2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

5.1.1任意角

區(qū)課前自主預(yù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解任意角的概念及角的分類.

2.理解象限角的概念.

3.理解終邊相同的角的概念，并能熟練寫出終邊相同的角的集合表示.

要點(diǎn)梳理

i.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

(2)角的表示

如圖，射線的端點(diǎn)是圓心。，它從起始位置04按逆嵯t方向旋轉(zhuǎn)到終止位置冰，形成

一個(gè)角a,射線的，8分別是角a的始邊和終邊.

“角?！被颉??！笨梢院?jiǎn)記成"。.

(3)角的分類

類型定義圖示

一條射線繞其端點(diǎn)按逆

正角

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1----------------A

0_________

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成

負(fù)角

的角

如果一條射線沒有作任

零角何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一oA(B)

個(gè)零角

(4)相等角與相反角

①設(shè)角a由射線處繞端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)而成，角￡由射線0'/繞端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)而成.如

果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱a=B.

②我們把射線處繞端點(diǎn)。按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角

a的相反角記為一a.

③設(shè)￡是任意兩個(gè)角.我們規(guī)定，把角。的終邊旋轉(zhuǎn)角￡,這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的

角是a+2.

④角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.

2.象限角

把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與度點(diǎn)重合,角的始邊與王軸的非負(fù)半軸重合，

那么，角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為

這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

3.終邊相同的角

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={￡|￡=360°,

ACZ},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與整數(shù)個(gè)周角的和.

溫馨提示：對(duì)終邊相同的角的理解

(1)。為任意角，“AGZ”這一條件不能漏.

(2)A?360°與a中間用“+”連接，如％?360°—?？衫斫獬葾?360°+(—a).

1.在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸形成的角為90°,

這種說(shuō)法是否正確？

［答案］不正確.在坐標(biāo)系中，將y軸的正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸時(shí)，是

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，故它形成的角為一90°

2.初中我們學(xué)過對(duì)頂角相等.依據(jù)現(xiàn)在的知識(shí)試判斷一下圖中角。，￡是否相等?

［答案］不相等.角。為逆時(shí)針方向形成的角，。為正角；角力為順時(shí)針方向形成

的角，￡為負(fù)角

3.判斷正誤(正確的打，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就確定了.()

⑵一30°是第四象限角.()

(3)鈍角是第二象限的角.()

(4)終邊相同的角一定相等.()

(5)第一象限的角是銳角.()

［答案］⑴X(2)V(3)V(4)X(5)X

題型一任意角的概念

【典例1】下列命題正確的是()

A.終邊與始邊重合的角是零角

B.終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等

C.在90°W￡<180°范圍內(nèi)的角￡不一定是鈍角

D.小于90。的角是銳角

［思路導(dǎo)引］對(duì)角的概念的理解關(guān)鍵是弄清角的終邊與始邊及旋轉(zhuǎn)方向和大小.

［解析］終邊與始邊重合的角還可能是360°,720。，…，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相

同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與一330°,故B錯(cuò)；由于在90°W￡<180°

范圍內(nèi)的角月包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°,也可

以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤.

［答案］C

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵

關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與

終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧：判斷結(jié)論正確需要證明,

而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.若將鐘表?yè)苈?0分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)了度.

［解析］由題意可知，時(shí)針按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)了10X黑，;=5°,分針按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)

1ZAOU

~360°。

了10X—-=60°.

60

［答案］5°60°

題型二終邊相同的角的表示

【典例2】已知角a=2020°.

(1)把a(bǔ)改寫成衣?360°+￡(4WZ,0°W￡〈360°)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求。，使。與。終邊相同，且一360°W，〈720°.

［思路導(dǎo)引］解題關(guān)鍵是理解與角。終邊相同的角的表示形式.

［解］(1)由2020°除以360°,得商為5,余數(shù)為220°.

...取4=5,￡=220°,a=5X360°+220°.

又￡=220°是第三象限角，.。為第三象限角.

(2)與2020°終邊相同的角為

A?360°+2020°(A-eZ).

令一360°WA?360°+2020°<720°(AGZ),

解得一6罟WK—3^(A￡Z).

ioUlo

所以4=—6,—5,—4.

將衣的值代入4?360°+2020°中，得角。的值為一140°,220°,580°.

|名師提醒A

(1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角的方法

先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出衣的值.

(2)求終邊落在直線上的角的集合的步驟

①寫出在0°~360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角；

②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；

③根據(jù)條件能合并的一定要合并，使結(jié)果簡(jiǎn)潔.

［針對(duì)訓(xùn)練］

［解］終邊落在射線y=/x(x>0)上的角的集合是6={。1。=60°+衣?360°,kJ

Z},終邊落在射線尸/x(xWO)上的角的集合是S={。：。=240°+A-3600,AGZ),

于是終邊落在直線尸4x上的角的集合是S={。|a=60°+公360°,A《Z}U{a|a

=240°+k>360°,4GZ}={a|a=60°+2A-180°,4GZ}U{a|a=60°+(2A+

1)?180°,ASZ}={a|a=60°+/?-180°,n&Z}.

題型三象限角的判斷

【典例3】已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各

角，并指出它們是第凡象限角.

(1)-75°；(2)855°；(3)-510°.

［思路導(dǎo)引］作出圖形，根據(jù)象限角的定義確定.

［解］作出各角，其對(duì)應(yīng)的終邊如圖所示.

(1)由圖①可知一75°是第四象限角.

(2)由圖②可知855°是第二象限角.

(3)由圖③可知一510°是第三象限角.

|名師提醒A

象限角的判斷方法

(1)根據(jù)圖形判定，在直角坐標(biāo)系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第兒象

限角；

(2)根據(jù)終邊相同的角的概念把角轉(zhuǎn)化到0。?360°范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化后的角在第幾象限，

此角就是第幾象限角.

［針對(duì)訓(xùn)練］

3.已知a是第二象限的角，則180°-a是第象限的角.

［解析］由a是第二象限的角可得90°+4?360。<</<180°+4?360°々GZ),則

180°-(180°+k>360°)<180°一。<180°-(90°+k-360°)(AGZ),即一

k-360°<180°-<90°-k-360°(AeZ),所以180°一。是第一象限的角.

［答案］一

a

題型四角了，〃a("WN")所在象限的確定

a

【典例4】若。是第二象限角，則萬(wàn)是第幾象限的角？

［思路導(dǎo)引］已知角。是第幾象限角，判斷5所在象限，主要方法是解不等式并對(duì)4

進(jìn)行分類討論，考查角的終邊位置.

［解］???0是第二象限角，

A90°+A*360°<4<180°+4?360°(AeZ),

a

A45°+A-180°<y<90°+A*180°UeZ).

解法一：①當(dāng)A=2〃(〃￡Z)時(shí)，

aa

45°4-/7-360°<y<90°+/?-360°(〃GZ),即萬(wàn)是第一象限角;

aa

②當(dāng)*=2"+l("GZ)時(shí),225°+〃?360°<y<270°+/??360°(〃GZ),即萬(wàn)是第三

象限角.

a

故萬(wàn)是第一或第三象限角.

解法二：：45°+k-1800表示終邊為一、三象限角平分線的角，90°+k-180°(k

WZ)表示終邊為y軸的角，

.?.45°+A-180°<y<90°+A-180°(4GZ)表示如圖中陰影部分圖形.即三?是第一或

第三象限角.

［變式］(1)若本例條件不變，求角2a的終邊的位置.

a

(2)若本例中的。改為第一象限角，則2%萬(wàn)分別是第幾象限角？

［解］(1)；。是第二象限角，

.”?360°+90°<a<k>360°+180°(AGZ).

：.k-720°+180°<2<z?720°+360°(AeZ).

二角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

(2)因?yàn)閍是第一象限角，

所以A?360°<a<90°+k>360°,%GZ.

所以2A?360°<2a<180°+24?360°,k^Z.

所以2a是第一或第二象限角，或是終邊落在y軸的正半軸上的角.

a

同理，k>180°<y<45°+4780°,k^Z.

當(dāng)女為偶數(shù)時(shí)，券為第一象限角，

a

當(dāng)在為奇數(shù)時(shí)，萬(wàn)為第三象限角.

|名師提醒A

分角、倍角所在象限的判定思路

(1)已知角。終邊所在的象限，確定?終邊所在的象限用分類討論法，要對(duì)4的取值分

以下幾種情況進(jìn)行討論：女被"整除；衣被〃除余1;4被〃除余2,…，A被〃除余〃一1.

然后方可下結(jié)論.

(2)已知角。終邊所在的象限，確定〃。終邊所在的象限，可依據(jù)角。的范圍求出

的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.注意不要漏掉〃。的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

［針對(duì)訓(xùn)練］

a

4.已知a是第一象限角，則角彳的終邊可能落在_______.(填寫所有正確的序號(hào))

①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限

［解析］???。是第一象限角，

：.k>360°<。<人360°+90°,AGZ,

?3600<y<^?360°+30°,AcZ.

當(dāng)k=3in,zzz￡Z時(shí)，in<360°?360°+30°,

???角。的終邊落在第一象限.

當(dāng)％=30+1,勿GZ時(shí)，/??360°+120°<-^-</n?360°+150°,

a

???角k的終邊落在第二象限.

當(dāng)"=3/力+2,時(shí)，360°+240°?360。+270°,

???角。的終邊落在第三象限，故選①②③.

U

［答案］①②③

課堂歸納小結(jié)

1.對(duì)角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定

義，理解這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕

對(duì)值大小”.

2.把任意角化為360°々GZ,且0°<。<360°）的形

式，關(guān)鍵是確定〃，可以用觀察法（。的絕對(duì)值較小），也可以用除法.

3.已知角的終邊范圍，求角的集合時(shí)，先寫出邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角，再寫出0°?360°

內(nèi)符合條件的角的范圍，最后都加上幺?360。，得到所求.

?隨堂鞏固驗(yàn)收

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角

B.鈍角不一定是第二象限角

C.終邊與始邊重合的角是零角

D.鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角

［解析］A錯(cuò)，若一內(nèi)角為90。，則不屬于任何象限；B錯(cuò)，鈍角一定是第二象限角：

C錯(cuò)，若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則不是零角；D對(duì).

［答案］D

2.-215°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角，故一215°也是第二

象限角，選B.

［答案］B

a

3.已知。為第三象限角，則萬(wàn)所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

［解析］由于八360°+180°<a<k-360°+270°,k6Z,

得T,360。

+90°?360°+135°,AGZ.

當(dāng)衣為偶數(shù)時(shí)，］為第二象限角;

當(dāng)在為奇數(shù)時(shí)，萬(wàn)為第四象限角.

［答案］D

4.將一885°化為。十八360°(0°W?！?60°,AeZ)的形式是.

［解析］因?yàn)橐?85°4-360°=-3-195°,且0°Wa<360°,所以在=-3,a=

195°,故一885°=195°+(—3)?360°.

［答案］195°+(-3)?360°

5.在角的集合｛。|。=公90°+45°,AGZ｝中，

(1)有幾種終邊不相同的角？

(2)若一360°<。<360°,則集合中的。共有多少個(gè)？

［解］(1)在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種，分別是與45。、135。、-

135°、-45°終邊相同的角.

97

(2)令一360°<??90°+45°<360°,得一手卜手

又■:kGZ,k——4,一3,—2,—1,0,1,2,3?

滿足條件的角共有8個(gè).

課后作業(yè)(三十七)

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1.下列是第三象限角的是()

A.-110°B.-210°

C.80°D.-13°

［解析］一110°是第三象限角，一210°是第二象限角，80°是第一象限角，一13°是

第四象限角.故選A.

［答案］A

2.與600°角終邊相同的角可表示為()

A.360°+220°(AGZ)

B.A--360°+240°(AeZ)

C.k?360°+60°UeZ)

D.A-360°+260°(AeZ)

［解析］與600°終邊相同的角。=〃?360°+600°=n?360°+360°+240°=｛n

+1)?360°+240°=4?360°+240°,n&l,AeZ.

［答案］B

3.設(shè)/=｛小于90°的角｝,8=｛銳角｝,仁｛第一象限角｝,〃=｛小于90°而不小于0°

的角｝,那么有()

K.BCAB.BAC

C.D（40。D.CCD^B

［解析］顯然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限，故A,B

錯(cuò)；0°不屬于任何象限，故C錯(cuò)；銳角為小于90°而大于0。的角，.?.CD片8,選D.

［答案］D

4.終邊在直線y=—x上的所有角的集合是（）

A.{a|0=4?360°+135°,AeZ}

B.{a|a=A?360°-45°,k&Z}

C.{<z|a^k>180°+225°,〃GZ}

D.{a|a=k-180°-45°,k&l}

［解析］因?yàn)橹本€尸一x為二、四象限角平分線，所以角終邊落到第四象限可表示為

k-360°-45°=2k-180°-45°,AGZ；終邊落到第二象限可表示為k-360°-180°

—45°=（2/-1）?180°-45°,AeZ,綜上可得終邊在直線y=-x上的所有角的集合為

{aa=k-1800-45°,k&Z}.

［答案］D

5.給出下列四個(gè)命題：①一75°角是第四象限角；②225。角是第三象限角；③475°

角是第二象限角：④一315°角是第一象限角，其中真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

［解析］①正確；②正確；③中475°=360。+115°,因?yàn)?15°為第二象限角，所

以475°也為第二象限角，正確；④中一315°=-360°+45°,因?yàn)?5°為第一象限角，

所以一315°也為第一象限角，正確.

［答案］D

二、填空題

6.50。角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把其終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3周，所得的角

是.

［解析］順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3周轉(zhuǎn)了一（3X360°）=-1080°,

又50°+（-1080°）=-1030°,故所得的角為一1030°.

［答案］一1030°

7.已知角a=-3000°,則與角。終邊相同的最小正角是一

［解析］設(shè)與角。終邊相同的角為￡,

則￡=一3000°+A-360°,AGZ,

又因?yàn)锽為最小正角，故取4=9,

貝IJ￡=-3000°+360°X9=240".

［答案］240°

8.若角a與8的終邊在一條直線上，則a與8的關(guān)系是.

［解析］因?yàn)椤Ｅc￡的終邊在一條直線上，所以a與￡相差180°的整數(shù)倍.

［答案］。=尸+八180°,AeZ

三、解答題

9.在0。?360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角.

(1)-120°；(2)660°；(3)-950°08'.

［解］⑴；-120°=240°-360°,

在0°?360°范圍內(nèi)，與一120°角終邊相同的角是240°角，它是第三象限的角.

(2)7660°=300°+360°,

.?.在0°?360。范圍內(nèi)，與660°角終邊相同的角是300。角，它是第四象限的角.

(3)V-950°08(=129°52'-3X360°,

...在0°?360°范圍內(nèi)，與一950°08'終邊相同的角是129°52',它是第二象限的

10.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：

(1)終邊落在射線應(yīng)上；

(2)終邊落在直線勿上；

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界).

［解］(1)終邊落在射線加上的角的集合為

S={a|a=60°+k-360°,AGZ}.

(2)終邊落在直線如上的角的集合為

S={。|a=30°+k-180°,AGZ}.

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為

$={。！30°+/?180°WaW60°+A-180°,AGZ}.

綜合運(yùn)用

11.若角。，萬(wàn)的終邊相同，則。一￡的終邊在()

A.x軸的非負(fù)半軸B.y軸的非負(fù)半軸

C.X軸的非正半軸D.y軸的非正半軸

［解析］二?角。，尸終邊相同，；.。=〃?360°+￡(ACZ),。一￡=A?360°(k

eZ),故。一月的終邊在x軸的非負(fù)半軸上.

［答案］A

12.已知角2a的終邊在x軸的上方，那么。是()