTE”為真命題，可知兩個(gè)命題至少一個(gè)是真命題，不能推斷“QUOTE”為真命題，所以QUOTE不正確；

QUOTE“QUOTE，函數(shù)QUOTE在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定：“QUOTE，函數(shù)QUOTE在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”；例如QUOTE，QUOTE在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以QUOTE正確；

QUOTE為直線，QUOTE，QUOTE為兩個(gè)不同的平面，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE，也可能QUOTE，所以QUOTE不正確；

QUOTE“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”，不滿意全稱命題的否定形式，正確的應(yīng)為：“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”，所以QUOTE不正確．

只有QUOTE是真命題，

故選：A．

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線QUOTE上的隨意一點(diǎn)，M是線段PF的中點(diǎn)，則直線OM的斜率的最大值為QUOTEA.QUOTE B.1 C.QUOTE D.2【答案】B【分析】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)及幾何意義，考查基本不等式運(yùn)用，屬于中檔題．

由題意得點(diǎn)M坐標(biāo)，表示出直線OM的斜率，依據(jù)基本不等式即可求解．

【解答】解：設(shè)QUOTE，QUOTE，M是線段PF的中點(diǎn)，所以QUOTE

直線OM的斜率QUOTE，明顯當(dāng)QUOTE時(shí)，斜率k較大，

此時(shí)QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE，即QUOTE時(shí)，斜率最大，最大值為1．

故選B．

已知函數(shù)QUOTE在QUOTE上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．

先求出QUOTE的導(dǎo)數(shù)，然后因?yàn)楹瘮?shù)QUOTE在QUOTE上有極值，故令QUOTE，即QUOTE，然后構(gòu)造函數(shù)QUOTE，利用導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性和極值進(jìn)而推斷出QUOTE的單調(diào)性，進(jìn)而求出答案．

【解答】

解：因?yàn)镼UOTE，故QUOTE，令QUOTE，即QUOTE在QUOTE上有解，令QUOTE則QUOTE；

構(gòu)造函數(shù)QUOTE，QUOTE，QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，在QUOTE上單調(diào)遞減，QUOTE，所以QUOTE，因?yàn)楹瘮?shù)QUOTE在QUOTE上有極值當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，在QUOTE上恒成立，QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)故舍去，所以a的取值范圍是QUOTE；故選B．

已知雙曲線QUOTE的左、右焦點(diǎn)分別為QUOTE，QUOTE，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為QUOTE，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓QUOTE上一點(diǎn)，則QUOTE的最小值為QUOTE

QUOTEA.8 B.9 C.10 D.【答案】B【分析】本題考查雙曲線的定義以及圓的性質(zhì)．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)QUOTE，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，QUOTE取得最小值，且QUOTE．

【方法總結(jié)】圓錐曲線中多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

關(guān)鍵是利用圓錐曲線QUOTE橢圓、雙曲線、拋物線QUOTE的定義通過(guò)焦點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問(wèn)題，然后利用數(shù)形結(jié)合求解最大QUOTE最小QUOTE值即可．

【解答】解：由題意可得QUOTE，即QUOTE，

漸近線方程為QUOTE，即有QUOTE，即QUOTE，

可得雙曲線方程為QUOTE，焦點(diǎn)為QUOTE，QUOTE．

由雙曲線的定義可得QUOTE．

由圓QUOTE可得圓心QUOTE，半徑QUOTE，QUOTE．

如圖，連接QUOTE，交雙曲線于M，交圓于N，

可得QUOTE取得最小值，且QUOTE，

則QUOTE的最小值為QUOTE．

故選B．

已知函數(shù)QUOTE在QUOTE處的切線的斜率為QUOTE，若該函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)QUOTE，則QUOTE取值范圍是QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】C【解析】解：QUOTE的導(dǎo)數(shù)為QUOTE，

可得在QUOTE處的切線的斜率為QUOTE，

由QUOTE，可得QUOTE，

則QUOTE，

由題意可得QUOTE，

即有QUOTE，

由QUOTE，QUOTE，可得QUOTE，

設(shè)QUOTE，要證QUOTE，

即證QUOTE，

即為QUOTE，QUOTE

設(shè)QUOTE，QUOTE，即證QUOTE，

即為QUOTE，

設(shè)QUOTE，QUOTE，

導(dǎo)數(shù)為QUOTE，

可得QUOTE在QUOTE遞減，則QUOTE，

可得QUOTE，QUOTE，

則QUOTE成立．

則QUOTE，

則QUOTE．

則QUOTE取值范圍是QUOTE故選：C．求得QUOTE的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解得a，再由零點(diǎn)的定義和不等式的性質(zhì)，可得QUOTE的取值范圍．

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于難題．

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知橢圓E：QUOTE的右焦點(diǎn)為QUOTE，若點(diǎn)F到直線QUOTE的距離為QUOTE，則E的離心率為________．【答案】QUOTE【解析】【分析】

本題考查了橢圓的性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

依據(jù)點(diǎn)F到直線QUOTE的距離為QUOTE，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式建立等式，結(jié)合QUOTE得到a與c的關(guān)系，即可求解．

【解答】

解：由題意，因?yàn)辄c(diǎn)F到直線QUOTE的距離為QUOTE

所以QUOTE，

整理得QUOTE，

又QUOTE，

所以QUOTE，

即QUOTE，

所以QUOTE，

所以橢圓E的離心率QUOTE．

故答案為QUOTE．

已知函數(shù)QUOTE，若QUOTE在QUOTE上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】

QUOTE【解析】【分析】

本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分別法以及構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．

利用參數(shù)分類法，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解即可．

【解答】

解：QUOTE函數(shù)QUOTE，且QUOTE在QUOTE上恒成立，

QUOTE在QUOTE上恒成立，

QUOTE．

令QUOTE，有QUOTE．

QUOTE，QUOTE，

QUOTE在QUOTE上為減函數(shù)，

QUOTE當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，

QUOTE．

故答案為

QUOTE．

已知p：關(guān)于x的不等式QUOTE對(duì)隨意的QUOTE恒成立；q：函數(shù)在R上是增函數(shù)QUOTE成立．若QUOTE為真，QUOTE為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】QUOTE【解析】【分析】

求解本題應(yīng)留意依據(jù)p與q一真一假進(jìn)行分類探討．本題考查與邏輯聯(lián)結(jié)詞有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題．

【解答】解：若P為真，則QUOTE在QUOTE時(shí)恒成立．

又函數(shù)QUOTE在QUOTE上是增函數(shù)，可得其在QUOTE上的最小值為QUOTE，因此只需QUOTE即可，所以QUOTE．

若q為真，則由QUOTE在R上是增函數(shù)，

又QUOTE，可得QUOTE，解得QUOTE或QUOTE．若QUOTE為真，QUOTE為假，則p與q一真一假．若p真q假，則QUOTE所以QUOTE；若p假q真，則QUOTE所以QUOTE．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是QUOTE．

已知函數(shù)QUOTE，QUOTE，QUOTE在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減，則QUOTE________．【答案】2【解析】【分析】

本題考查函數(shù)QUOTE的性質(zhì)，涉及協(xié)助角公式，屬于中檔題．

由題意可得QUOTE，因?yàn)镼UOTE

QUOTE，可得QUOTEZQUOTE，又由QUOTE，即可得出答案．

【解答】

解：QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，且QUOTE，

QUOTE，

QUOTE

QUOTE，

QUOTE

QUOTE，QUOTEZQUOTE，QUOTEZQUOTE，

又由QUOTE，QUOTE，得QUOTE，QUOTE．

三、解答題（本大題共7小題，共80.0分）數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和QUOTE，QUOTE．QUOTE求數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式；QUOTE設(shè)QUOTE，求QUOTE的前n項(xiàng)和QUOTE．【答案】解：QUOTE當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE；當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE

QUOTE，當(dāng)QUOTE時(shí)，也滿意上式，

故數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式為QUOTE，QUOTE．QUOTE由QUOTE知，QUOTE．

則QUOTE，QUOTE，

兩式相減得

QUOTE，

QUOTE．【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，培育了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的實(shí)力，為中檔題．

QUOTE依據(jù)題意利用QUOTE與QUOTE的關(guān)系即可得到結(jié)果；

QUOTE由QUOTE，知QUOTE，即QUOTE，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果．

已知QUOTE的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且QUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求角A的大??；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，求QUOTE的周長(zhǎng)L的取值范圍．【答案】解：QUOTEⅠQUOTE由已知得：QUOTE，

再由正弦定理得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

又QUOTE，則QUOTE，

由QUOTE化簡(jiǎn)得，QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE法一：由余弦定理：QUOTE，

得QUOTE，

即：QUOTE，而QUOTE，

QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時(shí)等號(hào)成立QUOTE

從而QUOTE，得QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE，從而周長(zhǎng)QUOTE；

法二：由正弦定理得：QUOTE，

QUOTE，又QUOTE，

從而QUOTE的周長(zhǎng)：

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

從而：QUOTE．【解析】本題考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，設(shè)計(jì)到正、余弦定理，屬于中檔題．

QUOTEⅠQUOTE由條件QUOTE可得QUOTE，再結(jié)合正弦定理及三個(gè)角之間的關(guān)系可得QUOTE，進(jìn)而求出A；

QUOTEⅡQUOTE法一：利用余弦定理再結(jié)合基本不等式可得QUOTE，則可求出周長(zhǎng)L的范圍．

法二：依據(jù)正弦定理用關(guān)于B的三角函數(shù)表示出周長(zhǎng)，依據(jù)B的范圍及正弦型函數(shù)的值域求得L范圍．

某購(gòu)物網(wǎng)站為優(yōu)化營(yíng)銷策略，從某天在該網(wǎng)站進(jìn)行網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)且消費(fèi)金額不超過(guò)1000元的網(wǎng)購(gòu)者中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，按消費(fèi)金額分成QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE五組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．已知樣本中網(wǎng)購(gòu)者的平均消費(fèi)金額是568元QUOTE同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替QUOTE．

QUOTE求頻率分布直方圖中的x，y的值；QUOTE若從消費(fèi)金額少于400元的網(wǎng)購(gòu)者中采納分層抽樣法隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人的消費(fèi)金額都在QUOTE內(nèi)的概率．【答案】解：QUOTE由頻率分布直方圖得QUOTE，

因此QUOTE

QUOTE．

又因?yàn)闃颖局芯W(wǎng)購(gòu)者的平均消費(fèi)金額是568元，

所以QUOTE，

因此QUOTE

QUOTE．

由QUOTE解得QUOTE，QUOTE．

QUOTE由QUOTE可知消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的網(wǎng)購(gòu)者有QUOTE人，

消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的網(wǎng)購(gòu)者有QUOTE人，

則從消費(fèi)金額少于400元的網(wǎng)購(gòu)者抽取的6人中，

消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的有2人，記為A，B，

消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的有4人，記為a，b，c，d．

從這6人中隨機(jī)抽取2人的狀況有：

AB，Aa，Ab，Ac，Ad，

Ba，Bb，Bc，Bd，

ab，ac，ad，

bc，bd，

cd，共15種，

其中這2人的消費(fèi)金額都在QUOTE內(nèi)的狀況有：

ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6種．

因此所求概率QUOTE．【解析】【試題解析】

本題考查了頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，分層隨機(jī)抽樣和古典概型的計(jì)算與應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．

QUOTE利用頻率分布直方圖得QUOTE

，再利用頻率分布直方圖求平均數(shù)得QUOTE，最終解方程組得結(jié)論；

QUOTE利用分層隨機(jī)抽樣得消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的有2人，記為A，B，消費(fèi)金額在QUOTE內(nèi)的有4人，記為a，b，c，d，再古典概型的計(jì)算，計(jì)算得結(jié)論．

如圖所示，在三棱錐QUOTE中，平面QUOTE平面ABC，QUOTE為等邊三角形，QUOTE且QUOTE，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．

QUOTE求證：平面QUOTE平面VAB；

QUOTE求三棱錐QUOTE的體積．

【答案】證明：QUOTE，O為AB的中點(diǎn)，

QUOTE，

又QUOTE平面QUOTE平面ABC，平面QUOTE平面QUOTE，且QUOTE平面ABC，

QUOTE平面VAB，

QUOTE平面MOC，

QUOTE平面QUOTE平面VAB；

解：QUOTE等腰直角三角形ACB中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE等邊三角形VAB的邊長(zhǎng)為2，QUOTE，

又QUOTE平面VAB，

QUOTE三棱錐QUOTE的體積QUOTE．【解析】QUOTE證明QUOTE平面VAB，即可證明平面QUOTE平面VAB；

QUOTE三棱錐QUOTE的體積QUOTE由此能求出結(jié)果．

本題考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵，是中檔題

已知橢圓QUOTE的右焦點(diǎn)QUOTE，離心率為QUOTE，過(guò)F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．QUOTE求橢圓的方程；QUOTE證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；QUOTE若弦AB，CD的斜率均存在，求QUOTE面積的最大值．【答案】解：QUOTE由題意得QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．QUOTE橢圓的方程為QUOTE．QUOTE證明：QUOTE當(dāng)直線AB，CD有一條斜率不存在時(shí)，直線MN即為直線OF，此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)QUOTE．QUOTE當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為QUOTE，設(shè)QUOTE，QUOTE，則有QUOTE，聯(lián)立QUOTE消去y得QUOTE，QUOTE，則QUOTE，即QUOTE，將上式中的k換成QUOTE，同理可得QUOTE，若QUOTE，解得QUOTE，直線MN斜率不存在，此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)QUOTE．若直線MN的斜率存在，則QUOTE，則QUOTE，直線MN為QUOTE，令QUOTE，得QUOTE．綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)QUOTE．QUOTE由QUOTE可知直線MN過(guò)定點(diǎn)QUOTE，又直線AB的斜率QUOTE，故QUOTE，令QUOTEQUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE取得最大值，即QUOTE取得最大值QUOTE，此時(shí)QUOTE．【解析】【分析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)是直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題以及三角形的最值，屬較難題．

QUOTE依據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

QUOTE分類探討直線的斜率不存在和斜率存在，聯(lián)立QUOTE利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)探討直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題；

QUOTE由QUOTE條件，故QUOTE，令QUOTE，利用基本不等式求最值．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為QUOTE為參數(shù)QUOTE，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為QUOTE．QUOTE求C的一般方程和l的傾斜角；