第2章 平面力系

平面力系第2章——《理論力學(xué)》平面力系平面匯交力系平面力偶系平面任意力系1）物體的受力分析（第一章）2）力系的等效替換（或簡(jiǎn)化）→合成3）建立各種力系的平衡條件→平衡平面力系：力系中各力的作用線處于同一平面內(nèi)。靜力學(xué)主要研究?jī)?nèi)容：平面平行力系2.1平面匯交力系1、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則平面匯交力系：各力的作用線同一平面且匯交于一點(diǎn)。力多邊形規(guī)則力三角形法則2.1平面匯交力系2、平面匯交力系平衡的幾何條件平衡條件平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉。求解平面匯交力系平衡問題時(shí)可用幾何法，即按比例先畫出封閉的力多邊形，然后，用尺和量角器在圖上量得所要求得未知量。對(duì)匯交于一點(diǎn)得三個(gè)力來(lái)說(shuō)，常常根據(jù)圖形幾何關(guān)系，畫出封閉的力三角形，用三角公式計(jì)算所要求出得未知量。2.1平面匯交力系例2-1平面結(jié)構(gòu)如圖所示，習(xí)慣稱之為梁的水平桿AB與斜桿CD在點(diǎn)C用鉸鏈連接，并在A、D處用鉸鏈連接在鉛垂墻上。AC=CB，角度如圖，不計(jì)各構(gòu)件自重，在B處作用一鉛垂力F=10kN。求CD桿受力和鉸支座A處的約束力。2.1平面匯交力系解：1）受力分析用幾何法，畫封閉力三角形。按比例量得2.1平面匯交力系3、平面匯交力系合成與平衡的解析法設(shè)由n個(gè)力組成的平面匯交力系作用在一個(gè)剛體上，此匯交力系的合力的解析表達(dá)式為：合力在x,y軸上的投影：合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和。2.1平面匯交力系3、平面匯交力系合成與平衡的解析法合力的大小為：方向?yàn)椋?/p>

作用點(diǎn)為力的匯交點(diǎn)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件：該力系的合力等于零。平衡方程2.1平面匯交力系例2-2如圖所示，重物重量P=20kN，用鋼絲繩連接如圖。不計(jì)桿、鋼絲繩、和滑輪B的重量，忽略軸承摩擦和滑輪B的大小。角度如圖所示。求平衡時(shí)桿AB，BC所受的力。解：（1）取研究對(duì)象，畫受力圖2.1平面匯交力系例2-2如圖所示，重物重量P=20kN，用鋼絲繩連接如圖。不計(jì)桿、鋼絲繩、和滑輪B的重量，忽略軸承摩擦和滑輪B的大小。角度如圖所示。求平衡時(shí)桿AB，BC所受的力。解：（2）列平衡方程（1）匯交力系:各力的作用線同一平面且匯交與一點(diǎn)。小結(jié)2.1平面匯交力系（2）幾何法合成:力多邊形法則。（3）幾何法平衡:力多邊形法自行封閉。（4）力在坐標(biāo)軸上投影:（5）解析法合成:（6）解析法平衡:大小方向2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶1、力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力矩作用面，O稱為矩心，O到力的作用線的垂直距離

稱為力臂。此平面中，力使物體繞O轉(zhuǎn)動(dòng)的效果取決于兩個(gè)要素。力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù).常用單位或。1.大小：力與力臂的乘積2.方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶2、合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。該結(jié)論適用于任何合力存在的力系解析表達(dá)式2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶直接按定義按合力矩定理例2-3如圖所示圓柱直齒輪，受到另一齒輪對(duì)其嚙合力F的作用，大小為F=1400N，壓力角θ=20°，齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）半徑r=60mm，求力F對(duì)于軸心O的力矩。解:2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶思考：三角形分布荷載的合力及其位置如何計(jì)算？由合力矩定理得解：取微元如圖此結(jié)論后續(xù)可直接應(yīng)用2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶3、力偶與力偶矩力偶由兩個(gè)等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作。1）大?。毫εc力偶臂乘積2）方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向力偶矩：力偶作用面內(nèi)，力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值大小等于力的大小與力偶臂的乘積，轉(zhuǎn)向以使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。在力偶作用面內(nèi)，力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效果取決于兩個(gè)要素：特殊力系2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶4、力偶的性質(zhì)（1）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。力偶矩與力矩的重要區(qū)別2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶4、力偶的性質(zhì)（2）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。====2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶4、力偶的性質(zhì)補(bǔ)充：力偶不能簡(jiǎn)化為集中力，向任意坐標(biāo)軸投影的力也為零；因此寫力投影方程時(shí)無(wú)需考慮力偶，力偶也不能和力相等或平衡。2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡條件已知：求合力偶任選一段距離d===?=2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶5、平面力偶系的合成和平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系平衡的充要條件，有如下平衡方程2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶解得由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，得受力圖為例2-4如圖所示工件，用多軸鉆床在工件上同時(shí)鉆三個(gè)孔，鉆頭對(duì)工件作用有三個(gè)力偶，其矩分別為固定螺栓A和B的距離。求兩個(gè)光滑螺栓所受的水平力。解：由平衡條件2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶例2-5不計(jì)圖中機(jī)構(gòu)自重，圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。圓輪上作用一矩為的力偶，,圖示位置時(shí)OA和OB垂直，，系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上的力偶，鉸鏈O,B處的約束力。取輪,由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì),畫受力圖.解得解得

取桿

，畫受力圖.解：（1）力對(duì)點(diǎn)之矩：小結(jié)2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩·平面力偶（2）合力矩定理：（3）力對(duì)點(diǎn)之矩的解析式：（4）力偶:（5）力偶矩:（6）力偶等效定理:（7）力偶性質(zhì)：①矩心無(wú)關(guān)性；②保持力偶矩不變，可在平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)；③力偶與力不合成不平衡。（9）平面力偶系平衡:（8）平面力偶系合成:2.3平面任意力系0、平面任意力系力的作用線在同一平面內(nèi)，并且是任意分布的。（平面一般力系）簡(jiǎn)化？平衡？2.3平面任意力系1、力的平移定理可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力平行移到任一點(diǎn)B,但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，該力偶的矩就等于力對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。==2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩==平面任意力系=平面匯交力系+平面力偶系主矢主矩把一個(gè)復(fù)雜的問題等效分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單問題的組合2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩主矢計(jì)算的解析表達(dá)式：其中主矢大?。悍较蛴嘞遥褐骶赜?jì)算的解析表達(dá)式：主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，而主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩平面固定端約束2.3平面任意力系2、平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化主矢和主矩平面固定端約束===≠2.3平面任意力系3、平面任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析合力矩定理合力+合力偶合力偶大小與簡(jiǎn)化中心有關(guān)1）合力作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心2）合力偶與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)3）4）平衡與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果，合力與基線OA交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離x，以及合力作用線方程。解：主矢：2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果，合力與基線OA交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離x，以及合力作用線方程。解：主矩：求合力及其作用線位置：或：2.3平面任意力系例2-6重力壩受力如圖所示，P1=450kN，P2=200kN，F(xiàn)1=300kN，F(xiàn)2=70kN。求力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果，合力與基線OA交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離x，以及合力作用線方程。解：合力作用線方程：（1）力的平移定理：從A平移到B,附加力偶為對(duì)B的矩。小結(jié)2.3平面任意力系（2）主矢：（3）主矩:（4）平面任意力系向面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化:一個(gè)主矢+一個(gè)主矩。（5）平面固定端約束:約束反力三個(gè)分量，兩個(gè)力分量和一個(gè)力偶。（6）平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果:由四種結(jié)果分析，最簡(jiǎn)化結(jié)果三種。

①單個(gè)力；②單個(gè)力偶；③平衡與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心有關(guān)2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零因?yàn)樗?，有平面任意力系的平衡方程其中平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。一般式2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-7起重機(jī)重P1=10kN，可繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，起重機(jī)的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物。起重機(jī)的中心C到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和徑向軸承B處的約束力。解：取起重機(jī)，畫受力圖.2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-8如圖所示均質(zhì)水平橫梁AB,A端為固定鉸鏈支座，B端為滾動(dòng)支座。梁長(zhǎng)為4a,梁重為P。在梁的AC上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受矩為M=Pa的力偶作用，求支座A和B處的約束力。取梁，畫受力圖。解：2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2-9自重為P=100kN的T字形鋼架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，尺寸l=1m，載荷如圖所示，。求固定端A處的約束力。其中解：取

型剛架，畫受力圖。2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡方程另兩種形式二矩式兩個(gè)取矩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直三矩式三個(gè)取矩點(diǎn)，不得共線2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面平行力系的平衡方程力矩形式A、B連線不與力的作用線平行。一個(gè)獨(dú)立方程2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程練習(xí)如圖所示起重機(jī)自重P1=700kN，滿載時(shí)吊重物P2=200kN，起重機(jī)輪間距AB=4m，其他尺寸如圖。求（1）為保證起重機(jī)滿載和空載均不翻倒，平衡所需配重P3應(yīng)在哪個(gè)范圍內(nèi)；（2）若配重P3=180kN，軌道AB給輪子的約束力是多少？解：取起重機(jī)，畫受力圖。滿載時(shí)，為不安全狀況2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程練習(xí)如圖所示起重機(jī)自重P1=700kN，滿載時(shí)吊重物P2=200kN，起重機(jī)輪間距AB=4m，其他尺寸如圖。求（1）為保證起重機(jī)滿載和空載均不翻倒，平衡所需配重P3應(yīng)在哪個(gè)范圍內(nèi)；（2）若配重P3=180kN，軌道AB給輪子的約束力是多少？解：空載時(shí)，為不安全狀況

時(shí)2.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程小結(jié)（1）平衡條件：力系的主矢等于0，且對(duì)任意點(diǎn)主矩也為0。（2）平衡方程：二矩式:（3）平面平行力系平衡方程:三矩式:2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題未知量數(shù)目<=獨(dú)立方程數(shù)目時(shí)，靜定問題（可由平衡方程求解全部未知量）力系類型平衡方程獨(dú)立方程數(shù)目平面匯交力系2平面力偶系1平面平行力系2平面任意力系3未知量數(shù)目>獨(dú)立方程數(shù)目時(shí)，超靜定問題（由平衡方程不能求解全部未知量）物體系的平衡：工程重大部分構(gòu)架都是由幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)，每一個(gè)物體均可以寫出其對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的平衡方程。若物體系中的每個(gè)物體受力均為平面任意力系，系統(tǒng)包含n個(gè)物體，則該系統(tǒng)具有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動(dòng)滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動(dòng)滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對(duì)象。（2）整體分析幾個(gè)未知量。（3）不同的研究對(duì)象分別有幾個(gè)未知量。（4）不同的研究對(duì)象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動(dòng)滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對(duì)象。（2）整體分析幾個(gè)未知量。（3）不同的研究對(duì)象分別有幾個(gè)未知量。（4）不同的研究對(duì)象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動(dòng)滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。解：取整體,畫受力圖.2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題例2-10如圖所示，已知重物P，DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑R，動(dòng)滑輪半徑r，且R=2r=l,θ=45°。求支座A、E的約束力與桿BD所受的力。解：取DCE桿,畫受力圖。(拉)2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習(xí)構(gòu)架由不計(jì)自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內(nèi)。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對(duì)象。（2）整體分析幾個(gè)未知量。（3）不同的研究對(duì)象分別有幾個(gè)未知量。（4）不同的研究對(duì)象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習(xí)構(gòu)架由不計(jì)自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內(nèi)。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。思考：（1）欲求未知量可以選擇的研究對(duì)象。（2）整體分析幾個(gè)未知量。（3）不同的研究對(duì)象分別有幾個(gè)未知量。（4）不同的研究對(duì)象未知量之間的聯(lián)系。（5）確定求解順序。2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題DEF整體ABCADB未知量個(gè)數(shù)3456√未知量個(gè)數(shù)0444未知量個(gè)數(shù)相同，最好選橫平豎直的√0332選擇任意一個(gè)均可√001100002.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習(xí)構(gòu)架由不計(jì)自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內(nèi)。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。解：選DEF，畫受力圖選ADB，畫受力圖2.5物體系的平衡·靜定和超靜定問題練習(xí)構(gòu)架由不計(jì)自重的桿AB，AC和DF鉸接而成，如圖所示，桿DF上的銷子E套在桿AC的光滑槽內(nèi)。在水平桿DF的一端作用一鉛垂力F，求桿AB上鉸鏈A,D和B所受的力。選整體，畫受力圖再選ADB，列平衡方程2.6平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架：一種由桿件彼