2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-46.2-非線性回歸模型與回歸效果分析【課件】

46.2-非線性回歸模型與回歸效果分視角1

指數(shù)型經(jīng)驗回歸方程非線性經(jīng)驗回歸方程舉題說法云計算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長．從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計算白皮書(2022年)》可知，我國2017年至2021年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：1-1年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345云計算市場規(guī)模y/億元692962133420913229【解答】視角2

對數(shù)型經(jīng)驗回歸方程某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(i＝1，2，3，…，10)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．1-2【解答】某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(i＝1，2，3，…，10)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．1-2(2)對數(shù)據(jù)作出如下處理，得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如右表：

【解答】視角1

殘差分析回歸效果分析【解答】散點(diǎn)圖如圖所示．假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如右：2-1x234345y737271736968(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點(diǎn)圖；假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如下：2-1x234345y737271736968(2)求y與x之間的經(jīng)驗回歸方程，當(dāng)單位成本為70元/件時，預(yù)報產(chǎn)量為多少；【解答】【解答】假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如下：2-1x234345y737271736968(3)計算各組殘差，并計算殘差平方和．注：保留兩位有效數(shù)字．視角2

決定系數(shù)如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．2-2注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2016～2022.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測2025年該企業(yè)的污水凈化量；【解答】如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．2-2注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2016～2022.(2)請用決定系數(shù)說明回歸方程預(yù)報的效果．隨堂練習(xí)1．下列四幅殘差分析與一元線性回歸模型擬合精度最高的是

(

)D【解析】由圖知D中殘差均勻分布在橫軸附近，故D中圖象與一元線性回歸模型擬合精度最高．ABCD【解答】2．經(jīng)驗表明，樹高y與胸徑x具有線性關(guān)系，為了解回歸方程的擬合效果，利用右面數(shù)據(jù)計算殘差，用來繪制殘差圖．【解析】由表可得，各組數(shù)據(jù)的殘差為18.9－18.6＝0.3，19.4－19.3＝0.1，20.8－21.5＝－0.7，22.8－23＝－0.2，24.8－24.4＝0.4，故殘差最大值為0.4，最小值為－0.7.則殘差的最大值和最小值分別是

(

)A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4C3．某部門統(tǒng)計了某地區(qū)今年前7個月在線外賣的規(guī)模如下表：月份代號x1234567在線外賣規(guī)模y/百萬元111318★28★35【解析】【答案】B4．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 (

)A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx【解析】【答案】D由散點(diǎn)圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢．對于A，y＝a＋bx是直線型，均勻增長，不符合要求；對于B，y＝a＋bx2是二次函數(shù)型，函數(shù)y＝a＋bx2(b≠0)的對稱軸為y軸，當(dāng)b＞0時，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求，當(dāng)b＜0時，圖象呈現(xiàn)上凸，呈遞減趨勢，不符合要求；對于C，y＝a＋bex是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；對于D，y＝a＋blnx是對數(shù)型，增長緩慢，符合要求．配套精練A組夯基精練一、

單項選擇題1．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，其中擬合效果最好的是

(

)A．模型1的決定系數(shù)R2＝0.05 B．模型2的決定系數(shù)R2＝0.49C．模型3的決定系數(shù)R2＝0.89 D．模型4的決定系數(shù)R2＝0.98D【解析】決定系數(shù)R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好；決定系數(shù)R2越小，模型的擬合效果越差.模型4的決定系數(shù)最大、最接近1，其擬合效果最好．2．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說法錯誤的是(

)A．若變量x和y之間的相關(guān)系數(shù)為r＝－0.992，則變量x和y之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)B．用決定系數(shù)R2來比較兩個模型擬合效果，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好D【解析】3．以模型y＝cekx(c＞0)去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到經(jīng)驗回歸方程z＝2x－1，則k，c的值分別是 (

)B【解析】4．某興趣小組研究光照時長x(單位：h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(單位：顆)之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖．若去掉D(10，2)后，則下列說法正確的是

(

)A．樣本相關(guān)系數(shù)r變小B．決定系數(shù)R2變小C．殘差平方和變大D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【解析】【答案】D從圖中可以看出D(10，2)較其他點(diǎn)偏離直線遠(yuǎn)，故去掉D(10，2)后，回歸效果更好．對于A，y與x正相關(guān)，r＞0，樣本相關(guān)系數(shù)r越接近于1，模型的擬合效果越好，去掉D(10，2)后，樣本相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)R2越接近于1，模型的擬合效果越好，去掉D(10，2)后，決定系數(shù)R2變大，故B錯誤；對于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，去掉D(10，2)后，殘差平方和變小，故C錯誤；對于D，去掉D(10，2)后，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確．【解析】【答案】BCD對于C，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明擬合精度越高，即擬合效果越好，故C正確；對于D，由決定系數(shù)R2的意義可知，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故D正確．A．由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPaC．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，樣本點(diǎn)(11，22.6)的殘差為－1.9D．對比兩個回歸模型，結(jié)合實際情況，方程y2＝132.9e-0.163x的預(yù)報效果更好【解析】【答案】ACD對于A，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強(qiáng)越低，所以大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)，故A正確；對于B，經(jīng)驗回歸方程得到的數(shù)據(jù)為估計值，而非精確值，故B錯誤；對于D，隨著海拔高度的增加，大氣壓強(qiáng)越來越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此方程y2＝132.9e-0.163x的預(yù)報效果更好，故D正確．三、

填空題7．若一個樣本的觀測值與均值的差的平方和為80，殘差平方和為60，則決定系數(shù)R2＝________．0.25【解析】【解析】－0.19．為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x(單位：dm2)與水生植物的株數(shù)y(單位：株)之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型y＝cekx(c＞0)去擬合x與y的關(guān)系，設(shè)z＝lny，x與z的數(shù)據(jù)如右表所示．【解析】x3467z2.5345.9e0.35四、

解答題10．已知x與y之間的數(shù)據(jù)如下表：【解答】x23456y2.23.85.56.57.0(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；四、

解答題10．已知x與y之間的數(shù)據(jù)如右表：x23456y2.23.85.56.57.0(2)完成下面的殘差表，并判斷(1)中經(jīng)驗回歸方程的回歸效果是否良好(若R2＞0.9，則認(rèn)為回歸效果良好)．參考公式及數(shù)據(jù)：【解答】【答案】11．某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑，為了解其效果，通過實驗，收集到其不同濃度x(mol/L)與滅死率y的數(shù)據(jù)，如下表：【解答】濃度x(mol/L)10-1210-1010-810-610-4滅死率y0.10.240.460.760.9411．某公司研制了一種對人畜無害的滅草劑，為了解其效果，通過實驗，收集到其不同濃度x(mol/L